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2025年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分）
1．（4分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于 ．
x
2．（4分）不等式 ＜0的解集为 ．
x−1
2+i
3．（4分）已知复数z= ，其中i为虚数单位，则|z|＝ ．
i
4．（4分）已知→ ，→ ，若→∥→，则x＝ ．
a=(2，1) b=(1，x) a b
π
5．（4分）已知tan ＝1，则cos(α+ )= ．
4
α
a 6
6．（4分）已知(x+ ) 的展开式中常数项是20，则a＝ ．
x
7．（5分）已知{a }是首项为1、公差为1的等差数列，{b }是首项为1、公比为q（q＞0）的等比数列．
n n
若数列{a •b }的前三项和为2，则q＝ ．
n n
8．（5分）关于x的方程|x﹣1|+| ﹣x|＝ ﹣1的解集为 ．
9．（5分）已知P是一个圆锥的π顶点，πPA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的
底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为 ．
10．（5分）已知双曲线x2 y2 （a＞0）的左、右焦点分别为F 、F ．通过F 且倾斜角为π的直
− =1 1 2 2
a2 6−a2 3
线与双曲线交于第一象限的点A，延长AF 至B使得AB＝AF ．若△BF F 的面积为3❑√6，则a的值为
2 1 1 2
．
11．（5分）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余
部分完好，曲线PQ为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM＝DN＝3．工人师傅现要从完好的部分
中截取一块矩形原料BQRR，当其面积有最大值时，AQ的长为 ．12．（5 分）在平面中，→ 和→ 是互相垂直的单位向量，向量→满足 → → ，向量→满足
e e a |a−4e |=2 b
1 2 1
→ → ，则→在→方向上的数量投影的最大值 ．
|b−6e |=1 b a
2
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13．（4分）如图，ABCD﹣A B C D 是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）
1 1 1 1
A．AB和C D B．AA 和CC C．BD 和B D D．A D 和AB
1 1 1 1 1 1 1 1
14．（4分）幂函数 y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，且经过（﹣1，﹣1），则 a的值可能是
（ ）
2 1 1
A．− B．− C． D．3
3 3 3
15．（5分）有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：
如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以 A为起点沿着尚未擦去的边出
发，可以到达C点的概率为（ ）
1 7 1 3
A． B． C． D．
2 16 4 16
π π
16．（5分）已知a R，不等式[tan( x)−a][tan( x)−a−1]＜0在（0，2025）中的整数解有m个．
6 6
∈
关于m的个数，以下不可能的是（ ）
A．0 B．338 C．674 D．1012
三、解答题（本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分）
17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝AC＝CP＝2，AB=BC=❑√2．
（1）若O是棱AC的中点，证明：BO⊥平面PAC，并求三棱锥B﹣OPA的体积；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的大小．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．
a sinB π
（1）若 = ，C= ，求a；
4b sinA 2
（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．
19．（14分）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的
百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．
甲、乙两小组组员身高分布茎叶图
甲队 乙队
15 9
7 7 5 5 4 16 0 3 5 5 6 7 8 8
8 5 4 3 2 2 17 2
3 18
（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组
后，甲、乙两组的平均身高都增大？
x2
20．（18分）在平面直角坐标系中，已知曲线 Γ： + y2=1（y≥0），点P、Q分别为Γ上不同的两点，
4
T（t，0）．
（1）求Γ所在椭圆的离心率；
❑√5
（2）若T（1，0），Q在y轴上，若T到直线PQ的距离为 ，求P的坐标；
5
（3）是否存在t，使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不
存在，请说明理由．21．（18分）已知函数y＝f（x）的定义域是D．对于t D，定义集合S
f（t）
＝{x|f（x）≥f（t）}．
（1）f（x）＝log 2 x，求S f（16） ； ∈
（2）对于集合A，若对任意x A都有﹣x A，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数y＝f
（x）是偶函数”的充要条件是∈“对任意t ∈D，S
f（t）
是对称集”；
（3）若x R，f(x)=ex− 1 mx2．求m的 ∈ 取值范围，使得对于任意t ＜t D，都有S ⊆S ．
2 1 2 f(t 2 ) f(t 1 )
∈ ∈
