文档内容
2023-2024 学年第二学期期末试卷
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：集合与逻辑用语、不等式，函数、导数、数列
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共 8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．函数 的部分图象大致为（ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． 或9 B．8或 C．8或9 D． 或
5．设 为实数，若函数 在 处取得极小值，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
6．Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，
有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： （其中
， 为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，
发现 .若 表示该新产品今年的年产量，估计明年 的产量将是今年的 倍，那么
的值为（ 为自然数对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若关于x的方程 的不同实数根的个数为
6，则a的取值范围为（ ）．
2
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．数学上，常用 表示不大于x的最大整数．已知函数 ，则下列正确的是（ ）．
A．函数 在定义域上是奇函数 B．函数 的零点有无数个
C．函数 在定义域上的值域是 D．不等式 解集是
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．在声学中，音量被定义为 ，其中 是音量（单位为 ）， 是基准声压，为
，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人
耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中 对应的听觉下限阈值
为 对应的听觉下限阈值为 ，则下列结论正确的是（ ）
3
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学科网（北京）股份有限公司A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听
到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若函数 与
均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．曲线 在 处的切线方程是
13．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值为 ．
14．如图，画一个正三角形 ，不画第三边；接着画正方形 ，对这个正方形，不
画第四边；接着画正五边形 ，对这个正五边形，不画第五边；接着画正六边形，
……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设线段 与线段 所夹的角
为 ，则 ，满足 的最小 值为 .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设p：实数x满足 ，q：实数x满足 ．
(1)若 ，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若 且 是 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（15分）
已知函数 .
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若函数 为奇函数，求实数 的值；
(3)在（2）的条件下，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围.
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学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
18．（17分）
已知数列 的前n项和 满足 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求使 成立的正整数n的最小值．
19．（17分）
6
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学科网（北京）股份有限公司设函数 ，其中 ，e是自然对数的底数．
(1)若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若 是非负实数，且函数 在 上有唯一零点，求 的值．
7
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