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第 29 讲 变力做功的 6 种计算方法
一．知识回顾
方法 举例说法
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W，则有：
F
1.应用动
W－mgL(1－cosθ)＝0，得W＝mgL(1－cosθ)
F F
能定理
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功 W＝
f
F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
2.微元法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
3.等效
转换法
弹簧由伸长x被继续拉至伸长x的过程中，克服弹力做功W＝·(x－x)
1 2 2 1
4.平均
力法
在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所
做的功
6.图像法
7.功率法 汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt
二.例题精析
题型一：应用动能定理
例1．如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统
静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中弹性势
能的变化量△E 和力F做的功W分别为（ ）
pm2g2 m2g2 m2g2 2m2g2
A． ， B． ，
k k k k
m2g2 2m2g2
C．0， D．0，
k k
题型二：微元法
R
例2．在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道有半径分别为 和R的两个半圆构成，现用大小恒
2
为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向
一致，则此过程中拉力所做的功为（ ）
3
A．0 B．FR C． πFR D．2 FR
2
π
题型三：等效转换法
例3．如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为 m、可视为
质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为 ，当小物块从水平面上的A点被拖动到水平
面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动θ 到定滑轮O处，BO间距离也为L，小物块
与水平面及斜面间的动摩擦因数均为 ，若小物块从A点运动到B点的过程中，F对小物块做的
功为W ，小物块在BO段运动过程中μ克服摩擦力做的功为W，则以下结果正确的是（ ）
F f
A．W ＝FL（2cos ﹣1） B．W ＝2FLcos
F F
C．W＝ mgLcos θ D．W＝FL﹣mgθLsin2
f f
题型四：平均值法
μ θ θ
例4．当前，我国某些贫困地区的日常用水仍然依靠井水。某同学用水桶从水井里提水，井内水面
到井口的高度为20m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为10kg。由于水桶漏水，在被匀速提
升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2．由图象可知，在提水的整个过程中，拉力对
水桶做的功为（ ）
A．2000J B．1800J C．200J D．180J
题型五：图像法
例5．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长
状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数 ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向
建立x轴。现对物块施加水平向右的外力F，μF随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至
x＝0.4m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为（g＝10m/s2）（ ）
A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.0J
题型六：通过功率求功
（多选）例6．一辆汽车从静止开始启动，其加速度与速度的倒数关系如图所示，已知汽车的质量
为m，汽车启动过程受到的阻力恒定，图中 b、c、d已知，则（ ）
A．汽车启动过程的功率越来越大
mb
B．汽车启动过程的功率恒为
d-c1
C．汽车启动过程的最大速度为
d
mbc
D．汽车启动过程受到的阻力为
d-c
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示装置，AB为光滑竖直管道，高度h＝8m，BCD为半径R ＝2m的光滑半圆
1
轨道，DE为半径R ＝3m的粗糙四分之一圆轨道，现有质量m＝1kg的小球从A点由静止释放，
2
进入到装置中。已知小球到达E点时，小球对外轨道的压力为1.5mg，g＝10m/s2，下面正确的
是（ ）
A．整个运动过程中，小球的机械能守恒
B．小球到达最低点C点时，对轨道的压力为100N
C．整个运动过程，摩擦力做的功W＝﹣37.5J
f
D．小球从E点离开轨道，再次落到地面上时的动能为E ＝87.5J
k
2. 水平转盘可绕竖直中心轴转动，如图甲所示。一小物块质量为m，放在转盘上到中心
O的距离为r处，随着转盘角速度缓慢增大，小物块所受摩擦力F随时间变化的图像如图乙所
示，小物块相对转盘始终未发生移动。则从t 到t 时间内，摩擦力对小物块做的功为（ ）
1 2
1
A．3F r B．2F r C．F r D． F r
0 0 0 0
2
3. 如图，一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，
从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为 处。重力加速度为g，则下列说法正确的是
θ（ ）
A．小球的重力势能增加mglcos
B．拉力F所做的功为mgl（1﹣θcos ）
mglsin2θ
θ
C．拉力F所做的功为
cosθ
D．拉力F所做的功为Flsin
4. 新冠疫情对旅游行θ 业冲击巨大，为促进浙江温州当地旅游经济健康发展，温州某景区
特从国外引进刺激异常的峡谷秋千。对外正式开放该峡谷秋千前，必须通过相关部门安全测试。
某次调试该秋千安全性能实验时，工作人员将质量为80kg的“假人”从最高点由静止释放，
测得“假人”摆到最低处的速度为50m/s。已知该秋千由两根长度均为600m，最高点与秋千最
低点高度差300m。关于这次测试，下列说法正确的是（ ）
A．在经过最低点时，单根绳子的拉力为400N
B．在经过最低点时，“假人”所受向心力约为1133N
C．秋千在来回摆动过程中，“假人”在最低点时向心力不受风的影响
D．本次从静止到最低点过程中“假人”克服空气阻力做功1.4×105J
5. 如图所示，一内壁粗糙的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为 R（比细管内径大
得多），在圆管中有一个直径略小于细管内径、质量为m的小球。设某时刻小球通过轨道的最
低点时对管壁的压力为9mg，此后小球沿细管作圆周运动，且恰能通过圆周最高点，则小球从
最低点到最高点的过程中克服细圆管摩擦力所做的功是（ ）3mgR
A．3mgR B．2mgR C．mgR D．
2
1
6. 全运会小轮车泥地竞速赛赛道由半径为R的 圆弧组成，如图所示，选手从赛道顶端
4
A由静止无动力出发冲到坡底 B，设阻力大小不变恒为 f，始终与速度方向相反，且满足
mg
f = ，选手和车总质量为m，重力加速度为g，路程S ＝2S ．则选手通过C点的速度为
BC AC
π
（ ）
A．√π-1 B．√π-2√2-√3 C．√3√3-1 D．√2
gR gR gR gR
π π 3 3
7. 如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下由静止开始沿水平地面运动，推力
大小 F 随位移大小 s 变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数 ＝0.5，g 取
10m/s2，则（ ） μ
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为400JC．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．物体的总位移为10m
8. 如图所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作
用下从平衡位置P点缓慢地移到Q点，此时悬线与竖直方向夹角为 ，则拉力F做的功为（
） θ
A．mgLcos B．mgL（1﹣cos ）
C．FLsin θ D．FLcos θ
9. θ（多选）如图，一轻质弹簧下端固定，直立于θ水平面上，将质量为 m的物体A从离
弹簧顶端正上方h高处静止释放，当物体A下降至最低点P时速度变为零，此时弹簧压缩量为
x ；若将质量为0.5m的物体B按压在压缩量为x 处释放（与弹簧不链接），不计一切阻力。
0 0
弹簧未超出弹性限度。下列说法正确是（ ）
A．物体B回到h处时的速度为
√2g(h+x )
0
B．物体B距弹簧顶端最大距离2h+x
0
C．物体A和物体B动能最大时，弹簧形变量相同
D．物体B落回时最大压缩量等于x
0
10. （多选）用长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为 的光
滑斜面体，斜面体放在水平面上，开始时小球与斜面接触且细绳恰好竖直，如图所示。现θ在用
水平推力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面平行，则在此过程中（ ）A．小球受到的斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不做功
B．细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功
C．若水平面光滑，则推力做功为mgL（1﹣sin ）
D．由于缓慢推动斜面体，故小球所受合力可视θ为零，小球机械能不变
