(20)-高数9定积分与反常积分1笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第七章 定积分与反常积分第一节 定积分第二部分 题型分析 题型一、定积分的概念与性质(★★★) 相关知识点 b 一、定积分几何意义  f (x)dx是 x 轴 f (x)及 x = a, x = b之间的曲边梯 a CaI 形面积代数和 ( f B ixd ) X 二、 f (x)在[a,b]上可积的充分条件 (1) 设 f (x)在[a,b]上连续 则 f (x)在[a,b]上可积. (2) 设 f (x)在[a,b]上有界 且只有有限个间断点 则 f (x)在[a,b]上可 积.三、定积分的性质 性质 5 定积分比较定理 b b ( ) 定理 1 如果在[a,b]上, f (x)  g(x)则 f (x)dx   g(x)dx a  b . a a b ( ) 推论 如果在区间[a,b]上， f (x)  0 则 f (x)dx  0 a  b . a d b 定理 2 如果[c,d]  [a,b]，且 f (x)  0，则 f (x)dx   f (x)dx. c ab b ( ) 性质 7 |  f (x)dx |  | f (x) | dx a  b . a a解题思路——这部分主要考察 1.定积分的定义； 2.定积分的几何意义； 3.定积分的性质，尤其是定积分大小的比较； 4.利用积分中值定理去积分号.【例7.1.1】 如图，曲线段的方程为 y = f (x)，函数 f (x)在区间 [ 0 , a ] 上 a 有连续的导数，则定积分 xf (x)dx等于( [ ). 0 (A)曲边梯形 ABOD 的面积 - - (B)梯形 ABOD 的面积 - (C)曲边三角形 ACD 的面积 (D)三角形 ACD 的面积 1 : xfinax X fM "-1fIxdX = . . ↓ fal-10fixdx a =  sin x cos x − 【例7.1.2】 设I =  4 dx,J =  3 dx，则下列正确的是( ). A   x x − 2 4 (A)I  J  0 (B)J  I  0 (C)I  0  J (D)J  0  I Six T - / I"I , i , = = I ] : x & Th - - & loSX SuX [ , ] I # o < , I X X -- " CT [ ] # I , 3 & T 3 I 170 :sin x n+ p 【例7.1.3】 极限lim  dx = O . n→ n x FEY EEGGE ESE (n P) n+ 35- , : , ↓ ↓ ↓ lh Smax Smo Co P = . 5 ShS nu M P- p S-h in = . . 3 nicosin x n+ p 【例7.1.3】 极限lim  dx = O . n→ n x uP 35 ( uP Sm I sixlax In"Tax = = 0 - d I : N M InX In(n P) - Inn In + = = = +P x TERRE Mn In = 0 i = 0 . n =L i N nt - -i116>1题型二：变限积分的概念与求导法则(★★★) fite fitlat 1.定义 I fit at at GYR) DE It XET & : 2.变限积分的连续可导性 ** B 5X - x 如果 f (x)在[a,b]上连续，则(x) =  f (t)dt 在[a,b]上可导，并且 a (x) = f (x). 如果 f (x)在[a,b]存在间断点但可积，则(x)在[a,b]上连续. x 注：①如果 f (x)连续，则(x) =  f (t)dt 为 f (x)的一个原函数. a x ②(x) =  f (t)dt 永远连续 YYLX. a"costdt Sux-smac She = = . /cosxdx Smx c + = FN fNx-TTBSD = Fin & A Frol 2 M En = 0 , , )" fitiat FIx =I fitt F(x =9 * f(x = X So Fix fitt de = 1 G1ldt xcoAf Fix = -X O = , Y So ② At F(x Ide X X 30 = = .3.变限积分的求导法则 设 f (x)连续，则    x   b  (1)  f (t)dt = f (x). (2)  f (t)dt = − f (x).         a x    (x)   b  (3)  f (t)dt = f [(x)](x). (4)  f (t)dt = − f [(x)](x).         a (x)    (x)  (5)  2 f (t)dt = f [ (x)](x) − f [(x)](x).     2 2 1 1  (x) 1 (x) (6)对于 f (x,t)dt ，要先将被积函数中的 a x 分离至积分外再求导. 解题思路——根据变限积分的性质与求导法则求解，属于常规问题.s 【例7.1.4】 设 f (x)为已知连续函数，I = t t f (tx)dx，其中 0 s  0,t  0，则 I 的值( ). (A)依赖于s和t (B)依赖于 s ， t ， x (C)依赖于t 和 x ，不依赖于 s (D)依赖于 s ，不依赖于 t D / fix n= ex +1 1 ax fins Edu + = - 8 du +dX = ext) to fin fini one an = =【例7.1.5】 设 f (x)是奇函数，除 x = 0外处处连续， x = 0是其第一类 x 间断点，则 f (t)dt 是( B ). 0 (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在 x = 0间断的奇函数 (D)在 x = 0间断的偶函数2 x ( ) 【例7.1.6】 设F( x) =  x2 − t f (xt)dt, x  0,求,F(x). 0 ( F(x)u= x + ( X * / flu) Yau = · O I % dt all = * * * * x * - * refusa finian-b I fin % x fini = on an = Fix o * finan x * 3x + fina 2. fix-3xX + · = . x * * " ufiniam + fix Fix fixx- 3x . = 6 fix) + * - 94 fix find =题型三：常规定积分的计算(★★★★) 定积分相关计算方法： 1. 牛顿−−莱布尼茨公式 设 f (x)在[a,b]内连续，F(x)是 f (x)在[a,b]内 b b 的任意一个原函数，则 f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a). a a 1" 1"(seix-1)ax * twixax = = tax - x = - X . 2. 定积分的凑微分法 b b b  f [(x)](x)dx =  f [(x)]d(x) = F[(x)] = F[(b)] − F[(a)]. a a a exeax I ( , e Ex/Yet ax 2 at = . ↓b x=(t)  3. 定积分的换元积分法  f (x)dx  f [(t)](t)dt , 其中() = a, a  (A) 41) E DELETE () = b. X= IiSix E = Sx I ax dt = O · 1+ 1 - th - 1- [2 11 ① A 不变限换元法： = b t=a+b−x a b b  f (x)dx  f (a + b − t)(−dt) =  f (a + b − t)dt =  f (a + b − x)dx. a b a a FIN ② T4.定积分的分部积分法 b b b b b b  uvdx = [uv] −  uvdx或 udv = [uv] −  vdu, a a a a a a 5.利用奇偶性简化计算定积分 a (1) 当 f (x)为奇函数时 f (x)dx = 0； −a a a (2) 当 f (x)为偶函数时 f (x)dx = 2 f (x)dx； −a 0 a a (3) 当 f (x)非奇非偶时， f (x)dx =  [ f (x) + f (− x)]dx. −a 06. 华莱士公式  n − 1 n − 3 4 2    1, 当n为正奇数     n n − 2 5 3 I =  2 sinn xdx =  2 cosn xdx =  . n 0 0 n − 1 n − 3 3 1       ,当n为正偶数   n n − 2 4 2 2  0, n为奇     7.  sinn xdx = 2 2 sinn xdx,  cosn xdx =   . 0 0 0 2 2 cosn xdx,n为偶  0 ↑ X s iX losX - MiT 3 77 8 O   8. xf (sin x)dx =  f (sin x)dx. - 0 2 0 S 1" Epsmxax /o"X * smxdx cosy dX cosxax X . . = - X #x1032xax & X-Sin2XdX  0, n为奇数  2 2 9. I =  sinn xdx =  cosn xdx =   . n 0 0 4 2 sinn xdx,n为偶数  010.设 f (x)为周期为 T 的周期函数，则 T a+nT T  f (x)dx = n f (x)dx = n 2 f (x)dx . T a 0 − 2解题思路：定积分的计算，主要有如下几种思路： 思路 1——牛顿-莱布尼兹公式计算定积分是主要方法. 思路 2——如果被积函数是规则图形，可利用定积分几何意义计算定 积分. 思路 3——如果积分区间是对称的，应优先考虑用对称区间的 3 个定 积分计算公式. 思路 4——如果被积函数含三角函数，应优先考虑用三角函数的定积 分公式计算. 思路 5——如果被积函数无原函数，可考虑用不变限换元法.1 3 【例7.1.7】 计算定积分 dx=________. 1 x 1 + x2 sect tel- # : / X = tmt dX = at , R 5 2 I I I & 73 sect T = · dt = sel d[ x - ↑ tant . It tait eat - . Selt = = cost - I at - seat E Sht -lost T 5 In/(SCt-cott In = = I【例7.1.8】 如图，曲线C 的方程为 y = f (x)，点 (3,2)是它的一个拐点，直线l 与l 分别是曲线 1 2 C 在 点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f (x)具有三阶连续导数，计算定积分 3  (x2 + x) f (x)dx. 0 ↓ ↑ fis fol f(3) fio f (3) #E = 0 , = 2 , = 2 = -2 = 0 , x + Y 2x +102 O ⑦ ⑦ f(x) fix fix f(x) Y = T = ( * + X) · fix-(2x + 1) · fix + 2 fix ? = 20 【例7.1.9】 求积分 x 1 + cos2xdx =_________. 0 12loX-Xax 2) = TB Hosuxdx = Elo/dx = losx ax = Excoxax = ET = x  2 【例7.1.10】 计算 1 + 2x − x2dx.   0  2  73 (5 CHE) 1 - (x-11 ax = tel- , ] : M Sht dx 15- = , = cost at / 75 CH Its SmE 1- costet = · Sut cost ( at = cost Sht) cost at = at + · 3 cosedt 3xEx Ex = = = x  2 【例7.1.10】 计算 1 + 2x − x2dx.   0  2  7 3 /F CHE) (x-11ax ( = 1 - , += X- / _ = ) 35 = = 7 = (H 1 - eat "T Li E + 1 - tdt . = z(1 z/-t t at = - + 1- t at - 3(j1 3x2 = - t at =↑r  2 sin x 【例7.1.11】 计算 3 dx.  x(− 2x) 6 TBEFE [i] TB Sp : , = sm ↳ SiiX t -X I +) ) = - == ax ( dt) - = 7 X(x zX) - dX = - dt 5 (2 t) 2t - 7 t X - = T cost 1 ( 3 los X at = = dX R (F- 2t) t CT-2X) . J Y J . sux cosX x( / ax 21 + :. = dX - -2x) R (7-2X) X j . 2 sin x 【例7.1.11】 计算 3 dx.  x(− 2x) 6 7 x( sux / cosX 3 I I ax dX 21 + :. = dX - - -2x) ↑ (x-2X) 3 (7-2X) . X X . I b a bb = = t a = ( 2x) X * T2X - - = 2 exlax = : 21 ↑ G(n2 : 1 =dx 1 【例7.1.12】 计算定积分 . −1 (1 + ex )(1 + x2 ) Ca fixdx Co[fin fix]ax [Fi) : = + I I : B Co 7dX = +CHeY.C exil Cre + I I SLCTeYGX J ax = CHEY CnXY . I et lit = Jax eYCAXY Cett Y + CX . licx / yax arcmx) ! E = ax = = =100 【例7.1.13】 计算 1 + sin2xdx. 0 I EJT Six : It %? 100x/ : T = Ishix dx = 100 Shixtoix + 25mX - 10X dX 100f OSXdX %" = CamX + = 100 Six +cosX dx !" Ism(x) text cor look ax = Isn't at 1000 Shut at 200 0 = =题型四、分段函数、绝对值函数定积分的计算(★★★) 解题思路——分段函数的定积分，务必要在分段点处拆开再计算. 含 绝对值的定积分要先去掉绝对值再计算.1 + x2, x  0 3 【例7.1.14】 设 f (x) =  ，求 f (x − 2)dx. ex , x  0 1  # f lat =If a : 5 + e = 【例7.1.15】  x cos 2 x − cos 4 xdx=________. 0 EcosX (1-15X) 75 21 ? cosx-cosx dx dx = = = = cosx Shix ax ISX-cosX)dX . ) [smxcox Saxoxax = - L E (tsaix Esrix = - R =