文档内容
2023-2024 学年高二年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.考试范围：选择性必修2、选择性必修3（数列、导数、计数原理、随机变量及其分布、成对数据分析）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列 中， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．115 B．110 C． D．
2.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 ，则
（ ）
X 0 1 2 3
5
P a
a
A. B. C. D.
3.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名
大学生将前往3个场馆 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不
去场馆 时，场馆 仅有2名志愿者的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数 的导函数为 ，函数 的图象如图所示，则下列结论正确的
是（ ）
A． 在 ， 上为减函数
B． 在 ， 上为增函数
C． 的极小值为 ，极大值为
D． 的极大值为 ，极小值为
1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则
条件概率 等于（ ）
A． B． C． D．
6.下列说法正确的是（ ）
A．若数据 的极差和平均数相等，则
B．数据 的中位数为8
C．若 ，随机变量 ，则
D．若 ，则
7.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义
演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种
8.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌
和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细
菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分．
9.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若随机变量 ， ，则
B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第 分是
C. 若随机变量 ，则
D. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ， ，则 组数据比 组
数据的相关性较强
10. 若 ，则下列说法
正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．点 是曲线 的对称中心
C． 有三个零点且三个零点的和为0
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．直线 是曲线 的切线
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若 的展开式中常数项为 ，则 的最小值为__________.
13.若随机变量 ，随机变量 ，则 __________.
14.已知函数 在 处取得极大值，则 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19
题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.设等比数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式.
（2）求数列 的前 项和 .
16.某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社
区，并对这300个社区某天产生 垃的圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃
圾量X大致服从正态分布 ．将垃圾量超过32吨 天的社区确定为“超标”社区．
（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分)
（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政
府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4
个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设 为抽到的
这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求 的概率分布与数学期望；
（3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记 为这一
天垃圾量超过32吨的小区的个数，求 的值．
(参考数据： ； ；
； )
17.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2） ， ，求 的取值范围.
18.ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是
一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编
程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类
似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1
月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司x（月份） 1 2 3 4 5
y（万人） 3.6 6.4 11.7 18.8 27.5
（1）根据表中数据信息及模型① 与模型② ，判断哪一个模型更适合描述
变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本
适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如
下表：
基本适应 不适应
年龄小于30岁 100 50
年龄不小于30岁 75 75
根据小概率 的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据： ， ； ，
.
15 55 979 68 264 1122
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19. 定义：若曲线 或函数 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称
该切线为曲线 或函数 的图象的“自公切线”.
（1）设曲线C： ，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存
在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
（2）证明：当 时，函数 不存在“自公切线”；
4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）证明：当 ， 时， .
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