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滨城高中联盟 2024-2025 学年度上学期高三期中 I 考试
数学试卷
命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域化简集合 ，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意， ，而 ，
所以 .
故选：C
2. “ ”是“函数 在 上单调递减的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当 时， ，
由 ，则 ， 单调递减成立，即充分性成立；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，函数 在 上单调递减，
推不出 成立，如 ，故必要性不成立；
综上，“ ”是“函数 在 上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
3. 在 中，点 在边 上， ，记 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量加法的三角形法则得 ，根据 可得到 与 的关系.
【详解】由题意得，点 为线段 上靠近点 的三等分点，如图所示：
.
故选：B.
4. 函数 的值域为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解.
【详解】依题意， ，当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 .
故选：B
5. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】函数 ，令 ，即 ，解得 或 ，
所以 的定义域为 ，
又 在定义域上单调递增， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的单调递增区间为 .
故选：C
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出 、 ，再由两角差
的余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，
，解得 ，
所以 .
故选：A
7. 设 是定义域为 上的偶函数，且在 单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性可知 ，再根据对数函数单调性可得 ，结合函
数 的奇偶性和单调性即可得出结论.
【详解】由指数函数 为单调递增函数可知 ，所以 ，
又 是定义域为 上的偶函数，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由对数函数 可知， ，所以 ，
即 .
故选：B
8. 已知向量 ， ，函数 .若对于任意的 ，且
，均有 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，则f′(x)>0在 上恒成立，不妨设 ，则原不
等式可转化为 ，构造函数 ，再利用导数研究函数的性质即可
求得实数 的取值范围
【详解】因为 ， ，
所以 ，
则 ，
当 时 ， ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 等价于 ，
即 ，
令 ， ，
所以可知 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上为减函数，所以 ，
的
所以 ，所以实数 取值范围为 .
故选：D
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列式子的运算结果为 的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判
断C.
【详解】对于A： ，故A正确；
对于B： ，
所以 ，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D： ，故D错误.
故选：ABC
10. 已知向量 ， ，则（ ）
A. B. 与向量 共线的单位向量是
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学科网（北京）股份有限公司C. D. 向量 在向量 上的投影向量是
【答案】CD
【解析】
【分析】求出 的坐标，利用坐标法求模，即可判断A；与向量 共线的单位向量为 ，即可判断
B；求出 即可判断C；根据向量 在向量 上的投影向量是 判断D.
【详解】因为 ， ，
所以 ，则 ，故A错误；
又 ，则与向量 共线的单位向量为 ，
即 或 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 ，故D正确.
故选：CD
11. 已知函数 ，且对 ，都有 ，把 图
象上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再把所得函数的图象向右平移 个单位，得到函数
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学科网（北京）股份有限公司的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 在 上有1个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导函数由 可得 关于直线 对称，从而求得 ，即可得
到 ，从而判断A；再根据三角函数的变换规则求出 解析式，最后根据余弦函数的性质一一判断
即可.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，
， 关于直线 对称，
， ，
又 当 时， ，所以 ，故A正确；
对于B： 把 图象上所有的点，纵坐标不变，
横坐标变为原来的 得到 ，
再把 的图象向右平移 个单位得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
当 时， ，
∴ 关于点 对称，满足 ，故B正确；
对于C：∵ ，为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：当 时， ，则 在 上只有一个零点，故D正确.
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分
12. 已知向量 ， ，若 ，则实数 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
13. 已知函数 ，若 ， ，且 ，则 最小值是
______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，再求出 的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出
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学科网（北京）股份有限公司最小值.
【详解】函数 定义域为R， ，
因此函数 是R上的奇函数，且在R上单调递增，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 最小值是 .
故答案为：
14. 已知函数 ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 化 简 可 得 ， 构 造
，通过导数研究其单调性即可得其最值.
【详解】
，
由题可得 ，故 ，
令 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
由 ，则 ，
则当 时， ，
当 时， ，
即 在 上单调递减，
在 上单调递增，
故 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将原函数变形后，构造 ，
利用导数研究其单调性，难点在于复合函数的求导计算.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知 .
（1）求 的值；
（2）若 ， 是方程 的两个根，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；
（2）利用韦达定理得到 ，从而得到 ，再由同角三角函数的基
本关系求出 ，即可得解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ；
【小问2详解】
因为 ， 是方程 的两个根，所以 ，
∴ ，
又 ，∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 在 时取得极大值1.
（1）求曲线， 在点 处的切线方程；
（2）求过点 与曲线 相切的直线方程.
【答案】（1） ；
.
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求 ，再根据导数的几何意义求切线方程.
（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解 ，进而可得结果.
【小问1详解】
函数 ，求导得 ，
依题意， ，解得 ，即 ， ，
在
由 ，得 或 ，由 ，得 ，则 处取得极大值1，
即 符合题意，于是 ，即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
由（1）得： ， ，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
由切线过点 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，解得 或 ，
所以切线方程为 或 ，即 或 .
17. 已知函数 为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到 ，求出参数 的值，再检验即可；
（2）首先求出 在 上的值域 ，再利用换元法求出 在 上的值域 ，依题意
，即可得到不等式组，解答即可.
【小问1详解】
由题意可得，函数的定义域为R，因为 是奇函数，所以 ，可得 ，
经检验，对于 ， 成立，所以 ．
【小问2详解】
由（1）可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， ， ，
， ，
所以当 时 的值域 ，
又 ， ，
设 ， ，则 ，
当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ，
即 在 上的值域 ，
又对任意 的，总存在 ，使得 成立，
即 ，所以 ，解得 ，即实数m的取值范围是 ．
18. 已知函数 ，
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求a的最小值；
（3）如果存在实数m、n，其中 ，使得 ，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）极小值为 ，无极大值
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；
（2）依题意可得 在 上恒成立，显然 ，参变分离可得 ，设 ，
，利用导数得到 ，即可求出参数 的取值范围，即可得解；
（3）方法1：依题意可得函数 在 、(0,+∞)上为增函数，则 ， ，从
而得到 ，则 ，令 ， ，
利用导数说明函数的单调性，即可求出 的取值范围；方法2：依题意可得 ， ，
令 ，可得 ， ，令 ，利用导数说明函数的
单调性，即可求出 的范围，从而得解.
【小问1详解】
∵ 定义域为(0,+∞)， ，
∴当 时，f′(x)<0；当 时，f′(x)>0；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的极小值为 ，无极大值．
【小问2详解】
依题可知， ， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ， ， ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
【小问3详解】
方法1：由已知 ，则函数 在 、(0,+∞)上为增函数，
若存在实数m、n，其中 ，使得 ，则 ， ，
由 可得 ，则 ，
故 ，
令 ， ， ，可得 .
当 时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，
当 时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，
故， ，
又因为 ， ，且 ，所以 ，
因此， 的取值范围是 ．
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学科网（北京）股份有限公司方法2：由已知 ，则函数 在 、(0,+∞)上为增函数，
若存在实数m、n，其中 ，使得 ，则 ， ，
令 ，则 ，可得 ，
由 可得 ，
令 ，其中 ，令 可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，当 时， ，
此时函数 单调递增，故当 时， ，
又因为 ， ，且 ，所以 ，
因此 的取值范围是 ．
π
19. 已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|≤ ) 的图象如图所示.
2
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）求函数 ，在 上的最大值和最小值.
（3）若函数 在 内恰有 个零点，求实数 、 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）最大值为 ，最小值为
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求出 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先利用三角恒等变换公式化简ℎ(x)的解析式，根据 的取值范围，求出 的范围，再由正弦
函数的性质计算可得；
（3）首先得到 ，令g(x)=0，可得 ，令 ，
得 ，则方程必有两个不同的实数根 、 ，且 、 异号，再对 、 分类讨论，结合正
弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由图象可得 ，最小正周期 ，
又 ，则 ，由 ，
所以 ，
所以 ， ，又 ，则易求得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ．
【小问2详解】
由题意得
，
因为 ，所以 ，
从而可知 ，即 ，
因此 ，
所以当 ，即 时ℎ(x)取得最大值 ，
当 ，即 时ℎ(x)取得最小值 ，
故ℎ(x)在 上的最大值为 ，最小值为 ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为
，令g(x)=0，
可得 ，令 ，得 ，
易知 ，方程必有两个不同的实数根 、 ，由 ，则 、 异号，
①当 且 或者 且 时，
则方程 和 在区间 均有偶数个根，不合题意，舍去；
②当 且 时，则方程 和 在区间 均有偶数个根，不合题意，舍
去；
③当 ， 时，当 时， 只有一根， 有两根，
所以关于 的方程 在 上有三个根，
由于 ，则方程 在 上有 个根，
由于方程 在区间 上有两个根，
方程 在区间 上有一个根，因此，不合题意，舍去；
④当 ， 时，当 时， 只有一根， 有两根，
所以关于 的方程 在 上有三个根，
由于 ，则方程 在 上有 个根，
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学科网（北京）股份有限公司由于方程 在区间 上只有一个根，方程 在区间 上两个根，此
时，满足题意；
因此， ， ，得 ，
综上， ， ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是推导出 、 异号且 ，再对 、 分类讨论.
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学科网（北京）股份有限公司
