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专题14.34 整式的乘法与因式分解（全章直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖南·统考中考真题）计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算： （ ）
A．2 B． C． D．
4．（2023·山东泰安·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
6．（2010·四川眉山·中考真题）下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
C．2a2•a3＝2a6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
7．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算： （ ）
A． B．
C． D．8．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则 的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
9．（2022·湖北荆门·统考中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下
列关系式正确的是（ ）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
10．（2021·广西玉林·统考中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第 个图树枝数用 表示，则
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022·四川成都·统考中考真题）计算： ．
12．（2020·湖北·中考真题）已知 ，则 ．
13．（2023·四川乐山·统考中考真题）若m、n满足 ，则 ．
14．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知代数式 是一个完全平方式，则实数t
的值为 ．
15．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足 ， ，则 的值为
．16．（2023·山东·统考中考真题）已知实数 满足 ，则 ．
17．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足 ，则
．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，
且 ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如， ，16就是一个智慧优数，可以利用
进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智
慧优数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·青海西宁·统考中考真题）计算： ．
20．（8分）（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
21．（10分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）
（1）解不等式： ．
（2）已知 ，求 的值．22．（10分）（2011·河北·中考真题）已知2x-1=3,求代数式（x-3）2+2x（3+x）-7的值.
23．（10分）（2023·浙江·统考中考真题）观察下面的等式： ， ，
， ，…．
（1）尝试： ___________．
（2）归纳： ___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
24．（12分）（2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．参考答案：
1．C
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答．
解： ，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
2．B【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
解： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的
关键．
3．B
【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
解： ，
故选：B
【点拨】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、
利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
解： 和 不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握
完全平方公式是解本题的关键.
5．D
【分析】 变形为 ，将 变形为 ，然后整体
代入求值即可．
解：由 得： ，
∴，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将
变形为 ．
6．B
【分析】分别根据合并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完全平方公式进行逐一计算即可．
解：A、错误，应该为3a+2a＝5a；
B、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，正确；
C、错误，应该为2a2•a3＝2a5；
D、错误，应该为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
故选：B．
【点拨】本题考查了合并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完全平方公式，正确的计算是解题
的关键．
7．A
【分析】根据完全平方公式展开即可．
解：原式=
故选：A．
【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
解：
，能被3整除，
∴ 的值总能被3整除，
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为 通过因式分解，可以把多
项式分解成若干个整式乘积的形式．
9．A
【分析】根据立方差公式即可求解．
解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故选：A．
【点拨】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．
10．B
【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规
律，进而得到规律 ，代入规律求解即可．
解：由图可得到：
则： ，
∴ ，
故答案选：B．
【点拨】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘法则”处理．
解： ，
故答案为：
【点拨】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
12．7
【分析】由 可得到 ，然后整体代入 计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．
13．16
【分析】先将已知 变形为 ，再将 变形为 ，然后整体代入即可．
解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点拨】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解
题的关键．
14． 或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
解：∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为： 或【点拨】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
15．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
解：
．
故答案为：42．
【点拨】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上
知识点．
16．8
【分析】由题意易得 ，然后整体代入求值即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
；
故答案为8．
【点拨】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
17．
【分析】根据完全平方公式得
，再代值计算即可．
解：故答案为： ．
【点拨】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式 及其
变式是解题本题的关键．
18．
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
解：依题意， 当 ， ，则第1个一个智慧优数为
当 ， ，则第2个智慧优数为
当 ， ，则第3个智慧优数为 ，
当 ， ，则第4个智慧优数为 ，
当 ， ，则第5个智慧优数为
当 ， ，则第6个智慧优数为
当 ， ，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理 时有 个， 时有6个，
列表如下，观察表格可知当 时， 时，智慧数为 ，
时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
第1至第10个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第11至第20个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第21个智慧优数 ，第22个智慧优数为 ，第23个智慧优数为
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
19．
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
解：原式
.
【点拨】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
20． ，【分析】根据 ， ，单项式乘以多项式法则进行展开，再加
减运算，代值计算即可．
解：原式
．
当 ， 时，
原式
．
【点拨】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式
及法则是解题的关键．
21．（1） ；（2）5
【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1求解即可；
（2）先将 展开化简，然后将 整体代入求解即可．
（1）解：移项，得 ，
解得， ；
（2）解：∵ ，
∴原式 ，
，
．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式，整式的混合运算以及代数求值，解题的关键是熟练掌握以上
运算法则．
22．14
解：由2x-1=3得x=2,
又 = = ，
∴当x=2时，原式=14.23．（1）6；（2）n；（3）见分析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
故答案为：6；
（2）由题意得： ，
故答案为：n；
（3）
．
【点拨】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，
发现式子的变化特点是解题的关键．
24．（1） ；（2） ，证明见分
析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为 ，利用
完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：
，
故答案为： ；
（2）解：第n个等式为 ，证明如下：
等式左边： ，
等式右边：
，
故等式 成立．
【点拨】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题
的关键．
