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14.2.2完全平方公式
一、单选题
1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图
1可以用来解释 ．那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用正方形的面积公式确定阴影正方形的面积，再利用整体与部分的关系得到阴影正方形的另一个
面积表达式，即可得出正确选项．
【详解】由图可知，阴影正方形的面积为 ;
由于阴影正方形可以看成是整个图形减去三个长宽分别为a和b的长方形与两个边长为b的正方形；
因此阴影正方形面积还可表示为 ：
∴ ;
故选A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出阴影正方形的
面积是解题的关键．
2．若 是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18 B．8 C． 或22 D． 或12【答案】C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】∵ 是一个完全平方式，
∴k-2=±20，
解得：k=-18或k=22，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式进行进行判断即可；
【详解】A、 ，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，正确掌握计算方法是解题的关
键．
4．若 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得到x2-mx+1＝（x+1）2或x2-mx+1＝（x﹣1）2，然后把等式右边展开，从而得到m
的值．【详解】∵多项式x2-mx+1是一个完全平方式，
∴x2-mx+1＝（x+1）2或x2-mx+1＝（x﹣1）2，
即x2-mx+1＝x2+2x+1或x2-mx+1＝x2﹣2x+1，
∴m＝-2或m＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等
的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；
②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算证明①②③，针对④可列出面积S与x的关系
式，然后根据完全平方式的非负性说明即可．
【详解】∵三块面积相等的小长方形，
∴EG＝GF，设EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，
则EF＝2a，故BE＝FC＝ b，无法得出BC＝2CF，故选项②错误；
此时③AE＝2BE，正确；
可得：b+ b+b+ b+b＝80﹣2（x+20），
解得：b＝10﹣ x，
则AB＝ （10﹣ x）＝15﹣ x，
故选项①错误；
长方形ABCD的面积为：S＝（15﹣ x）（20+x）＝﹣ x2+300，∵﹣ x2≤0，
∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查与几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．
6．若 ， ，则 的值为（）
A．40 B．36 C．32 D．30
【答案】C
【分析】根据a+b=6，ab=4，应用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值为多少即可．
【详解】∵a+b=6，ab=4，
∴a2+ab+b2
=（a+b）2-ab
=36-4
=32
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b
可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可
以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．如果多项式 恰好是一个完全平方式，则 的值为（ ）
A．5 B．25 C．10 D．100
【答案】B
【分析】根据乘积项先确定出这两个数是x和5，再根据完全平方公式的结构特点求出5的平方即可．
【详解】∵10x＝2×5×x，
∴这两个数是x、5，
∴m＝52＝25．
故选：B．
【点评】本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．
8．如图，两个正方形的边长分别为 、 ，如果 、 满足 ， ，则阴影部分的面积为
（ ）A． B．9 C．18 D．27
【答案】A
【分析】由两个正方形面积之和减去△BEF和△BCD的面积之和即可得到答案．
【详解】由图可得： ，
∴ ，
将 ， 代入得： ，
故选：A．
【点评】本题考查乘法公式在几何图形面积计算中的应用，准确表示各部分面积并结合乘法公式进行合理变形
是解题关键．
二、填空题
9．已知 ，则 =_____________
【答案】14
【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．
【详解】∵
∴又∵
∴
∴
即
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要
求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未
知项约去．
10．若 ， ，则 __．
【答案】7
【分析】直接利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，
得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．
【详解】 ，
，
，
，
．
故答案为：7．
【点评】本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关
键是牢记公式，并灵活运用即可．
11．计算 ________________．
【答案】
【分析】由完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．【详解】
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质
进行化简．
12． __________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式推出：
得出a、b的值，然后代
入 计算即可．
【详解】由完全平方公式知：
，
，
，
，，
，
，
∴ ，
故答案为：
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，考查学生对数据的处理能力．
三、解答题
13．对于任意正实数，， ， ， ，只有 时，等号
成立．结论：在 (，均为正实数）中，若为定值，则 ，只有当 时， 有
最小值 ．根据上述内容，回答下列问题：
（1）初步探究：若 ，只有当 时，有 最小值 ；
（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别
为，，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证 ，并指出等号成立时的条件；
（3）拓展延伸：如图，已知 ， ，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别
交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标．【答案】（1）1，2；（2）见解析；（3）四边形面积的最小值为96，点坐标为（6,8）．
【分析】（1）根据 ， ，求得n值，代入计算得最值；
（2）根据大正方形的面积=4矩形的面积+小正方形的面积，代数式表示后，使用给出的阅读知识解答；
（3）设 ， ，用含有x，y的代数式表示四边形的面积，后使用证明的不等式性质求解即
可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
当 时，取得最小值，
∴ ，
解得n=1或n= -1（不符合题意，舍去）
∴当n=1时， 的最小值为2，
故答案为：1；2；
（2）根据题意，得 ， ，∴ -4ab= ，
∵ ≥0，
∴ -4ab≥0，
∴ ，
∴ 成立．
等号当且仅当小正方形面积为0，此时 ，即 时成立．
设 ， ，
， ， ，，
四边形面积的最小值为96，
此时 ，
解得 或
， ，
舍去，
∴点坐标为 ．
【点评】本题考查了阅读学习能力，准确理解新知识的意义，学会图形面积法验证，并灵活运用是解题的关键．
14．阅读材料：若x满足(9－x)(x－4)=4，求(9－x)2 +(x－4)2的值．
解：设9－x=a，x-4=b， 则(9－x)(x－4)=ab=4， a+b=(9－x)+(x－4)=5，∴(9－x)2+(x－4)2=a2+b2=(a+b)2－2ab=52－
2×4=17
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足(7－x)（x－3）=2，求(7－x)2+（x－3）2的值
（2）(n－2020)2+（n－2021）2=3，求(n－2020)（n－2021）
【答案】（1）12；（2）1．
【分析】（1）仿照材料解答方式解答即可；
（1）根据题意得到a2+b2=(a-b)2+2ab =3，a-b=1，然后利用完全平方公式变形解答即可．
【详解】（1）设7－x=a，x-3=b， 则(7－x)(x－3)=ab=2， a+b=(7－x)+(x－3)=4，
∴(7－x)2+(x－3)2
=a2+b2
=(a+b)2－2ab
=42－2×2=12；
（2）设n－2020=a，n－2021=b， 则(n－2020)（n－2021）=ab，a-b=1， (n－2020)2+（n－2021）2= a2+b2=(a-
b)2+2ab =3，即ab=
∴(n－2020)（n－2021）=ab= = =1．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的意义，灵活对完全平方公式进行变形成为解答本题的关键．
15．对于任意有理数 、 、 、 ，我们规定符号 ， ， ，
例如： ， ， ．
（1）求 ， ， 的值为 ；
（2）求 ， ， 的值，其中 ．
【答案】（1） ；（2）－1．
【分析】（1）根据已知条件中新定义运算的定义计算即可；
（2）先运用新定义运算的定义进行计算，再根据 得出 ，代入计算结果后即可得出
结论．
【详解】（1） ， ， ；
故答案为： ；
（2） ， ，
，
，，
， ， ．
【点评】本题考查了整式的混合运算，弄清题意，掌握新定义运算的规则及整式乘法的运算法则是解题的关键．
16．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，-1
【分析】根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，最后把a的值代入即可求解．
【详解】原式=
= ；
当 时，
原式= =4×（ ）+5= ．
【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
17．已知实数a，b满足 ，求 的值．
【答案】
【分析】利用完全平方公式解答即可．
【详解】∵a+b=2，ab= ，
∴
=
==
=
=4- -1
= ．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
18．计算
（1）
（2）
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的概念进行化简，然后再计算；
（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
==
=
【点评】本题考查实数的混合运算以及整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
19．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图（1）的面积可以说明多项式的乘法运算 ，那么根据图（2）的面
积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A． B．
C． D．
（2）根据图（3）中条件，①用两种方法表示两个阴影图形面积的和，请用等式表示（只需表示，不必化简）；
②如果图（3）中的a， 满足 ， ．
求： 的值．
【答案】（1）A；（2）① ；② ．
【分析】（1）用两种不同的方法求图（2）的面积，可以说明多项式的乘法运算
可判断A，然后B、C、D再与A比较即可；
（2）①用边长为 大正方形面积为 ，是由一个边长为 的正方形，二个长为 ，宽为 小长方形
和一个边长为 正方形拼成的，面积为 ，两面积一样列等式即可；②由 ， ，可根据 ，求得 ，开方即可．
【详解】（1）根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算 ，
大长方形的长为 ，宽为 ，大长方形面积为 ，
大长方形是由一个边长为 的正方形，四个长为 ，宽为 小长方形和三个边长为 正方形拼成的，故面积为
由此刻验证 多项式乘以多项式的乘法法则，故A正确；
B． = > 故B不正确；
C． = ，故C不正确；
D． 不是图中大长方形面积，故不正确．
故选择：A；
（2）①大正方形的边长为 ，其面积为 ，是由一个边长为 的正方形，二个长为 ，宽为 小长
方形和一个边长为 正方形拼成的，面积为 ，两面积一样，
；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点评】本题考查多项式乘法法则的推导，应用与迁移，掌握方法是利用两种方法求同一图形面积是解题关键．
20．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5
的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0
∴（x+2）2+1≥1
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为 ．
（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；
（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．
【答案】（1）﹣2；（2）8；（3）﹣21
【分析】（1）根据题意可直接得出答案；
（2）通过配方将所求代数式变形，得出x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8，从而可得出答案；
（3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可．
【详解】（1）当x＝1时，（x﹣1）2﹣2有最小值，是﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8，
则代数式x2﹣10x+33的最小值是8；
（3）∵﹣x2+7x+y+12＝0，
∴y＝x2﹣7x﹣12，
∴x+y＝x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21，
∴x+y的最小值是﹣21．
【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键．
