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专题20 一次函数重点题型函数图像信息题（解析版）
第一部分 题组训练
类型一 根据信息判断函数图象
1．（2022•邹城市一模）如图所示：边长分别为 1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形
沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S
（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据题意，设小正方形运动的速度为 V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正
方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答
案．
【解答】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S＝2×2﹣vt×1＝4﹣vt（vt≤1）；
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S＝2×2﹣1×1＝3；
③小正方形穿出大正方形，S＝2×2﹣（1×1﹣vt）＝3+vt（vt≤1）．
分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．
故选：A．
【总结提升】考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶
段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．
2．（2023春•丰台区期末）如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分
析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解答】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化
情况分析水的深度变化情况是解题关键．
3．（2023•湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方
体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实线）表示水
1 2
池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无
水），则y ，y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2A． B．
C． D．
【思路引领】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注
水相同时间，水面上升的高度越慢．
【解答】解：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，
∴y 中从0开始，高度与注水时间成正比，
1
当到达t 时，
1
铁桶中水满，所以高度不变，
y 表示水池中水面高度，
2
从0到t1，长方体水池中没有水，所以高度为0，
t 到t 时注水从0开始，
1 2
又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，
∴注水高度y 比y 增长的慢，即倾斜程度低，
2 1
t 到t 时注水底面积为长方体的底面积，
2 3
∴注水高度y 增长的更慢，即倾斜程度更低，
2
长方体水池有水溢出一会儿为止，
∴t 到t ，注水高度y 不变．
3 4 2
故选：C．
【总结提升】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注
水相同时间，水面上升的高度越慢．解题的关键是倾斜程度的意义的理解．4．（2022春•高新区期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽
车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，如图的哪一幅图可以
近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路引领】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【解答】解：公共汽车经历：加速﹣匀速﹣减速到站﹣加速﹣匀速．
加速：速度增加；
匀速：速度保持不变；
减速：速度下降；
到站速度为0．
故选：D．
【总结提升】此题考查的知识点是函数的图象，图象分析题一定要注意图象的横、纵坐标表示的物理量，
分析出图象蕴含的物理信息，考查学生的图象分析和归纳能力．
类型二 根据函数图象判断物体形状5．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变
化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路引领】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出
判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快
慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．
故选：A．
【总结提升】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
类型三 获取函数图象信息
6．（2023•河西区模拟）甲、乙两车分别从 A城出发前往B城，在整个行程中，甲车离开A城的距离y
1
（单位：km）与甲车离开A城的时间x（单位：h）的对应关系如图所示．
（Ⅰ）填空：
①A，B两城相距 36 0 km；
②当甲车出发2.5h时，距离A城 12 0 km；
③当0＜x＜2时，甲车的速度为 6 0 km/h；
8 17
④当 ＜x＜ 时，甲车的速度为 8 0 km/h；
3 3
1 5
⑤若乙车比甲车晚出发
ℎ
，以60km/h的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开A城的时间为 或
2 2
19
h．
6
17
（Ⅱ）当0≤x≤ 时，请直接写出y 关于x的函数解析式．
1
3【思路引领】（Ⅰ）根据图表信息，即可求出相应结果．
17 8 8 17
（Ⅱ）根据图象可知0≤x≤ 时，被分为三部分，分别是0≤x≤2、2＜x≤ 、 ＜x≤ ，找到对应
3 3 3 3
点求出解析式即可．
【解答】解：（Ⅰ）①根据图象可得A，B两城相距为360km；
故答案为：360；
②当甲车出发2.5h时，距离A城120km；
故答案为：120；
③当0＜x＜2时，甲车的速度为：120÷2＝60（km/h）；
故答案为：60；
360−120
8 17 =
④当 ＜x＜ 时，甲车的速度为： 17 8 80（km/h）；
3 3 −
3 3
故答案为：80；
1 5
⑤第一次相遇：120÷60+ = ；
2 2
360−120 280 1 19
第二次相遇|： + =60（x− ），解得x= ．
3 3 2 6
1 5
即若乙车比甲车晚出发
ℎ
，以60km/h的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开A城的时间为 或
2 2
19
h；
6
5 19
故答案为： 或 ；
2 6
（II） 当0≤x≤2时，y ＝60x；
18
当2＜x≤ 时，y ＝120；
1
3
8 17
当 ＜x≤ 时，设y 关于x的函数解析式为y ＝kx+b，
1 1
3 3
8 17
代入（ ，120），（ ，360），得：
3 3
8
{ k+b=120 )
3 ，
17
k+b=360
3
{
k=80
)
解得 280
b=−
3
280
所以y ＝80x− ．
1
3
【总结提升】本题考查了一次函数图形解决实际问题相关知识，理解数据的实际意义，并能灵活运用是
解决问题的关键．
7．（2023•宁津县一模）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走
得最快的是 甲 ．
【思路引领】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是3千米的时候，比
较甲、丁的平均速度即可得出答案．
【解答】解：∵10分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，
∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，
∵步行3千米时，乙比丙用的时间少，
∴乙的平均速度＞丙的平均速度，
∴走得最快的是甲，
故答案为：甲．【总结提升】本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．
8．甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人
分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的
时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
6
【思路引领】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是
7
6 1
a千米/时，2a千米/时，即可得到方程： ax+2a（x− ）＝a，求出x的值，即可解决问题．
7 6
【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，
7 1
∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是 小时， 小时，
6 2
6
∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是 a千米/时，2a千米/时，
7
6 1
由题意得： ax+2a（x− ）＝a，
7 6
7
∴x= ，
15
7
小时＝28分钟，
15
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．
故选：A．
6 1
【总结提升】本题考查一元一次方程的应用，关键是由题意列出方程： ax+2a（x− ）＝a．
7 6
9．（2023秋•道里区校级月考）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度
为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为 1 7 ．【思路引领】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所
需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故答案为：17．
【总结提升】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长
是解题的关键．
10．（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两
车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到
达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：
（1）快车的速度为 10 0 km/h，C点的坐标为 （ 8 ， 48 0 ） ．
（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．
【思路引领】（1）由图象信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度＝路程÷时间，求出快车速度，然后根据快车修好比慢车先到达终点可知C点是慢车到达终
点时所用时间即可；
（2）分两车相遇前和相遇后两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h），
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3＝180（km），
∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h），
通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，
∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h），
∴C点坐标为：（8，480），
故答案为：100，（8，480）；
（2）设慢车出发t小时后两车相距200km，
①相遇前两车相距200km，
则：60t+100t+200＝480，
7
解得：t= ，
4
②相遇后两车相距200km，
则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200，
39
解得：t= ，
8
7 39
∴慢车出发 h或 h时两车相距200km，
4 8
7 39
答：慢车出发 h或 h时两车相距200km．
4 8
【总结提升】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是弄清图象拐点处的意义，根据题意进
行运算．
第二部分 专题提优训练
1．（2023•无为市四模）“百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开
始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后 150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度 y
（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ）A． B．
C． D．
【思路引领】根据小雅的速度的变化判断即可．
【解答】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度
不变，图象与x轴平行；最后150米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开
始一段更陡．
故选项B符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．
2．（2023春•井冈山市期末）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发
根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把
家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与
上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，
而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，
而父亲早到，故A，B，C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：D．
【总结提升】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数
的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
3．如图，因水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的
高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据水减少的体积是y，水位下降的高度是x，而且y与x之间函数关系成正比例得出图象
即可．
【解答】解：∵水减少的体积是y，水位下降的高度是x，
∴y越大，x越大，而且它们成正比例关系，
∴图象中只有C是正比例关系，
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了函数图象与实际问题，利用实际问题得出函数关系是解决问题的关键．
4．（中考真题•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度 h随时间t变化的函
数图象是（ ）
A． B．C． D．
【思路引领】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度 h随时间t的
增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得
到用时的不同．
5．（2021春•七星关区期末）某列高铁从起点站出发，加速一段时间后开始匀速行驶，在快到下一站时减
速并停下，等乘客上下车后开始加速，一段时间后开始匀速行驶．下面的图中哪一个能近似地刻画这一
段时间内高铁的速度随时间变化情况（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【解答】解：高铁经历：加速﹣匀速﹣减速到站﹣加速﹣匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0．
观察四个选项的图象，只有A选项符合．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的
性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
6．（2021春•织金县期末）妈妈从家里出发去平远古镇锻炼，她连续匀速走了 60分钟后回到家，如图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离S（km）与行走时间t（min）之间的关系，则下
列图形中可以大致描述妈妈行走的路线的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运
动，由此即可得出结论．
【解答】解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．
故选：B．
【总结提升】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
7．（2022春•惠州期末）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D
和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（
）A． B．
C． D．
【思路引领】根据运动可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案．
【解答】解：y与x的函数关系的图象大致可分三段来分析：
当点P从C运动到D时，因为底BC不变，高PC逐渐增大，所以△PBC的面积随着CP的增大而增大；
当点P从D运动到A时时，△PBC的底和高都不变，所以面积也不变；
当点P从A运动到B的时候，因为底BC不变，高PB逐渐减小，所以△PBC的面积随着PB的减小而减
小．
所以选项B符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，弄清点P分别在三条边上运动时，面积的变化情况是解
题关键．
8．（2023春•平原县期中）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发匀速行驶至乙港，行驶路程随时间
变化的图象如图，则快艇比轮船每小时多行 2 0 千米．
【思路引领】观察图象，根据图象中的路程和时间的关系，求出各自的速度，从而计算速度差．
【解答】解：由函数图象，得：
轮船的速度为：160÷8＝20（km/h），快艇的速度为：160÷（6﹣2）＝40（km/h），
∴快艇比轮船每小时多行40﹣20＝20（千米），
故答案为：20．
【总结提升】本题考查了函图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚函数图象提供的
信息是关键．
9．（2023春•青海月考）已知小明家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从
家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示
小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法中：
①体育场离家2.5km；
②小明在体育场锻炼了20分钟；
③小明从体育场出发到文具店的平均速度为4km/h，
其中正确的有 ①③ （填序号）．
【思路引领】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
体育场离小明家2.5km，故①正确；
小明在体育场锻炼了：30﹣15＝15（分钟），故②错误；
45−30
③小明从体育场出发到文具店的平均速度为：（2.5﹣1.5）÷ =4（km/h），故③正确．
60
故答案为：①③．
【总结提升】本题考查了函数图象，解题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的
过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
10．（2021春•思明区校级期中）如图，某个函数的图象由线段 AB和线段BC组成，其中A（0，2），B
3
（ ，1），C（4，3），则此函数的最大值是 3 ．
2【思路引领】直接利用函数图象上点的坐标，进而得出函数最值即可．
3
【解答】解：∵函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，2），B（ ，1），C（4，3），
2
∴当x＝4时，函数值最大为3．
故答案为：3．
【总结提升】此题主要考查了函数的图象以及函数值，正确利用点的坐标是解题关键．
11．汽车的速度随时间变化的情况如图所示：
（1）这辆汽车的最高时速是多少？
（2）汽车在行驶了多长时间后停了下来，停了多长时间？
（3）汽车在第一次匀速行驶（速度不变）时共用了几分钟？速度是多少？在这段时间内，它走了多远？
【思路引领】（1）结合图形速度轴可以找出最高时速；
（2）当速度为0时，汽车停止下来；
（3）结合图形，可得出第一次匀速行驶（速度不变）时共用了几分钟，速度是多少，再利用路程＝速
度×时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）由汽车的速度随时间变化的情况图可看出：汽车的最高时速是120千米/时．
（2）结合图形，可得知，汽车在行驶了10分钟后停了下来，停了12﹣10＝2分钟．
（3）由图形可知，第一次匀速行驶的速度为90千米/时，行驶的时间为6﹣2＝4分钟，
1
∵4分钟= 小时，
15
1
∴行驶的路程＝90× =6（千米）．
15答：汽车在第一次匀速行驶（速度不变）时共用了4分钟，速度是90千米/时，在这段时间内，它走了
6千米．
【总结提升】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：能熟练的运用图形解决问题．
12．（2023春•尤溪县期中）周末，小明骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游
玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家 1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他
们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
（3）若追上小明后，再过5分钟妈妈到达乙地，求从家到乙地的路程．
【思路引领】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
（2）根据函数图象中的数据，可以写出小明从家出发多少小时后被妈妈追上，并计算出此时离家多远；
（3）根据小明的速度，求出妈妈的速度，然后即可计算出从家到乙地的路程．
【解答】解：（1）由图象可得，
小明骑车的速度是：10÷0.5＝20（km/h），在甲地游玩的时间为：1﹣0.5＝0.5（h），
即小明骑车的速度是20km/h，在甲地游玩的时间是0.5h；
（2）由图象可得，
7 7
小明从家出发 小时后被妈妈追上，此时离家：20×（ −0.5）＝25（km），
4 4
7
即小明从家出发 小时后被妈妈追上，此时离家25km；
4
（3）∵妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍，小明骑车的速度是20km/h，
∴妈妈驾车速度为20×3﹣60（km/h），
7 4 5
∴从家到乙地的路程是：60×（ − + ）
4 3 60
7 4 5
＝60× −60× +60×
4 3 60
＝105﹣80+5＝30（km），
即从家到乙地的路程是30km．
【总结提升】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
