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专题17.3 勾股定理（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）等腰直角三角形斜边长为 ，则面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·山西晋中·八年级统考期末）公园有一块长方形草坪，芳芳同学发现有极少数人为了走捷
径，践踏草坪走出了一条路 ，为了倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在 处立一个标牌：“小草
青青，脚下留情” ．经过测量得知： 两处的距离为 两处的距离为 则践踏草坪少走的距离
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）如图，露在水面上的鱼线 长为 ．
钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿 提起到 的位置，此时露在水面上的鱼线 长为4m，若 的
长为 ，试问的鱼竿 有多长？设 长 ，则下所列方程正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2022下·北京海淀·八年级统考期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往
前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
5．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，则
的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图所示，在 中， 平分 ， 平分 ，
且 ，交 于点 ，若 ，则 等于（）
A． B． C． D．
7．（2024上·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）如图，在等边 中， 是 边上的中线，
延长 至点 ，使 ，若 ，则 （ ）A． B．6 C．8 D．
8．（2024上·河北石家庄·九年级校联考期末）因班级文化建设需要，小方需要在一张 的矩
形卡纸中裁剪出若干张半径为 ，圆心角是 的扇形纸片，若采取如图所示进行裁剪，则最多可以裁
剪出扇形纸片（ ）
A．20张 B．21张 C．40张 D．41张
9．（2023上·贵州毕节·七年级校考期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设
，则斜边 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在 中， ，
， ，Q是 上一动点，过点 作 于 ， 于 ， ，
则 的长是（ ）A． B． C．4 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，x= ．
12．（2024上·四川成都·九年级四川省成都市玉林中学校考期末）如图 ，在射线 上取
，在射线 上取 ，连接 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，以 为圆
心， 为半径画弧，交 于点 ，则 ．
13．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和
水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘
米时，滑块B滑动了 厘米．
14．（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图， ，
，以 A点为圆心， 长为半径作圆弧与数轴交于点P．若点A表示
的数为0，点B表示的数为1，则点P表示的数为 ．15．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形 的对角线 相交于点
，过点 作 于点 ，与 交于点 ．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若 ，则 的长为 ．
16．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内
离杯底 的点 处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处．则蚂蚁
到达蜂蜜点 的最短距离为 ．
17．（2024上·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系 中，给出如下定义：对于以 为底
边的等腰 及 外一点C，若 ，直线 中，其中一条经过点O，另一条与 的腰
垂直，则称点C是 的“关联点”．如图，已知点 ， ， ，则点 就是
的“关联点”．若点 是 的“关联点”，则线段 的长是 ．18．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）在直角三角形纸片 中，
，折叠纸片使得点 落在 边上点 处，折痕是 （如图1），将纸
片复原，再次折叠纸片，使得点 落在 边上的点 处，折痕是 （如图2），继续折叠纸片，使得点
与点 重合，折痕是 ，得到多边形 （如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒
棒糖的糖果部分（如图4）．
（1）图1中 的长为 ．
（2）图3中 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，
，点C和点D关于直线 对称．
（1）求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
（2）连接 ，过点C作 交 的延长线于点E，求 的长度．20．（8分）（2023上·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的顶
点A、C的坐标分别是 和 ，E为C点左侧x轴上一动点，连接 ，将 沿 所在直线
翻折得到 ，当点 恰好落在y轴上时，求 的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x
轴负半轴上）
21．（10分）（2024上·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图， 中，
，点 在 的边 上， ，以 为直角边在 同侧作等腰
，使 ，过 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，则 为多少；
（3）若 ，求 的值．22．（10分）（2023上·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点 飞向
点 ，在直线 的正下方有一个着火点 ，且点 与 两点的距离分别为 和 ，又 两点
距离为 ，飞机与着火点距离在 以内可以受到洒水影响．
（1）请通过计算说明，着火点 是否受洒水影响；
（2）若救火飞机的速度为 ，要想扑灭着火点 估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机
从点 飞到点 的过程中，着火点 能否被扑灭．
23．（10分）（2024上·江苏南京·八年级校联考期末）在 中， ，
（1）如图①， 为 边上一点，连接 ，以 为边作 ， ， ，连接 ．
求证： ，
（2）如图②， 为 外一点．若 ， ， ．则 的长为______．
24．（12分）（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）【问题提出】（1）如图1， 为 的边 上的高，若 ， ，则 的长为________；
【问题探究】
（2）如图2，在 中， ， 平分 交 于点D，若 ， ，求 的
长；
【问题解决】
（3）如图3，直线l是一条小路， 是李叔叔家的一块花园的平面示意图，其中边 在小路l上，
边上的点D处有一口灌溉水井，经测量， ， 米， 米．李叔叔计划对
该花园进行扩建，在点C右侧的小路l上取点E，并在 、 、 内分别种植不同的花卉，
根据李叔叔的规划要求， ，请你计算 区域的面积．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得该
等腰直角三角形的直角边为 ，再利用三角形的面积公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
解：依题意得：
该等腰直角三角形的直角边为： ，
面积为： ，
故选A．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即可．
解：由题意知， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴则践踏草坪少走的距离为 ，
故选：D．
3．A
【分析】如图：设 长 ，则 ，分别在 和 可得 、
，再根据 可得 ，然后代入相关数据即可解答．
解：设 长 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
故选A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的基本形式以及 的隐含条件是解答
本题的关键.
4．C
【分析】设 米，用 表示出 的长，在直角三角形 中，利用勾股定理列出关于 的
方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设 米，
米， 米，
（米 ， 米，
在 中， 米， 米， 米，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
则秋千的长度是5米．故选：C．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点C作 于D，
交 于E，先证明 ，设 ，则 ，再证明
，得到 ，则 ，利用勾股定理得到
，解得 ，则 ．
解：如图所示，过点C作 于D， 交 于E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据
角平分线的定义和平行线的性质可得 和 是等腰三角形，可得 ，
从而可得 ，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得 ，从而在 中，利用
勾股定理进行计算，即可解答．
解： 平分 平分 ，
在 中，故选：C．
7．C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等．先由等边三角
形的性质，得 ， ， ，再根据 ，得 ，
进而得 ，则 ，然后在 中，由勾股定理求出 即可．
解： 为等边三角形，
， ，
是 边上的中线，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
．
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，二次根式除法，在 中，，则 ，再由 即可得到答案．
解：如图所示，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴最多可以裁剪出扇形纸 张，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，用含a，b的式子表示各个线段是解题的关键．解：
设 ，则 ，求得 ，求得 ，得到
，根据勾股定理即可得到结论．
解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
10．C
【分析】本题考查了勾股定理及等面积法，连接 ，设 ，通过勾股定理得出ｋ的值，
再求出 ，再利用等面积法求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：连接 ，
∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （负舍），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．11．15
【分析】本题考查了直角三角形三边之间的关系，根据勾股定理可求得 的值，正确计算是解答本题
的关键．
解：∵三角形是直角三角形，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查作图-基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意得， ， ，由勾股定理得 ，则 ， ，
即可得出答案．
解：由题意得， ， ， ，
，
，
．
故答案为： ．
13．9
【分析】根据勾股定理求出 的长，再求出下滑后的 ，利用勾股定理求出下滑后的 ，继而求
出滑块B滑动的距离．
解：依题意得： ，
设滑动后点A、B的对应位置是 ，
由勾股定理得， （厘米），
当滑块A向下滑13厘米时， （厘米），∴ （厘米），
∴滑块B滑动的距离为： （厘米），
故答案为：9．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】利用勾股定理求出 ，则可得 ，再利用实数与数轴关系即可得出答案．
解：点A表示的数为0，点B表示的数为1，
∴ ，
∵ ，
∴由勾股定理，得
，
，
∴ ，
∵点P在数轴的负半轴上，
∴点P表示的数为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理和用数轴上的点表示实数是解题的关键．
15． 45
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识．
（1）设 ，由等腰三角形的性质可得 ， ，再根据三角形外角的
性质求解即可；（2）连接 ，则易得 ， ；由勾股定理求出 ，再由等腰三角形性质及勾
股定理求得 ，即可得结果．
（1）解：设 ，
， ，
．
， ，
∴ ，
．
（2）解：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
，
；
， ，
由勾股定理得： ，
．
16．10
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是
解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求．
解：如图，将杯子侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 ，则 即为最短距离，
圆柱形玻璃杯底面周长为 ，杯底 的点 处，沿 与蜂蜜相对的点 处，
， ， ，
，
故答案为：10．
17． /
【分析】此题考查了勾股定理，过点Q作 轴于点A，利用勾股定理求出 ，利用面积法求出
的长，勾股定理求出 ，得到 ，再根据勾股定理求出线段 的长．
解：如图，过点Q作 轴于点A，
∵ 是 的“关联点”， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
18． 3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；
（1）在直角三角形纸片 中， ，勾股定理求得 ，如图1中，设 ，
则 ， ，在 中，勾股定理即可求解；
（2）设 交于点 ，根据折叠可得 ，证明 ，在 中，勾股定理
求得 ，进而证明 ，即可求解．
解：（1）在直角三角形纸片 中， ，
∴ ，
如图1中，设 ，则 ， ，
根据折叠可得 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ，故答案为： ．
（2）∵折叠，
∴ ， ，
∴ ；
在图2中，设 交于点 ，根据折叠可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
在图3中，∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
19．（1）见分析；（2）6
【分析】本题考查了作图，平行线的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图以及
平行线的性质是解题的关键
（1）在 的上方作 ，在射线 上截取 ，使 ，点D即为所求；
（2）过 A 作 于 H，设 交直线 于 G，分别求出 ， 可得结论
解：（1）如图所示
（2）过 A 作 于 H，设 交直线 于 G，
， ，
， ，
由 ，
，
解得 ， ，
点C和点D关于直线 对称，
，
，，
，
，
是线段 的垂直平分线，
在 中， ， ，
，
，
20． 或
【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理．分点 在 轴正半轴上和点 在 轴负半轴上，两种情
况，进行求解即可．解题的关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
解：当点 在 轴正半轴上时，如图：设 交 轴于点 ，则：四边形 均为长方形，
∵长方形 的顶点A、C的坐标分别是 和 ，
∴ ， ， ，
∵翻折，
∴ ， ，在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
∴ ，即： ；
当点 在 轴负半轴上时：如图
同法可得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
∴ ，即： ，
综上： 或 ．
21．（1）见分析；（2）2；（3）
【分析】（1）首先证得 ，利用全等三角形的判定定理即可得解；
（2）利用全等三角形的性质可得 ，可得 ，由勾股定理可得
，进一步计算可得结果；（3）由（1）得 ，可得 ，利用勾股定理得到 ，可得 ，
进一步计算可得结果；
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：由（1）得 ， ，
，
整理得 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，解得 ，
即 ．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质与判定，结合勾股定
理计算是解题的的关键．
22．（1）着火点 洒水影响，见分析；（2）着火点 能被扑灭，见分析
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点 作 ，垂足为 ，勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而等面积法求
得 长度，与500进行比较即可求得答案；
（2）以点 为圆心， 为半径作圆，交 于点 ，勾股定理求得 ，进而求得 的长，根
据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点 作 ，垂足为 ，
， ， ，
， ，
，
是直角三角形，，
（米），
，
着火点C受洒水影响
（2）解：如图，当 时，飞机正好喷到着火点 ，
，
，
在 中， ，
，
飞机的速度为 ，
（秒），
14秒 13秒，
着火点 能被扑灭，
答：着火点 能被扑灭．
23．（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）先证明 可得 ，进而可得 ，再证明
，即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，以 为边作 ， ， ，证明 ，根据已
知条件得出 是等腰直角三角形， ， 中，勾股定理求得 ，进而根据
，即可求解．
解：（1）证明：∵即
在 和
∴
即 ；
（2）解：如图所示，以 为边作 ， ， ，
同（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴
在 中，
∴
∴ ，
故答案为： ．24．（1）1；（2）12；（3） 区域的面积为2100平方米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质：
（1）根据勾股定理求得 ，再由 ，即可得到答案；
（2）过点D作 于点E，由角平分线的性质可得 ， ，再根据勾股
定理求得 ，再证明 ，可得 ，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）过点D作 于点F，由 可知 平分 ，则 ，由勾股定理
求得 ，再证明 ，再利用勾股定理建立方程求得 ，进而求得 ，再利用三角形的面积
公式求解即可．
（1）解： ， ，
在 中， ，
，
，
故答案为：1；
（2）解：过点D作 于点E，如图．
平分 ，
， ，
．
， ， ，
，
．
设 ，则 ， ．
在 中， ，，
解得 ，即 的长为12．
（3）解：过点D作 于点F，如图3．
，
平分 ，
米，
（米）．
， ， ，
，
．
设 米，则 米， 米．
在 中， ，
，解得 ，
（米），
（平方米）．
即区域的面积为2100平方米．
