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专题15.19 分式方程（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）若分式 有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D． 且
2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）华为Mate60 Pro搭载了麒麟9000s芯片，
该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比0.7纳米等于0.000 000 007米．数据0.000 000
007
用科学记数法为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）下列各式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期末）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江西九江·校考模拟预测）计算， 的结果为（ ）
A． B． C． D．6．（2021下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·山东威海·九年级统考期中）试卷上一个正确的式子 被
莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）若 （a不取0和 ）， ， ，
…， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·全国·八年级专题练习）若整数a使关于x的不等式组 有且只有3个整数解，
且使关于y的分式方程 的解满足 ，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．6 C．10 D．7
10．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）甲、乙两人同时分别从 ， 两地沿同一条公路骑自
行车到 地，已知 ， 两地间的距离为 千米， ， 两地间的距离为 千米，甲骑自行车的平均速
度比乙快 千米 时，结果两人同时到达 地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行
车的平均速度为 千米 时，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·全国·八年级专题练习） ．
12．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）当x为 时，分式 的值为0．
13．（2023上·天津滨海新·八年级天津经济技术开发区第一中学校考期中）分式 约分为
．
14．（2022下·北京·九年级校考阶段练习）如果 ，那么代数式 的值
为 ．
15．（2023上·山东东营·七年级东营市胜利第一初级中学校考期中）若关于 的分式方程
有正数解，求 的取值范围 ．
16．（2023上·重庆南川·九年级校联考期中）已知关于 的分式方程 的解为整数，且
关于 的不等式组 恰好有 个整数解，则符合条件的整数 的和为 ．
17．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）有一个运算程序，运算的过程如下：
则第 次运算的结果 .（用含有x和n的式子表示）
18．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·湖南邵阳·八年级校考期中）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2023上·全国·八年级专题练习）化简：
（1） ； （2） ．
21．（10分）（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）解方程：
（1） （2）
22．（10分）（2023上·山东淄博·八年级统考期中）水果店的小李用3000元购进了一批桑葚，随后的
两天他很快以高于进价 的价格卖出 ，到了第三天，他发现剩余的桑葚卖相已不大好，于是果断
地以低于进价 的价格将剩余的全部售出，小李一共获利750元，设小李共购进桑葚 ．（1）根据题意完成表格填空：（用含x的代数式表示）
售价（元/千克） 销售数量（ ）
前两天 ① 150
第三天 ② ③
（2）求x．
23．（10分）（2023上·福建泉州·九年级校考专题练习）阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：
代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
（1）已知 ， ，则 ______；
（2）已知 ， ，求证： ；
（3）已知 （其中 、 、 互不相等），求 的值．
24．（12分）（2018·山东烟台·八年级统考期末）阅读理解
下列一组方程：①x+ =3，②x+ =5，③x+ =7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的
规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①x+ =1+2得x=1或x=2；
由②x+ =2+3得x=2或x=3；
由③x+ =3+4得x=3或x=4．
（1）问题解决：请写出第四个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解；
（2）规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若n为正整数，关于x的方程x+ =2n﹣1的一个解是x=10，求n的
值．
参考答案：
1．D
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
解：要使分式 有意义，
则 ，即 ，∴ 且 ，
故选： ．
【点拨】此题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为 是解题的关键．
2．D
【分析】根据科学记数法的定义改写即可．
解：将一个数改写为 ，其中 ， 为整数，
故0.000 000 007用科学记数法为 ，
故选D．
【点拨】本题主要考查科学记数法的定义，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查运用分式性质变形，涉及分式性质、因式分解、约分等知识，熟记分式性质是解决
问题的关键．
解：A、 ，该选项正确，符合题意；
B、 ，该选项错误，不符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式
从而进行约分．
解：A、 ，故原式不是最简分式，不符合题意；
B、 是最简分式，符合题意；
C、 ，故原式不是最简分式，不符合题意；
D、 ，故原式不是最简分式，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是
比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
5．C
【分析】．
原式把除法转换为乘法，再进行因式分解后约分即可得到答案．
解：
=
=
故选：C
【点拨】本题主要考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键6．D
【分析】根据分式的运算法则解题．
解：A. ，故A错误，不符合题意；
B. ，故B错误，不符合题意；
C. ，故C错误，不符合题意；
D. ，正确，故D符合题意
故选：D．
【点拨】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是
，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
解：由题意可得：
被墨汁遮住部分的代数式是 ，，
故选：D．
8．A
【分析】根据题意对前面几个数进行计算，直到结果出现重复现象，由此得出规律，再按规律解答便
可．
解： ，
，
，
，
由上可知， ， ， ， ， ，这列数依次按 ， ， 三个结果进行循环，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了规律的变化类问题，分式的混合运算，解题的关键是通过计算得出规律．
9．D
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不
等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到 ，则 ，再解分式方程得
到 ，根据 ，且 ，求出 ，且 ，由此确定整数a的值，最后求和即可．解：
解不等式①得： ，
解不等式②得：
∵该不等式组有且只有3个整数解，
∴ ，
解得 ．
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 且 ，
综上所述， ，且 ，
∴符合题意的整数a有 ，
所有满足条件的整数a的值之和为 ，
故选：D．
10．A
【分析】此题考查了列分式方程，根据甲骑 千米所用时间 乙骑 千米所用时间，据此列出方程
即可，解题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系列出方程．解：由题意得：甲骑 千米所用时间 乙骑 千米所用时间，
∴ ，
故选： ．
11．
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂的运算是解题的关
键．
先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后求和即可．
解： ，
故答案为： ．
12．
【分析】此题考查分式值为零的情况：分子为零，且分母不等于零，据此列得 ，且
，由此求出答案，熟记分式值为零的要求是解题的关键．
解：由题意得 ，且 ，
解得 ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查分式的约分，找到分母分子的公因式是解题的关键．
解：原式 ，
故答案为：14． /0.5
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：
，
，
，
原式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
15． 且
【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．
解分式方程得到 ，结合已知可得 ，同时注意，分式方程中 ， ，所以 ，
则可求 的取值范围．
解：分式方程两边同时乘以 ，得，
整理，得 ，
解得 ，
方程有正数解，
，
解得 ，
， ，
，
∴ 且 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为 且 ．
16．
【分析】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，先解分式方程，再由 ，确定
是 的倍数且 ，再解一元一次不等式组得到 ，求出 的范围，然后求出同时符合分式
方程和一元一次不等式的 的值，最后相加即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，
注意增根的情况是解题的关键．
解： ，
，∴ ，
∵方程的解为整数，
∴ 是 的倍数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由
由 得 ，
由 得 ，
∵不等式组恰好有 个整数解，
∴ ，解得 ，
∴符合 的值有 和 ，故符合条件的整数 的和为 ，
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了分式的混合运算，把 代入确定出 ，把 代入确定出 ，依此类推得到一般
性规律，即可确定出第n次运算结果．
解：将 代入 ，得： ，同理，将 代入 ，得： ，
将 代入 ，得： ，
……
以此类推，可得 ，
故答案为： ．
18． 或 或
【分析】根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，
或解是分式，其分母为零）即可判定 的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
解：
等式两边同时乘以 得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∵分式方程无解，即 或 或 ，即 或 或 ，∴ ，解得， ，
，解得， ，
综上所述， 的值为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
19．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．
（1）本题需先根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂的运算法则分别进行计算，再把所得的
结果合并即可．
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分化简即
可．
（1）解：
；
（2）解：．
20．（1） ；（2）2
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
（1）先通分，再把分子相加减即可；
（2）先算括号里的，再与括号外的分式相加即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
21．（1） ；（2）
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）按去分母，移项合并同类项，系数化为1求出其解，再检验解即可；
（2）按去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1求出其解，再检验解即可．
（1）解：去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，
∴ 是分式方程的解；
（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，
∴ 是分式方程的解．
22．（1）① ；② ；③ ；（2）小李共购进 桑葚
【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解
分式方程时要注意检验．
先设小李所进桑甚的数量为 ，根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即
可；
解：（1）设小李共购进桑葚 ，
则① ；② ；③ ；（2）根据题意得： ．
解得： ，
经检验 是原方程的解，
答：小李共购进 桑葚．
23．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）依据题意，根据已知条件分别求出 和 ，然后再相乘得 ，然后再变形可以得解；
（2）依据题意，类似（1）求出 再与 相乘可得 ， 的式子，再变形可以得解；
（3）依据题意，通过消元法建立关于t的方程 ，进而可以得解．
（1）解：由题意， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ；
（2）解：由题意，∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（3）解：由 得： ①，
由 得： ②，
把②代入①得： ，
∴ ．
∴ ．
同理得： ，
，
∴ ．
∵ 、 、 互不相等，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题是阅读材料问题，也是分式的化简问题，考查了分式的基本性质，有难度．
24．（1）x+ =9，x=4或x=5；（2）x+ =2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）n的值是12或
11．
【分析】（1） 根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程, 进而求出该方程的解;
（2） 利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可;
（3） 利用已知解题方法得出方程的解.
解：（1）由①x+ =1+2得x=1或x=2；
由②x+x+ =2+3得x=2或x=3；
由③x+ =3+4得x=3或x=4，
则第四个方程为：x+ =4+5，即x+ =9，
由x+ =4+5得：x=4或x=5；
（2）可得第n个方程为：x+ =2n+1，
解得：x=n或x=n+1；
（3）将原方程变形，（x+2）+ =n+（n+1），
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n﹣2，或x=n﹣1，
当n﹣2=10时，n=12，
当n﹣1=10时，n=11，∴n的值是12或11．
【点拨】本题主要考查分式方程的解，注意找对规律并计算正确.
