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第十章 概率
10.1.1 有限的样本空间与随机事件
一、基础巩固
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨
【答案】B
【分析】
根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；
13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；
车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；
明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.
故选：B
【点睛】
本题主要考查必然事件的定义，属基础题.
2．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖
的概率为 ，则买1000张这种彩票一定能中奖.其中必然事件是（ ）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
【答案】A
【分析】
根据事件是否必然发生判断选择.
【详解】因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾；所以①不是必然事件；
因为实数的绝对值不小于零；所以②是必然事件；
因为某彩票中奖的概率为 ，仅代表可能性，所以买1000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事
件；
故选：A
【点睛】
本题考查必然事件，考查基本分析判断能力，属基础题.
3．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
【答案】D
【分析】
由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可.
【详解】
因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书，
故选：
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件的含义，属于基本概念的考查.
4．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为 ，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为 ，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等
可能的，均为 ，所以公平；.
故选B.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变
量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，
但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.
5．下列说法正确的是（ ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样
是分层抽样.
②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为 ，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.
③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.
④在回归直线方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，预报变量 增加0.1个单位.
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】
①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；
②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；
③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；
④在回归直线方程 0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．
【详解】
解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于
间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；
②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；
④在回归直线方程 0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 增加
0.1个单位，故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．
6．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件 发生的概率为 ，则
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
【答案】B
【分析】
由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.
【详解】
解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；
对于B，事件 发生的概率为 ，则 ，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为 ，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】
本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.
7．已知某厂生产的某批产品的合格率为 ，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确
的是（ ）
A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件
C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件【答案】D
【分析】
根据概率的定义与性质，直接可求解.
【详解】
某厂生产的某批产品的合格率为 ，现从该批次产品中抽出100件产品检查，
在A中，合格产品可能不少于90件，故A错误；
在B中，合格产品可能不多于90件，故B错误；
在C中，合格产品可能不是90件，故C错误；
在D中，合格产品可能是90件，故D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.
8．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红
牌”与“乙分得红牌”（ ）
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【分析】
根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项.
【详解】
显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事
件为互斥但不对立事件.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查互斥事件和对立事件的辨析，考查不可能事件的概念，属于基础题.
9．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，
可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取
出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是（ ）A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用
随机事件的概念判断④正确.
【详解】
对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该
事件是必然事件，①正确；
对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；
对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；
对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件
是随机事件，④正确．故正确命题有2个.
故选：C．
10．分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“ 点或正面
向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
列出所有的基本事件，再结果中含有“ 点或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.
【详解】
分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是： 正面向上， 反面向上， 正面向上， 反面向上，
正面向上， 反面向上， 正面向上， 反面向上， 正面向上， 反面向上， 正面向上， 反面向上.
共 个基本事件.
含有“ 点或正面向上”有 正面向上， 反面向上， 正面向上， 正面向上， 正面向上， 正面向
上， 正面向上，共 个基本事件，结果中含有“ 点或正面向上”的概率为： .
故选： .
【点睛】
本题主要考查的是随机事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列举法求解是解题的关键，是基础题.
11．下列叙述正确的是（ ）
A．频率是稳定的，概率是随机的
B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D．若事件A发生的概率为P(A)，则
【答案】D
【分析】
根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】
频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是 ，C错；
由概率的定义，随机事件的概率在 上，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
12．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
【答案】C
【分析】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性.
【详解】
概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.
故选：C
【点睛】
此题考查对概率意义的理解，考查基本概念的掌握.
二、拓展提升
13．某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件 “转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）设事件 “转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（3）设事件 “转出的数字x满足 ， ”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事
件？
【答案】（1）随机事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.
【分析】
根据必然事件、不可能事件还是随机事件的定义判断：
（1）可能发生也可能不发生，
（2）不可能发生；
（3）一定会发生．
【详解】
（1）“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.
（2） “转出的数字是0”，即 ，不是样本空间 的子集，故事件B是不可能事件.（3） ，故事件C是必然事件.
【点睛】
本题考查必然事件、不可能事件还是随机事件的概念，属于基础题．
14．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关）
（1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数；
（2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
【答案】（1）8个，见解析（2）{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.
【分析】
由于掷一枚硬币有正和反两种情况，我们易列举出连续抛掷3枚硬币，可能出现的所有的情况，即全部基
本事件，找到基本事件的个数和满足条件的基本事件．
【详解】
（1）这个试验的样本空间 {（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），
（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，样本点的个数是8.
（2）记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则 {（正，正，反），（正，反，正），（反，正，
正）}.
【点睛】
本题考查的知识点是列举法计算基本事件数，其中列举时要注意按照规律列举，以做到不重不漏，属于基
础题.
15．从用频率估计概率的方法说明：（1）不可能事件的概率是0；（2）必然事件的概率是1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
根据不可能事件和必然事件的概念说明．
【详解】
（1）由于不可能事件在试验中不可能发生，所以不可能事件发生的频率始终为0，因此其概率也为0.
（2）由于必然事件在试验中一定发生，所以必然事件发生的频率始终为1，因此其概率也为1.
【点睛】
本题考查不可能事件和必然事件的概念，属于基础题．
