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专题14.3 幂的运算（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022春·北京·九年级校考阶段练习）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗
恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光
年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 为奇数， 为偶数，则下列各式的计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·七年级课时练习）已知a+2b-2=0，则2a×4b（ ）
A．4 B．8 C．24 D．32
4．（2023秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
6．（2021·福建·九年级专题练习）2x3可以表示为（ ）
A．x3（x3 B．2x4（x C．x3（x3 D．（2x）3
7．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）计算： （ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）若 与 互为倒数，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）化简 的结果为（ ）A．1 B． C． D．
10．（2023春·江西·九年级专题练习）下列命题中正确的有（ ）
① 为奇数时，一定有等式 ；
②无论 为何值，等式 都成立；
③三个等式 ， ， 都成立；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·全国·八年级专题练习）若 ， ，则用含 的代数式表示 为 ．
12．（2023秋·山西临汾·八年级校考阶段练习）已知 ， ，m，n为正整数，则
．
13．（2023秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）比较 的大小顺序关系
（用＜连接）
14．（2022秋·山西忻州·七年级校考期中）已知 ，则 的值为 ．
15．（2023春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）阅读理解： 根据幂的意义， 表示n个a相乘；
则 ； ，知道a和 可以求 ，我们不妨思考；如果知道 ， ，能否求 呢？对于
，规定 ，例如： ，所以 ．记 ， ； 与 之间
的关系式为 ．
16．（2023春·七年级单元测试）已知m，n，x，y满足 ， ，
则 ．
17．（2023·湖南常德·校考一模）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S，第2次对折后得到的图形面积为S，…，第n次对折后得到的图形面积为S ，请根
1 2 n
据图2化简， ．
18．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪
性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”
已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小
的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格
作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的
理解如下：
YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）： 等于 ；
JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大．
其中对 的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2018春·七年级单元测试）计算：
（1）（－x）2·x3÷（－x）3； （2）（2x－3y）·（2x－3y）4·（3y－2x）3÷（3y－2x）2.
20．（8分）（2023秋·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）计算：
（1） （2）21．（10分）（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
22．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）（1）已知 ， ， ， 为正整数，求
的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
23．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）对于整数 、 定义运算： 其中
、 为常数 ，如 ．
（1）填空：当 ， 时， ______ ；
（2）若 ， ，求 的值．24．（12分）（2022秋·安徽·九年级校联考阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小
雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形
状．
【观察思考】
将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，
并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角
形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图
③），称为第二次分形。不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
【规律总结】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个的_________倍；
（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数为_________（用含n的代数式表示）．
【问题解决】
（3）若该图①中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，得到了一个周长为 的图形，
按此规律计算，要想得到此图形，需要经过多少次分形？参考答案
1．A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013．
故选A．
【点拨】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．D
【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案．
解：若 为奇数， 为偶数，则
A． ，该选项运算错误，不符合题意；
B． ，该选项运算错误，不符合题意；
C． ，该选项运算错误，不符合题意；D． ，该选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
3．A
【分析】把a+2b-2=0变形为a+2b=2，再将2a×4b变形为 ，然后整体代入求值即可．
解：∵a+2b-2=0，
∴a+2b=2，
∴2a×4b=
故选：A．
【点拨】此题主要考查了同底数幂的逆运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
4．B
【分析】根据 ， ，合并同类项，进行计算后逐一判断，即可求解.
解：A. ，运算不正确，故不符合题意；
B. ，运算正确，故符合题意；
C. ，运算不正确，故不符合题意；
D. ，不能进行运算，故不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式，合并同类项，掌握公式是解题的关键．
5．B
【分析】根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，求得 ，即可求解．
解：由 可得
∴
∴
故选：B
【点拨】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相关运算性质，正确求得 ．
6．C
【分析】根据同底数幂的运算法则进行转换即可．
解：A. ，错误；
B. ，错误；
C. ，正确；
D. ，错误；
故答案为：C．
【点拨】本题考查了整式的运算问题，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可；
解： ，
故选：C
【点拨】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．D
【分析】可求 ， 可化为 ，即可求解．
解：由题意得
与 互为倒数，
，
；
故选：D．【点拨】本题考查了倒数的定义，同底数幂的乘法公式逆用，积的乘方公式逆用，理解定义，掌握公
式是解题的关键．
9．D
【分析】根据乘方的性质，同底数幂乘除法的运算，求解分子和分母，然后化简求解即可．
解：
故选：D
【点拨】此题考查了同底数幂乘除法的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
10．B
【分析】根据乘方、幂的乘方、积的乘方等知识逐个判断即可解答．
解：①当 为奇数时，一定有等式 ，故①正确；
②当 为奇数时，等式 成立，故②错误；
③ ， ， 都成立，故③正确；
④若 ， ，由 则 ，即
，解得 ，故④错误．
正确的共有2个．
故选B．
【点拨】本题主要考查了乘方、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的
关键．
11．
【分析】根据条件求得 ，根据幂的乘方公式对 进行变形，再整体代入求值即可．
解：∵ ，
即
∴ ，
则．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
12．
【分析】由题意可得 ，然后再对 进行即可解答．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方及其逆用，灵活逆用幂的乘方、积的乘方运算法则是解
答本题的关键．
13．
解：∵ ，
，
，
又 ，
∴ ．
故答案为：【点拨】本题考查比较有理数的大小，涉及幂的乘方，负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各
自的计算方法．
14．
【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得 与 ，再代入 求值即可．
解： ， ，
当 时， ， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负
性是解决本题的关键．
15．
【分析】由题意得 ， ，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案．
解：根据题意得：
， ，
，
，
与 之间的关系式为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，读懂题意，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则，
是解题的关键．
16．
【分析】对 进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解．
解：∵ 1，
∴ 1，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用．
17．
【分析】先具体计算出S，S，S，S 的值，得出面积规律，表示S ，再设
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①，两边都乘以 ，得到 ②，利
用①−②，求解S，从而可得答案．
解：∵
设 ①
②
①-②得，故答案为： ．
【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除
法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
18．DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将
化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的
规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得 ，
即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
解： 是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
， ，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点拨】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解
题的关键．
19．（1） －x2;（2） －（3y－2x）6
【分析】（1）原式利用积的乘方以及同底数幂的乘法和除法法则进行计算，即可得到结果；
（2）对原式变形化为同底数幂的形式，再按同底数幂的乘法除法法则计算即可.
解：（1）原式＝x2·x3÷（－x3）＝－x2＋3－3＝－x2；（2）原式＝－（3y－2x）·（3y－2x）4·（3y－2x）3÷（3y－2x）2＝－（3y－2x）1＋4＋3－2＝－（3y－
2x）6.
【点拨】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（2）先算积的乘方，再合并同类项最后再乘方即可；．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．（1） ；（2） 或
【分析】（1）根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；
（2）根据 ，求得 的值，进而分类讨论即可求解．
解：（1）∵
∴
；
（2） ， ，
∴ ，当 时， ；
当 ， 时， ．
【点拨】本题考查了积的乘方与幂的乘方，平方根的定义，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）由 可得： 再把 化为： ，从而可得答案；
（2）根据积的乘方与幂的乘方化为 ，代入，即可求解．
（1）解：
（2）解：∵ ， ，
∴
【点拨】本题考查的是同底数幂乘法运算及其逆运算，积的乘方、幂的乘方运算及其逆运算，掌握以
上知识是解题的关键．
23．（1） ；（2）
【分析】（1）把相应的值代入进行运算即可；
（2）把相应的值代入运算求得 ， ，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂
的除法的法则进行求解即可．
（1）解：当 ， 时，，
故答案为： ．
（2）解： ， ，
， ，
整理得： ， ，解得： ， ，
．
【点拨】本题主要考查幂乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．（1）4；（2） ；（3）5
【分析】（1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，第二次分形后，得到的“雪花
曲线”的边数是48，可得答案；
（2）由（1）可得第 次分形后所得图形的边数是 ，
（3）根据图形变化规律可得：第 次分形后所得图形的边数是 ，边长为 ，由此得方程求解．
解：（1）等边三角形的边数为3，
第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是 ，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是 ，第三次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是 ，
第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是 ，
，
故答案为：4，
（2）由（1）可知每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，
所以第 次分形后所得图形的边数是 ，
故答案为： ．
（3）第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是 ，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是 ，
，
所以第 次分形后所得图形的边数是 ，边长为 ，所以周长为 ．
当周长为 时，即： ，
．
∴经过5次分形后得到了一个周长为 的图形．
【点拨】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．
