文档内容
专题 18.5 矩形中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】如图①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=4，点M在BC边上，BM=1，点N是AD边上一动
点（不含端点），AN=x．连接MN，将四边形ABMN沿MN所在直线翻折，得到四边形EFMN，点
A、B的对应点分别为点E、F．
（1）CM= __________；
（2）当∠ANM=90°时，x= ________；当∠ANM=45°时，x= ________．
（3）如图②，当点E落在BC边上时，连接CN，求M N2+CN2的值．
（4）当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点时，直接写出x的值．
【思路点拨】
（1）根据BC=4，BM=1，直接求出CM=BC−BM=4−1=3；
（2）根据∠ANM=∠A=∠B=90°，证明四边形ABMN为矩形，得出AN=BM=1，说明此时x=1；
根据∠ENM=∠ANM=45°，求出∠ANE=45°+45°=90°，得出∠A=∠B=∠ANE=90°，证明四
边形ABPN为矩形，得出∠NPM=90°，NP=AB=1，AN=BP，证明△MNP为等腰直角三角形，得出
MP=NP=1，即可得出答案即可；
（3）过点N作NP⊥BC于点P，根据折叠得出MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，
，证明 为等腰直角三角形，得出 ， ，
∠NEF=∠A=90° △MEF ∠MEF=∠EMF=45° ME=❑√12+12=❑√2
证明四边形ABPN为矩形，得出NP=AB=1，BP=AN，证明△NPE为等腰直角三角形，得出， ，求出 ，
PE=NP=1 NE=❑√12+12=❑√2 M N2=N P2+M P2=12+(❑√2−1) 2=4−2❑√2
，最后求出结果即可；
CN2=N P2+PC2=12+(4−❑√2) 2=19−8❑√2
（4）分三种情况：当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，当顶点C在FE的延长线上时，当顶点C
在EF的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵BC=4，BM=1，
∴CM=BC−BM=4−1=3；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠C=90°，AB=CD=1，AD=BC=4，AD∥BC，
∵∠ANM=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABMN为矩形，
∴AN=BM=1，
即此时x=1；
当∠ANM=45°时，如图所示：
根据折叠可知：∠ENM=∠ANM=45°，
∴∠ANE=45°+45°=90°，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴四边形ABPN为矩形，
∴∠NPM=90°，NP=AB=1，AN=BP，
∵∠MNP=45°，∠NPM=90°，
∴△MNP为等腰直角三角形，
∴MP=NP=1，
∴AN=BP=1+2=2，
即此时x=2；（3）解：过点N作NP⊥BC于点P，如图所示：
根据折叠可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，
∴△MEF为等腰直角三角形，
∴∠MEF=∠EMF=45°，ME=❑√12+12=❑√2，
∴EC=BC−BM−ME=4−1−❑√2=3−❑√2，
∵∠A+∠B=∠BPN=90°，
∴四边形ABPN为矩形，
∴NP=AB=1，BP=AN，
∵∠NEP=∠MEF−∠MEF=45°，∠NPE=90°，
∴△NPE为等腰直角三角形，
∴PE=NP=1，NE=❑√12+12=❑√2，
∴BP=AN=NE=❑√2，PC=PE+CE=1+3−❑√2=4−❑√2，
∴MP=BP−BM=❑√2−1，
∴M N2=N P2+M P2=12+(❑√2−1) 2=4−2❑√2，
CN2=N P2+PC2=12+(4−❑√2) 2=19−8❑√2，
∴M N2+CN2=4−2❑√2+19−8❑√2=23−10❑√2；
（4）解：当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，如图所示：
根据折叠可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，
∵MF=CD，∠F=∠C=90°，∠MPF=∠CPD，
∴△MPF≌△CPD，1 3
∴MP=CP= CM= ，FP=DP，
2 2
根据勾股定理得：FP=DP=❑√CD2+CP2=❑
√
12+
(3) 2
=
❑√13
，
2 2
∴DF=2DP=❑√13，
∴DE=DF−EF=❑√13−1，
∵AN=x，
∴EN=x，DN=4−x，
根据勾股定理得：DN2=N E2+DE2，
即(4−x) 2=x2+(❑√13−1) 2 ，
1+❑√13
解得：x= ；
4
当顶点C在FE的延长线上时，连接CN，如图所示：
根据折叠可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，
根据勾股定理得：CF=❑√CM2−M F2=❑√32−12=2❑√2，
∴CE=CF−EF=2❑√2−1，
∵AN=x，
∴EN=x，DN=4−x，
根据勾股定理得：CN2=N E2+CE2，CN2=N D2+CD2，
∴N E2+CE2=N D2+CD2，
∴x2+(2❑√2−1) 2=(4−x) 2+12，
❑√2
解得：x=1+ ；
2
当顶点C在EF的延长线上时，连接MP，过点M作MQ⊥AD于点Q，如图所示：∵∠MQD=∠D=∠MCD=90°，
∴四边形MQDC为矩形，
∴MQ=CD=1，QD=MC=3，
∴AQ=4−3=1，
∵MP=MP，MQ=MF=1，
∴Rt△MPQ≌Rt△MPF(HL)，
∴PQ=PF，
∵∠MFC=180°−90°=90°，
∴在Rt△MCF中，根据勾股定理得：
CF=❑√MC2−CF2=❑√32−12=2❑√2，
设PQ=PF= y，则PD=3−y，PC=2❑√2+ y，
在Rt△PCD中，根据勾股定理得：PC2=CD2+PD2，
即(2❑√2+ y) 2=(3−y) 2+12，
解得：y=3−2❑√2，
∴PN=1+3−2❑√2−x=4−2❑√2−x，EP=EF−PF=1−3+2❑√2=2❑√2−2，
根据折叠可知：EN=AN=x，
在Rt△ENP中，根据勾股定理得：
PN2=EN2+PE2，
即(4−2❑√2−x) 2=x2+(2❑√2−2) 2 ，
2−❑√2
解得：x= ．
2
1+❑√13 ❑√2 2−❑√2
综上分析可知：x= 或x=1+ 或x= ．
4 2 2◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，E是CD边上一点，连
接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF．当CF长度最小时，△CEF的面积是（ ）
5 4 3
A． B． C． D．2
4 3 2
【思路点拨】
连接AC，如图，根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，
此时CF的最小值=AF+CF−AF=AC−AD，根据勾股定理得到AC=❑√AD2+CD2=5，得到CF长度
3
的最小值=5−3=2，设DE=EF=x，则CE=4−x，根据勾股定理得到EF= 根据三角形的面积公式得
2
1 3 3
到△CEF的面积是 × ×2= ．
2 2 2
【解题过程】
解：连接AC，如图，
∵△ADE沿AE翻折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD，DE=EF，∵AF+CF≥AC，
∴当点A、F、C三点共线时，AF+CF最小，此时CF的最小值=AF+CF−AF=AC−AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AD=3，CD=4，
∴AC=❑√AD2+CD2=5，
∴CF长度的最小值=5−3=2，
设DE=EF=x，则CE=4−x，
∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠CFE=90°，
∵CE2=EF2+CF2，
∴(4−x) 2=x2+22，
3
解得，x= ，
2
3
∴EF=
2
1 3 3
∴△CEF的面积是 × ×2= ，
2 2 2
故选：C．
2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AB的中点，F为
EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
24
A． B．3 C．2❑√2 D．4
5
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，综合性强，正确找出点P的运动轨迹是
解题关键．分别取AE,CD,DE的中点G,H,I，连接BH,BI,IG,PI,PH,HI，先根据矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理可得BH,BI2,HI的长，再根据三角形的中位线定理可得当点F在CE上运动
时，点P在HI上运动，根据垂线段最短可得当PB⊥HI时，PB的值最小，然后利用勾股定理可得
BH2−PH2=PB2=BI2−PI2，由此可求出PH的长，最后在Rt△PBH中，利用勾股定理计算即可得．
【解题过程】
解：如图，分别取AE,CD,DE的中点G,H,I，连接BH,BI,IG,PI,PH,HI，
∵矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AB的中点，
1
∴CD=AB=6，BC=AD=4，AE=BE= AB=3，∠A=∠BCD=90°，
2
∴CE=❑√BC2+BE2=5，
∵点H为CD的中点，
1
∴CH= CD=3，
2
∴BH=❑√BC2+CH2=5，
∵点G是AE的中点，点I是DE的中点，
1 1 3
∴IG= AD=2，AG= AE= ，IG∥AD，
2 2 2
9
∴∠IGE=∠A=90°，BG=AB−AG= ，
2
97
∴BI2=BG2+IG2=
，
4
∵点H为CD的中点，点I是DE的中点，
1 5
∴HI= CE= ，
2 2
又∵点I是DE的中点，P为DF的中点，
∴PI∥EF，
同理可得：PH∥CF，
∴点P,H,I在同一条直线上，即当点F在CE上运动时，点P在HI上运动，由垂线段最短可知，当PB⊥HI时，PB的值最小，
5
设PH=x(x>0)，则PI=HI−PH= −x，
2
由勾股定理得：BH2−PH2=PB2=BI2−PI2，
∴52−x2= 97 − (5 −x ) 2 ，
4 2
7
解得x= ，
5
7
∴PH= ，
5
24
∴PB=❑√BH2−PH2=
，
5
24
即PB的最小值是 ，
5
故选：A．
3．（2025·河北·一模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2❑√2，P是CD的中点，点Q在边AB上，
连接AP，PQ，将矩形ABCD沿AP，PQ折叠，点B，C，D的对应点分别为
B'，C'，D'，PD'，PC'分别交AB于点E，F（点E在点F右侧），则线段EF的最大值为
（ ）
❑√2 3❑√2
A．❑√2 B． C．2❑√2 D．
2 4
【思路点拨】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，要使EF最大，则点F要离点E最远，当点Q与点B重
合时，线段EF最大，计算出AE的长度，EF=AB−2AE，即可解答，熟知折叠的性质，得到当点Q与点
B重合时，线段EF最大是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，∵P是CD的中点，
∵E为定点，
∴要使EF最大，则点F要离点E最远，
∴当点Q与点B重合时，线段EF最大，此时点B'也与点B重合，
根据折叠可得∠CPB=∠C′PB,∠DPA=∠D′PA，PD=PD',AD=AD'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD=AB=2❑√2，AD=BC=1，
∴∠CPB=∠C′PB=∠PBF,∠DPA=∠D′PA=∠PAE，
∴PF=BF，PE=AE
设AE=x，则PE=x，
∵点P是CD的中点，
∴PD=PD′=❑√2,
∴ED′=❑√2−x
在Rt△AED'中，AD'2＋D'E2=AE2，
即12＋(❑√2−x) 2=x2，
3❑√2
解得x= ，
4
3❑√2
同理可得BF= .
4
3❑√2 ❑√2
∴EF最大值为AB−BF−AE=2❑√2− = ．
2 2
故选：B．
4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形ABCD中，AB=10，AD=4，点P为边CD上一个动点，
将△APD沿AP折叠得到△APQ，点D的对应点为Q，当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为
（ ）A．2 B．2或8 C．3 D．3或2❑√2
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点P在线段CD中点的左边和右边两种情况，画出图形
解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键．
【解题过程】
解：如图1，过点P作PE⊥AB于E，则∠PEA=∠PEM=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∴四边形ADPE为矩形，
∴EP=AD=4，AE=DP，
由折叠可得，DP=QP，AQ=AD=4，∠AQP=∠D=90°，
∴DP=QP=AE，∠AQM=90°，
∵点M为AB的中点，
1
∴AM= AB=5，
2
∴QM=❑√AM2−AQ2=❑√52−42=3，
设DP=QP=AE=a，则ME=5−a，PM=3+a，
在Rt△PEM中，PE2+EM2=PM2，
∴42+(5−a) 2=(3+a) 2，
解得a=2，
∴DP=2；
如图2，过点M作MF⊥CD于F，则四边形ADFM是矩形，∠MFP=90°，∴DF=AM=5，MF=AD=4，
由折叠可得DP=QP，AQ=AD=4，∠AQP=∠D=90°，
∴QM=❑√AM2−AQ2=❑√52−42=3，
设DP=QP=x，则PF=x−5，PM=x−3，
在Rt△MFP中，M F2+PF2=PM2，
∴42+(x−5) 2=(x−3) 2，
解得x=8，
∴DP=8；
综上，DP的长为2或8，
故选：B．
5．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形ABCD中，AB=❑√7．CE平分∠BCD交AD于点E，M
是CD上一动点，连结BM，EF⊥BM于点F，若BF=FM，且EF=2DM，则CM的长为（ ）
4
A．❑√7−1 B．❑√7− C．4−❑√7 D．❑√5−1
3
【思路点拨】
连接BE、ME，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=EM，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角
分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠DCE=∠BCE，根据矩形的对边平行且相等，四
个角都是直角可得AD∥BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，根据两直线平行，内错角相等可推得
∠DCE=∠DEC，根据等角对等边可得DE=CD=AB=❑√7，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠AEB=∠DME，结合直角三角形中两个锐角
互余可得∠AEB+∠DEM=90°，推得△BEM是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半可得EF=MF，设DM=x，则EF=MF=2x，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即
可列出方程，解方程求出x的值，即可求解．
【解题过程】
解：连接BE、ME，如图，
∵EF⊥BM，BF=FM，
∴EF是BM的垂直平分线，
∴BE=EM，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴DE=CD=AB=❑√7，
在Rt△ABE和Rt△DEM中，
{BE=EM)
，
AB=ED
∴Rt△ABE≌Rt△DEM(HL)，
∴∠AEB=∠DME，
在Rt△DEM中，∠DME+∠DEM=90°，
∴∠AEB+∠DEM=90°，
即∠BEM=90°，
∴△BEM是直角三角形，
∴EF=MF，
设DM=x，则EF=2DM=2x，即MF=2x，
在Rt△EFM中，EM=❑√EF2+FM2=2❑√2x，
在Rt△DEM中，EM2=DM2+DE2，
即(2❑√2x) 2=x2+(❑√7) 2 ，，
解得：x=1，
∴DM=1，
∴CM=CD−DM=❑√7−1．
故选：A．
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且
1
BE=BC,DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①BD平分∠CDE；②AB+ EF=❑√2AG；③
2
CD=(❑√2+1)DE；④AE:CF=(❑√2−1):1．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拨】
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题
中的压轴题．如图1中，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N，由△BCM≌△BEN，推出BM=BN，由
BM⊥CD，BN⊥DE，可得∠BDN=∠BDM，故①正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，
作DH⊥EC于H．易证△DAE≌△DGK，可得DE=DK，设AD=DG=a，则BC=BE=CF=2a，通
过计算即可一一判断．
【解题过程】
解：如图，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N．∵∠BMD=∠MDN=∠N=90°，
∴四边形BMDN是矩形，
∴∠MBN=∠CBA=90°，
∴∠CBM=∠EBN，
∵BC=BE，∠BMC=∠N，
∴△BCM≌△BEN，
∴BM=BN，
∵BM⊥CD，BN⊥DE，
∴∠BDN=∠BDM，
∴ BD平分∠CDE，故①正确，
如图中，延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．
∵点D是AG的中点，
∴AD=DG，
∵AB∥CK，
∴∠A=∠KGD,∠K=∠DFA，
∴△DAE≌△DGK(AAS)，
∴DE=DK，
∵CD⊥EK，
∴CE=CK，∠DCK=∠DCE=22.5°，
∴∠K=∠AED=∠CED=∠EFD=∠CBF=67.5°，∴DE=DF，HF=HE，BC=CF，
∴△DEA≌△DEH，
∴AE=EH=HF，
设AD=DG=a，则BC=BE=CF=2a，
∵EC=2❑√2a，
∴EF=2❑√2a−2a，AE=EH=HF=❑√2a−a，
∴2AB+EF=2(2a+❑√2a−a)+2❑√2a−2a=4❑√2a=4❑√2AD，
1
∴AB+ EF=❑√2AG，故②正确，
2
∴(❑√2−1)CD=(❑√2−1)⋅ ❑√ (❑√2a+a) 2+a2=❑√4−2❑√2a，
∵DE=❑√AE2+AD2=❑√ (❑√2a−a) 2+a2=❑√4−2❑√2a，
∴(❑√2−1)CD=DE，
∴CD=(❑√2+1)DE，故③正确，
CF 2a
∵ = =2(❑√2+1)，
AE ❑√2a−a
∴AE:CF=(❑√2−1):2，故④错误，
故选：A
7．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，E为AB中点，P为CD边
上一动点（含端点），F为AP中点，则△AEF的周长最小值为 ．
【思路点拨】
1 1
根据三角形的中位线的性质得到EF= BP，推导出C = C ，当△ABP的周长最小时，△AEF的
2 △AEF 2 △ABP
周长最小；即AP+BP的值最小时，△AEF的周长最小；如图，作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD
于P，于是得到结论．
【解题过程】解：∵E为AB中点，F为AP中点，
1
∴EF= BP，
2
1
∴C =AE+AF+EF=AE+ (AP+BP)
△AEF 2
1 1
= (AB+AP+BP)= C ，
2 2 △ABP
当△ABP的周长最小时，△AEF的周长最小，即AP+BP的值最小时，△AEF的周长最小；
如图，作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，连接A′C，BD，
∴AD=A′D=BC=2，A′D∥BC，
∴四边形A′DBC是平行四边形，
3
∴CP=DP= ，A′P=BP，
2
√9 5
∴AP=BP=❑√CP2+BC2=❑ +4= ，
4 2
1 1( 5 5)
∴C = C = 3+ + =4，
△AEF 2 △ABP 2 2 2
故答案为：4．
8．（2025·陕西渭南·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点M、N分别是BC、CD的中点，
连接AN，点O在线段AN上，连接OM，若∠MON=45°，则OM的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，连接MA,MN，过点M作MH⊥AN，由矩形的性质可得
AD=BC=6,CD=AB=4,∠B=∠C=∠D=90°，再由点M、N分别是BC、CD的中点，可得
BM=CM=3,CN=DN=2，再求出S =S −S −S −S =9，再用面积法求出
△AMN 矩形ABCD △ABM △MCN ADN
9❑√10
MH= ，最后由等腰三角形的判定求解即可．
10
【解题过程】
解：如图，连接MA,MN，过点M作MH⊥AN，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6,CD=AB=4,∠B=∠C=∠D=90°，
∵点M、N分别是BC、CD的中点，
∵BM=CM=3,CN=DN=2，
1 1 1
∴S =S −S −S −S =6×4− ×2×6− ×3×4− ×2×3=9，
△AMN 矩形ABCD △ABM △MCN ADN 2 2 2
AN=❑√AD2+DN2=❑√62+22=2❑√10，
1
∵S = AN·MH，
△AMN 2
1
∴ ×2❑√10·MH=9，
2
9❑√10
∴MH= ，
10
∵∠MON=45°,MH⊥AN，
∴△OMH是等腰直角三角形，
9❑√10 9❑√5
∴OM=❑√2MH=❑√2× = ，
10 5
9❑√5
故答案为： ．
5
9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,M是CD边上任意一点，
分别过点A,C,D作射线BM的垂线，垂足分别是E,F,G，若AE+CF+DG=m，则m的最小值是 ．【思路点拨】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，连接BD、AM，由矩形的性质得
∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC=2，S =2，再由勾股定理得BD=❑√5，然后求出
矩形ABCD
4 4
AE+CF+DG= ，则 =m，即可解决问题．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
BM BM
【解题过程】
解：如图，连接BD、AM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC=2，S =AB⋅BC=2，
矩形ABCD
由勾股定理得：BD=❑√AB2+AD2=❑√5，
∵BC=2，
∴2≤BM≤❑√5，
∵△ADM和△BDM的边DM上的高AD=BC=2，
1
∴S =S = BM⋅DG，
ΔADM ΔBDM 2
1 1 1 1
∵2=S =S +S +S = BM⋅AE+ BM⋅CF+ BM⋅DG= BM(AE+CF+DG，)
矩形ABCD ΔABM ΔBCM ΔADM 2 2 2 2
4
∴AE+CF+DG= ，
BM
4
∴ =m，
BM
∵2≤BM≤❑√5，
∴m随着BM的增大而减小，4❑√5
∴BM=❑√5时，m最小，m= ，
5
4❑√5
故答案为： ．
5
10．（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形ABCD中，AB=16，AD=10，点E在边CD上，将
△ADE沿直线AE翻折，点D落在点F处，连接BF、CF．如果△BCF是以BF为腰的等腰三角形，那么
DE的长是 ．
【思路点拨】
分两种情况讨论，一是BF=BC，由翻折得AF=AD=BC=5，所以AF=BF，过点F作FG⊥AB于点
G，交DC于点H，则AG=BG=4，四边形AGHD是矩形，所以DH=AG=4，GH=AD=5，求得
5
GF=❑√AF2−AG2=3，则FH=2，由勾股定理得(4−DE) 2+22=DE2，求得DE= ；二是BF=CF，
2
5
连接DF，过点F作FQ⊥BC于点Q，交AD于点P，则BQ=CQ= ，四边形APQB是矩形，所以
2
5
AP=BQ= ，可证明PQ垂直平分AD，则AF=AD=DF，所以∠DAF=60°，则
2
5❑√3
∠DAE=∠FAE=30°，所以AE=2DE，由AD=❑√AE2−DE2=❑√3DE=5，求得DE= ，于是得
3
到问题的答案．
【解题过程】
解：如图1，△BCF是以BF为腰的等腰三角形，且BF=BC，∵四边形ABCD是矩形，AB=16，AD=10，
∴AD=BC，∠BAD=∠ADC=90°，
∵将△ADE沿直线AE翻折，点D落在点F处，
∴AF=AD=BC=10，
∴AF=BF，
1
过点F作FG⊥AB于点G，交DC于点H，则AG=BG= AB=8，
2
∵∠AGH=∠GAD=∠ADH=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴DH=AG=8，GH=AD=10，∠DHG=90°，
∵GF=❑√AF2−AG2=❑√102−82=6，
∴FH=GH−GF=10−6=4，
∵EH2+FH2=FE2，且EH=8−DE，FE=DE，
∴(8−DE) 2+42=DE2，
解得DE=5；
如图2，△BCF是以BF为腰的等腰三角形，且BF=CF，
1
连接DF，过点F作FQ⊥BC于点Q，交AD于点P，则BQ=CQ= BC=5，
2
∵∠PQB=∠ABQ=∠BAP=90°，
∴四边形APQB是矩形，
∴AP=BQ=5，∠APQ=90°，
∴AP=DP=5，
∴PQ垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴AF=AD=DF，∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=60°，
1
∴∠DAE=∠FAE= ∠DAF=30°，
2
∴AE=2DE，
∵AD=❑√AE2−DE2=❑√(2DE) 2−DE2=❑√3DE=10，
10❑√3
∴DE= ，
3
10❑√3
综上所述，DE的长是5或 ，
3
10❑√3
故答案为：5或 ．
3
11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,E、F分别是AD、BC的
中点，动点P、Q在线段EF上，且满足PQ=2．则四边形APQB周长的最小值为 ．
【思路点拨】
因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可；过点Q作QM∥PA
交AB于M，连接CQ，可证明四边形ABFE是矩形，则有PQ∥AB,，∠QFC=∠QFB=90°，再证明
四边形APQM是平行四边形，得到AM=PQ=2，则BM=AB−AM=3，证明△FQC≌△FQB(SAS)，
得到BQ=CQ，则当C、Q、M三点共线时，CQ+MQ有最小值，即此时AP+BQ有最小值，最小值为
CM的长，据此求解即可．
【解题过程】
解：∵四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB，
又∵AB=5，PQ=2，
∴四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ，
∴要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可，
如图所示，过点Q作QM∥PA交AB于M，连接CQ，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠BAD=90°，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
1 1
∴AE= DE，BF=CF= BC，
2 2
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴平行四边形ABFE是矩形，
∴PQ∥AB,，∠QFC=∠QFB=90°，
又∵QM∥PA，
∴四边形APQM是平行四边形，
∴AM=PQ=2，
∴BM=AB−AM=3，
∵QF=QF，∠QFC=∠QFB=90°，CF=BF，
∴△FQC≌△FQB(SAS)，
∴BQ=CQ，
∴AP+BQ=CQ+MQ，
∴当C、Q、M三点共线时，CQ+MQ有最小值，即此时AP+BQ有最小值，最小值为CM的长，
在Rt△MBC中，由勾股定理得CM=❑√BM2+BC2=3❑√5，
∴AP+BQ的最小值为3❑√5
∴四边形APQB周长的最小值为=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ=7+3❑√5，
故答案为：7+3❑√5．
12．（2025·甘肃定西·一模）如图，在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平
分线EF与DC交于点F，若AB=10，点F是DC的中点，则BC的长为 ．【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识的综合运用，根据矩形的性质，角平分线的定义得到AB=AE=10，由勾股定理得到
BE=❑√AB2+AE2=10❑√2，如图所示，过点F作FG⊥BE于点G，连接BF，根据角平分线的性质定理
可证△FED≌△FEG(HL)，得到ED=EG，再证△BFG≌△BFC(HL)，得到BC=BG，设ED=EG=x，
则AD=BC=AE+ED=10+x，BG=BE−EG=10❑√2−x，由BC=BG列式求解即可，掌握矩形的性质，
角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【解题过程】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=10，
∴ BE=❑√AB2+AE2=10❑√2，
如图所示，过点F作FG⊥BE于点G，连接BF，
∵EF平分∠BED，∠D=90°，即FD⊥ED，且FG⊥BE，∴FD=FG，且FE=FE，
∴ △FED≌△FEG(HL)，
∴ED=EG，
∵点F是DC的中点，
1 1
∴ FD=FC= CD= ×10=5，
2 2
∴FD=FG=FC=5，
在Rt△BFG和Rt△BFC中，
{BF=BF)
，
FG=FC
△BFG≌△BFC(HL)，
∴BC=BG，
设ED=EG=x，则AD=BC=AE+ED=10+x，
∴ BG=BE−EG=10❑√2−x，
∴由BC=BG得，10+x=10❑√2−x，
解得，x=5❑√2−5，
∴ AD=BC=10+x=10+5❑√2−5=5❑√2+5，
故答案为：5❑√2+5．
13．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F、G分别
是BC、AE的中点，延长GF、DE交于点H．若AD=8，FG=2，DE=2HE，则AB的长为
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理及其逆定理等知识，熟练运用以上
知识点，利用中点作出适当的辅助线，构造全等三角形和三角形中位线是解题的关键．过点G作
1
GM∥AD交DE于点M，可得GM是△EAD的中位线，GM= AD=4，EF是△HGM的中位线，
2
1
EF= GM=2．延长FG交AD于点N，易证△AGN≌△EGF(AAS)，AN=EF=2，GN=GF=2．过点
2N作NP⊥BC于点P，易证四边形ABPN是矩形，BP=AN=2．在Rt△NPF中，FN=GN+GF=4，
FP=BF−BP=2，通过勾股定理即可求NP的长，从而求AB的长．
【解题过程】
解：如图，
过点G作GM∥AD交DE于点M，
∵点G是AE的中点，AD=8，
∴GM是△EAD的中位线，
1 1
∴GM= AD=4，ME= DE，
2 2
∵DE=2HE，
∴ME=HE，
∵EF∥AD，
∴EF∥GM，
∴EF是△HGM的中位线，
1
∴EF= GM=2；
2
延长FG交AD于点N，
∵ AG=EG，AN∥EF，
∴△AGN≌△EGF(AAS)，
∴AN=EF=2，GN=GF=2；
过点N作NP⊥BC于点P，
∴四边形ABPN是矩形，BP=AN=2；
∵点F是BC的中点，
∴BF=4，
在Rt△NPF中，FN=GN+GF=4，FP=BF−BP=2，
∴AB=NP=❑√FN2−FP2=❑√42−22=2❑√3．
故答案为 ：2❑√3．14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=❑√2AB,∠BAD的平分线交BC于
点E,DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于点O．有下列结论：①
△DHE≌△DCE；②∠DHO=30°；③OE=OD；④BH=HF；其中正确的是 ．（只需填序
号）
【思路点拨】
根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE，△AHD是等腰直角三角形，然后利
用角角边证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，然后证明出
△DHE≌△DCE(HL)，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据
平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出②；求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，
然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，即可判断③；连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CH，
再证明HF=CH，可得结论．
【解题过程】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE，△AHD是等腰直角三角形，
∴AE=❑√2AB，
∵AD=❑√2AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
{∠BAE=∠DAE
)
∠ABE=∠AHD ，
AE=AD
△ABE≌△AHD(AAS)，
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD=CD，又∵DE=DE，∠DHE=∠C=90°
∴△DHE≌△DCE(HL)，故①正确；
∵AB=AH，
1 1
∵∠AHB= (180°−45°)=67.5°，∠AED= (180°−45°)=67.5°
2 2
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°−67.5°=22.5°，故②错误；
∴∠ODH=67.5°−45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故③正确；
连接CH．
∵AB=DC，∠BAH=∠CDH=45°，AH=DH，
∴△BAH≌△CDH，
∴BH=CH，
∴∠HBC=∠HCB，
∵∠HBC+∠CFH=90°，∠HCB+∠HCF=90°，
∴∠HCF=∠HFC，
∴HC=HF，
∴HB=HF，故④正确．
故答案为：①③④．
15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上
运动；点E关于AC的对称点为F，连接BF，在点E从B点运动到D点的过程中，BF的最小值为
．【思路点拨】
如图1和2，作点B关于AC的对称点G，连接EG，CG，先根据轴对称的性质可得EG=BF，将求BF的
最小值转化为求点G到折线BCD的最短距离，从而可得在图2中，当EG⊥CD时，点G到CD的距离最短，
再设BG交AC于点O，交CD于点H，利用勾股定理和三角形的面积公式求出OC,CH,GH的长，最后利
用△CHG的面积求解即可得．
【解题过程】
解：如图1和2，作点B关于AC的对称点G，连接EG，CG，
由轴对称的性质得：EG=BF，
∴求BF的最小值可转化为求点G到折线BCD的最短距离，
如图1，当点E在BC上运动时，点G到BC的最短距离为CG的长，
如图2，当点E在CD上运动时，则EG⊥CD时，点G到CD的距离最短，
∵如图2，在Rt△CEG中，CG>EG，
∴当点E在折线BCD上运动时，点G到折线BCD的最短距离为图2中EG的长，
在图2中，设BG交AC于点O，交CD于点H，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=3，
∴∠ABC=∠BCD=90°，BC=AD=3，
∴AC=❑√AB2+BC2=5，
由轴对称的性质得：OG=OB,BG⊥AC，1 1
∴S = AC⋅OB= AB⋅BC，
△ABC 2 2
AB⋅BC 12
∴OB= = ，
AC 5
9 12
∴OC=❑√BC2−OB2= ，OG=OB= ，
5 5
12
设OH=x(x>0)，则BH=OB+OH= +x，
5
∵OC2+OH2=CH2=BH2−BC2，
∴ (9) 2 +x2= (12 +x ) 2 −32 ，
5 5
27
解得x= ，
20
27 12 27 21
∴OH= ，GH=OG−OH= − = ，
20 5 20 20
9
∴CH=❑√OC2+OH2=
，
4
1 1
又∵S = CH⋅EG= GH⋅OC，
△CHG 2 2
21 9
×
GH⋅OC 20 5 21
∴EG= = = ，
CH 9 25
4
21
即BF的最小值为 ，
25
21
故答案为： ．
25
16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，BC=8，AB=6❑√2，点E、F分别在BC、
CD边上，DF=5❑√2，将△ABE沿AE翻折至△AB′E，△CEF沿EF翻折至△C′EF，C′恰好落在线段
EB′上，则B′到EF的距离为 ．
【思路点拨】过B′作B′G垂直于EF的延长线与G，连接BB′交AE与H，连接AF，由矩形的性质及折叠的性质得
1
∠AEF=∠AEB′+∠C′EF = ×180°=90°，由矩形的判定方法得四边形HEGB′是矩形，设EC=x，
2
则BE=B′E=8−x，EC′=EC=x，由勾股定理得AE2=AB2+BE2 =136−16x+x2，
EF2=EC2+CF2 =2+x2，AF2=AD2+DF2 =114，AE2+EF2=AF2，求出EC的长， ①当x=2时，
1 1
由 BH⋅AE= AB⋅BE，求出BH，由勾股定理得HE=❑√BE2−BH2，即可求解；②当x=6时，同理
2 2
可求．
【解题过程】
解：如图，过B′作B′G垂直于EF的延长线与G，连接BB′交AE与H，连接AF，
在矩形ABCD中，BC=8，AB=6❑√2，
∴AD=BC=8，
CD=AB=6❑√2，
∠B=∠C=90°，
∵DF=5❑√2，
∴CF=CD−DF=❑√2，
∵将△ABE沿AE翻折至△AB′E，△CEF沿EF翻折至△C′EF，C′恰好落在线段EB′上，
∴∠AB′E=∠B=90°，
AB′=AB=6❑√2，
BE=EB′，
1
∠AEB=∠AEB′= ∠BEB′
，
2
∠EC′F=∠C=90°，
CF′=CF=❑√2，
EC=EC′，1
∠C′EF=∠CEF= ∠CEC′
，
2
BB′⊥AE，
∴∠AEF=∠AEB′+∠C′EF
1
= ×180°=90°，
2
四边形HEGB′是矩形，
∴HE=B′G，
设EC=x，则BE=B′E=8−x，EC′=EC=x，
∴AE2=AB2+BE2
=(6❑√2) 2+(8−x) 2
=136−16x+x2，
EF2=EC2+CF2，
=2+x2，
AF2=AD2+DF2
=82+(5❑√2) 2
=114，
∵AE2+EF2=AF2，
∴136−16x+x2+2+x2=114，
解得：x =2，x =6，
1 2
①当x=2时，
B′E=BE=8−2=6，
EC′=EC=2，
AE=❑√136−16×2+22=6❑√3，
1 1
∵ BH⋅AE= AB⋅BE，
2 2
1 1
∴ BH×6❑√3= ×6❑√2×6，
2 2
解得：BH=2❑√6，
∴HE=❑√BE2−BH2=❑√62−(2❑√6) 2
=2❑√3，
∴ B′G=2❑√3；
②当x=6时，
2❑√19
同理可求：B′G=
．
19
2❑√19
综上，B′到EF的距离为2❑√3或 ．
19
17．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作
AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD=9，EC=6，∠BAE=30°，求OF的长度．
【思路点拨】
（1）由平行四边形性质得到AB∥DC且AB=DC，由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF，根据三角形
的判定可证得△ABE≌△DCF(SAS)，由全等三角形的性质得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，可
得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到EF=AD=9，进而求得BE=CF=3，BF=12，由勾股定理可求得DF=3❑√3，
BD=3❑√19，由平行四边形性质得OB=OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解题过程】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
{
AB=DC
)
∠ABE=∠DCF ，
BE=CF
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=9，DF=AE，
∵EC=6，
∴BE=CF=3，
∴BF=12，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°,∠AEB=90°，
∴AB=2BE=6，
∴DF=AE=❑√AB2−BE2=❑√62−32=3❑√3，
∴在Rt△BFD中BD=❑√BF2+DF2=3❑√19，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
1 3❑√19
∴OF= BD= ．
2 2
18．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接
EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证 EO=OF；
（2）若FC=2，求矩形ABCD的面积．
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
（1）由AB∥CD得∠BAC=∠FCO，即可由AAS证△AOE≌△COF，可得EO=OF；
（2）证明△EBF是等边三角形，得∠EBF=60°，EB=BF，进而得∠CBF=30°，再由直角三角形的性
质可得CF=AE=2，BC=2❑√3，BF=2CF=4，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
{∠EAO=∠FCO
)
∠AOE=∠COF ，
AE=CF
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴EO=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴∠BEF+∠ABO=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
∴2∠BAC+∠BAC=90°，
∴∠BAC=30°，∠BEO=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴∠EBF=60°，EB=BF，
∴∠CBF=30°，
∵CF=2，
∴CF=AE=2，BC=2❑√3，BF=2CF=4，
∴BF=BE=4，
∴AB=AE+BE=6，
∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=6×2❑√3=12❑√3．
19．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，若动点E从点B出
发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动，DF⊥AE于F，连结DE．（1）当E在线段BC上时
①若DE=5，求BE的长；
②若CE=EF，求证：AD=AE；
（2）连结BF，在点E的运动过程中，设运动时间为t秒，当t为何值时，△ABF是以AB为底的等腰三角形?
【思路点拨】
（1）①在矩形ABCD中，∠B=∠DCE=90°，BC=AD=5，DC=AB=4，由勾股定理求得CE的长，
即可求得BE的长；
②证明△CED≌△≝¿，可得∠CED=∠FED，从而可得∠ADE=∠AED，即可得到AD=AE；
（2）分两种情况点E在线段BC上、点E在BC延长线上两种情况分别讨论即可得.
【解题过程】
（1）①解：在矩形ABCD中，∠B=∠DCE=90°,BC=AD=5,DC=AB=4，
∵DE=5，
∴CE=❑√DE2−DC2=❑√52−42=3，
∴BE=BC−CE=5−3=2；
②证明：在矩形ABCD中，∠DCE=90°,AD∥BC，DF⊥AE
∴∠ADE=∠DEC,∠DCE=∠DFE=90°，
∵CE=EF,DE=DE，
∴△CED≌△≝(HL)，
∴∠CED=∠FED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
（2）解：①当点E在线段BC上时，AF=BF，如图所示：∴∠ABF=∠BAF，
∵∠ABF+∠EBF=90°,∠BAF+∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=BF，
∴AF=EF，
∵DF⊥AE，
∴DE=AD=5，
在矩形ABCD中，CD=AB=4,∠DCE=90°，
∴CE=3，
∴BE=5−3=2；
当点E在BC延长线上时，AF=BF，如图所示，
∵DF⊥AE，
∴DE=AD=5，
在矩形ABCD中，CD=AB=4,∠DCE=90°
∴CE=3，
∴BE=5+3=8，
综上所述，可知BE=2或8；
∴当t=2或8时，△ABF是以AB为底的等腰三角形．
20．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC
上的两个动点，且AE=CF．1
（1）如图，当AE< AC时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
2
（2）若AB=6，BC=8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长．
【思路点拨】
（1）由矩形的性质可得AB=CD，AB∥CD，∠B=90°，由两直线平行内错角相等可得
1 1
∠BAC=∠DCA，由线段中点的定义可得AG= AB，CH= CD，进而可得AG=CH，由AE=CF可
2 2
得AE+EF=CF+EF，进而可得AF=CE，利用SAS可证得△AGE≌△CHF，△AGF≌△CHE， 于
是可得¿=FH，GF=HE，由此即可得出结论；
（2）连接GH，由（1）得BG=CH，BG∥CH，∠B=90°，由此可证得四边形BCHG是矩形，于是可
得GH=BC=8，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC=❑√AB2+BC2=10，然后分两种情况讨论：①
当EGFH是矩形时；②当FGEH是矩形时；分别利用矩形的性质及线段之间的和差关系即可求出AE的长．
【解题过程】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠B=90°，
∴∠BAC=∠DCA，
∵G，H分别是AB，DC的中点，
1 1
∴AG=BG= AB，CH=DH= CD，
2 2
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，△AGF≌△CHE(SAS)，
∴≥=FH，GF=HE，∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：如图，连接GH，
由（1）得：BG=CH，BG∥CH，∠B=90°，
∴四边形BCHG是矩形，
∴GH=BC=8，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：
AC=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10，
分两种情况讨论：
①当EGFH是矩形时，
∴EF=GH=8，
1 1
∴AE=CF= (AC−EF)= ×(10−8)=1；
2 2
②当FGEH是矩形时，
如图，
∴EF=GH=8，
1 1
∴AE=CF= (AC+EF)= ×(10+8)=9；
2 2
综上，AE的长为1或9．
21．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知矩形ABCD和矩形A B C D ，D 是AC上一点，A D 与边
1 1 1 1 1 1 1
AB相交于点E，C D 与边CB相交于点F．
1 1（1）如图1，若AB=4，BC=8，则AC=________；
（2）如图2，在（1）的条件下，若BD ⊥AC，BF=D F，求AE；
1 1
（3）如图3，若A B =A D =CC ，D E=C F，求证：CF=AE+A A ．
1 1 1 1 1 1 1 1
【思路点拨】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上
知识是解题的关键；
（1）根据勾股定理计算，即可求解；
（2）证明∠ED B=∠EBD 得出ED =EB，进而证明∠A=∠AD E得出AE=ED ，即可得出E为
1 1 1 1 1
AB的中点，即可求解；
（3）过点C 作C G⊥AC于点G，交BC于点F，分别证明△AD E≌△HC F(ASA)，
1 1 1 1
△AD A ≌△HC C，即可得出AE=HF，HC=A A ，进而根据CF=FH+CH=AE+A A ，即可得
1 1 1 1 1
证．
【解题过程】
（1）解：∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=8，
∴AC= ❑√AB2+BC2=❑√42+82= 4❑√5
故答案为：4❑√5．
（2）解：∵矩形ABCD和矩形A B C D ，
1 1 1 1
∴∠ABC=∠A D C =90°
1 1 1
∵BF=D F，
1
∴∠FBD =∠FD B
1 1
∴∠ABC−∠FBD =∠A D C −∠FD B，即∠ED B=∠EBD ，
1 1 1 1 1 1 1
∴ED =EB，
1∵BD ⊥AC，
1
∴∠A+∠ABD =90°，∠AD E+∠ED B=90°
1 1 1
∴∠A=∠AD E
1
∴AE=ED
1
1
∴AE=EB= AB=2
2
（3）解：如图，过点C 作C G⊥AC于点G，交BC于点F，
1 1
∵四边形A B C D 是矩形，
1 1 1 1
∴C D =A B ，∠A D C =90°
1 1 1 1 1 1 1
又A B =A D =CC ，
1 1 1 1 1
∴CC =D C ，
1 1 1
∵C G⊥AC，∠A D C =90°
1 1 1 1
∴∠FC H=∠CC H=90°−∠GD C =∠AD E
1 1 1 1 1
在四边形EBFD 中，∠EBF=∠ED F=90°
1 1
∴∠EBF+∠ED F=180°，∠D EB+∠BFD =180°
1 1 1
又∵∠AED +∠D EB=180°
1 1
∴∠AED =∠D FB=∠HFC
1 1 1
在△AD E，△HC F中，
1 1
{∠FC
1
H=∠AD
1
E
)
D E=C F
1 1
∠AED =∠HFC
1 1
∴△AD E≌△HC F(ASA)
1 1
∴AE=HF，AD =HC
1 1
在△AD A ，△HC C中，
1 1 1{ AD 1 =HC 1 )
∠CC H=∠AD A
1 1 1
A D =CC
1 1 1
∴△AD A ≌△HC C(SAS)
1 1 1
∴HC=A A ，
1
∴CF=FH+CH=AE+A A ．
1
22．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC>AB，P,Q分别是边
AD,BC上的点，将四边形APQB沿PQ翻折，A,B两点的对应点分别为F,E．
（1）如图1，当点E落在AD上时，求证：BQ=PE；
（2）如图2，若BC=8，点E与点D重合，求AP的长；
（3）如图3，当点E恰好落在CD的中点，EF交AD于点G，连接DF，若△DFG为等腰三角形，求折痕
PQ的长．
【思路点拨】
本题考查了矩形与折叠，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进
行推理证明与计算；
（1）根据折叠和平行证明∠EPQ=∠PQE即可；
（2）设BQ=DQ=PD=x，则CQ=AP=8−x，根据勾股定理列出方程即可求；
（3）过点P作PH⊥BC于H，证明△PFG≌△EDG，设BQ=EQ= y，则CQ=6−y，由勾股定理列出
方程即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EPQ=∠PQB，
∵将四边形APQB沿PQ翻折，∴∠PQB=∠PQE，BQ=EQ，
∴∠EPQ=∠PQE，
∴PE=EQ，
∴BQ=PE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠C=90°，
设BQ=DQ=PD=x，则CQ=AP=8−x，
在Rt△CDQ中，根据勾股定理，CD2+CQ2=DQ2，即42+(8−x) 2=x2，
解得x=5，
∴AP=8−x=3；
（3）解：如图3，过点P作PH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD=4，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∴四边形APHB是矩形，
∴AP=BH，PH=AB=4，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE=2，
∵将四边形APQB沿PQ翻折，
∴∠PFG=∠A=90°，EF=AB=4，AP=PF，
∴∠FGD>90°，
∵△DFG为等腰三角形，
∴FG=DG，
∵∠PFG=∠EDG=90°，∠FGP=∠EGD，
∴△PFG≌△EDG，∴PF=DE=2，PG=EG，
∴AP=PF=BH=2，PD=EF=4，
∴AD=AP+PD=6，
设BQ=EQ= y，则CQ=6−y，
在Rt△CEQ中，根据勾股定理，CE2+CQ2=EQ2，即22+(6−y) 2= y2，
10 10
解得y= ，即BQ= ，
3 3
4
∴HQ=BQ−BH= ，
3
∴在Rt△PHQ中，根据勾股定理，
PQ=❑√PH2+HQ2=❑
√
42+
(4) 2
=
4
❑√10．
3 3
23．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=6cm，BC=8cm，点
E、F、G分别在边AB、BC、CD上．点E从点B出发向点A运动，速度为4cm/s，点F从点B出发向点
C运动，速度为3cm/s，点G从点C出发向点D运动，速度为4cm/s．当点E到达点A（即点E与点A重
合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，设点E、F、
G运动的时间为t（单位：s）．
（1）四边形EBFB′________（填“能”或“不能”）是正方形；
（2）若M、N分别是EF、FG的中点，连接BM，问：当t为何值时，四边形BMNF是平行四边形？
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由题意得BE≠BF，则四边形EBFB′不能是正方形；
1 1
（2）连接EG，证明四边形BCEG是矩形，求得MN= EG= BC，推出当MN=BF时，四边形BMNF
2 2
是平行四边形，据此求解即可；1 5
（3）由对称的性质知EF是线段B′B的垂直平分线，当点B′与点O重合时，BH=B′H= ×5= ，利用等
2 2
积法求解即可．
【解题过程】
（1）解：由题意得BE=4t，CG=4t，BF=3t，
∵BE≠BF，
∴四边形EBFB′不能是正方形，
故答案为：不能；
4
（2）解：t=
3
连接EG，
∵矩形ABCD，
∴BE∥CG，∠ABC=∠C=90°，
∵BE=CG=4t，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形BCEG是矩形，
∴EG=BC，EG∥BC，
∵M、N分别是EF、FG的中点，
1 1
∴MN= EG= BC，EG∥MN∥BC，
2 2
∴MN∥BF，
当MN=BF时，四边形BMNF是平行四边形，
1 1
此时BF= BC，即3t= ×8，
2 2
4
解得t= ；
3
（3）解：存在实数t，使得点B′与点O重合，连接B′B交EF于点H，连接AC，BD，
∵矩形ABCD，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=BD=❑√62+82=10，
1
∴BO= BD=5，
2
∵△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，
∴EF是线段B′B的垂直平分线，
∴BH=B′H，
1 5
当点B′与点O重合时，BH=B′H= ×5= ，
2 2
在Rt△BEF中，BH⊥EF，BE=4t，BF=3t，
∴EF=❑√BE2+BF2=5t，
5
∵BH= ，
2
1 1 5
∴S = EF×BH= BE×BF，即 ⋅5t=4t⋅3t，
△BEF 2 2 2
25
解得t= ．
24
24．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=❑√2AB．∠BAD的平分线交BC于点E，
DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O．
（1）若BE=1，请求出CE的值；
（2）求证：H是BF的中点；(BH−OF) 2
（3）请判断 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
CF⋅BE
【思路点拨】
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形内角和定理，
解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
（1）根据矩形的性质及角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，结合题意及线段长即可得出结果；
（2）根据题意及各角之间的关系确定AH=AB，AD=AE，∠EBH=∠OHD，再由全等三角形的判定
和性质即可证明；
（3）由（2）得HE=DF，设AB=BE=CD=a，则DH=a，确定AD=AE=❑√2a，HE=DF=❑√2a−a，
CF=CD−DF=2a−❑√2a，再由全等三角形的判定和性质得出△ABE≌△AHD(SAS)，HE=CE，继续
1
利用全等三角形的判定和性质得出Rt△DCE≌Rt△DHE(HL)，OH=OE= DE，由勾股定理得出
2
DE2=4a2−2❑√2a2，代入计算即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，
∴∠BAE=∠HAD=45°，∠ABE=∠AHD=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE=1，
∴AB=BE=1，
∵AD=❑√2AB，
∴BC=AD=❑√2，
∴CE=BC−BE=❑√2−1；
（2）解：∵在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，
∴∠BAE=∠HAD=45°，∠ABE=∠AHD=90°，
∴△ABE与△AHD是等腰直角三角形，
∴AD=❑√2AH，AE=❑√2AB，
∵AD=❑√2AB，
∴AH=AB，AD=AE，
1
∴∠AHB= (180°−45°)=67.5°，
2
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，
∴∠DHO=90°−67.5°=22.5°，∵∠EBH=90°−67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中
{∠DHO=∠EBH=22.5°
)
BE=DH ，
∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF(ASA)，
∴BH=HF，
即H是BF的中点；
（3）是定值，理由如下：
由（2）得△BEH≌△HDF(ASA)，
∴HE=DF，
设AB=BE=CD=a，则DH=a，
∴AD=AE=❑√2a，
∴HE=DF=❑√2a−a，CF=CD−DF=2a−❑√2a，
在△ABE与△AHD中，
{
AH=AB
)
∠BAE=∠HAD=45° ，
AD=AE
∴△ABE≌△AHD(SAS)，
∴DH=AH=AB=BE，AD=AE=BC，
∴AE−AH=BC−BE ，
∴HE=CE，
∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DHE(HL)，
∴∠HDE=∠CDE=22.5°，HE=CE=❑√2a−a，
∴∠OHE=∠OEH=67.5°，
1
∴OH=OE= DE，
2
∵DE2=CE2+CD2=4a2−2❑√2a2，
❑√2
a2− a2
∴(BH−OF) 2 HO2 2 1．
= = =
CF⋅BE CF⋅BE (2a−❑√2a)⋅a 2
25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为对角线AC上一点，过点E作EF⊥AD于点F，EG⊥AC交边BC于点G，将△AEF沿AC折叠得△AEH，连接HG．
（1）如图1，若点H落在边BC上，求证：AH=CH；
（2）如图2，若A，H，G三点在同一条直线上，求HG的长；
（3）若△EHG是以HG为底的等腰三角形，求EF的长．
【思路点拨】
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解
题的关键．
（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH=∠HAC，即可解决问题；
（2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求HG的长；
（3）当△EHG是以HG为底的等腰三角形时，即当EG=EH时，证明△AFE≌△CEG(AAS)，利用全等
三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题．
【解题过程】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
由翻折的性质得：∠DAC=∠HAC，
∴∠ACH=∠HAC，
∴AH=CH；
（2）解：如图2，A，H，G三点在同一条直线上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
由翻折的性质得：∠DAC=∠GAC，
∴∠ACB=∠GAC，
∴AG=CG，
∵EG⊥AC，
∴E是AC的中点，∴AE=CE，
在矩形ABCD中，
∵AB=6，BC=AD=8，∠B=∠D=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=10，
1
∴AE=CE= AC=5，
2
如图，连接ED，
∵E是AC的中点，∠ADC=90°，
1
∴AE=DE= AC，
2
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线
1 1
∴AF=DF= CD=3，EF= CD=3，
2 2
由翻折可知：EH=EF=3，AH=AF=4，
∴GH=AG−AH=CG−4，
在Rt△ABG中，BG=BC−CG=8−CG，AB=6，
根据勾股定理得：AG2=AB2+BG2，
∴CG2=62+(8−CG) 2，
25
∴CG= ，
4
25 9
∴HG= −4= ；
4 4
（3）解： 如图，延长FE交BC于点M，，
∵AD∥BC，
∴∠FMC=90°，
∵∠D=90°，
∴四边形FMCD为矩形，
当△EHG以HG为底的等腰三角形时，则EG=EH=EF，
∵∠AFE=∠CEG=90°，∠FAE=∠GCE，EG=FE，
∴△AFE≌△CEG(AAS)，
∴AE=CG,AF=EC,EF=FG，
设EF=x,AE= y，则EG=x,GC= y,EM=6−x,EC=AF=10−y，
在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2，
则可得x2+(10−y) 2= y2，
x2+100
可得y= ，
20
x2+100
∴AF=10− ，
20
(
x2+100)
∴MC=FD=8− 10− ，
20
x2+100
(
x2+100)
∴GM=GC−CM= −8+ 10− =2，
20 20
在Rt△GME中，GM2+EM2=GE2，
即22+(6−x) 2=x2，
10 10
解得x= ，即EF= ．
3 3
26．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，
AD=30cm，BC=35cm．点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s
的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为ts．
（1）当t= s时，PQ∥CD；
（2）如图1， 从运动开始， 当t为何值时， QP=QD；
（3）从运动开始，当t为何值时，四边形ABQP为矩形；
（4）从运动开始，当t为何值时，△QDC为直角三角形．
【思路点拨】
（1）根据路程等于速度乘以时间，求出AP,CQ的长，进而求出DP的长，当PQ∥CD时，易得四边形
PQCD为平行四边形，得到DP=CQ，列出方程进行求解即可；
（2）过点D作DE⊥BC，过点Q作QF⊥AD，得到四边形ABED，四边形DEQF均为矩形，得到
DF=QE,BE=AD=30cm，进而求出CE的长，表示出QE的长，三线合一得到
1 ( t )
DF=PF= DP= 15− cm，列出方程进行求解即可；
2 2
（3）根据四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，列出方程进行求解即可；
（4）分∠DQC=90°和∠QDC=90°两种情况进行讨论求解即可．
【解题过程】
（1）解：由题意，得：AP=tcm，CQ=2tcm，
∴PD=AD−AP=30−t，BQ=BC−CQ=(35−2t)cm，
∵AD∥BC，
∴当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，
∴DP=CQ，
∴30−t=2t，
解得：t=10；
故答案为：10；
（2）过点D作DE⊥BC，过点Q作QF⊥AD，则：四边形ABED，四边形DEQF均为矩形，∴DF=QE,BE=AD=30cm，
∴CE=BC−BE=5cm，
∴QE=QC−CE=(2t−5)cm，
∵QP=QD，
1 ( t )
∴DF=PF= DP= 15− cm，
2 2
t
∴2t−5=15− ，
2
解得：t=10；
（3）当四边形ABQP为矩形时，则：AP=BQ，
即：t=35−2t，
35
解得：t= ；
3
35
故当t= 时，四边形ABQP为矩形；
3
（4）①当∠DQC=90°，如图，则：四边形ABQD为矩形，
∴BQ=AD=30cm，
∴CQ=35−30=5cm，
5
∴t= ；
2
②当∠QDC=90°时，过点D作DE⊥BC，则四边形ABED为矩形，∴DE=AB=12cm,AD=BE=30cm，
∴CE=BC−BE=5cm，
∴CD=❑√DE2+CE2=13cm，QE=CQ−CE=(2t−5)cm，
在Rt△CQD中，DQ2=CQ2−CD2，
在Rt△QED中，DQ2=QE2+DE2，
∴CQ2−CD2=QE2+DE2，
∴(2t) 2−132=(2t−5) 2+122，
169
解得：t= ；
10
5 169
综上：t= 或t= ．
2 10
27．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形ABCD，E，F分别为AB，BC边上的点，EF，DC的延
长线交于点G，DE=≥¿．
（1）求证：∠ADE=∠CFG；
（2）如图2，Q，H分别是AD，BC边上的点，QH交DF于点P，GH=DQ，∠CHG=∠DEG；
①求证：DP=PF；
②连接EP，求∠EPH的度数．
【思路点拨】
（1）根据等腰三角形的性质得出∠EDG=∠EGD，根据矩形的性质得出
∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，根据∠ADE+∠EDG=∠EGD+∠BFG=90°，即可得出
答案；
（2）①过点E作EM∥AD，交CD于点M，先证明∠CFG=∠HGF，得出FH=GH，根据GH=DQ，
得出HF=DQ，证明△DQP≌△FHP，得出答案即可；
②连接EQ，EH，证明△EDQ≌△EGH，得出EQ=EH，根据等腰三角形性质得出EP⊥QH，即可得
出答案．
【解题过程】（1）证明：∵ED=EG，
∴∠EDG=∠EGD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∴∠BCD=∠EGD+∠CFG=90°，∠ADE+∠EDG=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CFG；
（2）解：①过点E作EM∥AD，交CD于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴AD∥EM∥BC，
∴∠ADE=∠DEM，∠GEM=∠BFE，
∴∠DEG=∠DEM+∠GEM=∠ADE+∠BFE，
∵∠ADE=∠CFG，∠BFE=∠CFG，
∴∠ADE=∠BFE=∠CFG，
∴∠DEG=∠ADE+∠BFE=2∠BFE，
∴∠DEG=2∠CFG，
∵∠CHG=∠CFG+∠HGF，
又∵∠CHG=∠DEG，
∴2∠CFG=∠CFG+∠HGF，
∴∠CFG=∠HGF，
∴FH=GH，
∵GH=DQ，
∴HF=DQ，
∵AD∥BC，
∴∠DQP=∠FHP，∠QDP=∠PFH，
∴△DQP≌△FHP，
∴DP=PF；
②连接EQ，EH，如图所示：∵∠HGF=∠CFG，∠ADE=∠BFE=∠CFG，
∴∠HGF=∠ADE，
∵GH=DQ，ED=EG，
∴△EDQ≌△EGH，
∴EQ=EH，
∵△DQP≌△FHP，
∴QP=PH，
∴EP⊥QH，
∴∠EPH=90°．
28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在边BC或边CD上，
将矩形ABCD沿着过点E的直线折叠，当点B落在边AD（含端点）上时，落点记为F，然后展开铺平，以
B，E，F为顶点构造△BEF．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是90°）
（1）如图1，当△BEF的顶点F位于AD的中点时，求证：△BEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，当△BEF的边BE=2.5时，请补全图形，并求AF的长；
（3）当点E在某一位置时，是否存在面积最大的△BEF，若存在，请求出此时BE的长；若不存在，说明
理由．
【思路点拨】
1
（1）根据矩形的性质得到∠A=90°，AD∥BC，由点F是AD的中点，得到AF= AD=2，求得
2
AB=AF，推出∠EBF=45°，根据折叠的性质得到AB=AF，EB=EF，求得∠BFE=∠EBF=45°，
根据等腰直角三角形的判定定理得到结论；
（2）根据题意补全图形如图所示，过F作FH⊥BC于H，根据矩形的性质得到FH=CD=2，DF=CH，∠CHF=90°，得到∠FHE=90°，由折叠的性质得到BE=EF=2.5，根据勾股定理即可得到结论；
1
（3）①当E在边BC上时，S ≤ S ，即当E与C重合时，△BEF面积最大为4，求得BE=4；
△BEF 2 矩形ABCD
②当E在边CD上时，过E作EH∥BC交AB于点H，交BF于K，根据三角形的面积和矩形的面积公式推
出即当E为CD中点时，△BEF面积最大为4，根据勾股定理得到BE=❑√BC2+CE2．
【解题过程】
（1）证明：在矩形ABCD中，AB=2，BC=AD=4，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∵点F是AD的中点，
1 1
∴AF= AD= ×4=2，
2 2
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EBF=45°，
∵将矩形ABCD沿着过点E的直线折叠，当点B落在边AD（含端点）上时，落点记为F，
∴AB=AF，EB=EF，
∴∠BFE=∠EBF=45°，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（2）解：补全图形如图所示，过F作FH⊥BC于H，
则四边形CDFH是矩形，
∴FH=CD=2，DF=CH，∠CHF=90°，
∴∠FHE=90°，
由折叠的性质得，BE=EF=2.5，∴EH=4−2.5−CH，
∵EF2=EH2+FH2，
∴2.52=22+EH2，
∴EH=1.5，
∴CH=DF=0，
∴AF=AD=4；
1
（3）解：①当E在边BC上时，如图所示，S ≤ S ，
△BEF 2 矩形ABCD
即当E与C重合时，△BEF面积最大为4，
∴BE=4；
②当E在边CD上时，如图所示，过E作EH∥BC交AB于点H，交BF于K，
1 1 1
∵S = KE⋅AH≤ HE⋅AH= S ，
△EKF 2 2 2 矩形AHFD
1 1 1
S = EK⋅BH≤ HE⋅BH= S ，
△BKE 2 2 2 矩形BCEH
1
∴S ≤ S =4．
△BEF 2 矩形ABCD
即当E为CD中点时，△BEF面积最大为4，
∴BE=❑√BC2+CE2=❑√42+12=❑√17．
综上：BE=4或❑√17．
29．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4cm．
动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ
为边向左侧作矩形PQMN，使QM=❑√3PQ．（1）当点Q在边AC上时，求QM的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点M在边BC上时，求t的值；
（3）连接BQ，沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写
出t的值．
【思路点拨】
（1）由题意可知AP=tcm，再根据勾股定理与含30度角的直角三角形的性质即可求出PQ=❑√3tcm，结
合题意即得出QM=3tcm；
（2）画出图形，由矩形的性质得出MN=PQ=❑√3tcm，PN=QM=3tcm．再根据勾股定理与含30度角
的直角三角形的性质可求出BN=❑√3MN=3tcm，由AB=AP+PN+BN，列出关于t的等式，解出t即
可；
（3）分类讨论：①当点Q在AC上时，根据题意可判断MG=NG，即易证△QMG≌△BNG(ASA)，得出
QM=BN=PN=3tcm，最后列出关于t的等式，解出t即可；②当点Q和点C重合时，即得出
AB=AP+BP，列出关于t的等式，解出t即可；③当点Q在AC的延长线上时，根据题意可判断
1 3
PB=BN= PN，从而可求出BP= tcm，最后根据AB=AP+BP，列出关于t的方程，解出t即可；
2 2
【解题过程】
（1）解：由题意可知AP=tcm．
∵∠A=60°，PQ⊥AB，
∴∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，
∴(2t) 2=PQ2+t2，
∴PQ=❑√3t，
∵QM=❑√3PQ，
∴QM=3tcm．
（2）解：如图，∵四边形PQMN为矩形，
∴MN=PQ=❑√3tcm，PN=QM=3tcm．
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴同理可得：BN=❑√3MN=3tcm，
∴AB=AP+PN+BN=(t+3t+3t)cm．
∵AB=4cm，
∴t+3t+3t=4，
4
解得：t= ；
7
（3）解：分类讨论：①如图，当点Q在AC上时，
∵沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
∴MG=NG，
又∵∠QMG=∠BNG=90°，∠QGM=∠BGN，
∴△QMG≌△BNG(ASA)，
∴QM=BN=PN=3tcm，
∴AB=7tcm，
∴7t=4，
4
解得：t= ；
7
②如图，当点Q和点C重合时，
∵∠CBA=30°，∠BPQ=90°，
同理可得：BP=❑√3PQ=3t=QM，
∴此时B,N重合，∵AB=AP+BP=t+3t=4tcm，
∴4t=4，
解得：t=1；
③如图，当点Q在AC的延长线上时，
∵沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
1
∴PB=BN= PN．
2
∵PQ=❑√3t,
∴PN=QM=❑√3PQ=3t,
3
∴PB= t
2
5
∵AB=AP+BP= tcm，
2
5
∴ t=4，
2
8
解得：t= ．
5
4 8
综上可知，t的值为 或1或 ．
7 5
30．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且
BE=2，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，
EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间t秒（t>0
）．（1）当点P和点B重合时，求线段PQ的长；
（2）如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由；
（3）作点E关于直线PQ的对称点F，当点F恰好落在边AB上时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）连接BQ，求出QE=AB=4，BE=2由勾股定理可得 PQ=2❑√5；
（2）过点P作 PH⊥BC于点H，推导出四边形ABHP是矩形推导出PH=EC，证得
△PHE≌△ECQ(ASA)，得到PE=QE，进而得到△PQE是等腰直角三角形；
（3）分两种情况：当点P在BE上时，求出AF=2❑√3，知BF=AB−AF=4−2❑√3，由
PF2=PB2+FB2，可得t2=(2−t) 2+(4−2❑√3) 2 ，故t=8−4❑√3；当P点在AB上时，当F，A重合时符合
7
题意， 由PE2=PB2+BE2，有 (6−t) 2=(t−2) 2+22，得 t= ．
2
【解题过程】
（1）解：连接BQ，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAQ=∠ABE=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
当点P和点B重合时，
∴QE=AB=4，BE=2，在Rt△QBE中，PQ=❑√BE2+QE2=❑√22+42=2❑√5，
故答案为：2❑√5；
（2）解：△PQE是等腰直角三角形，理由如下：
如图2，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHE=∠ECQ=90°，
∴∠HPE+∠HEP=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴∠QEC+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠QEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BHP=90°，
∴四边形ABHP是矩形，
∴PH=AB=4，
又∵EC=BC−BE=6−2=4，
∴PH=EC，
∴△PHE≌△ECQ(ASA)，
∴PE=QE，
∴△PQE是等腰直角三角形；
（3）解：当点P在BE上时，如图3，∵QE=QF=4，AQ=BE=2，
在Rt△AQF中，AF=❑√QF2−AQ2=❑√42−22=2❑√3，
∴BF=AB−AF=4−2❑√3，
∵PE=t，
∴BP=2−t，PF=PE=t，
在Rt△PBF中，PF2=PB2+FB2，
∴t2=(2−t) 2+(4−2❑√3) 2 ，
解得：t=8−4❑√3；
当P点在AB上时，
∵点E关于直线PQ的对称点F，
∴PE=PF，QE=QF，
∵PQ=PQ，
∴△PFQ≌△PEQ(SSS)，
∴∠PFQ=∠PEQ=90°，
∴当F，A重合时，当点F恰好落在边AB上，如图4，∴PB=t−BE=t−2，PE=AP=AB−PB=4−(t−2)=6−t，
在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2，
∴(6−t) 2=(t−2) 2+22，
7
解得t= ；
2
7
综上，当点F恰好落在边AB上时，t的值为8−4❑√3或 ．
2
