文档内容
2015年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）|﹣2015|等于（ ）
A．2015 B．﹣2015 C．±2015 D．
2．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊
心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表
示为（ ）
A．5×109千克 B．50×109千克 C．5×1010千克 D．0.5×1011千克
3．（3分）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（
）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
5．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不
经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
6．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O
重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A． B． C． D．6
7．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周
长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
8．（3分）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于
▱ 第1页（共25页）（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
9．（3分）如图， O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（
） ⊙
A．2 B．4 C．4 D．8
10．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
a＞0 2a+b＝0 a+b+c＞0 当﹣1＜x＜3时，y＞0
①其中正确的②个数为（ ③） ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分） 的算术平方根是 ．
12．（4分）计算：（﹣3）2013•（﹣ ）2011＝ ．
13．（4分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．
14．（4分）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
第2页（共25页）15．（4分）不等式组 的最小整数解是 ．
16．（4分）如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画
弧交AB于点E，▱连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ）．
π
17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，
P为AC上一点，则PF+PE的最小值为 ．
18．（4分）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7
个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为 （用含n的式
子表示）．
三、解答题（共8小题，共88分）
19．（8分）计算：（﹣ ）﹣2﹣（3.14﹣ ）0+|1﹣ |﹣2sin45°．
π
20．（10分）先化简，再求值： ÷（x﹣2+ ），其中x＝ ﹣1．
第3页（共25页）21．（10分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很
快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所
购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是
多少元？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的
图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
第4页（共25页）23．（12分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球
C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选
两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
24．（12分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
第5页（共25页）25．（12分）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径作 O交AB于点
D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． ⊙
（1）求证：直线EF是 O的切线；
（2）求cos∠E的值．⊙
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+ 与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4， ），点D是抛物
线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于
点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大
值时的点C的坐标．
第6页（共25页）2015 年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）|﹣2015|等于（ ）
A．2015 B．﹣2015 C．±2015 D．
【考点】15：绝对值．
【分析】一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．一个负数的绝对值是它的相反数．
【解答】解：|﹣2015|＝2015，
故选：A．
【点评】此题考查绝对值问题，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
2．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊
心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表
示为（ ）
A．5×109千克 B．50×109千克
C．5×1010千克 D．0.5×1011千克
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将500亿用科学记数法表示为：5×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
第7页（共25页）【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三
视图中．
4．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（
）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．
【解答】解：根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的
横坐标是﹣2﹣1＝﹣3，纵坐标是﹣3+3＝0，即新点的坐标为（﹣3，0）．
故选：A．
【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移
减．
5．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不
经过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【考点】AA：根的判别式；F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质
可得到一次函数y＝（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴△＜0，
∴△＝4﹣4（﹣m）＝4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，
m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，
第8页（共25页）∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，
方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实
数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
6．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O
重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【考点】KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即
可得出结论．
【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC＝OC，BE＝OE，∠B＝∠COE＝90°，
∴EO⊥AC，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即62＝AB2+32，解得AB＝3 ，
在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3 ﹣x，
AE2＝AO2+OE2，即（3 ﹣x）2＝32+x2，解得x＝ ，
∴AE＝EC＝3 ﹣ ＝2 ．
故选：A．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
第9页（共25页）形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
7．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周
长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形
周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，故选B．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
8．（3分）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于
（ ） ▱
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出 ＝ ，利用点E是边AD的中点得出答
案即可．
【解答】解：∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BC▱F，
∴ ＝ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE＝ AD，
∴ ＝ ．
第10页（共25页）故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出
△DEF∽△BCF是解题关键．
9．（3分）如图， O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（
） ⊙
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】KW：等腰直角三角形；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于 O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径
⊙
定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝ OC＝2 ，然后利用
CD＝2CE进行计算．
【解答】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵ O的直径AB垂直于弦CD，
∴⊙CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝ OC＝2 ，
∴CD＝2CE＝4 ．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
10．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
第11页（共25页）a＞0 2a+b＝0 a+b+c＞0 当﹣1＜x＜3时，y＞0
①其中正确的②个数为（ ③） ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x＝1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根
据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
【解答】解： 图象开口向下，能得到a＜0；
①
对称轴在y轴右侧，x＝ ＝1，则有﹣ ＝1，即2a+b＝0；
②
当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
③由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
④故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关
系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分） 的算术平方根是 ．
【考点】22：算术平方根．
【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（ ）2＝ ，
∴ 的算术平方根是 ，
即 ＝ ．
第12页（共25页）故答案为 ．
【点评】本题考查了算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么
这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
12．（4分）计算：（﹣3）2013•（﹣ ）2011＝ 9 ．
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得（﹣3）2011•（﹣3）2，再根据积的乘方，可得计算结果．
【解答】解：（﹣3）2013•（﹣ ）2011
＝（﹣3）2•（﹣3）2011•（﹣ ）2011
＝（﹣3）2•[﹣3×（﹣ ）]2011
＝（﹣3）2
＝9，
故答案为：9．
【点评】本体考查了幂的乘方与积的乘方，先根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算．
13．（4分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2 （ a ﹣ 1 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】11：计算题．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
14．（4分）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 3 ．
【考点】W1：算术平均数；W5：众数．
【专题】11：计算题．
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【解答】解：利用平均数的计算公式，得（2+3+x+5+7）＝4×5，
解得x＝3，
第13页（共25页）则这组数据的众数即出现最多的数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．
15．（4分）不等式组 的最小整数解是 x ＝﹣ 3 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，画出数轴便可直接得出答案．
【解答】解：由 得，x＞﹣ ，
①
由 得，x＜ ，
②
所以不等式的解集为﹣ ＜x＜ ，
在数轴上表示为：
由图可知，不等式组的最小整数解是x＝﹣3．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得
出x的最小整数解．
16．（4分）如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画
▱
弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 3 ﹣ （结果保留 ）．
π π
【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面
积＝ ABCD的面积﹣扇形ADE的面▱积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
【解答】▱解：过D点作DF⊥AB于点F．
第14页（共25页）∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣ ﹣2×1÷2
＝4﹣ ﹣1
π
＝3﹣ ．
π
故答案为：3﹣ ．
π
【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝
ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．
17．（▱4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，
P为AC上一点，则PF+PE的最小值为 ．
【考点】LE：正方形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于
G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的长．
【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，
第15页（共25页）过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，
GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
18．（4分）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7
个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为 3 n + 1 （用含n的
式子表示）．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】先写出前三个图案中基础图案的个数，并得出后一个图案比前一个图案多3个基础
图案，从而得出第n个图案中基础图案的表达式．
【解答】解：观察可知，第1个图案由4个基础图形组成，4＝3+1
第2个图案由7个基础图形组成，7＝3×2+1，
第3个图案由10个基础图形组成，10＝3×3+1，
…，
第n个图案中基础图形有：3n+1，
故答案为：3n+1．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规
律解决问题．
三、解答题（共8小题，共88分）
第16页（共25页）19．（8分）计算：（﹣ ）﹣2﹣（3.14﹣ ）0+|1﹣ |﹣2sin45°．
π
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用
绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣1+ ﹣1﹣2×
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）先化简，再求值： ÷（x﹣2+ ），其中x＝ ﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝ ﹣1时，原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（10分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很
快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所
购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是
多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是： ，第二批进的数量是：
第17页（共25页），再根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×2可得方程．
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2× ＝ ，
解得 x＝30
经检验，x＝30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
【点评】本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的
图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；
设直线AB解析式为y＝kx+b，将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，
将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）如图所示，对于一次函数解析式，令x＝0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三
角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的
长，即可求出OP的长．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（2，3），
∴m＝6．
第18页（共25页）∴反比例函数的解析式是y＝ ，
∵B点（﹣3，n）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣3，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式是y＝x+1；
（2）对于一次函数y＝x+1，令x＝0求出y＝1，即C（0，1），OC＝1，
根据题意得：S△ABP ＝ PC×2+ PC×3＝5，
解得：PC＝2，
则OP＝OC+CP＝1+2＝3或OP＝CP﹣OC＝2﹣1＝1．
故OP的长是3或1．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解
析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23．（12分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球
C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 20 0 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
第19页（共25页）（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选
两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的
概率．
【解答】解：（1）根据题意得：20÷ ＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
第20页（共25页）乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P＝ ＝ ．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的
关键．
24．（12分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE＝DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是 ，再利用AD是角平分线，结合
AE∥DF，易证∠DAF＝∠FDA，利用等角对等边，可得▱AE＝DF，从而可证 AEDF实菱形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF， ▱
同理∠DAE＝∠FDA，
∵AD＝DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE＝DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF＝∠FDA．
∴AF＝DF．
第21页（共25页）∴平行四边形AEDF为菱形．
【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
25．（12分）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径作 O交AB于点
D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． ⊙
（1）求证：直线EF是 O的切线；
（2）求cos∠E的值．⊙
【考点】KQ：勾股定理；MD：切线的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）求证直线EF是 O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E＝∠CBG，可以⊙把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求
Rt△BCG中，两边的比的问题．
【解答】（1）证明：如图，
方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
第22页（共25页）∴EF是圆O的切线．
方法2：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO，
∵∠A+∠ADF＝90°
∴∠EDB+∠BDO＝∠A+∠ADF＝90°．
即∠EDO＝90°，
∴OD⊥ED
∴EF是圆O的切线．
（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°．
∴CD＝ ＝8．
∵AB•CD＝2S△ABC ＝AC•BG，
∴BG＝ ＝ ＝ ．
∴CG＝ ＝ ．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E＝∠CBG，
∴cos∠E＝cos∠CBG＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和
这点（即为半径），再证垂直即可．
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+ 与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4， ），点D是抛物
线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于
点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的表达式；
第23页（共25页）（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大
值时的点C的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设直线AB为：y＝kx+b．将A、B的坐标代入可得到k，b的方程组，从而可求得k，b于是得
到直线AB的解析式，记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D
（m，﹣ m2+2m+ ）则C（m， m+ ），依据三角形的面积公式可得到S与m的函数关系
式，接下来由抛物线的对称轴方程，可求得m的值，于是可得到点C的坐标．
【解答】解：（1）∵由题意得 解得： ，
∴y＝﹣ x2+2x+ ．
（2）设直线AB为：y＝kx+b．则 ，解得
直线AB的解析式为y＝ + ．
如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．
第24页（共25页）设D（m，﹣ m2+2m+ ）则C（m， m+ ）．
∵CD＝（﹣ m2+2m+ ）﹣（ m+ ）＝ m2+ m+2，
∴S＝ AE•DC+ CD•BF＝ CD（AE+BF）＝ DC＝ m2+ m+5．
∴S＝ m2+ m+5．
∵﹣ ＜0，
∴当m＝ 时，S有最大值．
∴当m＝ 时， m+ ＝ × + ＝ ．
∴点C（ ， ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函
数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、二次函数的性质，用含m的式子表示出CD的
长，从而得到S与m的关系式是解题的关键．
第25页（共25页）
