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2024届新高考二轮复习第八讲：数列
1.（3）记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
2.（19）离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合 ，若 ，
记 为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ， 两两不同，若
，则称 是以 为底 的离散对数，记为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）对 ，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时，
）．证明： ，其中 ；
（3）已知 ．对 ，令 ．证明：
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题型一：等差数列
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）设等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 ．
【变式训练】
1.（2024春·新高考）已知数列 的前n项和 ，则 的值是（ ）
A．8094 B．8095 C．8096 D．8097
2.（2024春·广州市华南师大附中）在数列 中的相邻两项 与 之间插入一个首项为 ，
公差为 的等差数列的前 项，记构成的新数列为 ，若 ，则 前65项的和为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B．-13 C． D．-14
3.（2024春·福建福州）已知数列 的前 项积为 ，且 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)从 中依次取出第1项，第2项，第4项……第 项，按原来顺序组成一个新数列 ，求数列
的前 项和．
题型二：等比数列
【典例例题】
例1.（2024春·江西南昌）公比为 的等比数列 的前 项和 ．
（1）求 与 的值；
（2）若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【变式训练】
1.（2024春·湖北省）各项为正的等比数列 中， ，则 的前4项和 （ ）
A. 40 B. 121 C. 27 D. 81
2.（2024春·广东深圳）已知数列{a }满足log a +1=log a (n∈N*)，且a +a +a =9，则
n 3 n 3 n+1 2 4 6更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
log (a +a +a )
1 3 5 7 的值是（ ）
3
A．-3 B．5 C．4 D．-2
3.（2024春·广东省东莞市）在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·深圳市宝安区）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则 是等比数列 B.若 是等比数列，则
C.若 ，则 是等比数列 D.若 是等比数列，且 ，则
题型三：数列求和
【典例例题】
例1.（2024春·河南郑州）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差数列．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）若数列 满足 ，且 ，设 为数列 的前 项和，集合 ，求
（用列举法表示）．
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1.（2024春·安徽合肥）已知数列 为等差数列， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．
2.（2024春·广东实验中学）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等
比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ， 是数列 的前 项和.求
3.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）已知数列 的前 项和 满足
.
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型四：奇偶数列
【典例例题】
例1.（2024春·广州市）设数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 .
【变式训练】
1. （2024春·湖南长沙）已知数列 满足 ， ，若 为数
列 的前 项和，则 （ ）
A. 624 B. 625 C. 626 D. 650
2.（2024春·黑龙江）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
(1)若数列 满足 ，求 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式，并求 ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
3.（2024春·广州市华南师大附中）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
题型五：数列情境题型
【典例例题】
例1.（2024下·山东菏泽）国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用 格黑白方格相间棋盘，
骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的 格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨
牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋
盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明 格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(1)证明：切掉 格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
(2)请你切掉 格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，
并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；
(3)记 格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为 ，数列 的前n项和为 ，证明：
.
【变式训练】
的
1.（2024春·广东省揭阳市）从2019年初，某生产新能源汽车零件 企业不断引进技术，此后每年的零件
销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业
2019年的销售额约为（参考数据： ， ）（ ）
A. 30万元 B. 35.2万元 C. 40.4万元 D. 42.3万元
2.（2024春·新疆）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，
丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二
百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，
戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A. 32石 B. 40石 C. 48石 D. 56石
3.（2024春·惠州市）斐波那契数列: 每项被 4 除所得的余数构成数列 ，则更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
4.（2024春·山东济南）已知甲植物生长了一天，长度为 ，乙植物生长了一天，长度为 .从第二
天起，甲每天的生长速度是前一天的 倍，乙每天的生长速度是前一天的 ，则甲的长度第一次超过乙的
长度的时期是（ ）（参考数据：取 ）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
题型六：数列新定义题型
【典例例题】
例1.（2024春·云南昆明）若无穷数列{a }的各项均为整数．且对于∀i, j∈N*，i< j，都存在k> j，使
n
得a =a a -a -a ，则称数列{a }满足性质P．
k i j i j n
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①a =n，n=1，2，3，…；
n
②b =n+2，n=1，2，3，…．
n
(2)若数列{a }满足性质P，且a =1，求证：集合¿为无限集；
n 1
(3)若周期数列{a }满足性质P，求数列{a }的通项公式．
n n
(1)数列{a }不满足性质P；数列{b }满足性质P，理由见解析
n n
(2)证明见解析
(3)a =0或a =3．
n n更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）若存在常数t，使得数列{a }满足a -a a a ⋅⋅⋅a =t（n≥1，n∈N），则称
n n+1 1 2 3 n
数列{a }为“H(t)数列”.
n
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“H(1)数列”，并说明理由；
(2)若数列{a }是首项为2的“H(t)数列”，数列{b }是等比数列，且{a }与{b }满足
n n n n
n
∑a2=a a a ⋯a +log b ，求t的值和数列{b }的通项公式；
i 1 2 3 n 2 n n
i=1
(3)若数列{a }是“H(t)数列”，S 为数列{a }的前n项和，a >1，t>0，试比较lna 与a -1的大小，并证
n n n 1 n n
明t>S -S -eS n -n .
n+1 n
2.（2024春·黑龙江）若有穷数列 满足： ，则称此数列
具有性质 .
(1)若数列 具有性质 ，求 的值；
(2)设数列A具有性质 ，且 为奇数，当 时，存在正整数 ，使得更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质 ，且满足 （ 为常数）的数列A构成的集合记作 .求出
所有的 ，使得对任意给定的 ，当数列 时，数列A中一定有相同的两项，即存在
.
3.（2024春·广东肇庆）若有穷数列 满足： ，则称此数
列具有性质 .
(1)若数列 具有性质 ，求 的值；
(2)设数列A具有性质 ，且 为奇数，当 时，存在正整数 ，使得
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质 ，且满足 （ 为常数）的数列A构成的集合记作 .求出
所有的 ，使得对任意给定的 ，当数列 时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在
.
4.（2024春·江西南昌）已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A
为m的k减数列：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明： ；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
题型七：数列与五大“主干”知识点结合
【典例例题】
例1.（2024春·湖南·高三长郡中学校）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个
光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿
亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1
的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自
旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间
的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变
为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的
两个粒子中上旋粒子的个数为 .
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 ，求两个粒子通过第一道逻辑门后
上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 ， ，…，
，则称 （其中 ）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过
第二道逻辑门后上旋粒子个数为 的信息熵 ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻
辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 （ ，2，3，⋯，
，⋯）.证明：当 无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数.
参考公式： 时， ， .
【变式训练】
1.（2024春·辽宁·校联考一模）（多选）已知数列 的首项为 ，且 ，则（ ）
A．存在 使数列 为常数列 B．存在 使数列 为递增数列
C．存在 使数列 为递减数列 D．存在 使得 恒成立
2.（2024·陕西咸阳）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：
是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是
质数．现设 ，数列 的前 项和为 ，则使不等式 成立
的正整数 的最大值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
3.（2024春·湖北武汉）（多选） 如图，已知正方体 顶点处有一质点Q，点Q每次会随
机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶
点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 ，则
下列说法正确的是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A. B.
C. 点Q移动4次后恰好位于点 的概率为0
D. 点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
4.（2024下·江苏泰州）某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和
大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继
续下一次抛掷，否则停止抛掷（最多抛掷 次，即抛掷到 次时无条件终止）．
(1)若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
(2)若执行规则B，证明：抛掷次数 的数学期望不大于3．
一、单项选择
1.（2024春·安徽）已知数列 是等差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.（2024春·浙江绍兴）设 为是首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和，且 ，则
（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
3.（2024·湖南长沙）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初
日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少
德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A．413 B．427 C．308 D．133
二、多项选择
4.（2024春·浙江丽水）设 是等比数列 的前n项和，q为 的公比，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列
C．若 ，则存在 使得 D．若存在 使得 ，则
5．（2024春·河北衡水）欧拉函数 是数论中的一个基本概念， 的函数值等于所有不超过
正整数 ，且与 互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本
身）互质），例如 ，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A． B．数列 单调递增
C． D．数列 的前 项和小于
三、简答题
6.（2024春·河北石家庄）已知正项数列 满足 .
(1)证明:数列 是等比数列;
(2)若 ，数列 的前 项和为 .证明: .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
7.（2024春·安徽亳）记正项等比数列 ､等差数列 的前 项和分别为 ，已知 ，
.
(1)求 和 的通项公式；
(2)设集合 ，求 中元素的个数.
8.（2024春·内蒙古赤峰）记 为数列 的前 项和，
(1)求 ，并证明
(2)若 ，求数列 的前 项和
9.（2024春·江西南昌）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
四面体任意抛掷 次，落于水平的桌面，记 次底面的数字之和为 .
(1)当 时，记 为 被3整除的余数，求 的分布列与期望；
(2)求 能被3整除的概率 .
10.（2024春·湖北省）设正整数数列 ， ， ， 满足 ，其中 .如果存
在 ，3， ， ，使得数列 中任意 项的算术平均值均为整数，则称 为“ 阶平衡数列”
（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（2）若 为偶数，证明：数列 ，2，3， ， 不是“ 阶平衡数列”，其中
（3）如果 ，且对于任意 ，数列 均为“ 阶平衡数列”，求数列 中所有元素
之和的最大值．
