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期末复习学案（4）平行四边形3（正方形及四边形中的折叠最值问题）（原卷
版）
考点1：正方形的性质
1．（2024•大渡口区模拟）一个正方形的边长为2，它的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2023秋•遂川县期末）若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为 ．
3．（2023 秋•淄川区期末）如图所示，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，过 O 作
OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023秋•观山湖区校级月考）小明用四根长度相同的木条，制作了如图 1能够活动的菱形学具，并测
得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（
）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20❑√2cm
5．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C
的坐标为 ．
6．（2022春•鄂州期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连
接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 ．7．（2023春•肇源县月考）如图，正方形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，
OE⊥OF 交 BC 于点 E，连接 AE，BF 交于点 P，连接 OP．则下列结论：①△ABE≌△BCF；
1
②AE⊥BF；③若AE平分∠BAC，则BE：CE＝1：❑√2；④OP= AC；⑤四边形OECF的面积是正
3
1
方形ABCD面积的 ．其中正确的结论是（ ）
4
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
考点2 正方形的判定
8．（2023秋•秦都区期末）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件
可使菱形ABCD成为正方形．
9．（2023春•崆峒区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形
C．当AC＝BD，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC＝BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
10．（2023春•滨州期末）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在
△BCF内部．给出以下结论：①AC＝EF；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝
AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 ．（填上所有正确结论的序号）．
11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
12．（2022秋•城关区校级期末）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．考点3 正方形的性质和判定综合
13．（2023春•仪征市期末）如图，已知正方形ABCD，E为BC上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下
列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）在边AD上找点F，使得直线EF将正方形ABCD的面积平均分成相等的两部分：（在图1中完
成）
（2）在边AB上找点G，使得BG＝BE；（在图2中完成）
（3）连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）
14．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点
H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．15．（2023春•商水县期末）如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点
E，OF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形OECF是正方形；
（2）若AD＝4，求正方形OECF的面积．
16．（2023•萨尔图区校级开学）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为平面内一动点（不与
点D重合），连接DE，以DE为边作正方形DEFG，连接CG．
（1）如图1，当点E在对角线AC上移动时：
①求证：△ADE≌△CDG；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线BC上；
（2）如图2，连接CF，则DE+CF+CG的最小值等于 ．17．（2023春•楚雄州期末）【母题再现】如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝
90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
【知识探究】证明：如图2，取AB的中点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°．
…
∴AE＝EF．
结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：
（1）请补全知识探究的证明过程．
（2）连接AF，若正方形边长为4，求△AEF的面积．
CF
（3）连接AC，求 的值．
AC18．（2023秋•牟平区期末）【问题呈现】：四边形 ABCD和AEFG都是正方形，直线BE，DG交于点
P．
【问题解决】：（1）如图1，点G在边AB上，判断线段BE和DG的关系，并证明；
【类比探究】：（2）如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段BE和DG的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形ABCD的边长为6cm，对角线AC与BD的交点为O，在正方形AEFG的旋转过程中，请直
接写出点P与点O的距离 ．考点4 特殊平行四边形中的折叠最值问题
19．（2023春•宽城县期末）如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将
△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
20．（2024•长汀县模拟）如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折
叠到MN上，折痕为AE，点B对应点为H，则线段HN的长度为 ．
21．（2023秋•玉环市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E和F是边BC上的两点，连结
AE、DF，将△ABE和△CDF沿AE、DF折叠后，点B和点C重合于点M，则EF的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．1.5 D．4
22．（2023春•宜兴市期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4．折叠该菱形，使点A落在边BC
上的点M处，折痕分别与边AB、AD交于点E、F．当点M与点B重合时，EF的长为 2❑√3 ；当点
M的位置变化时，DF长的最大值为 ．23．（2023秋•太谷区期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，BA＝10，P为边 AB上一动点，
PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF中点，则PM最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
24．（2023秋•绥阳县期末）如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角
板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，
线段EF的最小值为 ．
25．（2023春•西城区校级期中）如图，线段AB的长为10，点D在线段AB上运动，以AD为边长作等边
三角形ACD．再以CD为边长，在线段AB上方作正方形CDGH，记正方形CDGH的对角线交点为O．
连接OB，则线段BO的最小值为 ．
26．（2023秋•阜宁县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ．27．（2023•龙子湖区二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是
AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为
．
28．（2023春•平舆县期末）在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（﹣2，
0），点B的坐标为（2，0），点D在y轴上，∠DAB＝60°．
（1）求点C和点D的坐标．
（2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标．
