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第 37 讲 运用功能关系分析解决（实际）问题
1．（2021·山东）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直
墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静
止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤
去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦
力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表
1
示为：E = kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
P 2
（1）求B、C向左移动的最大距离x 和B、C分离时B的动能E ；
0 k
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值F ；
min
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为x ，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服
BC
弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fx 的大小；
BC
（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在
坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去
F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
一.知识回顾
1．功能关系
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量转化必通过做功来实现。
2.对功能关系的进一步理解(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，
具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
3．几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
(1)合力做正功，动能增加
合力做功 动能变化 (2)合力做负功，动能减少
(3)W＝E－E＝ΔE
k2 k1 k
(1)重力做正功，重力势能减少
重力势
重力做功 (2)重力做负功，重力势能增加
能变化
(3)W＝－ΔE＝E－E
G p p1 p2
(1)弹力做正功，弹性势能减少
弹簧弹 弹性势
(2)弹力做负功，弹性势能增加
力做功 能变化
(3)W＝－ΔE＝E－E
F p p1 p2
(1)静电力做正功，电势能减少
电势能
静电力做功 (2)静电力做负功，电势能增加
变化
(3)W ＝－ΔE
电 p
(1)安培力做正功，电能减少
电能
安培力做功 (2)安培力做负功，电能增加
变化
(3)W ＝－ΔE
安 电
除重力和系统 (1)其他力做正功，机械能增加
机械能
内弹力之外的 (2)其他力做负功，机械能减少
变化
其他力做功 (3)W＝ΔE
机
一对相互作用的 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力的总功一定为负值，系统
滑动摩擦力的总 内能变化 内能增加
功 (2)Q＝F·L
f 相对
4.功能关系的选用原则
(1)总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动
能的变化用动能定理分析。
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)只涉及电势能的变化用静电力做功与电势能变化的关系分析。
5. 能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或
者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
（2）适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条
规律。
（3）表达式①E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
②ΔE ＝ΔE ，增加的能量总和等于减少的能量总和。
增 减
二.例题精析
题型一：定性分析
例1．关于功和能的关系，下列说法正确的是（ ）
A．物体做了多少功，就表示它原来具有多少能
B．物体具有多少能，就能做多少功
C．物体做了多少功，就有多少能量消失了
D．能量从一种形式转化为另一种形式时，可以用功来量度能量转化的多少
题型二：定量计算
例2．发光弹弓弹射飞箭是傍晚在广场常见的儿童玩具，其工作原理是利用弹弓将发光飞箭弹出后
在空中飞行。若小朋友以大小为E的初动能将飞箭从地面竖直向上弹出，飞箭落回地面时动能
7
大小为 E，设飞箭在运动过程中所受空气阻力的大小不变，重力加速度为g，以地面为零势能
8
面，则下列说法正确的是（ ）
1
A．飞箭下降阶段克服空气阻力做的功为 E
8
5
B．飞箭上升过程中重力做功为 E
16
1
C．飞箭在最高点具有的机械能为 E
8
D．飞箭所受空气阻力与重力大小之比为1：15
三.举一反三，巩固训练
1. 从2013年北京、张家口联合申办冬奥会开始，习近平主席就曾在多个公开场合表现
出对冰雪运动的重视“带动三亿人参与冰雪运动”是习近平主席对开展群众性冰雪运动的谆谆
嘱托，也是中国冰雪运动发展的重要目标。质量为60kg的滑雪运动员从雪道上的某点腾空而
起，空中飞行一段时间后落在比起点低的雪道上，落点与腾空起点的竖直距离为10m，空中飞
行过程中运动员克服阻力做功100J。重力加速度取g＝10m/s2，则关于运动员空中飞行过程的
下列说法正确的是（ ）A．他的动能增加了6000J
B．他的机械能减少了100J
C．他的重力势能减少了5900J
D．他的机械能保持不变
2. 如图所示，将3个木板1、2、3固定在墙角，现将一个可以视为质点的物块分别从3
个木板的顶端由静止释放，物块沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数均为 。下
列说法正确的是（ ） μ
A．物块沿着1和2下滑到底端时速度大小相等
B．物块沿着3下滑到底端时速度最大
C．物块沿着1下滑到底端的过程中，产生的热量最多
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多
3. 滑沙是人们喜爱的游乐活动，如图是滑沙场地的一段斜面，其倾角为 30°，设参加活
动人和滑车总质量为m，人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止开始匀加速下滑加
速度为0.3g，人和滑车可视为质点，不计空气阻力，则从顶端向下滑到底端B的过程，下列说
法正确的是（ ）
A．人和滑车减少的重力势能全部转化为其动能
B．人和滑车获得的动能为0.6mghC．人和滑车增加的机械能为0.4mgh
D．人和滑车克服摩擦力做功为0.2mgh
4. 如图甲所示，原长为l 的轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为m＝0.2kg的小球从
0
弹簧上端某高度（对应图像P点）自由下落，其速度v和离地高度h之间的关系图像如图乙所
示，其中A为曲线的最高点，B是曲线和直线的连接点，空气阻力忽略不计，小球和弹簧接触
瞬间机械能损失不计，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．P点的离地高度为2.15m，弹簧的原长l ＝0.61m
0
B．小球运动的过程中，加速度的最大值为51m/s2
C．从小球开始运动到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的机械能守恒
D．从小球接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的
增加量
5. 如图所示，一轻弹簧放在倾角 ＝30°且足够长的光滑斜面上，下端固定在斜面底端的
挡板上，上端与放在斜面上的物块A连接θ ，物块B与物块A（二者质量均为m）叠放在斜面上
1
并保持静止，现用大小等于 mg的恒力F平行斜面向上拉B，当运动距离为L时B与A分离。
2
下列说法正确的是（ ）
A．弹簧处于原长时，B与A开始分离
3mg
B．弹簧的劲度系数为
4L
C．弹簧的最大压缩量为L
D．从开始运动到B与A刚分离的过程中，两物体的动能一直增大
6. 如图所示，一弹性轻绳（弹力与其伸长量成正比）左端固定在墙上A点，右端穿过一固定的光滑圆环B连接一个质量为m的小球，小球在B点时，弹性轻绳处在原长状态。小球
穿过竖直固定杆在C处时，弹性轻绳的弹力大小为mg。将小球从C点由静止释放，到达D点
时速度恰好为0。已知小球与杆间的动摩擦因数为0.2，A、B、C在一条水平直线上，BC＝l，
CD＝h，重力加速度为 g，弹性绳始终处在弹性限度内。则小球从 C 运动到 D 的过程中
（ ）
A．受到的摩擦力一直增大
B．下落0.8l的高度时，小球加速度为零
C．小球在D点时，弹性轻绳的弹性势能为0.8mgh
D．若仅把小球质量变为3m，则小球到达D点时的速度大小为√2gh
7. 粗糙水平面上有甲、乙两个相同材料的物块，两物块均可看作质点，它们运动的 v一
t图象如图所示，4s时两物块发生了完全非弹性碰，已知甲物体的质量为1kg，重力加速度为g
＝10m/s2，根据图象可知下列说法正确的是（ ）
A．乙物块质量为0.5kg
B．物块与水平面之间的动摩擦因数为 ＝0.2
C．从0时刻到两物体相遇，甲比乙多走μ的位移Δx＝80m
D．两小球碰撞过程中损失的机械能为75J
8. 2022年2月4日冬奥会将在北京开幕。运动员某次测试高山滑雪赛道的一次飞越，整
个过程可以简化为：如图所示，运动员从静止开始沿倾角 ＝37°的斜直滑道顶端自由滑下，从
θA点沿切线进入圆弧轨道，最后从与 A等高的C点腾空飞出。已知运动员在 A点的速度为
108km/h，在最低位置B点的速度为144km/h，圆弧轨道半径为R＝200m，运动员和滑板的总
质量m＝50kg，滑板与斜直滑道的动摩擦因数为 ＝0.125（不计空气阻力，在A点无机械能损
失，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。则（μ ）
A．滑板在B点对轨道的压力为900N
B．斜直滑道的长度为100m
C．从A到B点损失的机械能为12500J
D．在C点的速度为10 m/s
9. 如图a所示，在光滑的水平面上，轻弹簧右端与物块A拴接，物块A与物块B间有少
1
量的粘合剂，能承受最大的拉力为 F ，且物块A和B的质量均为m。以物块A的位置为坐标
0
4
原点。A所受弹簧弹力与坐标的关系如图b所示，F 和x 均为已知量，取A所受弹力水平向右
0 0
为正方向。现在向左推物块A和B压缩弹簧至﹣x 处，将物块A和B由静止释放后（ ）
0
A．B与A分离时的位置坐标为原点
1
B．B与A分离时的位置坐标为 x 处
0
2
1
C．B与A分离之前，弹簧减少的弹性势能为 F x
2 0 0
D．B与A分离之前，A的速度为√3F x
0 0
8m10. 如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置
于光滑水平桌面上（桌面足够大），A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．
开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下
列有关该过程的分析中正确的是（ ）
A．B物体受到细线的拉力保持不变
B．B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
C．A物体动能的增量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和
D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于B物体重力对B做的功
11. 在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可视为质点）
从弹簧上端由静止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系
如图所示，其中a 和x 为已知量。下列说法中正确的是（ ）
0 0
A．当弹簧压缩量为x 时，小球P的速度为零
0
B．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为ma
0
C．弹簧劲度系数为ma
0
2x
0
1
D．当弹簧压缩量为x 时，弹簧的弹性势能为 ma x
0 0 0
2
12. 如图所示，在光滑水平台面上，一个质量m＝1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住。
现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方
向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知A、B的高度差h＝0.8m，水平距离s＝1.2m，圆弧轨道
的半径R＝1m，C点在圆弧轨道BC的圆心O的正下方，并与水平地面上长为L＝2m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g＝
10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，空气阻力忽略不计。试求：
（1）小物块运动到平台末端A的速度大小v ；
0
（2）弹簧被锁扣锁住时所储存的弹性势能E ；
p
（3）圆弧BC所对的圆心角 ；
（4）若小物块与墙壁碰撞后θ以原速率反弹，且只会与墙壁发生一次碰撞并最终停在轨道CD间，
那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数 应满足什么条件。
μ
13. 如图甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三个小球，A、B两球分别用水平轻杆通过
光滑铰链与C球连接，两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相
连.固定住C球，释放弹簧，球与弹簧分离瞬间杆中弹力大小F＝10N。已知A、B两球的质量
均为m ＝0.2kg，C球的质量m ＝0.4kg，杆长L＝1.0m，弹簧在弹性限度内。
1 2
（1）求弹簧释放的弹性势能E ；
p
（2）若C球不固定，求释放弹簧后C球的最大速度v；
（3）若C球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为 ＝120°时（如图乙），A球绕C球转
动的角速度 。 θ
ω
