江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期1月期末教学质量调研数学试题_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考

2022－2023 学年度高三年级第一学期期末教学质量调研 数 学 试 题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的． 1． 设集合A  x x2 2x3≤0  ，B  x ylog xa ，若AB，则实数a的取值范围 2 为( ) A． 3， B． 1，3 C． ，1 D． ，1  2． 已知复数z满足 1iz3i，则z的虚部为( ) A．1 B．1 C．i D．i 3． 设等比数列a 的前n项和为S ，已知a 3，S 3S ，则a ( ) n n 1 6 3 7 A．6 B．12 C．18 D．48            4． 已知向量a，b满足ab3， a2b a a ，则 a ( ) A． 5 B．1 C． 2 D．3 2 1 0.2 1 5． 设a ，b   ，csin ，则( ) log 2 3 2 2 A．cba B．bac C．cab D．bca  π 6． 已知函数 f x 3sinx  0的图象向左平移0个单位长度后与其导函  6 数y f 'x的图象重合，则 f 的值为( ) 3 6 3 A．0 B． C． D． 2 2 2 7． 在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎 无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文 诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论 顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系， 高三数学 第 1 页 共 6 页如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完 全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文 数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是 ( ) A．8 B．10 C．11 D．13 x2 y2 8． 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：  1ab0的左，右焦点分别是F ， 1 a2 b2 F ，点P是椭圆C上一点，点Q是线段PF 靠近点F 的三等分点，若OP⊥OQ，则椭圆 2 1 1 C的离心率的取值范围是( ) 1   2  1 3  3  A． ，1 B．  ，1  C．  ，   D．  ，1  2   2  2 2   2  二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 下列统计量中，用于测度样本的集中趋势的有( ) A．中位数 B．平均数 C．众数 D．标准差 10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次 取1个球，记事件A ：第一次取出的是红球；事件A ：第一次取出的是白球；事件B： 1 2 取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则( ) A．事件A ，A 为互斥事件 B．事件B，C为独立事件 1 2 C．PB 2 D．P  C A  3 5 2 4   11．在棱长为1的正方体ABCD－A B C D 中，设BPBD ，其中0，1，则( ) 1 1 1 1 1 A．PC ⊥A D 1 1 π B．PA 与平面ABD 所成角的最大值为 1 1 3 1 C．若 ，则平面PAC∥平面A C D 1 1 2 2  D．若△PAC为锐角三角形，则 ，1 3  高三数学 第 2 页 共 6 页12．设定义在R上的函数 f x与gx的导数分别为 fx与g'x，已知 f xg3x1， f 'x1g'x，且 f 'x关于直线x1对称，则下列结论一定成立的是( ) A． f x f 2x0 B． f '20 C．g1xg1x D．g'xg'2x0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分． n  1  13．已知2x  的展开式中各二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为_____．  x 14．已知抛物线y2 2pxp0 的焦点为F ，过F 且斜率为 3直线与抛物线在第一象限交于 点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M ，若△AMF的面积为4 3，则 p _______． x2 2axa，x≤0， 15．已知函数 f x 恰有三个零点，则实数a的取值范围是_______． lnxax，x0 16．在平行四边形ABCD中，AB1，AD 5，AB⊥BD，将△ABD沿BD折起到△PBD的 位置，若二面角P－BD－C的大小为120°，则四面体PBCD的外接球的表面积为_____． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答． a a 1 ①a2 2a 4S 1；② n1  n  ． n n n n1 n nn1 已知S 为数列a 的前n项和，满足a 1，a 0，_____． n n 1 n （1）求数列a 的通项公式； n （2）设b S cosnπ，求数列b 的前2n1项和T ． n n n 2n1 高三数学 第 3 页 共 6 页18．(本小题满分12分) 为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，学校 在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表： 不合格 合格 合计 女生 120 100 220 男生 30 50 80 合计 150 150 300 （1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格 有关联？并说明理由． （2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一 些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工 3 1 1 达人”．已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为 ，，，求该参赛者在本 4 2 3 学期3轮挑战中成功的次数X的概率分布及数学期望E(X)． nad bc2 参考公式：2  ，nabcd ． abcdacbd P  2≥x  0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 5.024 6.635 7.879 10.828 0 高三数学 第 4 页 共 6 页19．(本小题满分12分) 在△ABC中，∠ACB的平分线CM与边AB交于点M，且AM＝CM＝1． π （1）若A ，求△ABC的面积S； 6    （2）求AM MC BM 的最小值． 20．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC－A B C 中，底面△ABC是边长为2的正三角形，A C＝A B， 1 1 1 1 1 平面A BC⊥平面ABC，M是棱B C 的中点． 1 1 1 （1）证明：AC ∥平面A BM； 1 1 3 （2）若四棱锥A －BCC M的体积为 ，求二面角A －BM－C的余弦值． 1 1 1 2 C 1 M A 1 B 1 C A B 高三数学 第 5 页 共 6 页21．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：x22  y2 4和定点F2，0，P为圆E上的动 点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点T(t，0)(－1＜t＜1)的直线l与曲线C交于点 M，N（异于点A），直线MA，NA与直线x＝t分别交于点G，H．若点F，A，G，H 四点共圆，求实数t的值． 22．(本小题满分12分) 已知函数 f xalnx ，gxx1ex，其中a为实数． （1）若函数 f x，gx的图象在x1处的切线重合，求a的值； （2）若ae，设函数hx f xgx的极值点为x ． 0 求证：①函数hx有两个零点x ，x (x ＜x )；②3x x x 1 ． 1 2 1 2 0 1 2 高三数学 第 6 页 共 6 页2022－2023 学年度高三年级第一学期期末教学质量调研 数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D A D B A 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 12 答案 ABC ACD ABD BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分． 题号 13 14 15 16 答案 60 2 第 1 页 共 10 页  − 1 e ， 0  8π 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 【解】（1）选①， a 2n + 2 a n = 4 S n − 1 ，则 a 2n + 1 + 2 a n + 1 = 4 S n + 1 − 1 ， 故a2 −a2 +2a −2a =4a ，即 n+1 n n+1 n n+1 a 2n + 1 − a 2n = 2 ( a n + 1 + a n ) ， 因 a n  0 ， a n + a n + 1  0 ，所以 a n + 1 − a n = 2 为定值， 故数列a 是首项a =1，公差为d =2的等差数列， n 1 所以 a n = 2 n − 1 ． ……………………5分 a a 1 a a 1 1 选②，因为 n+1 − n = ，故 n+1 − n = − ， n+1 n n(n+1) n+1 n n n+1所以 第 2 页 共 10 页 a nn + 1+ + 1 1 = a n + n 1 ，故数列  a n + n 1  是常数列， 所以 a n + n 1 = a 1 + 1 1 = 2 ，故 a n = 2 n − 1 ． ……………………5分 （2）由（1）知 a n = 2 n − 1 ， S n = n 2 ， 故 b n = n 2 c o s n π = ( − 1 ) n n 2 ， 所以 T 2 n − 1 = − 1 2 + 2 2 − 3 2 + 4 2 − + ( − 1 ) 2 n − 1  ( 2 n − 1 ) 2 = − 1 − ( 2 + 3 ) − ( 4 + 5 ) − −  ( 2 n − 2 ) + ( 2 n − 1 )  =−1−2+3+4+5+ +(2n−2)+(2n−1)   = − 1 − ( 2 n − 2 )  2 2 + ( 2 n − 1 )  = − 2 n 2 + n ． ……………………10分 18．(本小题满分12分) 【解】（1）提出假设H ：性别与作品合格与否无关． 0 2 3 0 0 1 5 (1 0 2 0 1 5 5 0 0 2 2 3 0 0 1 0 8 0 0 ) 2 6 .8 1 8 6 .6 3 5  =     −     ， 当 H 0 成立时， P ( 2 6 .6 3 5 ) 0 .0 1  ≥ = ， 所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关． ……………………5分 （2）X的所有可能值分别为0，1，2，3． 1 1 2 1 P(X =0)=   = ， 4 2 3 12 3 1 2 1 1 2 1 1 1 3 P(X =1)=   +   +   = ， 4 2 3 4 2 3 4 2 3 8 3 1 2 3 1 1 1 1 1 5 P(X =2)=   +   +   = ， 4 2 3 4 2 3 4 2 3 12 3 1 1 1 P(X =3)=   = ． ……………………9分 4 2 3 8 故X的概率分布为 X 0 1 2 3 1 3 5 1 P 12 8 12 81 3 5 1 19 E(X)=0 +1 +2 +3 = ， ……………………11分 12 8 12 8 12 所以参赛者在3轮挑战中成功的次数X的数学期望为 第 3 页 共 10 页 1 1 9 2 次． ……………………12分 19．(本小题满分12分) 【解】（1）在△AMC中，AM＝CM＝1． A = π 6 ，所以  A C M = π 6 ， 又CM是∠ACB的平分线， 所以  A C B = 2  A C M = π 3 ，  B C M = π 6 ， π 故B=π−A−ACB= ， 2 在Rt△CBM中，CM＝1，  B C M = π 6 ， 故 B M = 1 2 ， B C = 2 3 ， 所以△ABC的面积 S = 1 2  A B  B C = 1 2   1 + 1 2   2 3 = 3 8 3 ． ……………………5分 （2）设A=，则 A C M B C M   =  = ， C M B 2   = ， B π 3   = − ， 所以 0 0 0 2 π π 3 π π         −  ， ，  ， 解得 0 π 3    ， ……………………7分 在△CBM中，据正弦定理，得 s in B  M B C M = C M s in B ， 得 B M C M s in s B in C B M s in s( in π 3 ) s in s in 3     =   = − = ， 所以AM MC+ BM = AM MC cosCMB+ BM c o s 2 s in s in 3 c o s 2 s in c o s 2 s in c o s s in 2          = + = + + sin =cos2+ sincos2+2sinsin2 1 1 =cos2+ =cos2+ cos2+2cos2 2cos2+1 2cos2+1 1 1 = + − ……………………10分 2 cos2+1 2第 4 页 共 10 页 2 2 c o s 2 2 1 c o s 1 2 1 1 2   ≥ +  + − = 2 − 1 2 ， 当且只当 2 c o s 2 2 1 2 c o s 1 2 1   + = + ，即 c o s 1 2 2  = + 时，不等式取等号． 所以 A M  M C + B M 的最小值为 2 − 1 2 ． ……………………12分 20．(本小题满分12分) 【解】（1）连接AB 交A，B于N，连接MN． 1 在三菱柱ABC－A B C 中，四边形ABB A 平行四边形， 1 1 1 1 1 又 A B 1 A 1 B = N ，所以N是 A B 1 中点， 在△AC B 中，M是的B C 中点， 1 1 1 1 所以MN∥AC ， 1 又 M N  面 A 1 B M ， A C 1  面 A 1 B M ， 所以AC ∥平面A BM． 1 1 ……………………5分 （2）法一：取BC的中点O，连接OA， O A 1 ． 在△A CB中，AC = AB，O为BC的中点，所以 1 1 1 A O1 ⊥ B C ， 又面 A C1 B ⊥ 面 A B C ， A O1  面 A C1 B ，面 A 1 B C 面 A B C = B C ， 所以 A O1 ⊥ 面 A B C ． ……………………7分 在三菱柱ABC－A B C 中，四边形ABB A 是平行四边形， 1 1 1 1 1 因为M是棱B C 的中点，故 1 1 S M B B 1 = 1 3 S B C C M1 C 1 M A 1 B 1 N C A B z C 1 M ， A 1 B 1 3 又V = ， A1−BCC1M 2 N 1 1 C 所以V = V = ， A1−BMB1 3 A1−BCC1M 2 A O 1 1 1 所以V = ，即 S AO= ， B B−A1MB1 2 3 A1MB1 1 2 x y 1 1 1 3 而S = S =  2 3= ，所以AO= 3． A1MB1 2 ABC 2 2 2 1 ……………………9分以O为坐标原点， 第 5 页 共 10 页 O A ， O B ， O A 1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系O－xyz， 故 O ( 0 ， 0 ， 0 ) ， B ( 0 ， 1 ， 0 ) ， A 1 ( 0 ， 0 ， 3 ) ， C ( 0 ， − 1 ， 0 ) ， M − 3 ， 0 ， 3 ( ) ． 所以 B A 1 = 0 ， − 1 ， 3 ( ) ， B M = − 3 ， − 1 ， 3 ( ) ． 设平面 A 1 B M 的法向量 m = ( x ， y ， z ) ，  m⊥BA ， 则 1 即 m⊥BM ，  − − y + 3 x − 3 z y = + 0 ， 3 z = 0 ， 取 z = 1 ，得  x y = = 0 ， 3 ， 所以 m = 0 ， 3 ， 1 ( ) 是平面 A 1 B M 的一个法向量， 同理n=(1，0，1)是平面BMC的一个法向量， mn 01+ 30+11 2 所以cos m，n = = = ， m  n ( )2 4 0+ 3 +12  12 +02 +12 设二面角A −BM −C 的大小为， 1 2 由图可知，cos=cos m，n = ， 4 所以二面角A −BM −C 的余弦值为 1 4 2 ． ……………………12分 法二：取BC的中点O，连接 O A ， O A 1 ． 在△A CB中，AC= AB，O为BC的中点，所以AO⊥BC， 1 1 1 1 又面 A C1 B ⊥ 面 A B C ， A O1  面 A C1 B ，面 A 1 B C 面 A B C = B C ， 所以AO⊥面ABC． ……………………7分 1 以O为坐标原点， O A ， O B ， O A 1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系O－xyz， 故O(0，0，0)，B(0，1，0)，C(0，−1，0)． x 设A (0，0，h)，则M ( − 3，0，h ) ，h0， 1 设平面BCCM 的法向量n=(x，y，z)， 1则 第 6 页 共 10 页  n n ⊥ ⊥ O O B M ， ， 即  y − = 3 0 x ， + h z = 0 ， 取 x = h ，得  x z = = h ， 3 ， 所以 n = ( h ， 0 ， 3 ) 是平面 B C C 1 M 的一个法向量， 所以点 A 1 到平面 B C C 1 M OA n 3h 的距离d = 1 = ， n h2 +3 因为 V A1 − B C C M1 = 3 2 ，所以 1 3  1 2 ( 1 + 2 )  h 2 + 3  h 3 2 h + 3 = 3 2 ，解得 h = 3 ， 故 M ( − 3 ， 0 ， 3 ) ， n = ( h ， 0 ， 3 ) ， ……………………9分 ( ) 同理可得m= 0，3，1 是平面 A 1 B M 的一个法向量， mn 01+ 30+11 2 所以cos m，n = = = ， m  n ( )2 4 0+ 3 +12  12 +02 +12 设二面角 A 1 − B M − C 的大小为， 由图可知， c o s c o s m n 4 2  = ， = ， 所以二面角 A 1 − B M − C 2 的余弦值为 ． ……………………12分 4 法三：取 BC 的中点O，连接 O A ， O A 1 ，OM，过A 作A G 1 1 ⊥ OM，A H 1 ⊥ BM， 垂足分别为G，H，连结GH． 在△A CB中，AC = AB，O为BC的中点，所以AO⊥BC， 1 1 1 1 又面 A C1 B ⊥ 面 A B C ， A O1  面 A C1 B ，面 A 1 B C 面 A B C = B C ， 所以 A O1 ⊥ 面 A B C ． ……………………7分 又OA面ABC，所以OA ⊥ 1 O A ． 设 O A 1 = a ，则AA = a2 +3． 1 在等边△ABC中，O为BC的中点，所以 O A ⊥ B C C 1 M A 1 B 1 H G C O A B ， 又OA OA=O，OA ，OA面OAA ，所以BC⊥面OAA ， 1 1 1 1 因为AA 面OAA ，所以BC⊥AA ， 1 1 1 在三菱柱ABC－A B C 中，AA ∥CC ，四边形BCC B 是平行四边形， 1 1 1 1 1 1 1所以四边形BCC B 是矩形，CC ＝AA ＝OM＝ 1 1 1 1 第 7 页 共 10 页 a 2 + 3 ， 故四边形BCC M的面积为 1 1 2  ( 1 + 2 )  a 2 + 3 = 3 2 a 2 + 3 ． 因为AO⊥面 1 A B C ，故AO⊥面ABC ， 1 1 1 1 又 A 1 M  面 A 1 B C1 1 ，所以 A O1 ⊥ A 1 M ． 在Rt△OA M中， 1 A G1 = O A 1O  M A 1 M = a 3 2 a + 3 ． 因为BC⊥面OAA ，即BC⊥面OAA M， 1 1 A G1  面OAA M，所以 1 A G1 ⊥ B C ， 又A G⊥OM， 1 O M B C = O ，OM ，BC  面BCC M，所以A G 1 1 ⊥ 面BCC M， 1 所以四棱锥A －BCC M的体积为 1 1 1 3  3 2 a 2 + 3  a 3 2 a + 3 = 3 2 ，解得 a = 3 ， 6 所以AG= ， 1 2 A 1 B = 2 ， C C 1 = 6 ， B M = B B 21 + M B 21 = 7 ， 所以 A 1 B 2 + A 1 M 2 = B M 2 ， A 1 B ⊥ A 1 M ABAM 2 21 ，所以AH = 1 1 = ． 1 BM 7 因为A G⊥面BCC M，BM面BCC M，所以BM 1 1 1 ⊥ A G， 1 又BM⊥A H， 1 A G1 A 1 H = A 1 ， A G1 ， A 1 H  面A GH， 1 所以BM ⊥ 面A GH， 1 又GH面A GH，所以BM 1 ⊥ GH， 所以AHG是二面角A −BM −C 的平面角． ……………………10分 1 1 在Rt△A GH中， 1 s in  A 1 H G = A A G1H 1 = 2 2 7 6 2 1 = 1 4 4 ， 所以 c o s  A 1 H G = 1 − s in 2  A 1 H G = 1 −  1 4 4  2 = 4 2 ． 所以二面角A −BM −C 的余弦值为 1 4 2 ． ……………………12分 21．(本小题满分12分) 【解】（1）因为Q在线段PF的中垂线上，所以QP=QF，故 第 8 页 共 10 页 Q E − Q F = Q F − E P − Q F =  2 = 2  E F = 4 ， 所以点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线，其焦距 2 c = 4 ， c = 2 ， 且2a=2，a=1，故b2 =c2 −a2 =3， 所以曲线C的方程为 x 2 − y 3 2 = 1 ． ……………………5分 （2）设直线l： x = m y + t ，M(x ，y )，N(x ，y )， 1 1 2 2 联立方程组  x x = 2 − m y y 3 2 + = t ， 1 ， 整理得 ( 3 m 2 − 1 ) y 2 + 6 m ty + 3 t 2 − 3 = 0 ， 则  3  m = 2 − 3 6 1 m  2 0 2 t ， − 4 ( 3 m 2 − 1 ) ( 3 t 2 − 3 )  0 ， 且  y y 1 1 + y 2 y = 2 = 3 3 t m − 2 2 3 − − 6 m 3 1 m 2 ． t − 1 ， ……………………7分 因为F，A，G，H四点共圆，所以  H A F +  H G F = π ， 又HAF+TAH =π，所以  T A H =  T G F ， 故 R t  T A H R t  T G F ，所以 T T H A = T T F G ，即 T A  T F = T H  T G ， 所以 ( 1 − t ) ( 2 − t ) = y G  y H ． 又直线 A M ： y = x y 1 1− 1 ( x − 1 ) ，令 x = t (t−1)y ，得y = 1 ， G x −1 1 同理 y H = ( t − x 2 1 − ) y 1 2 ， 故 y G y H = ( t − 1 ) 2  ( x 1 − y 1 1) y( 2x 2 − 1 ) = ( t − 1 ) 2  ( m y 1 + t − y 1 1) y( 2m y 2 + t − 1 ) = ( t − 1 ) 2  m 2  3 3 t m 2 2 − − 3 1 + m 2 3 t − 2 3 m − ( ) t − 1 3 1  3 − m 6 m2 − t 1 + ( t − 1 ) 2 = ( t − 1 ) 2  3 − (( t t + − 1 1 )) = 3 t 2 − 1 = 3 ( 1 − t 2 ) ，其中 − 1  t  1 ， 所以(1−t)(2−t)=3 ( 1−t2)，解得t=− 1 ， 4所以实数t的值为 第 9 页 共 10 页 − 1 4 ． ……………………12分 22．(本小题满分12分) 【解】（1） f ( x ) = a ln x ， x  0 ， f (' x ) = a x ，故 f (' 1 ) = a ， g(x)=(x−1)ex，g'(x)=exx，g'(1)=e， 因为函数 f ( x ) ，g(x)的图象在 x = 1 处的切线重合， 故  f f ( ) ' 1 ( ) 1 = = g g (' 1 ( ) 1 ) ， ， ，解得 a = e ． ……………………2分 （2）① h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = a ln x − ( x − 1 ) e x ，x0， 则 h (' x ) = a x − x e x ，其中 a  e ， 又 h ''( x ) = − a x 2 − e x ( x + 1 )  0 ，故 h (' x ) 在 ( 0 ， +  ) 上单调递减， 据 h (' 1 ) = a − e  0 ， h (' a ) = 1 − a e a  0 ， 故 x 0  ( 1 ， a ) ， 且当x(0，x )时， 0 h (' x )  0 ， h ( x ) 在(0，x )上单调递增， 0 当 x  ( x 0 ， +  ) ， h (' x )  0 ， h ( x ) 在 ( x 0 ， +  ) 上单调递减， 由（1）知，h(1)=0，故x =1， 1 所以 h ( x 0 )  h ( 1 ) = 0 ． 下面证明h(a+1)=aln(a+1)−aea+1 =aln(a+1)−ea+10，   令 ( x ) ln x x 1  = − + 1 1−x ，x0，'(x)= −1= ， x x 当 x  ( 0 ， 1 ) 时， (' x ) 0   ，(x)在(0，1)上单调递增， 当x(1，+)， (' x ) 0   ，(x)在(1，+)上单调递减， 故(x)≤(1)=0，即 ln x ≤ x − 1 ，当且仅当x=1时取等号， 所以ln(a+1)≤a+1−1=a，且 第 10 页 共 10 页 ln ( x + 1 ) ≤ x ， e x ≥ x + 1 ， e a + 1  a + 1 + 1 = a + 2 ， 所以h(a+1)=aln(a+1)−ea+1aa−(a+2)=−2a0，     故存在 x 2  ( x 0 ， a + 1 ) ，使得 h ( x ) = 0 ． 综上所述， h ( x ) 在 ( 0 ， +  ) 上存在两个零点 x 1 = 1 ， x 2  ( x 0 ， a + 1 ) ． ……………………7分 ② 要证3x −x −x 1，即证3x −x 2， 0 1 2 0 2 因为 x 2 是函数 h ( x ) 的零点，故 a ln x 2 = x 2 − 1 e x2 ( ) ， 又 x 0 是函数 h ( x ) 的极值点，故 a x 0 = x 0 e x0 ， 所以 x 0 e x0  ln x 2 = x 2 − 1 e x2 ( ) ， e x2 x − 20 x0 = ln x 2 x − 21 ， lnx x −1 ex2−x0 又 2  2 =1，所以 1，即ex2−x0−2lnx0 1， x −1 x −1 x2 2 2 0 所以x −x −2lnx 0， 2 0 0 所以x −x 2lnx 2(x −1)，即3x −x 2，得证． 2 0 0 0 0 2 ……………………12分