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初一第一学期期末试卷
数学
（清华附中初21级）2022.01
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）
1. 下列图形中，不属于立体图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若图形上的所有点都在同一个平面内，则这个图形是平面图形；若图形上的点不都在同一个平面
内，则这个图形是立体图形；根据平面图形与立体图形的含义即可完成．
【详解】A、是圆，是平面图形，故符合题意；B、C、D三个选项中的图形分别是圆锥、长方体、圆柱，
它们都是立体图形，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了立体图形与平面图形 的识别，掌握立体图形与平面图形的含义是关键．
2. 目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双
没有洗过的手，带有各种细菌约 万个，将数据 用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；
当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】 =
故选：B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3. 单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（ ）
A. 3，2 B. -3，2 C. 3，3 D. ﹣3，3
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式的系数是单项式的数字因式，而次数是所有字母指数的和，据此求解即可．
【详解】解：
其系数为 ，次数为 ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查单项式的相关概念，包括单项式的系数及次数，理解单项式的基础知识是解题关键．
4. 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大
小为（ ）
A. 69° B. 111° C. 141° D. 159°
【答案】C
【解析】
【分析】根据方向角，可得∠1，∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：如图，
由题意，得∠1=54°，∠2=15°，
由余角的性质，得 ．
由角的和差，得∠AOB=∠3+∠4+∠2= ．
故选：C．
【点睛】本题考查方向角和角度的计算，熟练掌握方向角的定义是关键．5. 下列各组式子中，是同类项的是（ ）
A. 2a与2b B. ab与﹣3ba C. a2b与2ab2 D. 3a2b与a2bc
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的概念判断即可．
【详解】解：A、2a与2b，所含字母不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
B、2ab与-3ba是同类项，故此选项符合题意；
C、a2b与2ab2，相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D、3a2b与a2bc，所含字母不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类项的概念，掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同
类项是解题的关键．
6. 如果 与 互为相反数，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“互为相反数的两个数的和为0”，可列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意可知， ，
则 ，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，相反数，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的
关键，在解题时还应注意解方程易错点：去分母时保留括号，等式左右每一项都要乘最小公分母，移项要
变号等．
7. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 若2x＝1，则x＝2
.
B 若2（x﹣2）＝5（x+1），则2x﹣4＝5x+5
C. 若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1
D. 若 ，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元一次方程的方法即可依次判断．
【详解】A.若2x＝1，则x＝ ，故错误；
B.若2（x﹣2）＝5（x+1），则2x﹣4＝5x+5，正确；
C.若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，故错误；
D.若 ，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟知去分母的方法．
8. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数轴得， ， ，再逐个选项分析判断即可.
【详解】根据数轴可知： ， ，
∴A. ，正确；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项错误；
故选A
【点睛】本题考查利用数轴比较实数大小以及实数的乘法，熟练掌握相关知识点是解题关键.
9. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递
员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为
（ ）A. 10x﹣6＝12x＋6 B. 10x＋6＝12x﹣6
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意：若每个快递员派送10件，还剩6件，则快递总数是： 件，若每个快递员派
送12件，还差6件，则快递总数是： 件，据此即可列出方程．
【详解】解：根据题意：若每个快递员派送10件，还剩6件，则快递总数是： 件；若每个快递
员派送12件，还差6件，则快递总数是： 件；
可得： ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转
°（0＜ ＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ）
A. ∠AOD B. ∠AOC C. ∠EOF D. ∠DOF
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，结合平角的定义可求解
∠EOF=90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．
【详解】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD+∠DOF=90°，
即∠EOF=90°，
∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF的度数是解题的关键．
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
11. 用四舍五入法将3.1415精确到百分位约等于_____．
【答案】3.14
【解析】
【分析】把千分位上的数字1进行四舍五入即可．
【详解】解：3.1415（精确到百分位）是3.14．
故答案为：3.14．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示
形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数
中哪个相对更精确一些．
12. 已知关于 的方程 的解是 ，则 __________．
【答案】7
【解析】
【分析】把 代入原方程，再解方程即可．
【详解】解：把 代入 得，
，解得，
为
故答案 ：7．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，熟练地解方程．
13. 若关于 的多项式 不含二次项，则 __________．
【答案】-1
【解析】
【分析】令x的二次项系数等于零列式求解即可．【详解】解：∵于 的多项式 不含二次项，
∴2m+2=0，
∴m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关
的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．
14. 如图，点 在线段 上，若 ， ， 是线段 的中点，则 的长为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据线段中线性质可得BM＝5，线段BM的长度减去BC的长度即是MC的长度．
【详解】解：∵M是线段AB中点， ，
∴BM＝5，
∵ ，
∴MC＝BM－BC＝5－2＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，掌握线段中点性质和线段的计算方法是解题关键．
15. 已知关于 的方程 是一元一次方程，则 的值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元一次方程一次项系数不为0，未知数的次数为1求解即可．
【详解】解：关于 的方程 是一元一次方程，
所以， 且 ，
解得， ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题关键是明确只含有一个未知数，未知数的次数为1的整式
方程是一元一次方程．16. 比较大小： __________ （填“ ”，“ ”或“=”）．
> <
【答案】
【解析】>
【分析】根据角度的大小来判断角的大小．
【详解】∵
∴
故答案为： ．
【点睛】本>题考查角度大小比较，解题的关键是根据度分秒把两个角度统一成一样的形式．
17. 已知代数式 ，则代数式 的值为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据 得， ，整体代入计算即可．
【
详解】∵ ，
∴ ，
∴ =3+5=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了条件型代数式的求值，根据条件，适当变形，整体代入计算是解题的关键．
18. 甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．
甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，
其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折．
（1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择_____（填“甲”或“乙”）商场更划算；
（2）当购物总额是_____元时，甲、乙两商场实付款相同．
【答案】 ①. 甲 ②.
【解析】
【分析】（1）根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算；（2）设购物总额是x元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解
即可
【详解】解：（1）甲商场需要： （元）
乙商场需要： （元）
该顾客选择甲商场更划算；
故答案为：甲
（2）设购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同，
当 时， ，此方程无解，
当 时，则 ，此方程无解
当 时
依题意，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共54分，第19，20题，每小题8分，第21~25题，每小题5分，第26
题7分，第27题6分）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）-1 （2）1
【解析】
【小问1详解】
解：=
=-1
【小问2详解】
解：
=
=
=1
【点睛】本题考查了有理数 的混合运算，解题关键是熟记有理数运算法则，按照有理数运算顺序和乘
法运算律进行计算．
20. 解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤求解即可．
【小问1详解】
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
【小问2详解】
去分母，得：去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1．
21. 先化简，再求值: ，其中 .
【答案】（1） ； .
【解析】
【分析】先化简，再代入求值即可.
【详解】解: （1） 原式=
当 时，
原式=
.
【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，注意求值时底数是负数代入时要加上括号.
22. 如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，请根据下列语句画出图形：
（1）直线BC与射线AD相交于点M；
（2）连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；
（3）在直线BC上找一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小，作图的依据是： ．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；
【解析】
【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形即可；
（2）根据线段的延长线的定义以及中点的定义画出图形即可；
（3）连接AF交直线BC于点P，点P即为所求．
【详解】解：（1）如图，直线BC，射线AD即为所求作．
（2）如图，线段BE即为所求作．
（3）如图，点P即为所求作．
理由：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键
是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23. 定义一种新运算“ ”，其规则为 ．例如 ，
．
（1）计算 值为 ；
（2）已知 ，求 的值；
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即 ， ，那么“ ”运算是否满足交换
律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【答案】（1）5 （2）
（3）不满足，举例见解析
【解析】
【分析】（1）按照新运算“ ”的规则进行计算即可；
（2）按照新运算“ ”的规则建立方程，解方程即可；
（3）按照新运算“ ”的规则计算，举例说明不满足即可．
【小问1详解】
解： ，
故答案为：5．
【小问2详解】
解：由 得， ，
解得， ．
【小问3详解】
不满足，举例： ； ．
【点睛】本题考查了新定义运算和有理数计算，解题关键是正确理解题意，按照新定义运算法则进行计算．
24. 如表是某次篮球联赛积分榜的一部分
球队 比赛场次 胜场 负场 积分前进
光明
远大
钢铁
备注：积分=胜场积分+负场积分
（1）观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分；
（2）设某队胜 场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含 的整式填空）；
（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的 倍，其中 为正整数，请直接写出 的值．
【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分
（2） ，
（3）3
【解析】
【分析】（1）设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积 分，根据光明队胜9
场负5场积23分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设胜了x场，则负了（14-x）场，由胜一场积2分负一场积1分即可得出结论；
（3）根据负场总积分是胜场总积分的n倍即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，再根据x、n
均为正整数即可得出n的值．
【小问1详解】
设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积 分，
∴由光明队可得：
解得：
∴
∴胜一场积2分，负一场积1分
【小问2详解】
设胜了x场，则负了（14-x）场，∴胜场总积分为 分，负场总积分为（ ）分
【小问3详解】
∵负场总积分是胜场总积分的 倍
∴
14
解得：x=
2n+1
∵x和n均为正整数，
∴
{
x=1
)
∴解得 （舍去）， （舍去）、 （舍去）、 13 （舍去）
n=
2
故答案为：3
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
25. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点 ， ， 把数轴分成①②③④四部分，点 ， ，
对应的数分别是 ， ， ，已知 ．
（1）原点在第 部分；
（2）若 ， ， ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，数轴上一点 表示的数为 ，若 ，直接写出 的值．
【答案】（1）③ （2）-3
（3）-5或3
【解析】
【分析】（1）因为bc＜0，所以b，c异号，所以原点在第③部分；
（2）求出AB的值，然后根据点A在点B左边2个单位求出a的值；（3）先求出点C表示的数，然后分2种情况分别计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ，b0，
∴原点在第③部分，
故答案为：③；
【小问2详解】
解：∵AC=5，BC=3，
∴AB=AC-BC=5-3=2，
∵b=-1，
∴a=-1-2=-3；
【小问3详解】
解：∵a=-3， ，
∴c=-3+5=2，
∴OC=2，
当点D在点B的左侧时，
∵ ，
∴-1-d=2×2，
∴d=-5；
当点D在点B的右侧时，
∵ ，
∴d-(-1)=2×2，
∴d=3；
∴若 ， 的值是-5或3．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，有理数的乘法法则，以及一元一次方程的应用，
体现了分类讨论的数学思想，做到不重不漏是解题的关键．
26. 已知 ， ， ， 分别平分 ， ．（1）如图1，当 ， 重合时， 度；
（2）若将 的从图1的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ．
①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由；
②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答案．
【答案】（1）
（2）① ；② 时， ； 时，
【解析】
【分析】（1）由题意得出 ， ，由角平分线定
义得出 ， ，即可得出答案；
（2）①由角平分线定义得出 ， ，
求出 ，即可得出答案；②由①得 ， ，
当 时，求出 ，
，即可得出答案；
当 时，求出 ，
，即可得出答案．
【小问1详解】
， 重合，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
；
【小问2详解】
① ；理由如下：
平分 ， 平分 ，
，
，，
；
②由①得： ， ，
当 时，如图2所示：
，
，
，
∴
当 时，如图3所示：，
，
；
∴
综上所述， 时， ； 时，
【点睛】本题考查了角的计算、角平分线定义等知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
27. 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ，依此类推，第
个数记为 （ 为正整数），如下而这列数 ， ， ， ， 中， ， ， ， ，
，规定运算 ．即从这列数的第一个数开始依次加到第 个数，如在上
面的一列数中， ．
（1）已知一列数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，那么 ，；
（2）已知这列数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，按照规律可以无限写下去，那么
， ；
（3）在（2）的条件下，若存在正整数 使等式 成立，直接写出 的值．
【答案】（1）5，3 （2）-2022，-1011
（3）4043
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的材料，求出 和前5个数的和即可；
（2）按照题目中的规律写出第2020个数，根据规律求出它们的和即可；
（3）根据（2）中规律，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：这列数中第5个数是5，故 ；
，
故答案为：5，3．
【小问2详解】
解：按照规律奇数为正，偶数为负，则 ， ，
=
=-1011，
故答案为：-2022，-1011．
【小问3详解】
解：由 可知， 是奇数，则 ，解得， ．
【点睛】本题考查了新运算和有理数计算，一元一次方程的应用，解题关键是明确题意，按照题目给出的
信息进行计算，根据题目中的等式列出方程．
四、附加题（本大题共20分，第28-30题每题3分，第31题4分，第32题7分）
28. 若实数 ， ，满足 ，则 的值等于__________．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据非负数的性质得到关于x、y值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵∣x+2∣+(x+y)2=0
∵|x+2|≥0，(x+y)2≥0
∴x+2=0,x+y=0
∴x=-2,y=2
∴xy=(−2)2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考考查了绝对值和平方的非负性，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解．
29. 一个角的补角比它的余角的3倍少 ，这个角的度数是_______度．
【答案】35
【解析】
【分析】设这个角为x度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．
【详解】解：设这个角为x度．
则180°-x=3（90°-x）-20°，
解得：x=35°．
答：这个角的度数是35°．
故答案为：35．
【点睛】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用方程分思想思考问题，
属于中考常考题型．
30. 若 ，则 __________．
【答案】-2
【解析】【分析】根据给出的等式，求出 的值，代入计算即可．
【详解】解：由 得， ；
由 得， ；
由 得， ；
；
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了等式的性质和有理数的计算，解题关键是根据等式的性质得出
的值．
31. 对于三个数 ， ， ，用 表示这三个数的平均数，用 表示这三个，数中最小
的数．例如： ， ，如果
，那么 __________．
【答案】2或-4##-4或2
【解析】
【分析】依据定义分别求出 和 ，再分三种情况讨论，即可得到x
的值．
【详解】
当 时， ，解得 ，
∵
∴ ，解得 ，符合条件；当 时， ，解得 ，
∵
∴ ，解得 ，不符合条件；
当 时， ，解得 ，
∵
∴ ，解得 ，符合条件；
综上所述： 或
故答案为：2或-4
【点睛】本题考查了算术平均数、一元一次方程的应用、解一元一次不等式组．解题的关键是弄清新定义
运算的法则，并分情况讨论．需要考虑每种情况下x的取值范围
32. 对于数轴上的点 和正数 ，给出如下定义：点 在数轴上移动，沿负方向移动 个单位长度后所在
位置点表示的数是 ，沿正方向移动 个单位长度后所在位置点表示的数是 ， 与 这两个数叫做“点
的 对称数”，记作 ，其中 ．
例如：原点 表示 ，原点 的 对称数是 ．
（1）若点 表示 ，则点 的 对称数 ，则 ， ；
（2）若 ，求点 表示的数及 的值；
（3）已知 ， ，若点 、点 从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点
的速度是点 速度的 倍，当 时，请直接写出点 表示的数．
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】（1）读懂题干中的定义，利用定义进行求解；
（2）根据 ，列出关于 的二元一次方程组求解即可；
（3）点 、点 从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点 的速度是点 速度的 倍， 设 点表示的数
为 , 点表示的数为 ，根据新定义可知 ，
代入条件式 ，解一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
解： ,
，
故答案所示： ；
【小问2详解】
解： ，
，
解得： ；
【小问3详解】
解：①当 沿正方向运动，则 沿负方向运动时，
设 点表示的数为 ，
点 、点 从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点 的速度是点 速度的 倍，
点表示的数为，
根据定义可得
，
当 时
解得
点表示的数是
②当 沿负方向运动，则 沿正方向运动时，
设 点表示的数为 ，
点表示的数为
，
根据定义可得
，
当 时即
解得
点表示的数是
【点睛】本题为创新型题目，解题的关键是重点在题目意思的理解，结合分析可以利用数形结合的方法求
解，在掌握了题目含义的基础上，进行解答．注意“ ， 的数值是关于 对称”的运用．
