文档内容
第 08 讲 菱形【10 个必考点】
【人教版】
【知识点1 菱形的定义及性质】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用菱形的性质求线段的长度】.........................................................................................................2
【必考点2 利用菱形的性质求角度】.....................................................................................................................3
【必考点3 利用菱形的性质求面积】.....................................................................................................................5
【必考点4 坐标系中菱形性质的应用】.................................................................................................................5
【知识点2 菱形的判定】..........................................................................................................................................6
【必考点5 菱形的判定条件】..................................................................................................................................7
【必考点6 证明一个四边形是菱形】.....................................................................................................................8
【必考点7 菱形的判定与性质综合应用】.............................................................................................................9
【必考点8 菱形中的多结论问题】........................................................................................................................11
【必考点9 菱形中的最值问题】............................................................................................................................12
【必考点10 菱形中的动点问题】..........................................................................................................................13
【知识点1 菱形的定义及性质】
1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.
（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性
质，
性质 数学语言 图形
菱形的四条边都 四边形 是菱形，
边
相等
.
四边形 是菱形，
菱形的两条对角
巷互相垂直，并 ,
对角线
且每一条对角线
平分一组对角
对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
（1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
（3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
3.菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形是平行 菱形的面积=
四边形. 底×高.
菱形
的面
积公 菱形的面积=
菱形的对角
式 对角线长的
线互相垂直
乘积的一半
【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
【必考点1 利用菱形的性质求线段的长度】
【例1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝4cm，BD＝2cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点
G，则DH的长为（ ）
4❑√5 8 8❑√5
A．❑√3cm B． cm C． cm D． cm
5 5 5
【例2】如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，点E是BC上一点，连接AE，DE，BD，AE与BD交于点
O，四边形ABED是菱形，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
5❑√3
A．4 B．3❑√3 C． D．2❑√5
2
【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，过点B作BE⊥AB交对角线AC于点E．若AE＝8，AB＝7，则EC
的长为（ ）17 17 49 15
A． B． C． D．
4 2 8 8
【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连
接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD ＝24，则OM的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，菱形ABCD的周长为40，直线EF过点O，且与
AD，BC分别交于点E，F，若OE＝3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
【必考点2 利用菱形的性质求角度】
【例1】如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O．且AM＝CN，连接BO．
若∠OBC＝60°，则∠DAC为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
【例2】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．56° D．64°
【变式1】已知如图，菱形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若
∠BAD＝ ，则∠DFO一定等于（ ）
α
1 1
A．2 B．45°+ C．90°− α D．45°+ α
2 2
α α
【变式2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD
＝56°，则∠DHO的度数是（ ）
A．38° B．34° C．28° D．24°
【变式3】如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC交CB的延长线于点G．若
∠GEF＝66°，则∠A的度数是（ ）
A．24° B．33° C．48° D．66°【必考点3 利用菱形的性质求面积】
【例1】已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形面积为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√5 C．4❑√2 D．2❑√10
【变式1】如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，且AC：BD＝1：❑√3，若AB＝2．则菱形ABCD的
面积是（ ）
❑√3 ❑√3
A．2❑√3 B．❑√3 C． D．
2 4
【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA
＝8，OH＝3，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48 B．72 C．96 D．108
【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠D＝60°，点P为边CD中点，连接BP，过点A作EF∥BP，
且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为（ ）
A．9❑√3 B．6❑√3 C．18❑√3 D．18
【必考点4 坐标系中菱形性质的应用】
【例1】已知菱形的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(1，❑√3)，则第四个顶点C的坐
标是 ．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．
【变式2】如图：已知点A的坐标为(−2❑√3，2)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标
是 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴上，M，N分别是边OA，OC的中点，
若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是 ．
【知识点2 菱形的判定】
判定方法 数学语言 图示
在 中，
有一组邻边相等的
平行四边形是菱形
（定义）.
是菱形.
边
在四边形 中，
四条边相等的四边
形是菱形.
四边形 是菱形.在 中，
对角线互相垂直的
对角线
平行四边形是菱形
是菱形.
【必考点5 菱形的判定条件】
【例1】下列条件：
①一组对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直；④对角线相等；
⑤一组邻边相等；⑥一个角为直角．
从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②⑥
【变式1】四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是
（ ）
A．AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC
B．AB＝DC，∠ABD＝∠BDC，AD＝CD
C．AB＝DC＝AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
【变式 2】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，给出下列四个条件：① AB＝BC；② AC＝BD；
③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍
无判定四边形BFDE为菱形的是（ ）
A．∠A＝60° B．DE＝DF
C．EF⊥BD D．BD平分∠EDF【变式4】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是
AC、BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．AC＝BD B．AB＝CD
C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90°
【必考点6 证明一个四边形是菱形】
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，OB＝
OD．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接DE，BF，当满足△ABC什么条件时，四边形DEBF是菱形，并证明你的结论．
【变式1】如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线
于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）连接AF，CD，如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱
形？证明你的结论．
【变式2】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，点F在AD延长线上，且BE∥CF．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．【变式3】已知：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，B作AE∥BD，BE∥AC，连接
CE交BD于点F． ▱
（1）求证：△BEF≌△OCF；
（2）当∠ABC满足什么条件时，四边形OAEB为菱形？请说明理由．
【变式4】已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F
使得EF＝OE，连接FD，FC，FC交BD于点G．
（1）判断四边形FOCD的形状，并说明理由．
（2）当AB与AC的数量关系满足 时，四边形FOCD是菱形．请说明理由．
【必考点7 菱形的判定与性质综合应用】
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，
AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．1
【例2】如图，在平行四边形 ABCD中，AB= BC，BE＝CE，AF＝DF，且AE，BF交于点O，连接
2
EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝12，∠ABC＝60°，求OC的长．
【变式1】已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DC∥BE，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，若DE垂直平分线段AC，请直接写出图中与∠DEC相
等的角（∠DEC除外）．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，AD
于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AE＝8，AC+EF＝20，求四边形AECF的面积．
【变式3】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，CE，AE交于点E，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE交AC于点F，交CD于点G，若DE＝CE，CD＝2，求OF的长．
【必考点8 菱形中的多结论问题】
【例1】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝
DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（ ）
1
①OG= AB；
2
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG ＝S四边形ABOG ；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下
3
列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO = S菱形ABCD 中，正确
4
的结论个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动
点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=❑√3OA；
1
③∠MPN＝60°； ④PM+PN= BD．其中正确的有（ ）个．
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接
BD，CG．有下列结论： ①∠BGD＝120°；② BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④
❑√3
S = AB2，其中正确的结论有（ ）
△ABD 4
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【必考点9 菱形中的最值问题】
【例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且AE＝DF，
则EF的最小值是 ．【变式1】如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分
别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的最小值为2，则AE的长为 ．
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P
作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最
小值等于 ．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°．E是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重
合），连接AE，以AE为边作菱形AEFG，其中，点G位于直线AB的上方，且∠EAG＝60°，点P是
AD的中点，连接PG，则线段PG的最小值是 ．
【必考点10 菱形中的动点问题】
【例1】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度
沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以
每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则
当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是 ．【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，BC＝13cm，CD＝23cm，动点
P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣
D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB；
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多
少？
【变式2】如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝26，AD＝24，动点P在线段AD
边上以每秒1个单位的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位的速度向点B
运动，设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，满足PQ＝CD或PQ∥CD？请说明理由．
（2）如图2，若H是BC上一点，BH＝10，那么在线段AD上是否存在一点R，使得四边形BHRP是菱
形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式3】如图1，在 ABCD中，点O是边AD的中点，连接BO并延长，交CD的延长线于点E，连接
BD、AE． ▱
（1）求证：四边形AEDB是平行四边形；
（2）若∠BDC＝90°，DC＝4，BC＝5，动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿EC向终点C运动，设点P运动的时间为t（t＞0）秒．若点Q为直线AB上的一点，当P运动时间t为何值时，以B、
C、P、Q构成的四边形可以是菱形？
