文档内容
2023-2024 学年第二学期期末试卷
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：集合与逻辑用语、不等式，函数、导数、数列。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共 8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，则 ，
当 时， ，则 ，所以 .
故选：A
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
1
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学科网（北京）股份有限公司C． ， D． ，
【答案】D
【详解】命题“ ， ”为存在量词命题，
其否定为： ， .
故选：D
3．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
所以 为奇函数，
设 ，可知 为偶函数，
所以 为奇函数，则B，C错误，
易知 ，所以A正确，D错误．
故选：A.
2
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学科网（北京）股份有限公司4．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． 或9 B．8或 C．8或9 D． 或
【答案】B
【详解】依题意， ，因为 ， ，所以 ，
故 ，即 ，即 ，
所以 或 或 （舍去），所以 或 .
故选：B
5．设 为实数，若函数 在 处取得极小值，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】由题可得 ，
令 ，解得； 或 ，
因为函数 在 处取得极小值，
所以 ，即 ，
当 时， ， 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，满足题意.
故选：B.
6．Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，
有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： （其中
3
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学科网（北京）股份有限公司， 为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，
发现 .若 表示该新产品今年的年产量，估计明年 的产量将是今年的 倍，那么
的值为（ 为自然数对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得到 ，
当 时， ；
当 时， .
依题意，明年 的产量将是今年的 倍，得： ，
，即 ，解得 .
， .
故选：A.
7．已知函数 ，若关于x的方程 的不同实数根的个数为
6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
4
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学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时， ，由此可知 在 单调递减，
且当 时， ，在 上单调递增， ；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减，
，如图所示．
得 ，即 或
，
由 与 有两个交点，则 必有四个零点，
即 ，得 .
故选：C
8．数学上，常用 表示不大于x的最大整数．已知函数 ，则下列正确的是（ ）．
A．函数 在定义域上是奇函数 B．函数 的零点有无数个
C．函数 在定义域上的值域是 D．不等式 解集是
【答案】B
【详解】设 ，A选项， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因 ，则 不是奇函数，故A错误；
B选项，令 ，即函数 的零点有无数个，故B正确；
C选项，若 ，则 ，
但 ，则 ，即函数 在定义域上的值域不是 ，故C错误.
D选项， ，故D错误.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】选项A：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，故A正确．
选项B： ，当且仅当 时取等号，（利用
基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C： ，所以 ，当且仅当 时取等
号，故C错误．
选项D： ，
6
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号，（另解： ，当且仅当 时取等号）,故
D正确．
故选:ABD.
10．在声学中，音量被定义为 ，其中 是音量（单位为 ）， 是基准声压，为
，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人
耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中 对应的听觉下限阈值
为 对应的听觉下限阈值为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听
到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
【答案】AD
【详解】对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频
对应的听觉下限阈值低于20dB，
所以对比高频更容易被听到，故A正确；
对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB， ，令 ，此时
，故C错误；
对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令 ，此时 ，
所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正
确．
故选：AD.
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若函数 与
均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于选项A，因为 为偶函数，可得： ，
即 ，∴ ，即 ，故选项A正确；
对于选项B，因为 为偶函数，所以 为奇函数，且
，则 的图象关于点 对称，故选项B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项C， 为偶函数，其导函数 为奇函数，
可得： ，即 ，
得 ，
所以 ，即 ，
则 ，可知 的周期为4，
故选项C错误；
对于选项D，因为 为奇函数，
将 代入，得 ，得 ，
因为 为偶函数，可得： 关于 对称，
由 且 关于 对称，知 ，
又 的周期为4，可得 （ ），
选项C中有等式 ，即 ，
则有 （ ）成立，
∴ ，故选项D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．曲线 在 处的切线方程是
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【详解】由 可得 ，故在 处的切线斜率为 ，
又切点为 ，故切线方程为 ，
故答案为：
13．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ．
故答案为： .
14．如图，画一个正三角形 ，不画第三边；接着画正方形 ，对这个正方形，不
画第四边；接着画正五边形 ，对这个正五边形，不画第五边；接着画正六边形，
……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设线段 与线段 所夹的角
为 ，则 ，满足 的最小 值为 .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 1712
【详解】由题意得， ，由此类推， ， ， ， ， ，
， ， ， ，…，
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有2个 ，正五边形有3个 ，正六边形有4个 ，…，
所以正 多边形有 个 .
令 ，解得 ，所以 的最小值为61，
即满足条件 的角至少要在正61边形中，所以 ，即 的最小
值为1712.
故答案为： ，1712.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设p：实数x满足 ，q：实数x满足 ．
(1)若 ，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若 且 是 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）当 时，由 ，得 ，
解得 ，即p为真命题时，实数x的取值范围是
由 ，解得 ，
即q为真命题时，实数x的取值范围是 ．
所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为 ．
（2）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，故p： ．
若 是 的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
所以 ，解可得 ．故实数a的取值范围是
16．已知函数 .
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若函数 为奇函数，求实数 的值；
(3)在（2）的条件下，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，对任意 ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以
所以 为单调递增函数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）因为函数 为奇函数且定义域为 ，所以 ， ，
当 时， 满足，故 ；
（3）因为 是奇函数，从而不等式 对任意的 恒成立等价于不等
式 对任意的 恒成立.
又因为在 上为增函数，所以等价于不等式 对任意的 恒成立，
即不等式 对任意的 恒成立.
所以必须有 ，即 ，
所以实数 的取值范围 .
故 的取值范围为 .
17．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
【详解】（1） 的定义域 ,
若 则 在 上单调递增；
若 当 时， 则 单调递减， 时， 则 单调递增.
综上：当 时， 在 上单调递增，无减区间；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
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学科网（北京）股份有限公司（2）因 ，设 则 ，
则 在 上单调递减， 故 .
18．已知数列 的前n项和 满足 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求使 成立的正整数n的最小值．
【详解】（1）数列 中， ，当 时， ，
两式相减得： ，而 ，解得 ，
因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，
于是得 ，
两式相减得 ，
因此 ，即 ，解得 ，
所以正整数n的最小值为5.
19．设函数 ，其中 ，e是自然对数的底数．
(1)若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 是非负实数，且函数 在 上有唯一零点，求 的值．
【详解】（1）若函数 在 上的单调递减，则 在 上恒成立，
化简得 ，显然函数 在 上递增，即 ，
所以 .
（2）函数 ， ， ，
当 时，由 得， ，
当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，
因此当 时， 取得极小值 ，则只要 ，即 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，而 ，
则由 ，得 ，即方程 的根为1；
当 时， ，函数 在 上单调递减，而 ， ，
此时函数 有且只有一个零点，
所以实数 的值是 或 .
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