玉林2025届高三一模数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1020广西玉林市2025届高三上学期第一次教学质量监测

2025 届高三第一次教学质量监测 数学参考答案 一、单选题       2 2i1 2i1 2i1 1.选B.解析： i1   i1  i1   i2 1  2 1i，所以它的共轭复数为 1i， 故选B. 2.选A.解析：A  0,2,4,6  ，B  xx4 ，所以AB  0,2,4 ，故选A.   2 2 3.选C.解析：由(ba)⊥a得 ba a0aba 0aba 2 2 2 2 2 ab  a 2abb  a 2a b  312 22  7，故选C. 4.选C.解析：对于A，极差最大为：1004060，最小为：905040，故A错误； 对于B，根据频数分布表可知：525306050，所以中位数不超过70分，故B错误； 对于C，由频数分布表可得，平均值为： 1  54525553065207510851095 68.5 ，故C正确； 100 70 对于D，成绩大于60分的频数为：30+20+10+10=70，所以大于60分的人数所占比例为： 70%， 100 所以D错误；故选C. 5.选C.解析：两圆的标准方程为： C :  x2 2  y2 4 C 2,0  .r  2 1 . 1 1 ； C :  x2 2  y2 64 C  2,0  .r 8 2 . 2 2 . 设动圆圆心为C，半径为r，由外切： CC 2r；由内切： CC 8r ， 1 2 所以 CC  CC 10，即动圆C是以C ,C 为焦点，10为长轴长的椭圆， 1 2 1 2 x2 y2 且c2,a5,b 52 22  21，所以动圆圆心的轨迹方程为：  1，故选C. 25 21 6.选B.解析：设圆锥底面圆心为O ，外接球球心为O，半径为R，则RtSO A在中， 1 1   AO 1 1,ASO 1 30 o,SO 1  3.由OO2 1  AO 1 2  AO2  3R 2 12  R2 2 3 16 解得：R  ，该圆锥的外接球的表面积为S 4R2  .故选B. 3 3 7.选B.解析：由题意得：方程：a  ex ex 2 4x2 2  a1  有一根，化简得：a  e2x e2x  4x2 2 有 一 根 . 设 h  x  e2x e2x ， 则 h'  x  2e2x 2e2x . 令 h'  x  0 . 得 x0 . 易 得 h  x  h  0  2;设  x  4x2 2.易得x0时, x  2. min min     当a 0时,ah x 与x 有交点;       当a0时,ah x 开口向下,若只有一个公共点,则ah 0 0 ,即2a 2,解得a 1.故选B. 数学答案 第1 页 共7页8.选D.解析：方案一：设每次购买数为x,则总量为2x,总价为a xa x, 1 2 a xa x a a 平均购买成本为W  1 2  1 2 . 1 2x 2 y y 方案二：设每次购买的金额为y,则总量为  ,总价为2y, a a 1 2 2y 2aa 平均购买成本为W   1 2 . 2 y y a a  1 2 a a 1 2 因为a a 2 aa .当且仅当a a 时等号成立. 1 2 1 2 1 2 a a 2aa a a 2 a a   a a 2 4aa  1 2  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 a a 1 2 即W W .所以无论a ,a 的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.故选D. 1 2 1 2 二、多选题 9.选ACD.解析： 对于A：令xk,kZ.则xk,当k 1时，  1,0  为对称中心，故A正确；   对于B：令x1 k,kZ .则x1 k,没有整数k能使x取1，故B错误； 2 2 1 1 对于C：直线上任意一点皆为直线的对称中心，而y  x 过  1,0  ，故C正确； 2 2 对于D：因为 2x 3 3  2x  2x 1x3 3x2 x1y.故D正确；故选ACD. 10.选ABD.解析： 对于A：因为C:y2 2px  p0 ，F在x轴正半轴上，又因为直线l恒过点  1,0  ，   F 1,0 ，p 2，故A正确； 1 1 2 1 2 对于B:由   ，及 AF 2FB 得  1 AF 3.故B正确； AF BF p AF AF 对于C：设A  x ,y ，则由 AF 3得A到准线：x1的距离为3.x 2. 1 1 1 1 2 代入C的方程得y 2 2. k 2 2 t  ，故C错误； 1 AF t 4  y2 4x 对于D：设B  x ,y .由  y2 4ty40.y  y 4t . 2 2 xty1 1 2 2  2 5 x x 5 x x t  y  y  24t2 24  2 .中点横坐标为： 1 2  ， 1 2 1 2   4   2 2 4 故D正确.故选ABD. 数学答案 第2 页 共7页11.选AD. 解析： 对于A：由 f(x) xxlnx得 f'(x)lnx，当 f'(x)0时，0 x1；当 f'(x)0时，x1，即 f(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以x1是 f(x)的极大值点，故A正确； 对于B：令xxlnx0，方程在(0,)上只有一根xe，故B错误； e 对于CD：由于x1是 f(x)的极大值点，不妨设x 1 x e，则lnx 0， 1.因为x ,x 是 1 2 1 1 2 x 2 方程 f(x)m的两根，所以x (1lnx ) x (1lnx )m，所以 1 1 2 2 e x  x (1lnx ) x (1lnx ) x ln ，由不等式lnx x1（当且仅当x1时等号成立）放缩 1 1 1 2 2 2 x 2 e e 得x  x ln  x ( 1)ex ，即x x e（此方法不唯一），故C错误，D正确； 1 2 2 2 1 2 x x 2 2 故选AD. 三、填空题 12.答案：0.85 解析：由全概率公式得正品率为：P 0.90.30.80.30.850.40.85 14 13.答案： 2 sinPFF PF 解析：因为 1 2 3，由正弦定理得 1 3. sinPF F PF 2 1 2 又 PF  PF 2a, PF 3a, PF a. 2 1 2 1 由于以F 为圆心的圆与FP的延长线相切与点M ，FM  F M 2 1 1 2 因为FM 3FP, FM 3a, PM 2a.在RtMF P中：由勾股定理得 MF  5a. 1 1 1 2 2 又在RtMFF 中 MF 2  MF 2  FF 2   3a 2   5a  2   2c 2  c e 14 . 1 2 1 2 1 2 a 2 14.答案：x x a（或此式的合理变形也可）；4 1 2 解析：  a x  2①   1 x 不妨设x  x ,则 1 1 2 a  x  2②   2 x 2   a a a x x 两式相减得：  x x    0  x x   1 2 0 1 2 x x 1 2 x x 1 2 1 2 a a 由于x x 0,1 0a  x x  x  , 1 2 x x 1 2 1 x 1 2 2 代入②式得：x x 2,即 AB 2,又 AA 2,S 224. 2 1 1 AABB 1 1 数学答案 第3 页 共7页四、解答题 15.解析： （1）由题意得：1tanA2 32tanA 3tanA,................................1   所以 33tanA1 3,.................................................2 3 tanA ,...........................................................4 3  所以A ，............................................................6 6 1 1 1 （2）由S  bcsin A得： b3 3 3b4 3,..........................9 2 2 2 3 由余弦定理得：a2 b2 c2 2bccosA48924 33 21,a  21 2 .............................................................................12 周长为：34 3 21.......................................................13 16.解析： （1）将列联表补充如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 ..............................................................................2 （2）零假设为H ：该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联..................3 0 根据列联表中的数据，经计算得： 100(40202020)2 25 2   2.7783.841,..............................8 60404060 9 根据小概率值0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立， 0 因此可以认为H 成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联. 0 .......................................................................9 1 （3）由题意得：X ~B(3, ) 3 所以，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 4 2 1 27 9 9 27 ......................................................12 1 X的期望为E(X)np3 1.............................................15 3 数学答案 第4 页 共7页17.解析： （1） 证明：设AB ABF ，连接CF. 1 1 因为四边形AAB B为菱形，所以AB ⊥AB，.................................2 1 1 1 1 又因为△ABC 为正三角形，F为AB 的中点，所以CF⊥AB ，..................4 1 1 1 又CF ABF ，所以AB ⊥平面ABC ......................................5 1 1 1 （2） 设O,G分别为AC，AB的中点，则OG∥BC，BO⊥AC. 1 由（1）得：AB ⊥平面ABC ，所以AB ⊥BC，...............................6 1 1 1 又AC⊥BC，AB AC  A，所以BC⊥平面ABC ，...........................7 1 1 所以BC⊥BO，又BO⊥AC，BCAC C，所以BO⊥平面ABC..............8 1 1 1 所以OG,OC,OB 两两垂直，以O为原点，OG,OC,OB 的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空 1 1 间直角坐标系，如图. 则A(0,2,0),C(0,2,0),B (0,0,2 3),B(4,2,0)， 1 由BB CC (4,2,2 3)，得C (4,0,2 3)， 1 1 1 所以E(2,1, 3)，.........................................................10 则AB (0,2,2 3),B E (2,1, 3)， 1 1  uAB 2y2 3z0 设平面AB E 的法向量为u(x,y,z)，则有 1 ，取u( 3, 3,1)， 1  uB E 2x y 3z 1 ........................................................................13 而平面ABC的法向量为v(0,0,1)，设平面AB E 与平面ABC的夹角为， 1 uv 1 7 则cos   ， u v 3311 7 7 所以平面AB E 与平面ABC的夹角的余弦值为 ...........................15 1 7 数学答案 第5 页 共7页18.解析： 1  1 （1）由题意得：a 3a 1a  3a  ,即b 3b ，..............3 n1 n n1 2  n 2 n1 n 1 3 又有b 1  0，.................................................4 1 2 2   3  b 是首项为 ，公比为3的等比数列....................................5 n 2 3 3n 1 3n 1 （2）b  3n1  a  a  ，.................................7 n 2 2 n 2 n 2   1313n  3n13 n 3n12n3 S   n    .........................10 n 2 13  4 2 4 1 2 （3）  ，因为当n1时，3n 13n 3n1 23n1，....................14 a 3n 1 n 1 2 2 1     ，.............................................15 a 3n 1 23n1 3n1 n 1 1 1 3 1  3 T     1  ...................................17 n 30 3 3n1 2 3n  2 19.解析：  （1）根据定积分的计算： cosxdxF()F(0)，其中F(x)sinxc（c为常数） 0 ..............................................................................2  所以 cosxdxF()F(0)(sinc)(sin0c)sin，.......................4 0  下证：sin(0 )： 2  设 f(x)sinxx，则 f'(x)cosx10，所以 f(x)在(0, )上单调递减， 2 所以 f(x) f(0)0，所以sinx x............................................6 （2）定积分的形式： 21 S  dx；...............................................................7 1 x  n  i  i 面积和的极限形式：S  lim  f1  （右端点） n i1  n n  n  i1 i （或S  lim  f1  （左端点），两个极限写一个即可）...............8 n i1  n  n 1 设g  x lnxc,则g' x   x 由题中所给公式 数学答案 第6 页 共7页 21 dx  g  2  g  1  ln2......................................................10 1 x  i1 i      （3）由定义将 1,2 分为100个等长的小区间  1 ,1  i 1,2,3100 ............11  100 100 ①若用每个小区间的右端点的函数值近似代替小矩形的长，则每个小矩形面积为：  i  1 1 1 1 f1     .  100 100 i 100 100i 1 100 100  i  1 1 1 1  f1     .  100 100 101 102 200 i 1     由于 f x  在 1,2 递减且越来越慢，所以每个小区间的右端点的函数值小于该区间的平均函 x 数值， 所以  100 f  1 i   1   21 dx ln2.............................................14  100 100 1 x i ②若用每个小区间的左端点的函数值近似代替小矩形的长，则每个小矩形面积为：  i1 1 1 1 1 f1     .  100 100 i1 100 99i 1 100 100  i1 1 1 1 1  f1     .  100 100 100 101 199 i 1     同理，由于 f x  在 1,2 递减且越来越慢，所以每个小区间的左端点的函数值大于该区间的 x 平均函数值，  100 f  1 i1    1   21 dx ln2.  100 100 1 x i 1 1 1 1 1 1 综上：   ln2   ..........................17 101 102 200 100 101 199 数学答案 第7 页 共7页