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柳州铁一中学 2023 级高二上学期数学试题
一､单选题
1. 已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，过 作圆的切线
, ,切点为 , 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
2. 椭圆 ，（ ）的右顶点为 ，已知 ，若椭圆上存在点 ，满足 ，
则椭圆离心率 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆 和两点 ， ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 设 分别是椭圆的左､右焦点，点 是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长
与椭圆交于点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A. 4 B. C. D.
5. 加斯帕尔 蒙日是 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂
直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方
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学科网（北京）股份有限公司程为 时，蒙日圆方程为 .已知长方形 的四边均与椭圆
相切，则下列说法错误的是（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B. 若 为正方形，则 的边长为
C. 椭圆 的蒙日圆方程为
D. 长方形 的面积的最大值为
6. 若椭圆： 的蒙日圆为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 现将质点 随机投入椭圆 所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆
的面积公式为 ）（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司8. 若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知椭圆 的蒙日圆方程为 ，现有椭圆
的蒙日圆上一个动点 ，过点 作椭圆 的两条切线，与该蒙日圆分别交于
两点，若 面积的最大值为34，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
.
A B. C. D.
二､填空题
11. 在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于
实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线 的蒙日圆上一
点 作 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 两点，若 ，则 的周长为______.
12. 椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点A在椭圆上， ，直线
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学科网（北京）股份有限公司交椭圆于点B， ，则椭圆的离心率为______．
13. 已知椭圆 左的､右焦点为 ，过 作x轴垂线交椭圆于点P，若 为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.
14. 设椭圆 的两焦点为 ， .若椭圆上存在点P，使 ，则椭圆的
离心率e的取值范围为__________.
三､多选题
15. 如图，正方体 的棱长为2， 是 的中点， 是侧面 内的一个动点（含
边界），且 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面 截正方体 所得截面的面积为
B. 动点 的轨迹长度为
C. 的最小值为
D. 与平面 所成角的正弦值的最大值为
16. 在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，E是棱DD 的中点，F在侧面CDD C 上运动，且满足BF//平
1 1 1 1 1 1 1 1
面ABE．以下命题正确的有（ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司A. 点F的轨迹长度为
B. 直线 与直线BC所成角可能为45°
C. 平面ABE与平面CDD C 所成锐二面角的正切值为
1 1 1
的
D. 过点E，F，A 平面截正方体所得的截面面积最大为
四､解答题
17. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的面积为S，已知
（1）求角A；
（2）若 ，求 的取值范围.
18. 中 ， 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 记 的 面 积 为 ， 且
.
（1）求角 ；
（2）若 为 的中点，且 ，求 的内切圆的半径.
19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角， 的面积为S，且满足
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（1）若 ，求A；
（2）求 的最大值．
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