文档内容
第 22 章 二次函数全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习五种方法
【1个概念】
1.二次函数的概念
【1个性质】
1.二次函数的图象与性质
【2种关系】
1.抛物线的位置与字母系数的关系
2.二次函数与一元二次方程关系
【1个应用】
1.二次函数的实际应用
【4种思想】
1.数形结合思想
2.方程思想
3.分类讨论思想
4.函数建模思想
【检测卷】
【倍速学习六种方法】
【1 个概念】
1.二次函数的概念
一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，
但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例1】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【变式】（2022秋•普兰店区期末） 是二次函数，则m的值是（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
【1 个性质】
1.二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
其中 ；⑤ .（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
( 轴) (0，0)
( 轴) (0， )
当 时
开口向上 ( ，0)
当 时
开口向下 ( ， )
( )
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物
线的开口大小、形状相同.
(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .y ax2 bxc(a≠0) a,b,c
3.抛物线 中， 的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，
故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③ (即
、 异号)时，对称轴在 轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：
① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式： （a≠0）.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式： （a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成 的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系： ).
要点诠释：
y ax2 bxc
求抛物线 （a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，
这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【例2】（2023•合肥模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函
数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023•临潼区三模）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减
小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1
【变式2】（2023春•金东区期末）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得
到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2【变式3】（2023•永城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象经过点（﹣1，7）和（3，﹣
1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）当m≤x≤m+2时，y有最小值﹣1，求m的值．
【2 个关系】
1.抛物线的位置与字母系数的关系
【例3】（2023•衢州二模）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜
0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【变式】（2023•永嘉县二模）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，
4），C（3，n），则下列选项正确的是（ ）
A．若m＝4，则n＜4 B．若m＝2，则n＜4
C．若 m＝﹣2，则n＞4 D．若m＝﹣4，则n＞4
2.二次函数与一元二次方程关系
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
方程有两个相等实数解
方程有两个不等实数解 方程没有实数解
的解要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
【例4】（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的
部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【变式】（2023•安顺模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|x2﹣4x﹣5|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做
“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五
个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；
③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；
④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或
其中结论正确的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【1 个应用】
1.二次函数的实际应用
【例5】一个圆形喷水池的中心竖立一根高为2.25m顶端装有喷头的水管，喷头喷出的水柱呈抛物线形．
当水柱与池中心的水平距离为1m时，水柱达到最高处，高度为3m．
（1）求水柱落地处与池中心的距离；
（2）如果要将水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高处与池中心的水平距离以及落地处与池中心的距
离仍保持不变，那么水管的高度应是多少？
【变式1】某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600
件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销
售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式： ；自变量x的取值范围为 ；(2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【变式2】（2023•长安区模拟）某体验馆建造了一幢“森林“主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的
横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架 AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔
离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直
角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．
（1）若 在抛物线上，求该抛物线表达式．
（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的最大面积为多少？
【4 种思想】
1.数形结合思想
【例6】（2023•金东区二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该
点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数y＝2x图象关于3的“恒值点”．
（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”．
（2）如图1，抛物线y＝2x2+bx+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部
分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．2.方程思想
【例7】（2023春•镇海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（2，3）．
（1）求b，c的值；
（2）结合图象，求当y＞0时x的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为A点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数
的表达式．
3.分类讨论思想
【例8】（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），
点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求
m的值．【变式1】（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【变式2】（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的
取值范围．
4.函数建模思想
【例9】（2023•洞头区二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形ABCD是一
张用于3D打印产品的示意
图，它由三个区块（Ⅰ，
Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝
20cm，点E，F分别在BC
和AB上，且BE＝BF，设
BE＝xcm（0＜x＜20）．
素材2 为了打印精准，拟在图2中
的BC边上设置一排间距为
1cm的定位坐标（B为坐标
原点），计算机可根据点E
的定位坐标精准打印出图
案．问题解决
任务1 确定关系 用含x的代数式表示：
区块Ⅰ的面积＝ x 2 、
区块Ⅱ的面积＝ ﹣
10 x +200 、区块Ⅲ的面积
＝ ．
任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为
甲、乙两个三角形区域，并
要求区域乙是以DE为腰的
等腰三角形，求所有方案中
区域乙的面积或函数表达
式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为
范围内的整数
时，此时的E点为最佳定位
点，请写出所有的最佳定位
点E的坐标．
【检测卷】
一、单选题
1．（2023秋·九年级课时练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·九年级课时练习）在下列二次函数中，其图像的对称轴为直线 的是（ ）
A． B． C． D．3．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）对于二次函数 ，其图象的顶点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考开学考试）抛物线 向右平移1个单位，再向
下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校考开学考试）关于二次函数 的最值情况，
描述正确的是（ ）
A．最大值0 B．最大值 C．最小值 D．最小值0
6．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数
的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·九年级课时练习）已知点 ， 都在函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·九年级课时练习）二次函数 的图象如图所示，则关于 的方程
的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．（2023秋·九年级课时练习）在同一坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线
．则下列结论：① ；② ；③函数 的最大值为 ；④若关于 的方程
有两个相等的实数根，则 ．正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
11．（2023秋·九年级课时练习）某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨 元/个，每天的利润
为 元，则 与 之间的函数关系式为 ．
12．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且与
轴、 轴分别交于 、 两点，其中点 在点 的右侧，直线 经过 、 两点．给出以下四
个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论是
13．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点 ， 在抛物线 上，且 ，则
．（填“<”或“>”或“=”）
14．（2023·安徽芜湖·统考三模）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕点 旋转 ，
当 时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
15．（2023秋·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴
只有一个交点．则 ．
16．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 在
抛物线 上，点B是该抛物线与y轴的交点，过点B作 轴交抛物线于点C，连
结 ， ．若 平分 ，则此抛物线的对称轴为直线 ．17．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）已知关于x的二次函数
，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
18．（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）下表记录了二次函数 中两个变量 与
的6组对应值，
… 1 3 …
… 0 2 0 …
其中 ．根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，
则 的取值范围为 ．
三、解答题
19．（2023秋·九年级课时练习）一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，对称轴及顶点与抛
物线 相同，求该抛物线的解析式．
20．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考开学考试）抛物线 过点
与 ，且抛物线最大值是3．
(1)求此拋物线的解析式；
(2)通过计算，判断点 是否在此函数图象上？21．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、
技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单
价为 元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为 ，经过两次降价后的价格为 （元）．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为 元，求每次降价的百分率．
22．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）某公司生产某种衣服，每件成本200元．据公司往年数据
分析预测，今年11月份的日销售量s（件）与时间t（天）之间的关系式为 ．每天的价格
（元/件）与时间t（天）的函数关系如图．设每天利润为w（元）．
(1)求w关于t的函数表达式；
(2)根据预测，11月份哪天利润最大？最大利润是多少？
23．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32
米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪 ．(1)当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪 边的长．
(2)怎样围能得到面积最大的草坪？
24．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点 ，点P是直线 上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，
设点P的横坐标为t．
(1)分别求出直线 和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接 ，求线段 最长时点P的坐标．
25．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接 ，求当 面积最大时点P的坐标及该面积的最
大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且 ，求点Q的坐标．
26．（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，在矩形 中， ， ，动点 从点
出发．以 的速度沿射线 方向运动，以 为底边，在 的右侧作等腰直角三角形 ，当点落在射线 上时，点 停止运动，设 与矩形 重叠部分的面积为 ，运动的时间为 ．
(1)当 为何值时，点 落在射线 上；
(2)当线段 将 的面积二等分时，求 的值；
(3)求 与 的函数关系式．
