文档内容
2017年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2017的绝对值是（ ）
A．2017 B．﹣2017 C．±2017 D．﹣
2．（3分）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500
亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法
表示为（ ）
A．275×104 B．2.75×104 C．2.75×1012 D．27.5×1011
3．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．2（a﹣1）＝2a﹣1 B．a2b﹣ab2＝0
C．2a3﹣3a3＝a3 D．a2+a2＝2a2
4．（3分）如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底
面上，那么这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度
数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名
同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
第1页（共28页）A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5
7．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交
DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．（3分）若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
9．（3分）如图， O的直径AB＝4，BC切 O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长
为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： 4ac﹣b2＜0；
3b+2c＜0； 4a+c＜2b； m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的①个数是（ ）
② ③ ④
第2页（共28页）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
12．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（4分）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．
14．（4分）已知x+y＝ ，xy＝ ，则x2y+xy2的值为 ．
15．（4分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k＝ ．
16．（4分）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转
到A′B′C′的位置，若BC＝12cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为
cm．
17．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A ，
1 2
A ，…在直线 l上，点B ，B ，B ，…在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，
3 1 2 3 1 1 2 1 2
△A B B ，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形
3 2 3
A n B n﹣1 B n 顶点B n 的横坐标为 ．
第3页（共28页）三、解答题（本大题共8小题，满分88分）
19．（8分）计算：3tan30°+|2﹣ |+（ ）﹣1﹣（3﹣ ）0﹣（﹣1）2017．
π
20．（10分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中x为方程x2+3x+2＝0的根．
21．（10分）如图，DB∥AC，且DB＝ AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC＝DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？
第4页（共28页）22．（10分）已知反比例函数y ＝ 的图象与一次函数y ＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B
1 2
（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
23．（12分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具
的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商
场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
24．（12分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E
等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据
第5页（共28页）以下信息解答下列问题：
（1）2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点
所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择
该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用
画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．
25．（12分）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 O的切线，
交OD的延长线于点⊙E，连接BE． ⊙ ⊙
（1）求证：BE与 O相切；
⊙
第6页（共28页）（2）设OE交 O于点F，若DF＝1，BC＝2 ，求阴影部分的面积．
⊙
26．（14分）如图甲，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线
y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？
第7页（共28页）若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探
究）．
第8页（共28页）2017 年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2017的绝对值是（ ）
A．2017 B．﹣2017 C．±2017 D．﹣
【分析】根据绝对值定义即可解答．
【解答】解：﹣2017的绝对值是2017．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500
亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法
表示为（ ）
A．275×104 B．2.75×104 C．2.75×1012 D．27.5×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．2（a﹣1）＝2a﹣1 B．a2b﹣ab2＝0
C．2a3﹣3a3＝a3 D．a2+a2＝2a2
【分析】直接利用合并同类项法则判断得出答案．
【解答】解：A、2（a﹣1）＝2a﹣2，故此选项错误；
B、a2b﹣ab2，无法合并，故此选项错误；
C、2a3﹣3a3＝﹣a3，故此选项错误；
第9页（共28页）D、a2+a2＝2a2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
4．（3分）如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底
面上，那么这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看矩形内部是个圆，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．（3分）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1＝40°，则∠2的度
数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】先根据互余计算出∠3＝90°﹣40°＝50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2＝
180°﹣∠3＝130°．
【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°．
∴∠2＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
第10页（共28页）【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
6．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名
同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超
过8小时的有14+7＝21人．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这
组数据的中位数是9；
故选：B．
【点评】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是
将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均
数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，
就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
7．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交
DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（ ）
第11页（共28页）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】根据折叠前后角相等可证AO＝CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得
DO，再根据线段的和差关系求解即可．
【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACD，
∴AO＝CO＝5cm，
在直角三角形ADO中，DO＝ ＝3cm，
AB＝CD＝DO+CO＝3+5＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
8．（3分）若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【分析】首先根据题意求得判别式△＝m2﹣4＞0，然后根据△＞0 方程有两个不相等的
实数根；求得答案． ⇔
【解答】解：∵a＝1，b＝m，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
解得：m＞2或m＜﹣2，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
第12页（共28页）【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，解题时注意：一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9．（3分）如图⇔， O的直径AB＝4，BC切 O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长
为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；
连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB＝90°，又由平行线的性质知∠A＝
∠BOC，则cos∠A＝cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．
【解答】解：连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．
∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cos∠A＝cos∠BOC．
∵BC切 O于点B，∴OB⊥BC，
⊙
∴cos∠BOC＝ ＝ ，
∴cos∠A＝cos∠BOC＝ ．
又∵cos∠A＝ ，AB＝4，
∴AD＝ ．
故选：B．
第13页（共28页）【点评】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．
此题是一个综合题，难度中等．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： 4ac﹣b2＜0；
3b+2c＜0； 4a+c＜2b； m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的①个数是（ ）
② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断 ；根据对称轴是x＝﹣1，可
①
得x＝﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断 ；根据﹣ ＝﹣1，得出b＝2a，
③
再根据a+b+c＜0，可得 b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断 ；x＝﹣1时该二次函数取得
②
最大值，据此可判断 ．
【解答】解：∵图象④与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
正确；
①
∵﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
第14页（共28页）∵a+b+c＜0，
∴ b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴ 是正确；
②
∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
错误；
③
∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．
∴m（am+b）＜a﹣b．故 正确
∴正确的有 三个，④
故选：C． ①②④
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合
的思想解答．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）分解因式：x3﹣9x＝ x （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
12．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≥ 1 且 x ≠ 2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x﹣1≥0；分母不
等于0，可知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
第15页（共28页）【点评】本题考查了函数自变量的范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（4分）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 2. 5 ．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵32+42＝25＝52，
∴该三角形是直角三角形，
∴ ×5＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，
判断出是直角三角形是解题的关键．
14．（4分）已知x+y＝ ，xy＝ ，则x2y+xy2的值为 3 ．
【分析】根据x+y＝ ，xy＝ ，可以求得x2y+xy2的值．
【解答】解：∵x+y＝ ，xy＝ ，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝
＝
＝3 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中
的已知条件解答．
15．（4分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k＝ ﹣ 1 0 或 1 0 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k＝﹣10或10．
故答案为：﹣10或10．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
第16页（共28页）16．（4分）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转
到A′B′C′的位置，若BC＝12cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 1 6
cm． π
【分析】由题意知∠ACA′＝∠BAC+∠ABC＝120°、AC＝2BC＝24cm，根据弧长公式可求
得点A所经过的路径长，即以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧长．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，且BC＝12，
∴∠ACA′＝∠BAC+∠ABC＝120°，AC＝2BC＝24cm，
由题意知点A所经过的路径是以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧长，
∴其路径长为 ＝16 （cm），
π
故答案为：16 ．
【点评】本题主π要考查旋转的性质及弧长公式，熟练掌握旋转的性质得出点A所经过的路
径即为以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧是解题的关键．
17．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 6 ．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，交AC于P点．此时PD+PE的最小值
＝BE，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，
从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为6，
第17页（共28页）∴AB＝6．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝6．
故所求最小值为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A ，
1 2
A ，…在直线 l上，点B ，B ，B ，…在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，
3 1 2 3 1 1 2 1 2
△A B B ，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形
3 2 3
A n B n﹣1 B n 顶点B n 的横坐标为 2 n + 1 ﹣ 2 ．
【分析】先求出B 、B 、B …的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
1 2 3
【解答】解：由题意得OA＝OA ＝2，
1
∴OB ＝OA ＝2，
1 1
B B ＝B A ＝4，B A ＝B B ＝8，
1 2 1 2 2 3 2 3
∴B （2，0），B （6，0），B （14，0）…，
1 2 3
2＝22﹣2，6＝23﹣2，14＝24﹣2，…
∴B 的横坐标为2n+1﹣2．
n
故答案为 2n+1﹣2．
第18页（共28页）【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊
到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，满分88分）
19．（8分）计算：3tan30°+|2﹣ |+（ ）﹣1﹣（3﹣ ）0﹣（﹣1）2017．
π
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3× +2﹣ +3﹣1+1
＝5．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（10分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中x为方程x2+3x+2＝0的根．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简分式，再解方程求得x的值，最后代入求解
可得．
【解答】解：原式＝（x﹣1）•
＝﹣x﹣1，
解方程x2+3x+2＝0得x＝﹣1或x＝﹣2，
∵x+1≠0，即x≠﹣1，
∴x＝﹣2，
则原式＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和法则．
21．（10分）如图，DB∥AC，且DB＝ AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC＝DE；
第19页（共28页）（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？
【分析】（1）要证明BC＝DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便
可．
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
【解答】（1）证明：∵E是AC中点，
∴EC＝ AC．
∵DB＝ AC，
∴DB＝EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC＝DE．
（2）添加AB＝BC．
理由：∵DB AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC＝DE，AB＝BC，
∴AB＝DE．
∴ ▭ADBE是矩形．
【点评】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题
在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添
加的条件和所得的结论．
第20页（共28页）22．（10分）已知反比例函数y ＝ 的图象与一次函数y ＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B
1 2
（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，即可得出反比例
函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确
定出m的值，从而得到B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意，结合图象，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的区域，易得答案．
【解答】解：（1）∵A（1，4）在反比例函数图象上，
∴把A（1，4）代入反比例函数y ＝ 得：4＝ ，解得k ＝4，
1 1
∴反比例函数解析式为y ＝ 的，
1
又B（m，﹣2）在反比例函数图象上，
∴把B（m，﹣2）代入反比例函数解析式，
解得m＝﹣2，即B（﹣2，﹣2），
把A（1，4）和B坐标（﹣2，﹣2）代入一次函数解析式y ＝ax+b得： ，
2
解得： ，
∴一次函数解析式为y ＝2x+2；
2
（2）根据图象得：﹣2＜x＜0或x＞1．
【点评】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质及待定系数法求解析式，要掌
握它们的性质才能灵活解题．
23．（12分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具
的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
第21页（共28页）（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商
场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲
种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150
元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩
具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
＝
x＝15，
经检验x＝15是原方程的解．
∴40﹣x＝25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以玩具
件数和钱数做为不等量关系列不等式组求解．
24．（12分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E
等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据
以 下 信 息 解 答 下 列 问 题 ：
第22页（共28页）（1）2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 5 0 万人，扇形统计图中A景点
所对应的圆心角的度数是 108 ° ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择
该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用
画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．
【分析】（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；
先求得A景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比
×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据E景点接待游客数所占的百分比，即可估计2018年“五•一”节选择去E景点旅
游的人数；
（3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率
公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【解答】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%＝50（万人），
A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°＝108°，
B景点接待游客数为：50×24%＝12（万人），
补全条形统计图如下：
第23页（共28页）故答案为：50，108°；
（2）∵E景点接待游客数所占的百分比为： ×100%＝12%，
∴2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数约为：80×12%＝9.6（万人）；
（3）画树状图可得：
∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的
结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算的综合
应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．当有两个元素时，可用树形图列
举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（12分）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 O的切线，
交OD的延长线于点⊙E，连接BE． ⊙ ⊙
（1）求证：BE与 O相切；
（2）设OE交 O⊙于点F，若DF＝1，BC＝2 ，求阴影部分的面积．
⊙
第24页（共28页）【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE＝90°，再根据垂径定理得到CD＝
BD，则OD垂直平分BC，所以EC＝EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE＝∠OCE＝
90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设 O的半径为r，则OD＝r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（ ）2＝r2，解得r＝2，
再利用⊙三角函数得到∠BOD＝60°，则∠BOC＝2∠BOD＝120°，接着计算出BE＝ OB＝
2 ，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝2S△OBE ﹣S扇形BOC 进
行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC＝EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE＝∠OCE＝90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与 O相切；
⊙
第25页（共28页）（2）解：设 O的半径为r，则OD＝r﹣1，
⊙
在Rt△OBD中，BD＝CD＝ BC＝ ，
∴（r﹣1）2+（ ）2＝r2，解得r＝2，
∵tan∠BOD＝ ＝ ，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，
在Rt△OBE中，BE＝ OB＝2 ，
∴阴影部分的面积＝S四边形OBEC ﹣S扇形BOC
＝2S△OBE ﹣S扇形BOC
＝2× ×2×2 ﹣
＝4 ﹣ ．
π
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外
端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或
“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了不
规则图形的面积的计算方法．
26．（14分）如图甲，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线
y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探
第26页（共28页）究）．
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC
的长，分MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可
求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的
坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取
得最大值时E点的坐标．
【解答】解：
（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x＝2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC＝ ＝ ，MP＝|t+1|，PC＝ ＝2 ，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三种情况，
当MC＝MP时，则有 ＝|t+1|，解得t＝ ，此时M（2， ）；
①
当MC＝PC时，则有 ＝2 ，解得t＝﹣1（与P点重合，舍去）或t＝7，此
②
时M（2，7）；
第27页（共28页）当MP＝PC时，则有|t+1|＝2 ，解得t＝﹣1+2 或t＝﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2
③）或（2，﹣1﹣2 ）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2， ）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2
）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△CBE ＝S△EFC +S△EFB ＝ EF•OD+ EF•BD＝ EF•OB＝ ×3（﹣x2+3x）＝﹣ （x﹣ ）
2+ ，
∴当x＝ 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（ ，﹣ ），
即当E点坐标为（ ，﹣ ）时，△CBE的面积最大．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形
的面积、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，
在（2）中设出M点的坐标，利用等腰三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，
在（3）中用E点坐标表示出△CBE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，
难度适中．
第28页（共28页）
