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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四
知识点一 椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题
典例1、已知椭圆 的左右焦点为 ，且 ，直线 过 且与椭圆 相交
于 两点，当 是线段 的中点时， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当线段 的中点 不在 轴上时，设线段 的中垂线与 轴交于点 ，与 轴交于点 为椭
圆的中心，记 的面积为 的面积为 ，当 取得最大值时，求直线 的方程．
随堂练习：已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，
为
坐标原点，（1）若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程：
（2）过点 作斜率 的直线 交椭圆 于不同两点 ， ，点 在椭圆的内部，在椭圆上存
在点 ，使 ，记四边形 的面积为 ，求 的最大值.
典例2、已知椭圆 ： 与抛物线 ： 有相同的焦点 ，抛物线 的准线
交椭圆于 ， 两点，且 .
（1）求椭圆 与抛物线 的方程；
（2） 为坐标原点，过焦点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值.随堂练习：在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，过点 ，且
是椭圆 的内接三角形.
（1）若点 为椭圆 的上顶点，且原点 为 的垂心，求线段 的长；
（2）若点 为椭圆 上的一动点，且原点 为 的重心，求原点 到直线 距离的最小值.
典例3、已知椭圆 经过点 ，其右顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 、 在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为 ，证明直线 经过定点．随堂练习：已知F是椭圆 的左焦点，焦距为4，且C过点 ．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l，l，若l与C交于A，B两点，l与C交于D，E两点，记AB
1 2 1 2
的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，
请说明理由．
知识点二 直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x，y）和B
1 1
（x，y）两点.
2 2
（1）当x+x＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C
1 2
交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S与S，求SS的最小值.
1 2 1 2随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，斜率为2的直线 与抛物线 相交于 、 两点．
（1）若直线 与抛物线 的准线相交于点 ，且 ，求直线 的方程；
（2）若直线 不过原点，且 ，求 的周长．
典例5、已知抛物线C： 的焦点为F，点 在抛物线C上，且 ．
（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求 面积．随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求 的面积．
典例6、已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点．
（1）过 作垂直于 轴的直线与抛物线 交于 两点， 的面积为 ．求抛物线 的标准方程；
（2）抛物线上有 两点，若 为正三角形，求 的边长．随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上的动点， 为 在动直线
上的投影，当 为等边三角形时，其面积为 .
（1）求抛物线 的方程；（2）设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于A，
两点，直线 与线段 交于点 ，试问：是否存在 ，使得 和 的面积相等恒成立？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四答案
典例1、答案：（1） （2）解：（1）由于 ，所以 ，则右焦点的坐标为 ，
当 时，代入椭圆方程为 ，故当 是线段 的中点时，此时 轴，
故 ，又 ，联立即可求解
解得 ， ， ， 椭圆 的标准方程： ；
（2）由线段 的中点 不在 轴上可知直线 有斜率且不为0，
设过椭圆 的右焦点的直线 的方程为 ， ， 设 ， ， ， ，
联立 整理得： ，
由韦达定理得 ， ． ．
为线段 的中点，则可得点 ，．
，
又直线 的斜率为 ，直线 的方程为： ．
令 得， ，故 令 得， ,故
因此 ,
, 故令 ， 故 ，记 ，
故当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取最大值 ，故此时 取最大值 ，
此时 ， 此时直线 的方程为
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1） ，∴ ， ， ，又 ，
解得 ，所以椭圆 的标准方程为： .
（2） ，∴ ，椭圆 ，
令 ，直线l的方程为： ，
联立方程组： ， 消去y得 ，
由韦达定理得 ， ， 有 ，
因为： ，所以 ， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，
而此时： . ，而 ， O点到直线l的距离 ，
所以： ，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得 ， 又 ，所以
，当 ，即 时等号成立. 所以 的最大值是 .
典例2、答案：（1）椭圆 的方程为： ，抛物线 的方程为： ；（2）最大值为1.
解：（1）因为 ，所以不妨设 的坐标为 ， 的坐标为 ，
所以有： ，∴ ， ，
∴椭圆 的方程为： ，抛物线 的方程为： ；
（2）由（1）可知： 的坐标为： ，
设直线 的方程为： ， 到 的距离为 ，则 ，
联立 可得： ，则 ，
，
当且仅当 时取等号，故 面积的最大值为1.随堂练习：答案：（1） ；（2） .
解：（1）设焦距为 ，由题意知： ，
因此，椭圆 的方程为： ；
由题意知： ，故 轴，设 ，则 ， ，
，解得： 或 ，
， 不重合，故 ， ，故 ；
（2）设 中点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点， 为 的重心，则 ，
当 斜率不存在时，点 在 轴上，所以此时点 在长轴的端点处
由 ,则 ，则 到直线 的距离为1；
当 斜率存在时，设 ： ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 ，即
也即
，则
，则： ， ，代入式子得： ，
设 到直线 的距离为 ，则 时， ；
综上，原点 到直线 距离的最小值为 .
典例3、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知， ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）证明：若 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 与 也关于 轴对称，
从而直线 与 的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线 方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，可得
，
由韦达定理可得 ， ，因为 ，
整理可得 ，
即 ，化简得 ，
即 ，可得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意.
综上所述，直线 过定点 ．
随堂练习：答案：（1） （2）过定点，定点坐标为
解：（1）依题意 ， 由 解得 ， 所以椭圆 的方程为 .
（2）由题意知，当 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 ，此时直线 为 轴；
当 的斜率都存在且不为 时，设 ，
设 ，联立 ，整理得 ，
， ，
则 ， 所以 的中点 ，
同理由 ，可得 的中点 ， 则 ，所以直线 的方程为 ，化简得 ，
故直线 恒过定点 ． 综上，直线 过定点 .
典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.
解:（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，
可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y+y＝4m，yy＝﹣8，所以x+x＝my+2+my+2＝m（y+y）+4＝4m2+4，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
因为x+x＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，
1 2
所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；
（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y+y＝4m，yy＝﹣8，则S |PF| |y﹣y| 2 ，
1 2 1 2 1 1 2
因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，
但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为 ，
因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x﹣2），
即mx+y﹣2m＝0， 联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，
设M（x，y），N（x，y），可得x+x ，xx＝4，
3 3 4 4 3 4 3 4
则y﹣y＝m（2﹣x）﹣m（2﹣x）＝﹣m（x﹣x），
3 4 3 4 3 4
因此|y﹣y|＝|m| |x﹣x|＝|m| |m| ，
3 4 3 4
所以S |PF| |y﹣y| 1 ，
2 3 4
所以SS＝2 4 4 4 4
1 2
12，
当且仅当2m2 即m＝±1时等号恒成立，所以SS的最小值为12.
1 2随堂练习：答案： （1） ；（2） .
解:（1）由抛物线 可知 ，准线为 ，
设直线 的方程为 ，则点 的坐标为 ，
联立方程 ，消去 后整理为 ，
又由 ，可得 ，
由点 的坐标为 ，有 ，
解得 或 （舍去），故直线 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， 点 、 的坐标分别为 ， ，
联立方程 ，消去 后整理为 ， 可得 ， ，
又由 ，可得 ． 又由 ， ，
可得 ，
得 （舍去）或 ．由 ，可得 ， ，
所以 ，
， 故 的周长为 ．
典例5、答案: （1） （2）解：（1） ， 又点 在抛物线C上，
根据抛物线的定义， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，
代入 得， ， 所以 ， 所以抛物线C： .
（2）根据题意，F坐标为 ， ， 所以直线 .
联立 和 ，所以 ，
所以 所以 ， 所以
随堂练习：答案： （1） （1）
解：（1） ，则由抛物线性质得 ， ∴ ，∴ ，
即抛物线的标准方程是 .
（2）由题意得，抛物线的焦点为 ， ∴斜率为1的直线 的方程为 ， ，
，
， 所以 ， ，
∴ 原点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积
典例6、答案：（1） （2）解：（1）由抛物线方程知： ， 为抛物线的通径，则 ，
，解得： ， 抛物线 的标准方程为： .
（2） 为正三角形， ，由抛物线对称性可知： 轴，
设 ，则 ，解得： ， ，
， ，解得： ， ，即 的边长为
.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）由题意得： ，由抛物线定义可知：此时 ，
过点F作FD⊥P Q于点D，由三线合一得：D为PQ中点，
且 ，可得： 所以抛物线方程为
（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，
设 ，由 得：直线 斜率为 ，则可设直线 ： ，
整理得： ，联立 得： ，
设 ， 则 ， 则 ， 由 得直线OQ： ，联立直线OQ与直线l得： ， 从而 ，可得： ，解得： .
