文档内容
5.2平行线及其判定
1
考点一：平行线的定义和表示
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。
任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。
考点二：平行线的画法：
已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。
P
●
一、帖(线）
二、靠(尺） a
三、移(点)
四、画(线）
考点三：平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥c a
b
平行线具有传递性。 c
c
考点四、平行线的判定
1
a
判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。 2
简单说成：同位角相等, 两直线平行 b
c
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果 a
内错角相等，那么这两条直线平行.
3
简单说成：内错角相等，两直线平行. 2
b
判定3：两条直线被第三条直线所截， c
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. a
简单说成：同旁内角互补，两直线平行 3
一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 4
b题型一：平行线的定义
1．（2023春·七年级单元测试）直线 、 、 在同一平面内，下面的四个结论：
如果a b，a c，那么b c；
如果 ， ，那么a c；
如果a b， ，那么 ；
如果 与 相交， 与 相交，那么 与 相交．
正确的结论为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一
定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两
条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图， ， ，则点P，
C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B．两点确定一条直线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D．平行于同一条直线的两条直线平行题型二：平行公理及推论
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法中，错误的有（ ）
①若 ， ，则 ；
②若 与 相交， 与 相交，则 与 相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
5．（2023春·全国·七年级专题练习）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵ ， ，∴ B．∵ ， ，∴
C．∵ ， ，∴ D．∵ ， ，∴
6．（2021春·河北张家口·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A． ， ， 是直线，且 ， ，则
B． ， ， 是直线，且 ， ，则
C． ， ， 是直线，且 ， ，则
D． ， ， 是直线，且 ， ，则
题型三：平行线四大判定方法
7．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，直线a、b被直线c所截，则下列式子：
① ；② ；③ ；④ ，能说明 的条件的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④8．（2023春·七年级单元测试）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
9．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：① 1=
3， 4= 5；② 2+ 3= ， 3= 7；③ 1= 2， 5= 6；④ 2= 3， 4= 5，能确定a c的
条件的是 （ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
题型四：平行线判定综合性问题
10．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图， ， 平分 ， 平分 ， ．求证： ．
证明：∵ 平分 ， 平分 ，（已知）
∴ __________， _________．（角平分线的定义）
又∵ ，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵ ，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
∴ ．（____________）11．（2022春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图，已知 ，
.
求证：
12．（2023春·七年级课时练习）如图，点 在直线 上，射线 、 分别平分 、 ．
(1)试判断 、 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，且 ，求证： ．
13．（2022春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，点 在直线 上， 平分 ，
平分 ， 平分 ，且 ，试说明 ．一、单选题
14．（2022春·山东济南·七年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
15．（2022春·安徽芜湖·七年级校考期末）如图，在下列给出的条件中，可以判定 的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤
16．（2022春·吉林·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是( )
A．∠FEC＝∠EFB B．∠BFC+∠C＝180°
C．∠BEF＝∠EFC D．∠C＝∠BFD
17．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）如图，下列条件：
中能判断直线 的有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个18．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
19．（2023春·全国·七年级专题练习）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重
合），可以画出两条互相平行的直线 ， 这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
20．（2023春·七年级课时练习）如图， ，下列结论正确的是（ ）
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A．①② B．②④ C．②③④ D．②21．（2023春·七年级单元测试）根据如图，写出相应的几何语言：
(1)判定方法1：
∵ ＝ ，
∴ ．
(2)判定方法2：
∵ ＝ ．
∴ ．
(3)判定方法3：
∵ + ，
∴ ．
22．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，已知 、 分别是 、 的平分线，且
．求证： ．一、单选题
23．（2022春·四川雅安·七年级统考期中）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
B．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，如果同位角互补，那么这两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
24．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，下列推论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：① ；②
；③如果 ，则有 ；④ ．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
26．（2023春·七年级单元测试）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道 是直角，
那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )A． B． C． D．
二、填空题
27．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，因为 （已知），因为 ， (
)，所以 ，所以 ( )．
28．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定
的有___________．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
29．（2023春·七年级课时练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若 ，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度
同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
30．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在AC的延长线上，若要使 ，则需添加条件_______
（写出一种即可）
31．（2023春·浙江·七年级开学考试）如图，下列条件中能推出 的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
32．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，下列条件能判断 的是__________（多选）．
① ② ③ ④33．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图所示，下列说法中正确的编号是______．
①若∠2=∠4，则AD BC；
②若∠1=∠3，则AD BC；
③若∠3+∠ABC=180°，则AB CD；
④若∠2=∠4，则AB CD；
⑤若∠4+∠ABC=180°，则AB CD；
⑥若∠1=∠3，则AB CD．
三、解答题
34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线 、 交于点O， ， 分别平分 和
，已知 ，且 ．
(1)求 的度数；
(2)试说明 的理由．35．（2022春·河北衡水·七年级统考阶段练习）已知： ， ，求证：
．
36．（2023春·七年级课时练习）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作
OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
37．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）根据题意将下列空格补充完整：
如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1=∠2，∠C＝∠A．
求证：∠AEH＝∠F．
证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°
∴ED _________（________________）
∴∠1＝∠C（______________________________）
∠2＝___________（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，∠C＝∴∠A＝__________
∴AB DF（___________________________）
∴∠AEH＝∠F（________________）
38．（2023春·七年级课时练习）数学课上，同学提出如下问题：
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断
定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB CD，那么 ”
如图2．
假设 ，过点O作直线 ，使 ，
依据基本事实______．
可得 ．
这样过点O就有两条直线AB， 都平行于直线CD，这与基本事实______矛盾，
说明 的假设是不对的，于是有 ．1．A
【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．
【详解】解： 若 ， ，则 ，说法正确，
若 ， ，则 ，说法正确，
若 ， ，则 ，说法正确，
若 与 相交， 与 相交，则 与 相交也可能是平行，故说法错误，
正确的有 ，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的
两条直线平行．
2．C
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【详解】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交，故③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的三种位置关系，平行、相交或重合，熟练掌握这三种位置关系是解题的关
键．
3．A
【分析】直接根据平行公理进行判断即可．
【详解】∵ ， ，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点P，C，Q在一条直线上，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．A
【分析】根据平行公理及推论可判断①；若 与 相交， 与 相交，则 与 可能相交或平行，可判断②；对顶
角相等，但相等的角不一定是对顶角，可判断③；根据平行公理及推论可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若 与 相交， 与 相交，则 与 可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
故错误的有 个，故选：A．
【点睛】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确
答案．
【详解】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是 ，而非 ，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是 ，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
6．D
【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．
【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：D正确．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
7．D
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被
判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线，据此根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】②∵ ，
∴ （同位角相等，两直线平行）．
①∵ ，
∴
∴ （内错角相等，两直线平行）．
③∵ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）．
④∵ ， ，
∴ ，∴ （同位角相等，两直线平行）．
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，
不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出
两被截直线平行．
8．D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、 ，不能判断 ，选项错误；
B、 ，可以判断 ，不能判断 ，选项错误；
C、 ，可以判断 ，不能判断 ，选项错误；
D、 ，可以判断 ，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角
相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
9．B
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①∵∠1＝∠3，
∴a b，
∵∠4＝∠5，
∴b c，
∴a c，符合题意；
②∵ 2+ 3= ，
∴a b，
∵ 3= 4， 3= 7，
∴ 4= 7，
∴b c，
∴a c，符合题意；
③∵ 1= 2， 1＋ 2＝180°，
∴ 1= 2=90°，
∴a⊥l，
∵ 5= 6， 5＋ 6＝180°，
∴ 5= 6=90°，
∴c⊥l，
∴a c，符合题意；④由 4= 5可得b c，但是由 2= 3，无法推出a b，
故无法得出a c，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．
10． ； ； ； ； ； ；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义，等量代换，同位角相等两直线平行，联系证明过程，可推理出答案．
【详解】证明：∵ 平分 ， 平分 ，（已知）
∴ ， ．（角平分线的定义）
又∵ ，（已知）
∴ ．（等量代换）
又∵ ，（已知）
∴ ．（等量代换）
∴ ．（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解决本题的关键是熟悉相关的几何定理，联系证明过程进
行推导．
11．证明见解析
【分析】由已知条件结合对顶角相等∠AGE＝∠DGC，从而可得∠A＝∠D，即可得证 ；
【详解】证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
12．(1) ，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；
（2）由等角的余角相等可证得 ，进而可得 ，再由内错角相等两直线平行即可证得．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
，∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ （已证）， （已知），
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用
是解题的关键．
13．见解析
【分析】由角平分线的性质可得 ，结合 可得 ，由此证明 ．
【详解】证明： 平分 ， 平分 ，
， ，
又 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解决本题的关键是排除题干中的干扰条件，找到有用的条
件进行证明．
14．D
【分析】根据同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理依次判断．
【详解】解：A. 同位角不一定相等，故该项不符合题意；
B. 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a//c，故该项不符合题意；
C. 相等的角不一定是对顶角，故该项不符合题意；
D. 在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，故该项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了语句的判断，正确掌握同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理是解题的关键．
15．D
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合题意；
③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合题意；④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合题意；
⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．
16．C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】A．由∠FEC=∠EFB，可得CE∥BF，故本选项错误；
B．由∠BFC+∠C=180°，可得CE∥BF，故本选项错误；
C．由∠BEF=∠EFC，可得AB∥CD，故本选项正确；
D．由∠C=∠BFD，可得CE∥BF，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内
角互补，两直线平行．
17．B
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l∥l，故本小题正确；
1 2
②∵∠2+∠4=180°，∴l∥l，故本小题正确；
1 2
③∵∠4=∠5，∴l∥l，故本小题正确；
1 2
④∠2=∠3不能判定l∥l，故本小题错误；
1 2
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l∥l，故本小题正确．
1 2
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
18．B
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果 ，那么 ，不能得到 ，故此选项
不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行可知如果 ，那么 ，故此选项符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果 ，那么 ，故此选项不符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果 ，那么 ，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互
补，两直线平行是解题的关键．
19．D
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．【详解】解：如图，
由题意得 ，根据内错角相等，两直线平行可得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握内错角的定义及平行线的判定定理．
20．B
【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：由 ，不能判定 ，
故①不符合题意；
， ，
，
，
故②符合题意；
由 ， ，不能判定 ，
故③不符合题意；
， ，
，
，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
21．(1) ；
(2) ；
(3) ；
【分析】根据平行线的判定方法求解即可．
【详解】（1）判定方法1：
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）判定方法2：
∵ ，∴ ，
故答案为： ； ；
（3）判定方法3：
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答的关键．
22．见解析
【分析】根据 ， 得 ，根据 、 分别是 、 的平
分线得 ， ，可得 ，
即可得．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
23．C
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可；
【详解】解：A、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；选项正确，不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；选项正确，不符合题意；
C、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；选项错误，符合题意；
D、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定；熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
24．D
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：A、 ，
∴ （内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、 ，
∴ （同位角相等，两直线平行），不符合题意；C、由 无法得到 ，不符合题意；
D、 ，
∴ （同位角相等，两直线平行），符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
25．B
【分析】根据 ， ，即可得 ；根据角之间关系即可得
；根据角之间关系可得 ，无法判断BC与AD平行；由题意得 ，
，得 ；综上，即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故①正确；
∵
故②正确；
∵ ，
∴ ，
，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵ ，
即 ，
又∵ ，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些
知识点并认真计算．
26．A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定
即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出 ，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出 ，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出 ，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
27． 对顶角相等 同旁内角互补两直线平行
【分析】因为 满足关于直线 的同旁内角互补，两直线平行的判定条件，又由已知可得
，既满足 的判定条件．
【详解】解：因为 （已知），
因为 ， （对顶角相等），
所以 ，
所以 （同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】本题考查了同旁内角互补，两直线平行的判定条件以及对顶角的性质，能够根据题意选择合适的平行线
的判定是解决本题的关键．
28．②③⑤
【分析】根据平行线的判定条件进行逐一判断即可．
【详解】解；由 ，不可以证明 ，故①错误；
由 ，可以证明 （内错角相等，两直线平行），故②正确；
由 ，可以证明 （内错角相等，两直线平行），故③正确；
由 ，不可以证明 ，故④错误；
由 ，可以证明 （同旁内角互补，两直线平行），故⑤正确；
故答案为；②③⑤．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互
补，两直线平行是解题的关键．
29．4秒或40秒
【分析】分① 与 在 的两侧，分别表示出 与 ，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算
即可得解；
② 旋转到与 都在 的右侧，分别表示出 与 ，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即
可得解；
③ 旋转到与 都在 的左侧，分别表示出 与 ，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即
可得解．【详解】解：分三种情况：
如图①， 与 在 的两侧时，
∵ ， ，
∴ ， ，
要使 ，则 ，
即 ，
解得t=4；
此时 ，
∴ ；
② 旋转到与 都在 的右侧时，
∵ ， ，
要使 ，则 ，
即 ，
解得 ，
此时 ，
∴ ；
③ 旋转到与 都在 的左侧时，∴ ， ，
要使 ，则 ，
即 ，
解得 ，
此时 ，
而 ，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时， 与 平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
30．∠1=∠2 等 （写出一种即可）
【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．
【详解】解：∵当∠1 =∠2时， （内错角相等，两直线平行）；
∴若要使 ，则需添加条件∠1 =∠2；
故答案为：∠1=∠2．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
31．①②③
【分析】根据平行线的判定依次判断即可．
【详解】解：∵∠3=∠5，
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴①符合题意；
∵∠1=∠3，∠1=∠7，
∴∠3=∠7，
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴②符合题意；∵∠2＋∠1=180°，∠2＋∠5=180°，
∴∠1＝∠5，
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴③符合题意；
∠1＋∠4=180°，因为两个角是邻补角，不能证明 ．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
32．①③④
【分析】根据对顶角相等、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】解：① ，根据内错角相等，两直线平行可判断 ；
② ，根据同位角相等，两直线平行可判断 ；
③ ，根据同旁内角互补，两直线平行可判断 ；
④ ，
，根据同旁内角互补，两直线平行可判断 ；
综上，能判断 的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
33．②④##④②
【分析】根据平行线的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：①若∠2=∠4，则AB CD，故①错误；
②若∠1=∠3，则AD BC，故②正确；
③若∠3+∠ABC=180°，不能判定AB CD，故③错误；
④若∠2=∠4，则AB CD，故④正确；
⑤若∠4+∠ABC=180°，不能判定AB CD，故⑤错误；
⑥若∠1=∠3，则AD BC，故⑥错误．
所以正确的说法是②④．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练应用平行线的判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系
判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一
定要弄清题设和结论，切莫混淆．
34．(1) 的度数为
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义推出 ，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出 ，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】（1）解：∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题
的关键．
35．见解析
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论．
【详解】证明： ， ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
36．(1)证明见解析
(2)CD OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明
∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD OE．【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
37．见解析
【分析】根据平行线的判定和性质，即可作答．
【详解】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED AC（同旁内角互补， 两直线平行 ）
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∠2＝ ∠ DGC （两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，∠C＝ ∠ A
∴∠A＝ ∠ DGC
∴AB DF（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题关键是灵活运用平行线的判定和相关性质．
38．同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．
【详解】解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，依据基本事实同位角相等，两直线平
行，
可得A'B' CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB＝∠EO'D．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
