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必刷小题 5 导数及其应用
一、单项选择题
1．函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex，
令f′(x)>0，解得x>－，
所以函数f(x)的单调递增区间为.
2．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有(
)
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝2，b＝－1
答案 B
解析 将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，则f(1)＝1，
则1＋a＋b＝1，①
∵f(x)＝x2＋ax＋b，
∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②
联立①②，解得a＝1，b＝－1.
3．已知x＝0是函数f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则a等于( )
A．1 B．2 C．e D．±1
答案 A
解析 因为f(x)＝eax－ln(x＋a)，
所以f′(x)＝aeax－.
又x＝0是f(x)的极值点，
所以a－＝0，
解得a＝±1，经检验知a＝－1不符合条件，故a＝1.
4．(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数
f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间
(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的
“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值
点”的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0答案 B
解析 函数f(x)＝x3－3x，
则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3，
由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)，
得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，
解得c＝±∈[－2,2]，
所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
5．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xex－x2－2x－m在(0，＋∞)上有零点，则m的取值范围
是( )
A．[1－ln22，＋∞) B．[－ln22－1，＋∞)
C．[－ln22，＋∞) D.
答案 C
解析 由函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点可知，m＝xex－x2－2x(x>0)有解，
设h(x)＝xex－x2－2x(x>0)，
则h′(x)＝(x＋1)(ex－2)(x>0)，
当0ln 2时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
则x＝ln 2时，h(x)取得最小值，且h(ln 2)＝－ln22，
所以m的取值范围是[－ln22，＋∞)．
6．已知a，b∈R，则“ln a>ln b”是“a＋sin b>b＋sin a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由ln a>ln b，得a>b>0.
由a＋sin b>b＋sin a，
得a－sin a>b－sin b.
记函数f(x)＝x－sin x(x∈R)，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
又a－sin a>b－sin b，
则f(a)>f(b)，所以a>b.
因此“ln a>ln b”是“a＋sin b>b＋sin a”的充分不必要条件．
7．(2023·宁波模拟)设m≠0 ，若x＝m为函数f(x)＝m·(x－m)2(x－n)的极小值点，则( )
A．m>n B．m1
答案 C
解析 f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)，
若m<0，则f′(x) 是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点，
必有m<，则n>m，即<1；
若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点，
必有m>，则n0，得x>4ln 2；令h′(x)<0，得x<4ln 2，
所以h(x)在(－∞，4ln 2)上单调递减，在(4ln 2，＋∞)上单调递增，h(x) ＝7－8ln 2，
min
所以当x＝4ln 2时，x－x 取最小值，为7－8ln 2.
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二、多项选择题
9．下列函数中，存在极值点的是( )
A．y＝x＋ B．y＝2x2－x＋1
C．y＝xln x D．y＝－2x3－x
答案 ABC
解析 由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋
∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1；
对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标 x
＝；
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈时，y′<0，函数单调递减，当 x∈时，
y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x在x＝处取得极小值；
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没
有极值点．
10．已知函数f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小值为3B．函数f(x)的最大值为3＋
C．函数f(x)的最小值为e＋1
D．函数f(x)的最大值为e＋1
答案 AD
解析 ∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，
∴f′(x)＝－e2－x＋1，
令f′(x)>0，解得x>2；令f′(x)<0，解得x<2，
故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，
所以函数f(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，
而f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋，则f(1)>f(3)，
故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1.
11.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图，且f(x)在x＝x 与x＝1处取得极值，给出下列判断，
0
其中正确的是( )
A．c<0
B．a<0
C．f(1)＋f(－1)>0
D．函数y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减
答案 AC
解析 f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x)(x－1)，
0
由图知x>1时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B错误；
又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x)x＋3ax，
0 0 0
∴2b＝3a(1＋x)，c＝3ax，∵x<－1<0∴c＝3ax<0, 故A正确；
0 0 0 0
∵x<－1<0，∴1＋x<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x)>0，故C正确；
0 0 0
f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于 0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故D错误．
12．(2022·南通模拟)定义：在区间I上，若函数y＝f(x)是减函数，且y＝xf(x)是增函数，则
称y＝f(x)在区间I上是“弱减函数”．根据定义，下列结论正确的是( )
A．f(x)＝在(0，＋∞)上是“弱减函数”
B．f(x)＝在(1,2)上是“弱减函数”
C．若f(x)＝在(m，＋∞)上是“弱减函数”，则m≥eD．若f(x)＝cos x＋kx2在上是“弱减函数”，则≤k≤
答案 BCD
解析 对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝xf(x)＝1不单调，故A错误；
对于B，f(x)＝，f′(x)＝，在(1,2)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
y＝xf(x)＝，y′＝＝>0在x∈(1,2)上恒成立，
∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确；
对于C，若f(x)＝在(m，＋∞)上单调递减，
由f′(x)＝＝0，得x＝e，
∴m≥e，y＝xf(x)＝ln x在(m，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D，f(x)＝cos x＋kx2在上单调递减，
f′(x)＝－sin x＋2kx≤0在x∈上恒成立⇒2k≤ ，
min
令h(x)＝，h′(x)＝，令φ(x)＝xcos x－sin x，
φ′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x<0，x∈，
∴φ(x)在上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0，
∴h′(x)<0，∴h(x)在上单调递减，h(x)>h＝，
∴2k≤⇒k≤，
令g(x)＝xf(x)＝xcos x＋kx3，则g(x)在上单调递增，
g′(x)＝cos x－xsin x＋3kx2≥0在x∈上恒成立，
∴3k≥ ，
max
令F(x)＝，F′(x)＝>0，x∈，
∴F(x)在上单调递增，F(x)0，当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x) ＝f ＝2－ln 3，
max
综上可知，f(x) ＝2－ln 3.
max
15．(2023·南京模拟)写出一个同时具有下列三条性质的三次函数f(x)＝________.
①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
答案 x3－3x(答案不唯一)
解析 f(x)＝x3－3x，f(x)为奇函数，f(x)有三个零点0，±，
f′(x)＝3x2－3，当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
①②③都满足，∴f(x)＝x3－3x满足题意．
16．(2022·郑州质检)已知过点P(a,1)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数a的取值范围
是________．
答案 (0，e)
解析 设曲线y＝ln x与其切线交于A(x，y)，
0 0
切线方程l：y＝kx＋b，y′＝，
由导数与切线方程斜率关系可得k＝y′| ＝，①
又∵切线过点P(a,1)，
∵要保证过点P(a,1)可以作曲线y＝ln x的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线y＝ln x上，
∴x≠a，
0
∴k＝，②
∵点A在曲线y＝ln x上，故y＝ln x，③
0 0
由①②③式可得＝⇒＝，
∴x(ln x－1)＝x－a，解得a＝2x－x·ln x，
0 0 0 0 0 0
令f(x)＝2x－x·ln x，
则f′(x)＝2－x·－ln x＝1－ln x，
令f′(x)＝0，故1－ln x＝0，
∴x＝e，
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
即f(x)在x＝e处取得最大值，故f(x) ＝f(e)＝2e－e·ln e＝e，
max
作出f(x)的草图如图所示，由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值，
即a∈(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程，
综上所述，a的取值范围为(0，e)．
