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第3讲第2课时 公式的灵活运用
题型 求值问题的多维研讨
维度1 给角求值
典例1求下列各式的值：
(1)cos 20°cos 40°cos 80°.
(2)sin 6°cos 24°sin 78°cos 48°.
(3)－sin 10°.
解：(1)cos 20°cos 40°cos 80°
本例和第(2)小题，都是巧妙构造倍角正弦，精彩之处在于最后的分子和分母两角正弦
值可约分，终成定值．
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝cos 12°cos 24°cos 48°cos 84°
类似表达式你能举出几个例子？如：cos ·cos ，cos ·cos ·cos ，cos ·cos ·cos ，cos
·cos ·cos ·cos ·cos 等等．
＝
＝
＝＝.
(3)原式＝ － sin 10°
始终在“变化角”的路上，最终只出现一个角. 这也符合化简的思维．
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：
(1)观察角，巧用诱导公式或拆分将角联系起来；
(2)观察函数名，使函数名统一；
(3)观察结构，灵活利用公式化简.\s\up7( )
对点练1求下列各式的值：
(1)；
(2)；(3).
解：(1)原式＝
＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
(3)原式＝
＝
＝
＝
＝＝－2.
维度2 给值求值
典例2(1)(2023·山东烟台5月模拟)已知α，β满足 sin(2 α ＋ β ) ＝ cos β ，tan α＝2，则2α
＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，转化为两个角的运算，两边展开后化切．
tan β的值为( )
A．－ B．－
C． D．
(2)已知sin＝， π< α < ，
可准确判断α－的象限，进而可知余弦符号．
求 cos 的值．
寻找结论和已知条件的联系．即：
2α－＝2＋.
解析：(1)因为sin(2α＋β)＝cos β，
所以 sin( α ＋ α ＋ β ) ＝ cos( α ＋ β － α ) ，
【会思考】由于对sin(2α＋β)＝cos β直接展开不能得出α与β的关系，因此需要进行
合理的拆角．
即sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝cos(α＋β)·cos α＋sin αsin(α＋β)，
显然 cos α≠0，两边同时除以 cos α 得 tan α cos( α ＋ β ) ＋ sin( α ＋ β ) ＝ cos( α ＋ β ) ＋ tan
α sin( α ＋ β ) ，【关键提醒】题设已知tan α＝2，故在等式中化简出tan α.
即2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，则tan(α＋
β)＝1，
tan β ＝ tan( α ＋ β － α ) ＝＝
设计解题思路，不可盲目运算，高考试题尤其注重这点．
＝－，故选A．
(2)解：∵sin＝，<α－<π，∴cos＝－.
方法一：∵ cos α ＝ cos
α＝＋，向已知中角的形式靠拢．
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－，
sin α＝sin
＝sincos＋cossin
＝×－×＝－，
∴ cos ＝ cos
角的变换：2α－＝＋α.
＝coscos α－sinsin α
＝－×－×＝.
方法二：cos
＝cos 2αcos＋sin 2αsin
＝(cos 2α＋sin 2α)，
cos 2α＝－sin＝－sin
＝－2sincos
＝－2××＝，
sin 2 α ＝ cos ＝ 1 － 2sin 2
这里角的转化，非常巧妙地应用到了倍角公式．
＝1－2×＝，
∴原式＝×＝.
给值求值问题的解题关键
(1)给值求值问题的解题关键在于“变角”，用已知角表示待求角，求解时一定要注意
角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等．
(2)常用变换：
sin 2x＝cos＝－cos，
cos 2x＝sin＝sin.\s\up7( )
对点练2(1)(2024·湖北襄阳模拟)已知tan＝2，则cos＝( )
A． B．－
C． D．－
(2)(2024·湖南炎德英才大联考)设α是锐角，且cos＝，则sin的值为________．
解析：(1)∵tan＝2，∴cos＝cos＝cos2－sin2
＝
＝
＝＝－.故选B．
(2)∵cos＝，
∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，
∵α为锐角，且cos＝>0，
∴0<α＋<，
∴0<α<，则<2α＋<π，
∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sincos －cos·sin ＝×－×＝.
答案：(1)B (2)
维度3 给值求角
典例3(1)(2024·安徽安庆模拟)设α∈，β∈，且cos β＝tan α(1＋sin β)，则( )
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
(2)已知α，β∈(0，π)，且 tan( α － β ) ＝， tan β ＝－，求 2 α － β 的值 ．
【思路设计】由α－β和β角，计算出α＝(α－β)＋β的正切，进而结论中的2α－β＝α
＋(α－β)．
(1)解析：由cos β＝tan α(1＋sin β)，可得 cos β＝(1＋sin β)，整理得 cos α cos β － sin
α sin β ＝ sin α ＝ cos ，即 cos( α ＋ β ) ＝ cos .
切化弦后，整理成同名三角函数，讨论α＋β和－α是不是余弦的同一单调区间内的角．
又α∈，β∈，则α＋β∈(0，π)，－α∈.故α＋β ＝－α，即2α＋β＝.故选D．
(2)解：∵ tan α ＝ tan[( α － β ) ＋ β ] ＝
体现出“用已知表示未知”的基本变形思路．
＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<.
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0.
∴2α－β＝－.
给值求角的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角
的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.\s\up7( )
对点练3(1)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A． B．
C．或 D．或
(2)(2024·河北石家庄模拟)已知角α∈，tan＝，则α＝________.
解析：(1)因为α∈，所以2α∈，又因为sin 2α＝，所以2α∈，α∈，所以cos 2α＝－.又
因为β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，又因为α＋β∈，故α＋β＝.故选A．
(2)∵tan＝，∴＝，∴sin＝cos，∴sincos α＋sincos＝cossin α－cossin，∴sincos＋
cossin＝cossin α－sincos α，∴sin＝sin，∵α∈，
∴α－∈，∴＝α－，则α＝＋＝.
答案：(1)A (2)
题型 三角函数式的化简与证明
典例4化简：
(1).
角的形式不统一，先把前部分化为单角．
(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
解：(1)原式＝
另一算法：＝2·.
＝·
＝·＝.
(2)方法一(从“角”入手，化复角为单角)：
原式＝ sin 2 α sin 2 β ＋ cos 2 α cos 2 β － (2cos 2 α － 1)(2cos 2 β － 1) 化角的过程也带动了运算的变
化．
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝ sin 2 α sin 2 β ＋ cos 2 α sin 2 β ＋cos2β－
“1”的妙用：sin2α＋cos2α＝1.
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二 ( 从“名”入手，化异名为同名 ) ：
抓住一方面，“毕其功于一役”，总可收到效果．
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
＝ cos 2 β － cos 2 β
＝－ cos 2 β ＝.
这里运用降幂升角的方法，都化为倍角．
方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)：
原式＝ · ＋ · － cos 2 α cos 2 β ＝(1＋cos 2αcos 2β
都转化为二倍角，再运算．
－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝.
方法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)：
原式＝ (sin α sin β － cos α cos β ) 2 ＋ 2sin α sin β cos α cos β － cos 2 α cos 2 β
增项减项，构造完全平方关系．
＝cos2(α＋β)＋sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β
＝ cos 2 ( α ＋ β ) － cos(2 α ＋ 2 β )＝ cos 2 ( α ＋ β ) － [2cos 2 ( α ＋ β ) － 1] ＝ .
再应用倍角公式，异角化同角．
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，
能求值的求出值，减少角的个数．
(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名
称的统一．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.\s\up7( )
对点练4化简：(1)；
(2).
解：(1)
＝＝＝4sin α.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
典例5已知 ＝ cos( α ＋ β ) ，求证：tan β＝
需从已知中展开cos(α＋β)，把β分离出来，化切后可分离tan β.
.
证明：因为＝cos(α＋β)，
所以sin β＝sin α(cos αcos β－sin αsin β)，
即sin β(1＋sin2α)＝sin 2αcos β，所以tan β＝＝＝，
降幂升角公式的运算．
故tan β＝成立．
证明三角恒等式的基本原则
①“化繁为简”；②“化异为同意识”，化异角为同角、化异名为同名、化异次为同
次．
对点练5求证：
＝sin 4α.
证明：左边＝
＝2cos2α·(－cos 2α)·＝cos2α·cos 2α·＝cos2α·cos 2α·tan α＝cos α·cos 2α·sin α＝sin 2α·cos
2α＝sin 4α＝右边，所以原等式成立．
