玉林2025届高三一模数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1020广西玉林市2025届高三上学期第一次教学质量监测

2025 届高三第一次教学质量监测
数学参考答案
一、单选题
     
2 2i1 2i1 2i1
1.选B.解析：
i1

 i1  i1 

i2 1

2
1i，所以它的共轭复数为 1i，
故选B.
2.选A.解析：A  0,2,4,6  ，B  xx4 ，所以AB  0,2,4 ，故选A.
 
2 2
3.选C.解析：由(ba)⊥a得 ba a0aba 0aba
2 2 2 2 2
ab  a 2abb  a 2a b  312 22  7，故选C.
4.选C.解析：对于A，极差最大为：1004060，最小为：905040，故A错误；
对于B，根据频数分布表可知：525306050，所以中位数不超过70分，故B错误；
对于C，由频数分布表可得，平均值为：
1
 54525553065207510851095 68.5 ，故C正确；
100
70
对于D，成绩大于60分的频数为：30+20+10+10=70，所以大于60分的人数所占比例为： 70%，
100
所以D错误；故选C.
5.选C.解析：两圆的标准方程为：
C :  x2 2  y2 4 C 2,0  .r  2
1 . 1 1 ；
C :  x2 2  y2 64 C  2,0  .r 8
2 . 2 2 .
设动圆圆心为C，半径为r，由外切： CC 2r；由内切： CC 8r ，
1 2
所以 CC  CC 10，即动圆C是以C ,C 为焦点，10为长轴长的椭圆，
1 2 1 2
x2 y2
且c2,a5,b 52 22  21，所以动圆圆心的轨迹方程为：  1，故选C.
25 21
6.选B.解析：设圆锥底面圆心为O ，外接球球心为O，半径为R，则RtSO A在中，
1 1
 
AO
1
1,ASO
1
30 o,SO
1
 3.由OO2
1
 AO
1
2  AO2  3R 2 12  R2
2 3 16
解得：R  ，该圆锥的外接球的表面积为S 4R2  .故选B.
3 3
7.选B.解析：由题意得：方程：a  ex ex 2 4x2 2  a1  有一根，化简得：a  e2x e2x  4x2 2
有 一 根 . 设 h  x  e2x e2x ， 则 h'  x  2e2x 2e2x . 令 h'  x  0 . 得 x0 . 易 得
h  x  h  0  2;设  x  4x2 2.易得x0时, x  2.
min min
   
当a 0时,ah x 与x 有交点;
     
当a0时,ah x 开口向下,若只有一个公共点,则ah 0 0 ,即2a 2,解得a 1.故选B.
数学答案 第1 页 共7页8.选D.解析：方案一：设每次购买数为x,则总量为2x,总价为a xa x,
1 2
a xa x a a
平均购买成本为W  1 2  1 2 .
1 2x 2
y y
方案二：设每次购买的金额为y,则总量为  ,总价为2y,
a a
1 2
2y 2aa
平均购买成本为W   1 2 .
2 y y a a
 1 2
a a
1 2
因为a a 2 aa .当且仅当a a 时等号成立.
1 2 1 2 1 2
a a 2aa
a a 2 a a   a a 2 4aa  1 2  1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 a a
1 2
即W W .所以无论a ,a 的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.故选D.
1 2 1 2
二、多选题
9.选ACD.解析：
对于A：令xk,kZ.则xk,当k 1时，  1,0  为对称中心，故A正确；
 
对于B：令x1 k,kZ .则x1 k,没有整数k能使x取1，故B错误；
2 2
1 1
对于C：直线上任意一点皆为直线的对称中心，而y  x 过  1,0  ，故C正确；
2 2
对于D：因为 2x 3 3  2x  2x 1x3 3x2 x1y.故D正确；故选ACD.
10.选ABD.解析：
对于A：因为C:y2 2px  p0 ，F在x轴正半轴上，又因为直线l恒过点  1,0  ，
 
F 1,0 ，p 2，故A正确；
1 1 2 1 2
对于B:由   ，及 AF 2FB 得  1 AF 3.故B正确；
AF BF p AF AF
对于C：设A  x ,y ，则由 AF 3得A到准线：x1的距离为3.x 2.
1 1 1
1 2
代入C的方程得y 2 2. k 2 2 t  ，故C错误；
1 AF
t 4
 y2 4x
对于D：设B  x ,y .由  y2 4ty40.y  y 4t .
2 2 xty1 1 2
2
 2 5 x x 5
x x t  y  y  24t2 24  2 .中点横坐标为： 1 2  ，
1 2 1 2   4   2 2 4
故D正确.故选ABD.
数学答案 第2 页 共7页11.选AD.
解析：
对于A：由 f(x) xxlnx得 f'(x)lnx，当 f'(x)0时，0 x1；当 f'(x)0时，x1，即
f(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以x1是 f(x)的极大值点，故A正确；
对于B：令xxlnx0，方程在(0,)上只有一根xe，故B错误；
e
对于CD：由于x1是 f(x)的极大值点，不妨设x 1 x e，则lnx 0， 1.因为x ,x 是
1 2 1 1 2
x
2
方程 f(x)m的两根，所以x (1lnx ) x (1lnx )m，所以
1 1 2 2
e
x  x (1lnx ) x (1lnx ) x ln ，由不等式lnx x1（当且仅当x1时等号成立）放缩
1 1 1 2 2 2
x
2
e e
得x  x ln  x ( 1)ex ，即x x e（此方法不唯一），故C错误，D正确；
1 2 2 2 1 2
x x
2 2
故选AD.
三、填空题
12.答案：0.85
解析：由全概率公式得正品率为：P 0.90.30.80.30.850.40.85
14
13.答案：
2
sinPFF PF
解析：因为 1 2 3，由正弦定理得 1 3.
sinPF F PF
2 1 2
又 PF  PF 2a, PF 3a, PF a.
2 1 2 1
由于以F 为圆心的圆与FP的延长线相切与点M ，FM  F M
2 1 1 2
因为FM 3FP, FM 3a, PM 2a.在RtMF P中：由勾股定理得 MF  5a.
1 1 1 2 2
又在RtMFF 中 MF 2  MF 2  FF 2   3a 2   5a  2   2c 2  c e 14 .
1 2 1 2 1 2 a 2
14.答案：x x a（或此式的合理变形也可）；4
1 2
解析：
 a
x  2①
  1 x
不妨设x  x ,则 1
1 2 a
 x  2②
  2 x
2
 
a a a x x
两式相减得：  x x    0  x x   1 2 0
1 2 x x 1 2 x x
1 2 1 2
a a
由于x x 0,1 0a  x x  x  ,
1 2 x x 1 2 1 x
1 2 2
代入②式得：x x 2,即 AB 2,又 AA 2,S 224.
2 1 1 AABB
1 1
数学答案 第3 页 共7页四、解答题
15.解析：
（1）由题意得：1tanA2 32tanA 3tanA,................................1
 
所以 33tanA1 3,.................................................2
3
tanA ,...........................................................4
3

所以A ，............................................................6
6
1 1 1
（2）由S  bcsin A得： b3 3 3b4 3,..........................9
2 2 2
3
由余弦定理得：a2 b2 c2 2bccosA48924 33 21,a  21
2
.............................................................................12
周长为：34 3 21.......................................................13
16.解析：
（1）将列联表补充如下：
男 女 合计
了解 40 20 60
不了解 20 20 40
合计 60 40 100
..............................................................................2
（2）零假设为H ：该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联..................3
0
根据列联表中的数据，经计算得：
100(40202020)2 25
2   2.7783.841,..............................8
60404060 9
根据小概率值0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，
0
因此可以认为H 成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联.
0
.......................................................................9
1
（3）由题意得：X ~B(3, )
3
所以，X的分布列为
X 0 1 2 3
P 8 4 2 1
27 9 9 27
......................................................12
1
X的期望为E(X)np3 1.............................................15
3
数学答案 第4 页 共7页17.解析：
（1）
证明：设AB ABF ，连接CF.
1 1
因为四边形AAB B为菱形，所以AB ⊥AB，.................................2
1 1 1 1
又因为△ABC 为正三角形，F为AB 的中点，所以CF⊥AB ，..................4
1 1 1
又CF ABF ，所以AB ⊥平面ABC ......................................5
1 1 1
（2）
设O,G分别为AC，AB的中点，则OG∥BC，BO⊥AC.
1
由（1）得：AB ⊥平面ABC ，所以AB ⊥BC，...............................6
1 1 1
又AC⊥BC，AB AC  A，所以BC⊥平面ABC ，...........................7
1 1
所以BC⊥BO，又BO⊥AC，BCAC C，所以BO⊥平面ABC..............8
1 1 1
所以OG,OC,OB 两两垂直，以O为原点，OG,OC,OB 的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空
1 1
间直角坐标系，如图.
则A(0,2,0),C(0,2,0),B (0,0,2 3),B(4,2,0)，
1
由BB CC (4,2,2 3)，得C (4,0,2 3)，
1 1 1
所以E(2,1, 3)，.........................................................10
则AB (0,2,2 3),B E (2,1, 3)，
1 1
 uAB 2y2 3z0
设平面AB E 的法向量为u(x,y,z)，则有 1 ，取u( 3, 3,1)，
1
 uB E 2x y 3z
1
........................................................................13
而平面ABC的法向量为v(0,0,1)，设平面AB E 与平面ABC的夹角为，
1
uv 1 7
则cos   ，
u v 3311 7
7
所以平面AB E 与平面ABC的夹角的余弦值为 ...........................15
1
7
数学答案 第5 页 共7页18.解析：
1  1
（1）由题意得：a 3a 1a  3a  ,即b 3b ，..............3
n1 n n1 2  n 2 n1 n
1 3
又有b 1  0，.................................................4
1 2 2
  3
 b 是首项为 ，公比为3的等比数列....................................5
n 2
3 3n 1 3n 1
（2）b  3n1  a  a  ，.................................7
n 2 2 n 2 n 2
 
1313n  3n13 n 3n12n3
S 

n    .........................10
n 2 13  4 2 4
1 2
（3）  ，因为当n1时，3n 13n 3n1 23n1，....................14
a 3n 1
n
1 2 2 1
    ，.............................................15
a 3n 1 23n1 3n1
n
1 1 1 3 1  3
T     1  ...................................17
n 30 3 3n1 2 3n  2
19.解析：

（1）根据定积分的计算： cosxdxF()F(0)，其中F(x)sinxc（c为常数）
0
..............................................................................2

所以 cosxdxF()F(0)(sinc)(sin0c)sin，.......................4
0

下证：sin(0 )：
2

设 f(x)sinxx，则 f'(x)cosx10，所以 f(x)在(0, )上单调递减，
2
所以 f(x) f(0)0，所以sinx x............................................6
（2）定积分的形式：
21
S  dx；...............................................................7
1 x
 n  i  i
面积和的极限形式：S  lim  f1  （右端点）
n
i1
 n n
 n  i1 i
（或S  lim  f1  （左端点），两个极限写一个即可）...............8
n
i1
 n  n
1
设g  x lnxc,则g' x  
x
由题中所给公式
数学答案 第6 页 共7页
21
dx  g  2  g  1  ln2......................................................10
1 x
 i1 i 
   
（3）由定义将 1,2 分为100个等长的小区间

1 ,1

i 1,2,3100 ............11
 100 100
①若用每个小区间的右端点的函数值近似代替小矩形的长，则每个小矩形面积为：
 i  1 1 1 1
f1     .
 100 100 i 100 100i
1
100
100  i  1 1 1 1
 f1     .
 100 100 101 102 200
i
1
   
由于 f x  在 1,2 递减且越来越慢，所以每个小区间的右端点的函数值小于该区间的平均函
x
数值，
所以

100
f

1
i 

1
 
21
dx ln2.............................................14
 100 100 1 x
i
②若用每个小区间的左端点的函数值近似代替小矩形的长，则每个小矩形面积为：
 i1 1 1 1 1
f1     .
 100 100 i1 100 99i
1
100
100  i1 1 1 1 1
 f1     .
 100 100 100 101 199
i
1
   
同理，由于 f x  在 1,2 递减且越来越慢，所以每个小区间的左端点的函数值大于该区间的
x
平均函数值，

100
f

1
i1



1
 
21
dx ln2.
 100 100 1 x
i
1 1 1 1 1 1
综上：   ln2   ..........................17
101 102 200 100 101 199
数学答案 第7 页 共7页