(282)--第五章-大数定律与统计初步答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第五章 大数定律与统计初步
巩固练习
1.【答案】
1
9
【解析】 P

X 3

(
D
3
X
) 2 9
2
2
1
9

 
 
     .
2.【答案】
1
2
【解析】 P

X  E X  2


D
2
X
2

2
4

1
2
.
3.【答案】 9 8
【解析】记“第i箱的重量”为随机变量 X
i
， i  1 , 2 , , n ，则 E X
i
 5 0 ， D X
i
 2 5 .
由中心极限定理可知：
n
i
1
X
i
近似服从 N ( 5 0 n , 2 5 n ) .
由题可知：
P




P

0
n
i


.9
X
1
n
i
1
5 0
7 7
 5 0 0 0
i
X  5 0 n
i
5 n
0 0  5 0 n
5 n
    2




5

0 0 0
5
1 

0
5
n
0
0
0
n

n

1 0 n 
所以，
1 0 0 0 
n
1 0 n
 2 .
令 n t，则10t2 2t10000，即5t2 t5000，
解得： t 
 1  1
1

0
1 0 0 0 0
 9 . 9 ，
所以 n  9 8 .0 1 ，故最多装98箱.
4.【答案】（1）PX kCk 0.2k0.8100k，k 0,1, ,100；（2）0.927
100【解析】（1） X 服从概率为0.2的二项分布，则 P  X  k   C k1
0 0
0 .2 k 0 .8 1 0 0  k ，
k 0,1, ,100.
（2）EX 20， D X  1 6 ，根据棣莫弗-拉普拉斯定理（中心极限定理）可知： X 近似
服从 N ( 2 0 , 1 6 ) .所以，
 X 20 
P14 X 30 P1.5 2.5
 4 
(2.5)(1.5)
(2.5)1(1.5)
0.994(10.933)
0.927.
5.【答案】略
【解析】因为 X
1
, X
2
, , X
n
独立同分布，
所以， X 21 , X 22 , , X 2n 独立同分布，且 E X 2n 、 D X 2n 均存在，
所以，根据中心极限定理可知，
n
i
1
X 2i 近似服从正态分布，
1 n
故Z  X2 也近似服从正态分布.
n n i
i1
又因为 E Z
n
 E X 2  a
2
DX2 EX4 (EX2)2 a a2
，DZ    4 2 ，
n n n n
所以 Z
n
近似服从 N

a
2
,
a
4

n
a 22 
.
6.【答案】B
【解析】由题意， X
1
, X
2
独立，则 ( X
1
, X
2
) N ( 0 , 0 ; 2 , 2 ; 0 )   ，
所以(X X ,X X )服从正态分布，且X X 和X X 均服从N(0,22),
1 2 1 2 1 2 1 2
又因为
C o
C
D
v (
o
(
X
v
X
1
( X
)
1
1
X
, X
D
, X
2
)
1
( X
1
2
C
)
o
X
v
2
(
)
X
2
2
, X
1
2
)
0
C
,
o v ( X
1
, X
2
) C o v ( X
2
, X
2
)
 






  
 
所以(X X ,X  X ) N(0,0;22,22;0)，故
1 2 1 2X
1
 X
2
与X X 相互独立且同服从
1 2
N ( 0 , 2 2 )  ，
同理，X X 和X  X 也相互独立且均服从
3 4 3 4
N ( 0 , 2 2 )  ．故
(X X )2 (X X )2
Y  1 2 3 4
(X  X )2 (X  X )2
1 2 3 4
(X X )2 (X X )2
1 2  3 4 2
 

22 22

 ~ F(2,2)
(X  X )2 (X  X )2
1 2  3 4 2
 

22 22

答案应选（B）.
7.【答案】B
2 2
【解析】因为EX2  DX (EX)2  0 ，
n n
E S 2 D X 2    ，所以
E T
k
n
k
E X 2
1
k
E S 2
n
k n
2 1
k
2
2
k
2

        ，
故 E T
k
2
k
2 2     ，即 k  2 ．选择（B）．
8.【答案】D
【解析】由题意，可得
( n 1 )
2
S 2X
~ 2 ( n 1 ) 


 ，
( n 1 )
2
S 2Y
~ 2 ( n 1 ) 


 且它们相互独立，所
以
 n1 
DT  D 2 (S2 S2)
  2 X Y  
 n1  n1 
4

D

S2

D

S2

  2 X   2 Y 
4[2(n1)2(n1)]4(n1)4.
9.【答案】A
2 2
X nX (n1)S2 nX (n1)S2
【解析】由 ~ N(0,1)，得 ~2(1)， ~2(n1)且 与
 2 2 2 2
n相互独立，于是
( n
n
1 )
2
X
S
2
2
2
1
( n 1 )
n X
S 2
2
~ F ( 1 , n 1 )




  ，应选(A).
10.【答案】 F ( m  1 , n  1 )
【解析】由题意可得，
( m 1
2
) S 21
~ 2 ( m 1 ) 


 ，
( n 1 )
2
S 22
~ 2 ( n 1 ) 


 ，且相互独立，则
( m
( n
1 )
2
1 )
2
S
S
21
22
(
(
m
n
1 )
1 )
S
S
2122
~ F ( m 1 , n 1 )






   .
11.【答案】 t ( n  1 )
【解析】由题意可得， X ~ N 0 ,
n
2    X nX
，  ~ N(0,1).
 
n
(n1)S2 nX
又 ~2(n1)，且 与
2 
( n 1 )
2
S 2


相互独立，则
( n 1 )
2
n
S
X
2
( n 1 )
n
S
X
~ t ( n 1 )




  .
12.【答案】 ( n 1 ) 2  
【解析】因为 X
1
, X
2
, , X
n
独立同分布，所以有E(XT)E(X T) E(X T)，故
1 2 nE ( X T1 ) 





1
n
1
n
E
E
E
(
(
n
n
 E
E

( X


( X
 ( X
X 
1
T )
X  (
1 ) E
1 ) E
T1
1

n
(
(
)

X
E

X
X
 E ( X
2
X 
2
 
2
n
n 
 X

i 1
1
1 ) 
n  1
2 S )
2 ) E ( S )
T ) 
 X )
n
X 
n T

( X 
i
n
 ( X
i 1
( n
T
X
i
1


)

)
E

2

X
( X
2 )
2 .
n

T ) 
    
13.【答案】
【解析】由 X
1
, X
2
, S 21 , S 22 相互独立，可知 a , b 与 X
1
, X
2
相互独立，且 a  b  1 ，
E ( X
1
) , E ( X
2
) ,     则 E ( U )  E ( a ) E ( b )  E ( a b ) E ( 1 ) .          
14.【答案】 t ( n  1 )
【解析】因为 X
n 1
~ N ( , 2 ) 

， X ~ N ,
n
2 

 
，且它们相互独立，所以
 n1 
X X ~ N 0, 2 ，
 
n1  n 
X X X X n
n1  n1 ~ N(0,1)，
n1  n1

n
(n1)S2
~2(n1).
2
又 X
n  1
 X
(n1)S2
与 相互独立，所以由
2
t 分布的定义，有
X
(
n
n
1
1 )
2
X
S 2
n
( n
n
1
1 )
n
n
1
X
n 1
S
X
~ t ( n 1 )











 .综合测试
1.【答案】
8
9
【解析】根据切比雪夫不等式： P

X E ( X )

D ( X
2
)


   ，则
P

X E ( X )

1
D ( X
2
)


   
于是 P ( 2  X  2 0 )  P

X  1 1  9

 1 
9
9 2

8
9
.
2.【答案】A
【解析】满足独立同分布中心极限定理的条件是X2,X2, ,X2, 相互独立同分布，且期
1 2 n
望和方差均存在. 由题设，X ,X , ,X , 相互独立，因此，
1 2 n
X 21 , X 22 , , X 2n , 也相互独
立，但选项（B）（C）中随机变量的期望和方差不存在，选项（D）中随机变量之间分布
参数不同，故分布不同，因此，选项（B），（C），（D）都不正确，故答案选（A）.
3.【答案】
8 0
3
2 5
；
3
【解析】依题设，随机变量 X
1
, X
2
, , X
4 0
相互独立同分布，且概率密度为
f ( x ) 
 2
0
x
,
, 0
其

他
x 
,
1 ,
 1 2
于是EX   xf(x)dx   2x2dx  ，
k  0 3
E ( X 2k )  
 
 
x 2 f ( x ) d x  
1
0
2 x 3 d x 
1
2
2
1 2 1
DX  
 
 (k 1,2, ,40)，则随机变量序列满足独立同分布中心极限定理的
k 2 3 18
2 80
Y 40 Y 
3 3
条件，因此有  近似服从
1 2
40 5
18 3
N ( 0 , 1 ) ，故
8 0
3
 
2 5
， .
3
4.【答案】B
【解析】由题设知，X ,X , ,X 适用中心极限定理的条件，所以，当n充分大时，随
1 2 n
机变量Y 近似服从正态分布，其参数分别为
n1 n 1 1 1 n 1 1 4
EY  EX  n 2，DY  DX  n  ，
n n i n 1 n n2 i n2 1 n
i1 i1
2 4
故答案选（B）.
5.【答案】C
【解析】由于 X
i
~ U [ 1 , 4 ] ，故 E ( X
i
) 
5
2
， D ( X
i
) 
3
4
( i  1 , 2 , ...) . 由中心极限定理知，
ln i m

P
 n
i
1
X
n
i


n
3
2

5
2
 t

  ( t )
即 ln i m

P

2
n
i
1
X
i
n
 5 n
 3 t

  ( t ) ，令 3 t  x ，则 t 
x
3
，从而
 n 
2X 5n
  i    x 
limP i1  x  .
n  n   3
 
6.【答案】B
【解析】因为 E X  E X  0 ， D X 
D X
n

1
n
， E ( S 2 )  D X  1 ，
1
所以E(X2) DX (EX)2  ，
n
且 E ( Y 2 )  E [ ( X  S ) 2 ]  E ( X 2 )  2 E ( X S )  E ( S 2 )  1 
1
n
 2 E ( X S ) ，
又因 X 与S2 相互独立，从而 X 与S 相互独立，故 E ( X S )  E X E S  0 ，
因此 E ( Y 2 )  1 
1
n
，故答案选（B）.
7.【答案】D
1 n  2  X 1 n1
【解析】X  X ~ N0, ， n ~ N(0,1)，S2  (X X )2 ，
n n i1 i  n  / n n1 n2 i1 i n1( n 2 )
2
S 2n
1 ~ 2 ( n 2 )


   ，且 X
n  1
与 S 2n
 1
n1 1
相互独立，X  X  X ，故
n n n1 n n
S 2n
 1
与
X
n
相互独立，则
( n
2
X
/
(
n
2
n
n
) S 2n2
1)
~ t ( n 2 )





 ，即 Y 
X
S
n
n
 1
n ~ t ( n  2 ) ，故 a  n , b  n  2 ，
答案选（D）.
8.【答案】（1）略；（2） 2
【解析】（1）因为 X ~ N ( 0 , 2 )  ， X
1
, X
2
, X
3
, X
4
, X
5
为来自总体 X 的简单随机样本，
X 
1
3
3
i
1
X
i
，所以
3
X ~ N ( 0 , 1 ) ，

1
2
( X
4
X
5
) ~ N ( 0 , 1 )

 ，且 X 与 X
4
 X
5
相互
独立，从而
3
X
2
~ 2 ( 1 )

 
 ，
1
2
( X
4
X
5
)
2
~ 2 ( 1 )




 . 于是
3
X
6X 
Z   ~t(1)
X X 2
4 5  1 
(X X )
 4 5 
 2 
Z 2
X
4
6 X
X
5
2
1
2
(
3
X
X
4
2
X
5
)
2
~ F (1 , 1 )












.
（2）因为 S 2 
1
2
3
i
1
( X
i
 X ) 2 ，
( n 1 )
2
S 2 2 S 2
2
~ 2 ( 2 )
 

  ，若满足S2 ~2(2)，则
2   .
9.【答案】0.4902
1
【解析】设F ~ F(m,n)，则 ~ F(n,m)，于是
F
P  F ( m , n ) F
a
( m , n )  P
F (
1
m , n ) F
a
(
1
m , n )
P F ( n , m )
F
a
(
1
m , n )
  







从而有 P F ( n , m )
F
a
(
1
m , n )
1 



  . 于是，对于题中
P  F ( 2 0 , 3 0 )  F
0 .9 5
( 2 0 , 3 0 )   0 .9 5 ，可利用转换公式化为
P

F ( 3 0 , 2 0 ) 
F
0 .9 5
(
1
2 0 , 3 0 )

 0 . 0 5
1
由F (30,20) 2.04，
0.05 F (20,30)
0.95
即有 F
0 .9 5
( 2 0 , 3 0 ) 
F
0 .0 5
(
1
3 0 , 2 0 )

2
1
. 0 4
 0 . 4 9 0 2 .
10.【答案】略
【解析】 Y
1
~ N ,
6
2 

 
， Y
2
~ N ,
3
2 

 
，
2 S 2
2
~ 2 ( 2 )
 2 
 ，则Y Y ~ N0, ，
 1 2  2 
Y
1
2
Y
2 ~ N ( 0 , 1 )


，且
Y
1
2
Y
2

 2S2
与 相互独立，由t分布的定义得
2
Y
1
2
Y
2
2 S 2
2
2 ~ t ( 2 )
 

，即 Z 
2 ( Y
1
S
 Y
2
)
~ t ( 2 ) .
11.【答案】 E ( U ) 2 ( n 1 ) 2   
【解析】令Y  X X (i1,2, ,n)，则
i i ni
Y
1
, Y
2
, , Y
n
为正态总体 N ( 2 , 2 2 )   的简单
随机样本， Y 
1
n
n
i
1
Y
i
 2 X ，
U 
n
i
1
( Y
i
 Y ) 2  ( n  1 ) 
n
1
 1
n
i
1
( Y
i
 Y ) 2  ( n  1 ) S 2 ，
其中 S 2 为Y,Y , ,Y 的样本方差，而E(S2)22，所以统计量
1 2 n
U 
n
i
1
( X
i
 X
n  i
 2 X ) 2 的数学期望为 E ( U ) E [ ( n 1 ) S 2 ] 2 ( n 1 ) 2      .拓展提升
1.【答案】
2
5
【解析】 E ( X )  0 ， D ( X )  3 ， E ( Y )  
 
 
y f
Y
( y ) d y  
2
 2
y 
3
1
y
6
2
d y  0 ，
E ( Y 2 )  
 
 
y 2 f
Y
( y ) d y  
2
 2
y 2 
3
1
y
6
2
d y 
1 2
5
，故 D ( Y )  E ( Y 2 )  ( E Y ) 2 
1 2
5
，则
E ( X  Y )  0 ， D ( X  Y )  D ( X )  D ( Y )  2 C o v ( X , Y ) 
2 7
5
，所以
P

X  Y  3

 P

( X  Y )  E ( X  Y )  3

 1 
D ( X
9
 Y )

2
5
.
2.【答案】
1
7
0 0
【解析】令 U  X  Y ，则 E ( U )  E ( X )  E ( Y )  3 ，
D ( U )  D ( X  Y )  D ( X )  D ( Y )  2 C o v ( X , Y )  4  9  2 


1
2

 2  3  7 ，
于是 P

X  Y  3  1 0

 P

U  E ( U )  1 0


1
7
0 0
.
3.【答案】 2
【解析】由题意，记 Y
i
 X
2 i
 X
2 i 1
， i  1 , 2 , , n ，显然 Y
i
独立同分布.
1
又EX  ，
i 2
D X
i
 1 
1
2


1 
1
2


1
4
，故
E Y
i
 E ( X
2 i
 X
2 i 1
)  E X
2 i
 E X
2 i 1
 0 ，
D Y
i
 D ( X
2 i
 X
2 i 1
)  D X
2 i
 D X
2 i 1

1
2
，
 n  n  n  n n
E  Y  EY 0，D  Y  DY  ，
 i  i  i  i 2
i1 i1 i1 i1
 
n  n   n 


Y
i
E
 
Y
i   

 
Y
i  
由中心极限定理知：limP i1 i1  xlimP i1  x(x)，
n   n   n  n 
D Y
  i    2 
  i1  于是 a  2 .
4.【答案】C
【解析】因为 ~ ( 0 , 2 )  X N ，所以 X
i
~ N ( 0 , 2 ) ( i 1 , 2 , , n )   ， X ~ N 0 ,
n
2   
.
（A）不正确，因为
X
i ~ N ( 0 , 1 ) ，所以

n
i 1
X
i
2
~ 2 ( n ) 



 
；
（B）不正确，因为 X ~ N 0 ,
n
2   
，
( n 1 )
2
S 2
~ 2 ( n 1 ) 


 ，且X 与S2 相互独立，所以
( n
n
n
X
1 )
2
1
S 2
n
S
X
n
i 1
n
X
S
i
~ t ( n 1 )




 

  ；
（C）正确，因为
n
i 1
X
i ~ N ( 0 , n )



，所以
1
n
n
i 1
X
i
n X
~ N ( 0 , 1 )
 


 ，可得
1
n
n
i 1
X
i
2
n
X
2
~ 2 (1 ) 
 





 
又X 与S2 相互独立，则由2分布的可加性知
1
n
n
i 1
X
i
2 ( n 1 )
2
S 2
~ 2 ( n ) 
 






；
（D）不正确，因为
X
n ~ N ( 0 , 1 ) ，可知

X
n
2
~ 2 (1 ) 

  n1 X  2
，   i  ~2(n1)，所以
  
i1
2
 X 
n 1
 
   (n1)X2
 n ~ F(1,n1).
 n1 X i  2 (n1)  n1 X2
  i
i1    i1
5.【答案】D
【解析】已知 X
1
, X
2
, , X
n
是来自总体 ( , 2 )  X  N μ 的简单随机样本，则
nS2 1 n nS2  2
0  (X )2 ~ χ2(n) D 0 2n D(S2) 4，
2 2 i1 i  2  0 nn S 212
D
n
1
S
2
212
n
i 1
( X
n
i
2 D
X
( S
4
)
21
2
)
~ χ
2
2
(
(
n
n
1
1
)
)
D ( S 21 )
2 ( n
n 2
1 )
4 ,
 

 








 

 

( n
D
1 )
2
S
(
2
n 1 )
2
1
S
2
2
n
i 1
( X
( n
i
1
X
)
2 )
2 D
4
~
( S
χ
2
2
)
( n
2
1
( n
)
1 ) D ( S 2 )
n
2
1
4 ,
 

 













  

当样本量 n  2
2 2 2n1
时，因为    ，所以
n1 n n n 
D ( S 2 )  D ( S 20 )  D ( S 21 ) . 故答案选
（D）.
6.【答案】B
【解析】对 k  1 , 2 , , n  1 ，有
(



k
(
(
(

k
k

1


X
) V
1
1
1

k
) ( X
) X
 X
V
k 

k

k

2
1
X

X
k
) 
 1



(
X
V
X
k
n  1

k  1
 X
) 
 1
n
k
X
 1
X
)

k

n

X
X

n
( X
n  1
 X )
于是 Z
k
是独立正态分布随机变量 X
1
, X
2
, , X
k
, X
n
的线性组合，所以Z 服从正态分布.
k
E ( Z
k
)
E [ ( k 1 ) V
k
k
V
(
k
k
1
1 )
V
n 1
] E [ ( X
1
X
2
k ( k
X
k
1
1
)
) k X
k
X
n
]
0
 

 


 
 
   


 

D  ( k 1 ) V
k
V
k 1
V 
n 1
D  (
D (
[ ( k
X
X
1
)
1
1 )
X
k
2
2
D
1 ]
( X
2
X
k
k
)
1
(
1
k
)
2
k 2
k
D
k
X
(
)
k
X
k
2
X
)
n

D ( X
n
)
 
 

 





















由此 ( k 1 ) V
k
V
k 1
V
n 1
~ N ( 0 , ( k 2 k ) 2 )   

 

 ，标准化后即得 Z
k
~ N ( 0 , 1 ) . 故答案
选（B）.
7.【答案】C
1  x 1 2x 2 2
【解析】对于①，易知 f(x ,x ) e 2 ， x ,x ，所以
1 2 2 1 2
F(y) PY  y     2 1  e  x 1 2 2 x 2 2 dx 1 dx 2 , y0     1e  2 y , y0,
x2x2y
 1 2  0, y0,
0, y0故 f ( y ) 
 1
2
0 ,
e
 y2
, y
y


0
0
,
,
即 Y ~ E
 1
2

，正确；
对于②，由于 X
1
~ N ( 0 , 1 ) ， X
2
~ N ( 0 , 1 ) ， X
1
, X
2
相互独立，
故 Y X 21 X 22 ~ 2 ( 2 )    ，正确；
对于③，因为 F ( y ) 是 Y 的分布函数，所以 F ( Y ) ~ U ( 0 , 1 ) ，故 E [ F ( Y ) ] 
1
2
，正确；
对于④，由于 Y  X 21  X 22 ，与 X 21 不独立，于是④错误.
8.【答案】（1） E Y  1 6 ， D Y  1 9 2
X X
；（2）Z  4 5 ~t(2)；
3
(X X)2
i
i1
（3） P U
1
c 2
1 2 



 
【解析】（1）已知 X
1
, X
2
, , X
5
是来自总体 X N ( 0 , 2 2 ) 的简单随机样本，由
1
2 2
3
i 1
( X
i
X ) 2 ~ 2 ( 2 )  

 ，
 1 3   3 
得E
 22
(X
i
X)2


2E


(X
i
X)2


8，
i1 i1
D
 1
2 2
3
i
1
( X
i
 X ) 2

 4  D
 3
i
1
( X
i
 X ) 2

 6 4 .
又 X
4
X
5
~ N ( 0 , 8 )
X
4
8
X
5 ~ N ( 0 , 1 )
( X
4
8
X
5
) 2
~ 2 ( 1 )   



，得
E
 ( X
4

8
X
5
) 2 
 1  E  ( X
4
 X
5
) 2   8
(X X )2
D
 
4
8
5
 
2 D

(X
4
X
5
)2

128
 3 
所以EY E

(X
i
X)2

E

(X
4
X
5
)2

8816.
 
i1
3
又 (X X)2 与(X X )2 独立，所以
i 4 5
i1D Y 

D
D


3
i
1
3
i
1
(
(
X
X
i
i


X
X
2 )
2 )



( X
D
4
[ (

X
X
4
5

) 2
X

5
) 2 ]  6 4  1 2 8  1 9 2 .
X X 1 3
（2）由于 4 5 ~ N(0,1)， (X X)2 ~2(2)，且
8 22 i
i1
3
i
1
( X
i
 X ) 2 与 X
4
 X
5
独立，故 Z 
3
i
X
1
(
4
X

i
X

5
X ) 2

1
2 2
X
3
i
4
1

8
( X
2
X
i
5
 X ) 2
~ t ( 2 ) .
（3） Z ~ t ( 2 )  Z 2 ~ F (1 , 2 ) 
Z
1
2
~ F ( 2 , 1 ) ，由题意知c0，又 U ~ F ( 2 , 1 ) ，故
Z
1
2
与 U 同分布，则
P U 1
c 2
P
Z
1
2
1
c 2
P  Z 2 c 2  P  c Z c  1 2                 .