文档内容
2016年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2016的倒数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．2a+3b＝5ab C．a8÷a2＝a6 D．（a2b）2＝a4b
3．（3分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一
带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010
4．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上
的字是（ ）
A．梦 B．的 C．国 D．中
5．（3分）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长
是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
6．（3分）某校九年级（1）班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如表：
成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50
人数（人） 2 5 6 6 8 7 6
根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
7．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列
选项中，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2
第1页（共30页）8．（3分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移
后的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
9．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值
是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（3分）某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组
成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，
AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与
x的函数图象大致是（ ）
第2页（共30页）A． B．
C． D．
二、填空题．（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是 ．
12．（4分）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（4分）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝ 度．
14．（4分）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ．
15．（4分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝ ．
⊙
第3页（共30页）16．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以
AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是 （结果保留 ）．
π
17．（4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝
2，EF＝ EH，那么EH的长为 ．
18．（4分）观察下列砌钢管的横截面图：
则第n个图的钢管数是 （用含n的式子表示）
三、解答题．（本大题共8小题，共88分）
19．（8分）计算：cos60°﹣2﹣1+ ﹣（ ﹣3）0．
π
第4页（共30页）20．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代
入．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝
（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣
2，0），且tan∠ACO＝2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
22．（10分）如图，在 ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△▱CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
第5页（共30页）23．（12分）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用
了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，
也正好住满．求该校的大小寝室每间各住多少人？
24．（12分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5
个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整
的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求
恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、
B、C、D、E）．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、
第6页（共30页）AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与 O的位置关系，并证明你的结论；
⊙
（2）若tan∠ACB＝ ，BC＝2，求 O的半径．
⊙
26．（14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣ ）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
第7页（共30页）（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形
为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共30页）2016 年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2016的倒数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
【考点】17：倒数．
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2016的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握互为倒数之间关系是解题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．2a+3b＝5ab C．a8÷a2＝a6 D．（a2b）2＝a4b
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，本选项错误；
B、2a+3b不能合并，本选项错误；
C、a8÷a2＝a6，本选项正确；
D、（a2b）2＝a4b2，本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
3．（3分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一
带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
第9页（共30页）【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4 400 000 000＝4.4×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上
的字是（ ）
A．梦 B．的 C．国 D．中
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“们”与“中”是相对面，
“我”与“梦”是相对面，
“的”与“国”是相对面．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，
分析及解答问题．
5．（3分）已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长
是（ ）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根；K6：三角形三边关系；
KH：等腰三角形的性质．
【专题】32：分类讨论．
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两
第10页（共30页）种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
，
解得 ，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非
负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做
出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
6．（3分）某校九年级（1）班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如表：
成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50
人数（人） 2 5 6 6 8 7 6
根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6＝40，
得45分的人数最多，众数为45，
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： ＝45，
平均数为： ＝44.425．
故错误的为D．
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
第11页（共30页）7．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列
选项中，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据判别式的意义，当b＝﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
【解答】解：△＝b2﹣4，当b＝﹣1时，△＜0，方程没有实数解，
所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，必有实数解”是假命题
的反例．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一
个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
8．（3分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移
后的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【专题】16：压轴题．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由题意可知此题规律是（x+2，y﹣3），照此规律计算可知顶点P（﹣4，﹣1）平移后
的坐标是（﹣2，﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的平移变换，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标
第12页（共30页）上移加，下移减．
9．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值
是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理；T1：锐角三角函数的定义．
【专题】16：压轴题；24：网格型．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图： ，
由勾股定理，得
AC＝ ，AB＝2 ，BC＝ ，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
10．（3分）某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组
成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，
AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与
x的函数图象大致是（ ）
第13页（共30页）A． B．
C． D．
【考点】H2：二次函数的图象；HE：二次函数的应用．
【分析】先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x
的函数关系式．
【解答】解：S△AEF ＝ AE×AF＝ x2，S△DEG ＝ DG×DE＝ ×1×（3﹣x）＝ ，
S五边形EFBCG ＝S正方形ABCD ﹣S△AEF ﹣S△DEG ＝9﹣ x2﹣ ＝﹣ x2+ x+ ，
则y＝4×（﹣ x2+ x+ ）＝﹣2x2+2x+30，
∵AE＜AD，
∴x＜3，
综上可得：y＝﹣2x2+2x+30（0＜x＜3）．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，对于
有些题目可以不用求出函数关系式，根据走势或者特殊点的值进行判断．
二、填空题．（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
第14页（共30页）11．（4分）把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是 a （ 3 a + b ）（ 3 a ﹣ b ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式9a，进而利用平方差公式法分解因式得出即可．
【解答】解：9a3﹣ab2
＝a（9a2﹣b2）
＝a（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因
式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（4分）在函数 中，自变量x的取值范围是 x ≤ 1 且 x ≠﹣ 2 ．
【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
【专题】11：计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．（4分）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝ 4 5 度．
【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵m∥n，
∴∠1＝45°；
故答案为：45．
【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角
相和等腰直角三角形的性质；关键是求出∠ABC的度数．
第15页（共30页）14．（4分）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 4 ．
【考点】33：代数式求值．
【专题】27：图表型．
【分析】观察图形我们可以得出x和y的关系式为：y＝2x2﹣4，因此将x的值代入就可以计算
出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为
止，即可得出y的值．
【解答】解：依据题中的计算程序列出算式：12×2﹣4．
由于12×2﹣4＝﹣2，﹣2＜0，
∴应该按照计算程序继续计算，（﹣2）2×2﹣4＝4，
∴y＝4．
故答案为：4．
【点评】解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
由于代入1计算出y的值是﹣2，但﹣2＜0不是要输出y的值，这是本题易出错的地方，还应
将x＝﹣2代入y＝2x2﹣4继续计算．
15．（4分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝ 4 ﹣
． ⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE＝ED＝ CD＝3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求
第16页（共30页）出OE的长度，最后由BE＝OB﹣OE，即可求出BE的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝ CD＝3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，
∴OE＝ ＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣ ．
故答案为4﹣ ．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、
ED的长度．
16．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以
AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是 2 （结果保留 ）．
π π
【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】根据题意有S阴影部分 ＝S扇形BAD ﹣S半圆BA ，然后根据扇形的面积公式：S＝ 和圆
的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．
【解答】解：根据题意得，S阴影部分 ＝S扇形BAD ﹣S半圆BA ，
∵S扇形BAD ＝ ＝4 ，
π
S半圆BA ＝ • •22＝2 ，
π π
第17页（共30页）∴S阴影部分 ＝4 ﹣2 ＝2 ．
故答案为2 ．π π π
π
【点评】此题考查了扇形的面积公式：S＝ ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半
径），或S＝ lR，l为扇形的弧长，R为半径．
17．（4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝
2，EF＝ EH，那么EH的长为 ．
【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】设EH＝3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形
AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即
为EH的长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴ ，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴ ，
解得：x＝ ，
则EH＝ ．
第18页（共30页）故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定
与性质是解本题的关键．
18．（4分）观察下列砌钢管的横截面图：
则第n个图的钢管数是 n 2 + n （用含n的式子表示）
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】本题可依次解出n＝1，2，3，…，钢管的个数．再根据规律以此类推，可得出第n堆的
钢管个数．
【解答】解：第一个图中钢管数为1+2＝3；
第二个图中钢管数为2+3+4＝9；
第三个图中钢管数为3+4+5+6＝18；
第四个图中钢管数为4+5+6+7+8＝30，
依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n＝ + ＝ n2+ n，
故答案为： n2+ n．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找
出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题．（本大题共8小题，共88分）
19．（8分）计算：cos60°﹣2﹣1+ ﹣（ ﹣3）0．
第19页（共π30页）【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三
项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣ +2﹣1
＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代
入．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即
可．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝
（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣
2，0），且tan∠ACO＝2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
第20页（共30页）【分析】（1）先过点A作AD⊥x轴，根据tan∠ACO＝2，求得点A的坐标，进而根据待定系数
法计算两个函数解析式；（2）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点B的坐标即
可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D
由A（n，6），C（﹣2，0）可得，
OD＝n，AD＝6，CO＝2
∵tan∠ACO＝2
∴ ＝2，即 ＝2
∴n＝1
∴A（1，6）
将A（1，6）代入反比例函数，得m＝1×6＝6
∴反比例函数的解析式为
将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y＝kx+b，可得
解得
∴一次函数的解析式为y＝2x+4
（2）由 可得，
解得x ＝1，x ＝﹣3
1 2
∵当x＝﹣3时，y＝﹣2
∴点B坐标为（﹣3，﹣2）
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系
数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方
第21页（共30页）程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．
22．（10分）如图，在 ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△▱CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．
第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就
可求了，用面积公式可求得．
【解答】（1）证明：∵在 ABCD中，AB＝CD，
∴BC＝AD，∠ABC＝∠CD▱A．
又∵BE＝EC＝ BC，AF＝DF＝ AD，
∴BE＝DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）解：∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC，即BE＝AE．
又BC＝2AB＝4，
∴AB＝ BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，
过点A作AH⊥BC于H，
∴BH＝ BE＝1，
根据勾股定理得，AH＝
第22页（共30页）∴菱形AECF的面积为2 ．
【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．
（1）用SAS证全等；
（2）若四边形AECF为菱形，则AE＝EC＝BE＝AB，所以△ABE为等边三角形．
23．（12分）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用
了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，
也正好住满．求该校的大小寝室每间各住多少人？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】首先设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，根据关键语句“高一年级男生
740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和
小寝室55间，也正好住满”列出方程组即可．
【解答】解：设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得：
，
解得： ．
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语
句，列出方程组．
24．（12分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5
个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整
的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
第23页（共30页）（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求
恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、
B、C、D、E）．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即
可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可
求出所求的概率．
【解答】解：（1）56÷20%＝280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）280×15%＝42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
第24页（共30页）E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是 ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、
AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与 O的位置关系，并证明你的结论；
⊙
（2）若tan∠ACB＝ ，BC＝2，求 O的半径．
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与 O相切，只需证明∠CEO＝90°，即OE⊥CE即可；
（2）在直角三角形ABC中，根据三角函⊙数的定义可以求得AB＝ ，然后根据勾股定理求得
AC＝ ，同理知DE＝1；
第25页（共30页）方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2＝OE2+CE2，即 ＝r2+3，从而
易得r的值；
方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．
【解答】解：（1）直线CE与 O相切．…（1分）
理由如下： ⊙
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC；
又∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE；
连接OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC＝90°
∴∠AE0+∠DEC＝90°
∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE．
又OE是 O的半径，
∴直线C⊙E与 O相切．…（5分）
⊙
（2）∵tan∠ACB＝ ＝ ，BC＝2，
∴AB＝BC•tan∠ACB＝ ，
∴AC＝ ；
又∵∠ACB＝∠DCE，
∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝ ，
∴DE＝DC•tan∠DCE＝1；
方法一：在Rt△CDE中，CE＝ ＝ ，
连接OE，设 O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2+CE2，即 ＝r2+3
⊙
解得：r＝
方法二：AE＝AD﹣DE＝1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM＝ AE＝
第26页（共30页）在Rt△AMO中，OA＝ ＝ ÷ ＝ …（9分）
【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．
26．（14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣ ）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形
为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣
）三点代入求出a、b、c的值即可；
（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P
点坐标即可；
（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣ ）三点在抛物线上，
第27页（共30页）∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣2x﹣ ；
（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝ x2﹣2x﹣ ，
∴其对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣ ），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
第28页（共30页）∴直线BC的解析式为y＝ x﹣ ，
当x＝2时，y＝1﹣ ＝﹣ ，
∴P（2，﹣ ）；
（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，
当点N在x轴下方时，
①
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，﹣ ），
∴N （4，﹣ ）；
1
当点N在x轴上方时，如图，过点N 作N D⊥x轴于点D，
2 2
②在△AN
2
D与△M
2
CO中，
∴△AN D≌△M CO（ASA），
2 2
∴N D＝OC＝ ，即N 点的纵坐标为 ．
2 2
∴ x2﹣2x﹣ ＝ ，
解得x＝2+ 或x＝2﹣ ，
第29页（共30页）∴N （2+ ， ），N （2﹣ ， ）．
2 3
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析
式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
第30页（共30页）
