文档内容
A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件
济阳闻韶中学2020级高三上学期阶段性检测
C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件
数学试题
考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；编制：高三数学组
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 6．已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共0分)
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
A． B．
2．已知复数 ，则 （ ）
C． D．
A．3 B． C．2 D．1
7．把函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵
3．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则 （ ）
坐标不变，得到函数 的图象．若函数 在 上恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
A． B． 8．已知三棱锥底面 是边长为 的等边三角形，顶点 与 边中点 的连线 垂直于底面 ，且 ，
则三棱锥 的外接球半径为（ ）
C． D．
A． B． C． D．
4．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共0分)
5．袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件
9．已知一组不完全相同的数据的平均数为 ，方差为 ，中位数为m，在这组数据中加入一个数 后得到一组新
B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）数据，其平均数为 ，方差为 ，中位数为 ，则下列判断一定正确的为（ ） C． 的最小值为 D．若 的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为
第II卷（非选择题）
A． B．
三、填空题(共0分)
C． D．
13． 的展开式中 的系数为______（用数字作答）．
10．已知函数 （ ， ， ），则下列说法正确的是（ ）
14．设 为正项等比数列 的前 项和， 成等差数列，则 的值为_________
A．若实数 是 的两个不同的极值点，且满足 ，则 或
B．函数 的图象过坐标原点的充要条件是 15．点 是圆 外一点，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦 所在直线方程为
C．若函数 在 上单调，则
_________.
D．若函数 的图象关于点 中心对称，则
16．已知函数 在区间 上有且只有一个极值点，则实数 的取值范围为___________.
11．如图，正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ）
四、解答题(共0分)
17．已知数列 的各项均不为零， ，前n项和 满足 .
A．直线 与直线 垂直
(1)求证：数列 是等差数列；
B．直线 与平面 平行
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点 与点 到平面 的距离相等
18．如图，在三棱柱 中，侧面 为矩形，平面 平面 ， 分别
12．已知点 ，点P是双曲线C： 左支上的动点， 为其右焦点，N是圆D： 的动
点，直线 交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ）
是 的中点.
A． B．过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条(1)求证： 平面 ；
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校
参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)若侧面 是正方形，求直线 与平面 所成角的正弦值.
(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记 为
选出“基地学校”的个数，求 的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的
（1）证明： 成等比数列；
3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为 ，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集
（2）若 ，且 ，求 的周长. 训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
20．北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活
动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行
研究，得到如下数据：
21．已知A(3,0)，B(-3,0)，C是动点，满足 （ 为常数），过C作x轴的垂线，垂足为H，记CH中点M
的轨迹为 ，
(1)若 是椭圆，求此椭圆的离心率；(2)若 在 上，过点G(0,m)作直线l与 交于P、Q两点，如果m值变化时，直线MP、MQ的倾斜角总保持互
补，求 MPQ面积的最大值．
△
22．已知 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： ．参考答案：
1．A
【来源】陕西省榆林市神木中学2021-2022学年高三上学期第一次测试理科数学试题
【分析】先求出集合 ，再求出集合 ，然后可求出两集合的并集.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
2．B
【来源】广东省中山市小榄中学2023届高三上学期第二次月考数学试题
【分析】首先根据复数的除法运算性质化简复数 ，再结合复数的模的概念计算即可.
【详解】 ，
则 .
故选：B.
3．B
【来源】陕西省榆林市神木中学2021-2022学年高二上学期第一次检测考试数学试题
【分析】根据向量加法的三角形法则，把 ,分别用 和 来表示，再根据共线向量都转化成 .
【详解】在 中由向量加法的三角形法则得： ，
又因为 是 的中点，所以 ,
所以 .
在 中由向量加法的三角形法则得：
又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，
所以
所以 .
故选：B.
4．B
【来源】陕西省西安市高新第七高级中学（长安区第七中学）2021-2022学年高三上学期第一次月考文科数学试题
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别限定 的取值范围即可比较出大小.
【详解】设函数 ，又因为底数 ，所以函数 为单调递增；所以 ，
即 ；
设函数 ，又因为底数 ，所以函数 为单调递增；
所以
即 ；
设函数 ，又因为底数 ，所以函数 为单调递减；
所以
即
综上可知， ；
故选：B.
5．B
【来源】第04讲 随机事件、频率与概率 （高频考点，精练）
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意可知，事件 和事件 可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件 和事件 不相互独立，故B正确；
事件 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件 与事件 为对立事件，故D错.
故选：B.
6．B
【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
【分析】根据函数图象知 定义域为 且为偶函数，确定各选项函数定义域，判断奇偶性，应用排除法确定答案.
【详解】根据函数图象可知， 定义域为 且为偶函数，
对于A， ，即 在 处有定义，故A错误；
对于C，因为 ，所以 的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，故C错误；
对于D，因为 ，所以 的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，故D错误.
对于B，因为 ，所以 定义域为 ，又 ，故 是偶函数，
由于选项ACD已然排除，而选项B中的解析式又满足图像的性质，故B正确.
故选：B
7．B
【来源】四川省成都市金苹果锦城第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题
【分析】首先求函数的解析式，代入函数的定义域，根据三角函数的图象，列式求 的取值范围.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 ，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 ，
， ，若函数 在 上恰有3个零点，则 ，解得： .
故选：B
8．D
【来源】四川省峨眉第二中学校2022-2023学年高二上学期10月月考理科数学试题
【分析】找到球心的位置，求出各边长，设出 ，利用半径相等列出方程，求出半径.
【详解】连接 ，取 靠近 点的三等分点，则 为等边三角形的外心，
过点E作 ，则点O即为三棱锥 的外接球球心，连接OS，OC，
过点O作 交SD于点F，则 ，
因为底面 是边长为 的等边三角形，所以 ， ，
设 ，则 ，
设外接球半径为 ，则 ，
，
故 ，解得： ，
所以 ，故 .故选：D
【点睛】立体几何外接球问题，通常要找到一个特殊三角形或四边形，找到其外心，从而找到球心的位置，从而利用球的半径相等列出方程，求出半径，进而求解球的表面积或体积等.
9．AC
【来源】皖豫名校联盟2022-2023学年高二上学期开学考数学试题
【分析】根据平均数公式即可判断A；利用方差公式判断B、C；根据中位数定义，以及加入的数 在数据中位置情况判断D.
【详解】记这组数据为 ，新数据为 ，显然它们平均数相同，A正确；
， ，
所以 ，故B错误，C正确；
由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，
所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【来源】2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（六）
【分析】对于A：由题意知实数 是 的两个不等实根，得到 ， ，再由 得 ，最后由 可求得 的取值范围；对于B：从充分性和必要性两方面分别进行证明即可；对于C：由函
数 在 上单调，则一定有 恒成立，显然C不正确；对于D：由题意知 恒成立，可求得 ，D正确.
【详解】A选项： ，由题意知实数 是方程 的两个不等实根，（注意：极值点与导函数的零点之间的关系）
所以 ，且 ， ，由 ，得 ，所以 ，解得 或 ，所以A正确；
B选项：若函数 的图象过坐标原点，则 ，故必要性成立；反之，若 ，则 ，故函数 的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；
C选项：若函数 在 上单调，则 恒成立，所以 ，即 ，所以C不正确；
D选项：因为函数 的图象关于点 中心对称，所以 ，即 ，整理得 ，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
11．BC
【来源】湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期第二次模块检测数学试题
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定直线 与直线 的位置关系；(2)根据面面平行来证明线面平行；(3)先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；(4)利用等体积法思想证明求解.
【详解】对于选项A，以 点为坐标原点，， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
从而 ， ，
从而 ，所以直线 与直线 不垂直，选项 错误；
对于选项 ，取 的中点为 ，连接 ， ，则易知 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
故平面 平面 ，
又 平面 ，从而 平面 ，选项 正确；
对于选项C，连接 ， ，如图所示，∵正方体中 ，∴ ， ， ， 四点共面，
∴四边形 为平面 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形 为梯形，
又由勾股定理可得 ， ， ，
∴梯形 为等腰梯形，高为 ，
∴ ，选项C正确；
对于选项D，由于 ， ，
而 ， ，
∴ ，即 ，
点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的2倍，选项 错误.
故选:BC.
12．ACD
【来源】重庆市南开中学校2022-2023学年高二上课质量检测数学试题
【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和 的位置关系可判断C，最后根据焦点三角形 的内切圆圆心
在左端点的正上方，即圆心横坐标为 可求其半径.
【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆 方程可知， ，
所以左焦点为 ，右焦点 ；
对于A，由于 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知 ，故A正确；
对于B，由过点 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，
设直线斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立直线 和双曲线 的方程得：
；
①当 时，即 ，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，
所以直线 和双曲线 仅有一个公共点，此时直线 与双曲线的渐近线 平行，
即此时有两条直线 与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；
②当 时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，
该方程仅有一个实数根，所以 ，
整理得 ，即 ，
此时直线为双曲线的切线，分别为 ，所以过点 可作两条切线；
综上可知，过点 可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误；
对于C，由双曲线定义可知， ，
，当且仅当 三点共线时等号成立；
，当且仅当 三点共线时等号成立；
所以， ，即C正确；
对于D，如图所示，分别设 的内切圆与三边切点为 ，又因为 ，
所以 ，
又因为 在 轴上， ， ，不妨设 ,
由 ，得 ，即 ；
所以 即为双曲线的左端点，又因为 ，
所以圆心 在左端点 的正上方，即圆心横坐标为 ，
设 ，则圆 的半径为 ，由于圆 与圆 外切，
所以， ，解得 ；所以D正确.
故选：ACD.
13．-800
【来源】2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三）
【分析】要得到含 的项，需在 的展开式中取第4项，在 的展开式中取第2项，从而利用二项式定理求解即可．
【详解】由题意知，在 的展开式中取第4项，即 ，
的展开式中取第2项，即 ，
故 的系数为 ．
故答案为：-800
14．17
【来源】2020届安徽省安庆市怀宁中学高三上学期第二次月考数学（理）试题
【分析】设等比数列的公比为 ，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 ，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.
【详解】正项等比数列 的公比设为 ， 成等差数列，
可得 ，即 ，
化为 ，解得 ，
则
故答案为：
【点睛】本题考查等比数列中基本量的求解，属于基础题.
15．
【来源】江苏省南通市启东市东南中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题【分析】计算 ，设直线方程为 ，计算 ，利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】如图所示： ，故 ，设直线方程为 .
， ，故 ，根据相似计算得到 ，
利用点到直线的距离公式得到： ，解得 或
当 时，直线和圆不相交，舍去，故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．
【来源】江西省宜春市丰城中学2023届高三上学期入学考试数学（理）试题
【分析】根据题意转化为 在 只有一个实数根，进而转化为方程 在区间 上没有实数根，得出 与 的图象在 上没有交点，利用导数求得 的单调性与最值，即可
求解.
【详解】由题意，函数 ，
可得 ，
因为函数 在区间 上有且只有一个极值点，
所以 在区间 上有且只有一个实数根，
即方程 在区间 上有且只有一个实数根，
因为 时方程 的根，所以方程 在区间 上没有实数根，
即方程 在区间 上没有实数根，
等价于 与 的图象在 上没有交点，
又由 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，且当 时， ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
17．(1)证明见解析
(2)
【来源】2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（一）
【分析】（1）化简已知条件，求得 ，从而证得数列 是等差数列.
（2）先求得 ，然后利用裂项求和法求得 .
【详解】（1）依题意， ， ， ，
，
，
两边除以 得 ，
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列.
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以 .
18．(1)详见解析；(2) .
【来源】北京市北京教育学院附属中学2023届高三上学期12月测试数学试题
【分析】（1）取 中点为 ，由题可得 ，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）利用坐标法，求出平面 的法向量，然后根据线面角的向量求法即得.
【详解】（1）取 中点为 ，连接 ，
因为点 分别为 的中点，
故 ， ，
又点 为 的中点，且四边形 为矩形，
故 ， ，
故 ， ，
故四边形 为平行四边形，
则 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 为正方形，故可得 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，又 ， ，
如图建立空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设 与平面 所成角为 ，则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19．（1）证明见解析；（2）9.
【来源】四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高三第二次月考数学（文）试题
【解析】（1）由正弦定理将 中的边化为角，再结合正弦的两角和公式可推出 ，即 ，然后将角化为边，有 ，故得证；
（2）由（1）知 ，利用余弦定理 ，可求出 的值，从而得解．
【详解】解：（1）证明：由正弦定理得：
，
所以 成等比数列
（2）由余弦定理得： ，
又 ，所以
于是得：
所以 的周长为 .
【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合应用，涉及边角互化的思想，灵活选择正弦、余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．(1)(2)分布列见解析，数学期望：
(3)至少要进行11轮测试
【来源】广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题
【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；
(2) 的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得 的分布列和数学期望；
(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解
【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，
其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”
为事件 ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件 ，
则 ， ，
所以， .
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所， 的所有可能取值为 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列如下表：
0 1 2 3
所以
（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件 ，则 ，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布 ，
由题意列式 ，得 ，因为 ，所以 的最小值为11，故至少要进行11轮测试
21．(1)
(2)2【来源】浙江省金华市义乌中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
【分析】（1）根据条件，列方程即可；
（2）根据条件设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出 和M点到直线l的距离，再计算三角形MPQ的面积，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设M(x,y)，则 ，
∴ 方程为 ，
仅当 时此方程表示椭圆 ，
此时，
.
（2）把 代入 ，得 ，∴ 方程为 ，
设 P(x,y)，Q(x,y)，直线l方程为y=kx+m，代入 方程可得(1+4k2)x2+8kmx+ 4m2-8=0，
1 1 2 2
①，
∵直线MP、MQ的倾斜角互补，
∴ ，
，化简得 ②，
把①代入，整理得 ，
， ，
此时， 直线l方程为 ，
∴ ，P到直线l距离 ，
面积 ，
当 时，取等号，满足 ，
∴ 面积的最大值为2；
综上，椭圆 的离心率 ， 面积的最大值为2.
22．(1) ；
(2)证明见解析.【来源】广东省广州市2023届高三上学期11月调研数学试题
【分析】（1）求出函数 的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.
（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将 用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.
【详解】（1）函数 定义域为 ，依题意， ， 成立，
即 ， 成立，而当 时， ，因此 ，
而 时， 不是常数函数，于是得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ， ，因 有两个极值点 ，则 ，即 有两不等正根，
于是得 ，有 ，
，
，令 ， ，
，显然函数 在 上单调递增，而 ，
因此 ，使得 ，即 ，当 时， ，当 时， ，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
显然 在 上单调递增，则 ，因此 ，即有 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数的最值，
使问题得到解决.
