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大题 01 数与式及方程（组）中的计算问题（8 大题型）
数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简
单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心
而丢分.
+
题型一： 实数与根式的计算
1．（2023·湖南张家界·中考真题）计算：|−√3|−(4−π) 0−2sin60°+
(1) −1
．
5
【答案】4
【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．
√3
【详解】解：原式=√3−1−2× +5
2
=4．
【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解
题关键．
2．（2023·湖北宜昌·一模）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
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a
(1)若|a|=|b|，则a+b= ， = ．
b
(2)化简：√c2+√3 (a+b) 3−|c−b|．
【答案】(1)0，−1
(2)−b
【分析】（1）根据a，b异号且绝对值相等，可得a，b互为相反数，进而可得结果；
（2）根据数轴上a，b，c的位置和大小关系，再由绝对值的性质去掉绝对值符号，进行计算即可．
【详解】（1）∵由数轴可知，cb ②|a-b|=0 a=b ③|a-b|=b-aa0，
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∴√a2−|a+c|+√(c−b) 2−√(b−a) 2
=−a+a+c+b−c−(b−a)
=−a+a+c+b−c−b+a
=a．
题型二： 代数式的混合计算
1．（2023·青海西宁·中考真题）计算：(2a−3) 2−(a+5)(a−5)．
【答案】3a2−12a+34
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式=(4a2−12a+9)−(a2−25)
=4a2−12a+9−a2+25
=3a2−12a+34.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
( a ) a2−a
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）化简： 1− ÷ ．
a+1 a2−1
1
【答案】
a
【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法换成乘法，
即可求解；
(a+1 a ) a(a−1)
【详解】解：原式= − ÷
a+1 a+1 (a−1)(a+1)
1 a+1
= ⋅
a+1 a
1
= ．
a
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
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(1)求整式P．
(2)将整式P因式分解．
(3)P的最小值为______．
【答案】(1)4x2−16
(2)4(x+2)(x−2)
(3)−16
【分析】本题考查多项式的加减、因式分解和最小值的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解
的方法是解决本题的关键．
（1）直接求和即可；
（2）根据平方差公式分解因式；
（3）由x2≥0即可判断P的最小值为−16．
【详解】（1）解：P=3x2−4x−20+(x+2) 2
=3x2−4x−20+x2+4x+4
=4x2−16．
（2）4x2−16=4(x2−4) =4(x+2)(x−2)
（3）P=4x2−16，
∵x2≥0，
∴当x=0时，P的最小值为−16
1）幂的运算
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2）乘法公式
3）因式分解
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1．（2024·重庆·模拟预测）计算：
(1)(a+2b)(a−2b)+(a−b) 2
( 3 ) x2−4x+4
(2) x−1− ÷ ．
x+1 x+1
【答案】(1)2a2−2ab−3b2
x+2
(2)
x−2
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，乘法公式．
（1）根据乘法公式计算，再合并同类项即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结
果即可．
【详解】（1）解：(a+2b)(a−2b)+(a−b) 2
=a2−4b2+a2−2ab+b2
=2a2−2ab−3b2；
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( 3 ) x2−4x+4
（2）解： x−1− ÷
x+1 x+1
(x2−1 3 ) (x−2) 2
= − ÷
x+1 x+1 x+1
(x+2)(x−2) x+1
= ⋅
x+1 (x−2) 2
x+2
= ．
x−2
2．（2024·湖南·模拟预测）已知整式A=4x2+4x−24．
(1)将整式A分解因式；
(2)求证：若x取整数，则A能被4整除．
【答案】(1)4(x+3)(x−2)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用配方法把4x2+4x配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用（1）的结果即可求证；
本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：A=(4x2+4x+1)−25
=(2x+1) 2−52，
=[(2x+1)+5][(2x+1)−5]，
=4(x+3)(x−2)；
（2）证明：∵x取整数，
∴x+3和x−2均为整数，
又由（1）可知，A=4(x+3)(x−2)，
∴A能被4整除．
题型三： 化简求值
√5+1
1．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：(x−2y) 2+x(5 y−x)−4 y2，其中x= ，
2
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√5−1
y= ．
2
【答案】xy ；1
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式=x2+4 y2−4xy−x2+5xy−4 y2
=xy,
√5+1 √5−1
当 x= ,y= 时,
2 2
√5+1 √5−1 4
原式 =xy= × = =1．
2 2 4
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
2．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值： ( x2−1 − 1 ) ÷ 3 ，其中x= (1) −1 +(−3) 0 ．
x2−2x+1 x−1 x−1 2
x
【答案】 ，1
3
【分析】
先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺
序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
( x2−1 1 ) 3
【详解】解： − ÷
x2−2x+1 x−1 x−1
[(x+1)(x−1) x−1 ] x−1
= − ×
(x−1) 2 (x−1) 2 3
x(x−1) x−1
= ×
(x−1) 2 3
x
= ，
3
∵x=
(1) −1
+(−3) 0=2+1=3，
2
x 3
∴原式= = =1．
3 3
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负
整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
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化简求值常见方法汇总：
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使
它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．
这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6.利用“无关”求值：
①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为
0；
②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数
的性质来确定字母的值，从而求得结果．
8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的
符号．
9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况
进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分
简单．
10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又
可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一
个字母来表示另一个字母．
13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
3
1．（2024·广西桂林·一模）先化简，再求值：(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)(a−b)，其中a=− ，b=2．
2
【答案】−2ab，6
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用多项式
除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可．
【详解】解：原式=a2b÷b−2ab2÷b−b3÷b−(a2−b2)
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=a2−2ab−b2−a2+b2
=−2ab；
3 ( 3)
当a=− ，b=2时，原式=−2× − ×2=6．
2 2
( x2 2x ) x
2．（2024·山东滨州·一模）先化简再求值： − ÷ ，其中
x−1 x−1 x−1
x=(√3−1) 0+
(1) −1
+√(−√5) 2 −|−1|．
2
【答案】x−2,√5
【分析】本题考查了分式的化简求值，求算术平方根，负整数指数幂以及零指数幂等知识点，根据除以一
个数等于乘以这个数的倒数将原式中除法转化成乘法，然后利用乘法分配律展开计算，然后化简合并，代
入数据计算即可，熟练灵活运用公式是解决此题的关键．
( x2 2x ) x
【详解】解： − ÷
x−1 x−1 x−1
( x2 2x ) x−1
= − ×
x−1 x−1 x
x2 x−1 2x x−1
= × − ×
x−1 x x−1 x
=x−2，
当x=(√3−1) 0+
(1) −1
+√(−√5) 2 −|−1|=1+2+√5−1=2+√5时，
2
原式=2+√5−2=√5．
x2−2x ( 2x−1)
3．（2024·四川广元·二模）先化简，再求值： ÷ x+1− ，其中 x 是不等式组 ¿的整数
x2−1 x−1
解．
1 1
【答案】 ，
x+1 4
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合计算法则化简，然后
解不等式组求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
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x2−2x ( 2x−1)
【详解】解： ÷ x+1− ，
x2−1 x−1
x(x−2) x2−1−2x+1
= ÷
(x+1)(x−1) x−1
x(x−2) x−1
= ⋅
(x+1)(x−1) x(x−2)
1
= ．
x+1
¿
解不等式①得：x<4，
解不等式②得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<4，
∵x为整数且x+1≠0，x−1≠0，x≠0，x−2≠0，
∴x=3，
1 1
∴原式= = ．
3+1 4
( x+2 x−1 ) x−4
4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式 − ÷ 的值，其中
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
x=2(tan45°−cos30°)．
1 √3
【答案】 ，−
x−2 3
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将求出x的值代入化简后的式子计算即可．
[ x+2 x−1 ] x−4
【详解】解：原式 = − ÷
x(x−2) (x−2) 2 x(x−2)
[ x2−4 x2−x ] x(x−2)
= − ⋅
x(x−2) 2 x(x−2) 2 x−4
x−4 x(x−2) 1
= ⋅ = ，
x(x−2) 2 x−4 x−2
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( √3) 1 √3
当x=2(tan45°−cos30°)=2 1− =2−√3时，原式= =− ．
2 2−√3−2 3
题型四： 解方程（组）相关计算
4x−3 2x−2
1.解关于x的一元一次方程： −1= ．
5 3
【答案】x=7
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
4x−3 2x−2
【详解】解： −1=
5 3
去分母得3(4x−3)−15=5(2x−2)，
去括号得12x−9−15=10x−10，
移项得12x−10x=24−10，
合并同类项得2x=14，
∴x=7．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
2.（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组¿
【答案】¿
【分析】
方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】
解：¿
①+②得5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得3×3+ y=8，
解得y=−1．
∴原方程组的解为¿
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
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2x−5 3x−3
3．（2023·江苏连云港·中考真题）解方程： = −3．
x−2 x−2
【答案】x=4
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
2x−5=3x−3−3(x−2)，
解得：x=4
检验：当x=4时，x−2≠0，
∴x=4是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
4．（2023·广东广州·中考真题）解方程：x2−6x+5=0．
【答案】x =1，x =5
1 2
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2−6x+5=0，
(x−1)(x−5)=0，
x−1=0或x−5=0，
x =1，x =5．
1 2
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
1）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为1；
2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
①当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
②当b=0时，首选直接开平方法；
③当c=0时，可选因式分解法或配方法；
④当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
⑤当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
3）解分式方程时易错点：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
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②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0的根，它不是原分式方程的
根．
④解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
⑤分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去
分母后的整式方程无解.
3x−2 5−4x
1．（2023·浙江·一模）解方程： −1=
3 6
【答案】x=1.5
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
【详解】解：去分母，得：6x−4−6=5−4x，
移项，得：6x+4x=5+4+6，
合并同类项，得：10x=15，
系数化为1，得：x=1.5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2023·陕西西安·二模）解方程组：¿
【答案】¿
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：方程组整理得：¿，
②×2−①得：5x=12，
12
解得：x= ，
5
12 48
把x= 代入②得： −y=8，
5 5
8
解得：y= ，
5
则方程组的解为¿．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2023·江苏连云港·模拟预测）解下列方程：
3x−5 1
（1） =1− ；
x−2 2−x
（2）x2−4x+3=0．
【答案】（1）原方程无解；（2）x =3，x =1
1 2
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【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解题的关键是：
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）两边都乘以x−2，得：3x−5=x−2+1，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
所以原方程无解；
（2）x2−4x+3=0，
∴x2−4x=−3，
∴x2−4x+4=−3+4，即(x−2) 2=1，
∴x−2=1或x−2=−1，
解得x =3，x =1．
1 2
题型五： 解一元一次不等式组
（2023·江苏·中考真题）解不等式组¿，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【答案】−1−1，
故不等式组的解集为：−1b，则a±c > b±c
若ab, c>0，则ac>bc（或 > ）
c c
a b
基本性质3 若a>b ,c<0，则ac−1，
解不等式②，得x<3，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是−12
(2)k=3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值
范围；
c
（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出k的值．
a
【详解】（1）解：b2−4ac=22−4×1×(3−k)=−8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
c
∴αβ= =3−k，
a
∴k2=3−k+3k，
解得：k =3，k =−1（舍去）．
1 2
即：k=3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x ，x 是方程ax2+bx+c=0的
1 2
b c
两根时，x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
2．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
x x 5
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 2+ 1=− ，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
【答案】(1)见解析
2
(2) 或1．
5
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；
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（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =2m−1，x x =−3m2+m，整体代入得到
1 2 1 2
m2+2m−3=0求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0，
∴a=1，b=−(2m−1)，c=−3m2+m，
∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)] 2 −4×1×(−3m2+m)=(4m−1) 2，
∵(4m−1) 2≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2m−1，x x =−3m2+m，
1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x 5
∵ 2+ 1= 1 2 = 1 2 1 2=− ，
x x x x x x 2
1 2 1 2 1 2
(x +x ) 2 1
∴ 1 2 =− ，
x x 2
1 2
(2m−1) 2 1 2
∴ =− ，整理，得5m2−7m+2=0，解得m = ，m =1，
−3m2+m 2 1 5 2
2
∴m的值为 或1．
5
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方
程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
1）根的判别式
①求根公式的使用条件：a≠0且△≥0.
②使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
③利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
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3）没有实数根时, Δ<0.
④一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
2）一元二次方程根与系数的关系
①如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q .
②以两个数 x 1 ,x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 -（x 1+ x 2 ）x+
x •x ＝0.
1 2
③一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
④用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
3）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
5
(2)存在，k=−
2
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，
解题的关键是熟练掌握当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相
等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数根．以及一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数关系：
b c
x +x =− ,x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
（1）根据题意进行分类讨论：①当k=0时，②当k≠0时；
b 2k+1 c 2
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x =− =− ，x x = = ，进而得出
1 2 a k 1 2 a k
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1 1 x +x ，列出方程求解即可．
+ = 1 2=2
x x x ⋅x
1 2 1 2
【详解】（1）解：①当k=0时，
方程变形为x+2=0，方程有实数根；
②当k≠0时，
Δ=(2k+1) 2−4⋅k⋅2=(2k−1) 2，
∵(2k−1) 2≥0，
∴Δ≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：存在，
设方程两根为x 、x ，
1 2
b 2k+1 c 2
则x +x =− =− ，x x = = ，
1 2 a k 1 2 a k
1 1 x +x
∵ + = 1 2=2，
x x x ⋅x
1 2 1 2
2k+1
−
k
∴ =2
2
k
5
解得：k=− ．
2
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．
2．（2023·江西新余·一模）关于x的方程x2−(2k+1)x+k2=0．
(1)如果方程有实数根，求k的取值范围；
(2)设x 和x 是方程的两根，且x2+x2=6+x x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
1
【答案】(1)k≥−
4
(2)k=1
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【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式方程的解法以及根的判别式等知识，解题的关键
是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合已知得出关于k的方程．
（1）根据题意可得根的判别式Δ≥0，进而可得关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x +x =2k+1，x x =k2，结合x2+x2=6+x x ，即可得出关于k的方程，
1 2 1 2 1 2 1 2
解之经检验即可得出k的值．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2−(2k+1)x+k2=0有实数根，
∴Δ=[−(2k+1)] 2 −4k2≥0，
1
解得：k≥− ．
4
（2）∵x 和x 是方程x2−(2k+1)x+k2=0的两根，
1 2
∴x +x =2k+1，x x =k2 ，
1 2 1 2
∵x2+x2=6+x x ，即(x +x ) 2=6+3x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴(2k+1) 2=6+3k2，
整理得：k2+4k−5=0，
解得：k=−5或k=1，
1
又∵k≥− ，
4
∴k=1．
题型七： 新定义问题
（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=¿，例如：3※1=3−1=2，
5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)x=1，
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【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1）∵4＜3×2，
∴4※3=4+3−6=1，
∵−1＞(−3)×2
∴(−1)※(−3)=−1−(−3)=2；
故答案为：1；2；
（2）若3x+2≥2(x−1)时，即x≥−4时，则
(3x+2)−(x−1)=5，
解得：x=1，
若3x+2＜2(x−1)时，即x＜−4时，则
(3x+2)+(x−1)−6=5，
5
解得：x= ，不合题意，舍去，
2
∴x=1，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题
意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．
一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念．
这类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与已学
知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题．
1．（2023·河北沧州·模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b=ab2+ab+a，例
如：2※5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※(−2)的值．
(2)若(m−√2)※2>14，求m的取值范围．
【答案】(1)15
(2)m>√2+2
【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
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【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式=5×(−2) 2+5×(−2)+5=20−10+5=15．
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得(m−√2)×22+2(m−√2)+m−√2>14，
整理，得7m>14+7√2，
解得m>√2+2．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是
解题的关键．
2．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
6+11x
【答案】(1)
3+2x
1
(2)ab=
2
(3)见解析
12+x
【分析】（1）根据新定义，用6− 即可求解；
3+2x
a 2b
（2）根据定义可得 + =1，根据分式的加减进行计算，即可求解；
a+4b2 a2+2b
（3）根据题意首先利用倒数关系，将x、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判
断．
12+x 18+12x−12−x 6+11x
【详解】（1）解：依题意，6− = = ，
3+2x 3+2x 3+2x
12+x 6+11x
∴分式 与 互为“六⊕分式”，
3+2x 3+2x
6+11x
故答案为： ；
3+2x
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a 2b
（2）解：∵分式 与 互为“一⊕分式”
a+4b2 a2+2b
a 2b
∴
+ =1
a+4b2 a2+2b
a(a2+2b)+2b(a+4b2)
即 =1
(a+4b2)(a2+2b)
∴a3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3，
即4a2b2=2ab，
∵a，b为正数
1
∴ab=
2
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴xy=1
5
5x 5 y 5x x 5x3 5 5(x3+1)
∴
+ = + = + = =5
x+ y2 x2+ y x+ 1 x2+ 1 x3+1 x3+1 x3+1
x2 x
5x 5x
∴分式 与 互为“五⊕分式
x+ y2 x2+ y
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
3．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn−3n，例如
4☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
( 1)
(2)若x☆ − =3，求x的值；
4
(3)若方程x☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
【答案】(1)x>5
(2)x=−9
5
(3)
2
【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程进行计算即可；
（3）设□中的常数为y，根据题意列出关于y的方程，解方程即可．
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【详解】（1）解：∵x☆2>4，
∴2x−3×2>4，
解得：x>5．
( 1)
（2）解：∵x☆ − =3，
4
1 ( 1)
∴− x−3× − =3，
4 4
解得：x=−9．
（3）解：设□中的常数为y，根据题意得：
xy−3 y=x−6，
∵此方程的一个解为x=1，
∴y−3 y=1−6，
5
解得：y= ．
2
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不
等式或方程．
4．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b=a2−ab，根
据这个规则，解决下列问题：
(1)求(x+2)△5=0中x的值；
(2)证明：(x+m)△5=0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
【答案】(1)−2或3
(2)见解析
【分析】（1）根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，解出该方程的解即可；
（2）根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，再根据其根的判别式计算，即可证明．
【详解】（1）解：由题意可得：(x+2)△5=(x+2) 2−5(x+2)=0，
整理，得：x2−x−6=0，
解得：x =−2，x =3．
1 2
故x的值为−2或3；
（2）由题意可得：(x+m)△5=(x+m) 2−5(x+m)=0，
整理，得：x2+(2m−5)x+m2−5m=0，
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∴Δ=b2−4ac=(2m−5) 2−4(m2−5m)=25>0，
∴无论m为何值，方程x2+(2m−5)x+m2−5m=0总有两个不相等的实数根，即无论m为何值，x总有
两个不同的值．
【点睛】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程根的判别式判断其根的情况．读懂题意，掌握新定义
的运算法则是解题关键．
题型八：比较大小
（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
【答案】(1)M>N
(2)<
【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；
23 22
（2）根据作差法求 − 的值即可得出答案．
68 65
a a+1 a(b+3)−b(a+1) ab+3a−ba−b 3a−b
【详解】（1）解：M−N= − = = = ，
b b+3 b(b+3) b(b+3) b(b+3)
∵3a>b>0，
3a−b
∴ >0，
b(b+3)
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∴M>N；
23 22 1495 1496 1
（2）解：∵ − = − =− <0，
68 65 4420 4420 4420
23 22
∴ < ．
68 65
故答案为：<．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
1）实数比较大小的6种基础方法：
1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而
小．
3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0ab2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/b<1a>b
3)任意负实数a，b，a/b>1ab
2 1 1 3 2 1 4 3 1 5 4 1
1．（2023·浙江温州·模拟预测）观察下面的等式： − = ， − = ， − = ， − = ……
3 2 6 4 3 12 5 4 20 6 5 30
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
2022 2021 2021 2020
(3)请用以上规律比较 − 与 − 的大小．
2023 2022 2022 2021
n+1 n 1
【答案】(1) − =
n+2 n+1 (n+2)(n+1)
(2)见解析
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2022 2021 2021 2020
(3) − < −
2023 2022 2022 2021
【分析】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的
变化规律．
（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1+2和1+1，分子为1+1和1，第二个式子的左边
分母为2+2和2+1，分子为2+1和2，第一个式子的左边分母为3+2和3+1，分子为3+1和3，…；左边分
母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1，所以第n个式子为
n+1 n 1
− = ；
n+2 n+1 (n+2)(n+1)
n+1 n 1
（2）由（1）的规律发现第n个式子为 − = ，用分式的加法计算式子右边即可证明；
n+2 n+1 (n+2)(n+1)
（3）根据（1）的规律先计算，再比较即可．
【详解】（1）解：第一个式子的左边分母为1+2和1+1，分子为1+1和1，
第二个式子的左边分母为2+2和2+1，分子为2+1和2，
第一个式子的左边分母为3+2和3+1，分子为3+1和3，…；
∴左边分母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1，
n+1 n 1
∴第n个式子为 − = ；
n+2 n+1 (n+2)(n+1)
n+1 n (n+1)(n+1) n(n+2)
（2）解：∵ − = −
n+2 n+1 (n+2)(n+1) (n+2)(n+1)
n2+2n+1−n2−2n
=
(n+2)(n+1)
1
= =
右边，
(n+2)(n+1)
n+1 n 1
∴ − = ；
n+2 n+1 (n+2)(n+1)
2022 2021 1 2021 2020 1
（3）解： − = ， − = ，
2023 2022 2023×2022 2022 2021 2022×2021
∵2023×2022>2022×2021，
1 1
∴ < ，
2023×2022 2022×2021
2022 2021 2021 2020
∴ − < − ．
2023 2022 2022 2021
2．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）观察以下10个乘积，回答下列问题．
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11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式．
例如：11×29=x2−y2=(x+ y)(x−y)，列出方程组，解x，y的值即可．
按照以上思路写出“将11×29写成平方差的形式”的完整过程；
探究：观察以上10个乘积，当a+b=40时，ab______202；（比较大小）
(m) 2
拓展：当a+b=m时，比较ab与 的大小，并说明理由．
2
(m) 2
【答案】探究：11×29=202−92；发现：≤；拓展：当a+b=m时，ab≤ ；理由见解析
2
【分析】探究：根据题意，列出二元次方程，解题即可；
发现：利用二次根式和完全平方公式解题即可；
拓展：利用比差法解题即可．
【详解】解：探究：11×29=x2−y2=(x+ y)(x−y)，
则¿，解得¿
∴11×29=202−92；
2
发现：∵(√a−√b) ≥0
∴a+b−2√ab≥0，
即40−2√ab≥0，
∴ab≤202，
故答案为：≤；
(m) 2
拓展：当a+b=m时，ab≤ ；
2
(m) 2 (a+b) 2 a2+2ab+b2 (a−b) 2
理由： −ab= −ab= = ≥0，
2 2 4 4
(m) 2
∴ab≤ ．
2
【点睛】本题考查解二元一次方程组，二次根式和完全平方公式，掌握运算方法是解题的关键．
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1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）（1）计算： ( − 1) −2 +√3−8+|√3−2|+4sin60°+ 1
3 2+√3
（2）分解因式：−2ax3+12ax2−18ax．
【答案】（1）11（2）−2ax(x−3) 2
【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及综合提公因式以及公式法分解因式．
（1）本题主要考查实数的混合运算，先计算负整数指数幂、立方根、绝对值和三角函数值，再计算乘法，
最后计算加减可得．
（2）先提公因式再利用完全平方公式进行分解因式．
【详解】解：（1） ( − 1) −2 +√3−8+|√3−2|+4sin60°+ 1
3 2+√3
√3 1
=9+(−2)+2−√3+4× +
2 2+√3
2−√3
=9−√3+2√3+
22−(√3) 2
=9+√3+2−√3
=11
（2）−2ax3+12ax2−18ax
=−2ax(x2−6x+9)
=−2ax(x−3) 2
2．（2024·江苏扬州·一模）解不等式组：¿，并求出它的所有整数解的和．
【答案】−3≤x<1，这个不等式组的所有整数解的和为−6
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．分别求出
不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，再求出所有整数解，即可求出答案；
【详解】解：解不等式①得，x<1，
解不等式②得，x≥−3，
∴不等式组的解集是−3≤x<1，
∴不等式组的所有整数解是−3、−2、−1、0，
不等式组的所有整数解的和为−3−2−1+0=−6．
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( a2−a 2 ) a2−4
3．（2024·江西吉安·一模）先化简： + ÷ ，再从−2，−1，0，1，2中选一个
a2−2a+1 1−a a−1
合适的数作为a值代入求值．
1 1
【答案】 ，当a=−1时，原式＝1或当a=0时，原式=
a+2 2
【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从
−2，−1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
[a(a−1) 2 ] a−1
【详解】解：原式 = − ⋅
(a−1) 2 a−1 (a+2)(a−2)
( a 2 ) a−1
= − ⋅
a−1 a−1 (a+2)(a−2)
a−2 a−1
= ⋅
a−1 (a+2)(a−2)
1
= ，
a+2
∵当a=1，±2时，分式无意义，
1
∴当a=−1时，原式＝1或当a=0时，原式= ．
2
x+3 2
4．（2024·陕西西安·二模）解方程： =1− ．
x−2 x+3
11
【答案】x=−
7
【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可，掌握解分式
方程的步骤是解本题的关键．
x+3 2
【详解】解： =1−
x−2 x+3
方程两边同乘(x−2)(x+3)，
去分母得(x+3) 2=(x−2)(x+3)−2(x−2)，
去括号得：x2+6x+9=x2+3x−2x−6−2x+4，
整理得：7x=−11，
11
解得x=− ，
7
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11
经检验：当x=− 时，(x−2)(x+3)≠0，
7
11
∴x=− 是方程的解．
7
a2−9 a−3
5．（2024·江苏南通·模拟预测）（1）化简： ÷ ；
a2+6a+9 a
（2）解方程：x(2x−5)=5−2x．
a 5
【答案】（1） ；（2）x = ，x =−1．
a+3 1 2 2
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，解一元二次方程：
（1）先把被除数的分式分子分母分解因式，再把除法变成乘法，然后约分化简即可得到答案；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
a2−9 a−3
【详解】解：（1） ÷
a2+6a+9 a
(a+3)(a−3) a
= ⋅
(a+3) 2 a−3
a
= ；
a+3
（2）∵x(2x−5)=5−2x，
∴x(2x−5)+(2x−5)=0，
∴(x+1)(2x−5)=0，
∴x+1=0或2x−5=0，
5
解得x = ，x =−1．
1 2 2
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位
数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记A(m)=ab．例如：29=22+52，29就是一个
“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算A(13)的值；若不是，请说明理由；
(2)若k是一个“平方和数”，
①设k=x2+ y2，则A(k)=________；
k
②当A(k)= −18，求k的值．
2
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【答案】(1)是，A(13)=6
(2)①xy，②k的值为50或68或90．
【分析】本题考查对题干“平方和数”的理解，掌握“平方和数”的概念，以及A(m)=ab的运算规律是
解题的关键．
（1）把13写成两个正整数的平方和，再根据A(m)=ab求出A(13)即可；
（2）①根据题意写出A(k)即可；
k
②设k=x2+ y2，利用A(k)= −18建立等式求解，得到x= y+6或y=x+6，再根据条件x、y为正整数，
2
k为两位数，进行取值求解，即可解题．
【详解】（1）解：13是“平方和数”，
∵13=22+32，
∴ A(13)=2×3=6；
（2）①解：由题知，设k=x2+ y2，则A(k)= xy，
故答案为：xy．
②解：设k=x2+ y2，
k
∵ A(k)= −18，
2
x2+ y2
∴ −18=xy，
2
x2+ y2−36=2xy，
(x−y) 2=36，
x−y=±6，
即x−y=6或x−y=−6，
整理得x= y+6或y=x+6，
∵ x、y为正整数，k为两位数，
当x=1时，y=7或x=7，y=1，k=50；
当x=2时，y=8或x=8，y=2，k=68；
当x=3时，y=9或x=9，y=3，k=90；
综上所述，k的值为50或68或90．
7．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的方程为x2−2(m+2)x+m2+4=0．
(1)若方程有两个实数根，求实数m的取值范围；
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(2)设方程的实数根为x ，x ，求y=x2+x2的最小值．
1 2 1 2
【答案】(1)m≥0；
(2)y=x2+x2的最小值为−12．
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及二次函数的性质．
（1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系将y转化为2(m+2) 2−12，再利用二次函数的性质计算即可．
【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根，x2−2(m+2)x+m2+4=0
∴Δ=[−2(m+2)] 2 −4(m2+4)≥0，
解得m≥0；
b c
（2）解：∵x +x =− =2(m+1)，x ⋅x = =m2+4，
1 2 a 1 2 a
∴y=x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
=[2(m+1)] 2 −2(m2+4)
=2(m+2) 2−12，
∴当m=−2时，y有最小值，最小值为−12．
8．（2024·贵州遵义·一模）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法．
作差：首先计算两个数或代数式的差，即A−B．
变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易
判断的形式．
定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数A大于B；若差式为负
数，则原数A小于B；若差式为零，则A等于B．
结论：根据变形和定号的结果得出结论，即A>B或A0，
∴x2+1>2x−1
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a a+2
(1)已知2b>3a>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
79 77
(2)比较大小： ______ （填“>”“=”或“<”）
118 115
【答案】(1)M3a>0，
∴3a−ab<0，b(b+3)>0，
∴M−N<0，
∴M3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)2(a+2)(a−2)
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(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：A=2a2−8=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)；
（2）解：①当选择A、B时：
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a
= = = ，
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a−4
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a−4
= = = ；
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a
②当选择A、C时：
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−2a
= = = ，
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a+4
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a+4
= = = ；
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−2a
③当选择B、C时：
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−4a+4
= = = ，
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a+6
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a+6
= = = ．
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−4a+4
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化
简的方法．
7x 4x−1
5．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 = +1时，第一步出现了错误：
3 6
解：2×7x=(4x−1)+1，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；
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1
(2)x=
.
2
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
7x 4x−1
（2）解： = +1，
3 6
去分母，得，2×7x=4x−1+6，
移项，得：14x−4x=−1+6，
合并同类页，得：10x=5，
1
解得：x= ．
2
6．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游
戏：
(1)解不等式组：¿；
(2)当m取（1）的一个整数解时，解方程x2−2x−m=0.
【答案】(1)11，
故不等式组组的解集为：1−8，
∴不等式组的解集是−8− 且k≠0
5
(2)x =3+√14，x =3−√14
1 2
【分析】（1）根据题意，可得(2k+4) 2−4k(k−6)>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将k=1代入kx2−(2k+4)x+k−6=0，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：¿，
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2
解得k>− 且k≠0；
5
（2）解：当k=1时，原方程变为：x2−6x−5=0，
则有：x2−6x+9=5+9，
∴(x−3) 2=14，
∴x−3=±√14，
∴方程的根为x =3+√14，x =3−√14．
1 2
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程
是解题的关键．
9．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金
分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；
我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
−1+√5
【答案】(1)
2
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将m=1代入然后解一元二次方程x2+x−1=0即可得解；
( b) 2 ( b) b
（2）依据题意，将b2−2mb=4变形为 − +m⋅ − −1=0，从而可以看作a，− 是一元二次方程
2 2 2
x2+mx−1=0的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，
将m=1代入x2+mx−1=0得x2+x−1=0，
−1±√5
解得x= ，
2
∵黄金分割数大于0，
−1+√5
∴黄金分割数为 ．
2
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（2）∵b2−2mb=4，
∴b2−2mb−4=0，
( b) 2 ( b)
则 − +m⋅ − −1=0．
2 2
又∵b≠−2a，
b
∴a，− 是一元二次方程x2+mx−1=0的两个根，
2
( b)
则a⋅ − =−1，
2
∴ab=2．
（3）∵p2+np−1=q，q2+nq−1=p；
∴(p2+np−1)+(q2+nq−1)=q+p；
即(p2+q2)+n(p+q)−2=p+q；
∴(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q．
又∵(p2+np−1)−(q2+nq−1)=q−p；
∴(p2−q2)+n(p−q)=−(p−q)；
即(p−q)(p+q+n+1)=0．
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p−q≠0，
则p+q+n+1=0，
∴p+q=−n−1．
又∵(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q，
∴(−n−1) 2−2pq+n(−n−1)−2=−n−1，
即pq−n=0．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学
知识解决问题．
43
