文档内容
第 03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
公式 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：公式的基本应用
高频考点二：公式的逆用及变形
高频考点三：辅助角公式的运用
高频考点四：二倍角
高频考点五：拼凑角
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
② ； ；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中 )
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习） .( )
【答案】正确【详解】
由 ，
可得 ，
所以
.
故答案为：正确.
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习） .( )
【答案】错误
【详解】
由题意，
故答案为：错误
二、单选题
3．（2022·北京·高三学业考试） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由二倍角公式可得， .
故选：A.
4．（2022·四川成都·高一期中（理）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
；故选：B.
三、填空题
5．（2022·云南玉溪·高一期末） 的值等于____________．
【答案】2
【详解】
.
故答案为：
6．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）将 化为 的形式为______．
【答案】
【详解】
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：公式的基本应用
例题1．（2022·江苏徐州·高一期中）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ， ，所以
.
故选：A
例题2．（2022·四川成都·高一期中（理））若 ， 是方程 两个实数根，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由韦达定理得： ， ，
所以
故选：A
例题3．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 得 ，
由 得 ，两式相加得 ，得 .
故选：A
例题4．（2022·江苏·淮阴中学高一阶段练习）求值 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
；
故选：A.
例题5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：
___________．
【答案】
【详解】
解： ，
，
，
故答案为：
例题6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若 ，则 ___________；
___________．
【答案】
【详解】， .
故答案为： ； .
题型归类练
1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习） （ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】A
【详解】
．
故选：A
2．（2022·北京市第二十五中学高一期中） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
故选:C
3．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由 ， ，可得
则
故选：C4．（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
故选：C
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若 ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，
所以 ＝ .
故选：D．
6．（2022·山东德州·高一期中）已知 ，则 ______．
【详解】
由 得， ，
即 ，所以 ，
即 ，故 ，
故答案为：0
7．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设复数 ， ，已知 .(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)根据题意， ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
解得 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
高频考点二：公式的逆用及变形
例题1．（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，由两角和的正弦公式，可知故答案为：C
例题2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知 ， ， 均为锐角，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
均为锐角，即 ， ，
，又 ，
，
又 ， .
故选：C.
例题3．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文）） ___________．
【答案】12##0.5
【详解】
．
故答案为：
例题4．（2022·四川凉山·高一期中（理）） _________．
【答案】
【详解】
解：由题意得：
由两角和的正切公式 ，可令
，可得
故答案为：
例题5．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）求下列各式的值．
(1)(2)
【答案】(1) (2)
(1)解 (2)解：
.
题型归类练
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理）） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
由三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，可得：
.
故选：C.
2．（2022·四川省广安第三中学校高一阶段练习） 等于（ ）
A． B． C． 1 D．1
【答案】D
【详解】
，
故选：D
3．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）已知 ，则
____________．【答案】
【详解】
，所以 ，
.
故答案为： .
4．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）化简：
__________．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，故 ，所以
故答案为：
5．（2022·江苏宿迁·高一期中）在 中，已知 ，则 _________
【答案】
【详解】
由题意可知，
所以，
，
故
故答案为:
6．（2022·江苏·马坝高中高一期中） __________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以， .
故答案为： .
高频考点三：辅助角公式的运用
例题1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
【答案】(1)最大值为1，最小值为
(2)最大值为 ，最小值为
(3)最大值为2，最小值为
(4)最大值为2，最小值为
【解析】
(1)
， 最大值为1，最小值为 ；
(2)
， 最大值为 ，最小值为 ；
(3)
， 最大值为2，最小值为 ；
(4)
， 最大值为2，最小值为 .
例题2．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知 ，求m的取值范围．
【答案】
【详解】
解：因为 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以例题3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一阶段练习）求函数 的值域.
【答案】
【详解】
令 ，则 ，
故 与 值域相同，
又 对称轴 ，
故其在 单调递减，在 单调递增，
当 时， ；当 时， ，
故其值域为 ，
即 的值域为 .
题型归类练
1．（2022·江西九江·三模（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，即 ，
故选：B
2．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
原式.
故选：A
3．（2022·湖南·模拟预测） ___________．
【答案】4
【详解】
故答案为：4
4．（2022·陕西汉中·高一期中）（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
（1） ， ，
， ．
（2） ，
．
5．（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：
(1) ；
(2) （a，b均为正数）.
【答案】(1)最大值为1，最小值为-1.
(2)最大值为 ，最小值为 .
(1)
， ，
∴函数的最大值为1，最小值为-1.(2)
， ，
∴函数的最大值为 ，最小值为 .
高频考点四：二倍角
例题1．（2022·北京·汇文中学高一期中）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
两边平方得：
，
解得：
故选：B
例题2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 得 ，
．
故选：D．
例题3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】， ，
解得： （舍）或 ， .
故选：B.
例题4．（2022·云南曲靖·二模（文））已知 ，则 ___________.
【答案】
【详解】
，
，
.
故答案为：
例题5．（2022·北京·中关村中学高一期中）若角 的终边经过点 ，则 ___________.
___________.
【答案】
【详解】
∵角 的终边经过点 ，
∴ ，
∴
故答案为： ， .
题型归类练
1．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【详解】解： ，
，
，
即 ，
解得 或 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
.
故选：C
2．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为
所以当 时 取得最小值 ；
故选：C
3．（2022·云南德宏·高三期末（文））已知 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，所以 ， ，
．故选：A．
4．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所
以 ；
故选：D
5．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，可得
则
故选：B
6．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知 ，且 ，则 ________．
【答案】
【详解】
∵ ，
∴ ，因为 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
7．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）已知角 的终边在直线 上，则 ________．
【答案】
【详解】
由题意，设角 的终边与直线 交于点 ，由三角函数的定义可知 .于
是， .
故答案为： .
8．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若 ，则 ___________.
【答案】
【详解】
解：因为 ①，
所以两边同时平方得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ②，
联立①②可得 ，
所以 ，
故答案为： .
9．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知 ，则 ________， __________．【答案】 1
【详解】
故答案为： ，1．
高频考点五：拼凑角
例题1．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知 ， ， ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 ， 可得 ，故 ，
，故
.
故选：A.
例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，且，所以 ，则
故选：A．
例题3．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知 ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
， ， ，
.
故选：D
例题4．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）已知 都是锐角， ， ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 都是锐角，
所以 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，
，
故选；C
题型归类练1．（2022·北京市第五十中学高一期中）若 都是锐角， 且 ， ， 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
都是锐角， ， ，
， ，
.
故选：B.
2．（2022·安徽淮南·二模（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．0或
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以
当 时，
，
因为 ，
所以 ，故 满足题意，
当 时，因为 ，故 不合题意，舍去；
故选：A
3．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
．
故选：A.
4．（2022·四川成都·高一期中（理））已知 、 为锐角，且 ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 、 为锐角，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故
故选：A
4．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知 为锐角， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】由题设可得 ，
故选：A.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【详解】
由题， ，所以 的最小正周期为
，最大值为 .
故选：C．
2．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D.
3．（2020·全国·高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得： ，则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
4．（2020·全国·高考真题（文））若 ，则 __________．
【答案】
【详解】
.
故答案为： .
5．（2020·江苏·高考真题）已知 = ，则 的值是____.
【答案】
【详解】
故答案为：
6．（2020·浙江·高考真题）已知 ，则 ________； ______．
【答案】
【详解】
，
，
故答案为：7．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
第五部分：第 03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
公式 （精练）
一、单选题
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文）） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】．
故选：C
2．（2022·江苏淮安·高一期中）已知 ， ，则 （ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】B
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：B.
3．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得：
，解得：
故选：C
4．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由余弦的倍角公式，可得 .
故选：D.
5．（2022·四川凉山·高一期中（理））求 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
6．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 两边平方得： ，
所以 即 ，
所以 .
故选：B.
7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
，
∴ ．
故选：B．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）在 ABC中，若 ，则 （ ）
△A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
故选：A．
二、填空题
9．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数 的最大值是______.
【答案】
【详解】
解： ，其中 ， ；
因为 ，所以 ；
故答案为：
10．（2022·北京市育英中学高一期中）已知 ， ，则 的值为__________．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，故 ，故 ，
而
，
故答案为： .
11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）若 ， 且 ， 则
_______．【答案】 ##-0.2
【详解】
由 得 ，故 ，
所以 ，解得 ，或 .
因为 ，所以 ，
所以
.
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的值
是______.
【答案】
【详解】
由于 ，且 ，则 ，
得 ，
则 .
故答案为： .
三、解答题
13．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知 ， .
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ， (2)(1)因为 ， ，所以 ，
所以， ， .
(2) .
14．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，所以 ，解得
因为 ，所以 ，又 ，
解得 或 （舍去）；
(2)解：
15．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知 为锐角， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2)1.(1)因 ，所以 .
(2)因 为锐角，则 ，而 ，则 ，
于是得 ，所以 .
16．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：
(1)计算 的值；
(2)已知 、 均为锐角， ， ，求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解：
．
(2)解： 、 都为锐角，则 ，
， ，
．
