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第 06 课 特殊平行四边形 解答题（难点 1-动态几何）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图1，一张矩形纸片 ，其中 ， ，先沿对角线 折叠，点 落在点 的位
置， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)如图2，再折叠一次，使点 与 重合，折痕 交 于 ，求 的长．
2．如图，正方形 ，点E，F是对角线 上的两点， ，连接 ， ， 和
关于直线 对称．点G在 上，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)如备用图，延长 交 于点H．连接
①求证：四边形 是菱形；
②求 的值．3．点 为线段 上一点，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 和 ，连接 、
．
(1)如图①， 与 的数量关系和位置关系分别为______，______
(2)将正方形 绕着点 顺时针旋转 角
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由
②若 ， ．当正方形 绕着点 顺时针旋转到点 、 、 三点共线时，求 的长度．
4．如图，在正方形ABCD中， ，E为BD上的动点，连接AE并延长交正方形ABCD的边于点F，
将AF绕点A逆时针旋转90°得到AG，点E的对应点为点H．
(1)连接DH，求证： ；
(2)当 时，求BF的长；
(3)连接BH，请直接写出 的最小值．
5．菱形ABCD的对角线交于点O．(1)如图1，过菱形ABCD的顶点A作 于点E，交OB于点H，若 ，四边形AECD的面
积为 ，求菱形ABCD的边长；
(2)如图2，菱形ABCD中，过顶点A作 于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H．若
，求证： ；
(3)如图3，菱形ABCD中， ，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时
针旋转 到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．
6．【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋
转90°，得到 ．延长AE交 于点F，连接DE．
(1)【猜想证明】试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图2，若DA＝DE，猜想线段CF与 的数量关系并加以证明；
(3)【解决问题】如图1，若AB＝13，CF＝7，请直接写出DE的长度．
7．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的
右侧作正方形ADEF．解答下列问题(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量
关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点
C、F重合除外）？并说明理由．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，作△EDF≌△ADB．
(1)如图1，当点E落在BC边上时，求BE的长．
(2)如图2，当点E落在线段BF上时，DE与BC交于点G，求BG的长．
(3)记K为BD的中点，S为△KEF的面积，求S的取值范围．
9．综合与实践
几位同学尝试用矩形纸条ABCD（如图1）折出常见的中心对称图形．(1)如图2，小明将矩形纸条先对折，使AB和DC重合，展开后得折痕EF，再折出四边形ABEF和CDEF
的对角线，它们的对角线分别相交于点G，H，最后将纸片展平，则四边形EGFH的形状一定是_______．
(2)如图3，小华将矩形纸片沿EF翻折，使点C，D分别落在矩形外部的点 ， 处，F 与AD交于点
G，延长 E交BC于点H，求证：四边形EGFH是菱形．
(3)如图4，小美将矩形纸条两端向中间翻折，使得点A，C落在矩形内部的点A′， 处，点B，D落在矩形
外部的点 ， 处，折痕分别为EF，GH，且点H， ， ，F在同一条直线上，直接写出四边形EFGH
的形状________．
10．在 中， 为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方
形ADEF．解答下列问题：
(1)如果 ，
①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CF、BD之间的位置关系为 ；数量关系
为 ；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如图3，如果 ，点D在线段BC上运动（与点B不重合）．试探究：当
时，（1）中的CF，BD之间的位置关系是否仍然成立，并说明理由．
11．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上(点P不与点F重
合).将线段EP绕点E顺时针旋转90得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点
Q．
(1)如图①，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，则线段BP，QC，EC的数量关系为_______；
(2)如图②，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写
出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)若正方形ABCD的边长为6，AB=3DE，CQ=1，请直接写出线段BP的长．
12．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点P在线段BD上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________；CE与AD的位置关系
是________；
（2）当点P在线段BD的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请
说明理由、（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若AB＝2，BE＝ ，求四边形ADPE的面积．
13．在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F．
(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证 ；
(2)若 ，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若 ， ．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时
停止，则点F运动的路程是______．
14．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将 ABE沿AE折叠后得到 AFE，点F在矩形ABCD内
部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． △ △
(1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；
(2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
(3)如图3，点E在运动过程中，当 CFE的周长最小时，直接写出BE的长．
15．如图1，已知正方形BEFG，点△C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作
AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；
(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD
和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；
(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、
AH的长度关系．
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，将∠EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线
BC交于点F，连接EF．
（1）如图①，当BF＝DE时，求证： ABF≌△ADE；
（2）若∠EAF旋转到如图②的位置时△，求证：∠AFB＝∠AFE；
（3）若BC＝4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接
写出点P到直线AB的距离．2．如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，
过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．
（1）当AE＝AB时，求α的度数；
（2）求证：∠AEF＝45°；
（3）求证：AE∥FB．
3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，
将 ABP沿直线AP翻折至 AEP的位置，使点B落在点E处．
△ △
(1)若P为BC上一点．
①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕
迹），并直接写出此时CE＝ ；
②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；
(2)如果点P在BC的延长线上，当 PEC为直角三角形时，求PB的长．
4．在菱形 中， △， 是对角线 上的一点，连接 ．（1）当 在 的中垂线上时，把射线 绕点 顺时针旋转 后交 于 ，连接 ．如图①，若
，求 的长．
（2）在（1）的条件下，连接 ，把 绕点 顺时针旋转得到 如图②，连接 ，点 为
的中点，连接 ，求 的最大值．
5．已知四边形ABCD是正方形，AC＝2AO，AD＝2AM，连接BM．
(1)如图1，若点M在AD边上，点O在对角线AC上，点E是BM的中点，连接AE．当AB＝4时，求AE
的长；
(2)如图2，将图1中的△AMO绕点A按顺时针方向旋转，使点O在△ABC的内部，OM与AC相交于点
G．连接CO，取CO的中点N，连接MN并延长至点F，使FN＝MN，连接BF．问：线段BM与BF有怎
样的关系？请写出具体的解题过程．
6．已知：如图①，在矩形 中， ，垂足是E点F是点E关于 的对称点，
连接 ．（1）求 和 的长；
（2）若将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿 方向所经过的线段长
度）当点F分别平移到线段 上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将 绕点B顺时针旋转一个角 ，记旋转中的 为 ，在旋转
过程中，设 所在的直线与边 交于点P与直线 交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使
为等腰三角形？若存在，直接写出此时 的长：若不存在，请说明理由．
7．综合与实践
如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，将△OBC绕点C顺时针旋转，点B对应点为点E，
点O对应点为点F．
(1)当点E落在CD的延长线上时，请解答以下两个问题
①如图1，若AB＝2a，BC＝2，连接OE，则 ______（用含a的代数式表示）；
②如图2，延长BD交EF于点G，试猜想BG与EF的位置关系并加以证明；
(2)如图3，在图1的基础上继续绕点C旋转 OBC，点B对应点为点E，点O对应点为点F，当点E落在
BD的延长线上时，已知∠ACE＝90°，求证：△四边形CDEF是菱形．
8．如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，
BE，BE与AC相交于点H．(1)如图1，在旋转过程中，连接BD，与AC交于点M，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE=
，AB=2，求线段DG的长：
(2)如图2，连接HG，在旋转过程中，BE与DG相交于点O，点K为线段AG中点，连接OK，若
∠DGH=2∠ABE，求证：AC=2 OK；
(3)如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点连接OK，若AE=3，AK=1，在旋转过程中，直接
写出线段OK的最小值．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2022·山东济南·二模）如图，点E为正方形 外一点， ，将 绕A点逆时针方
向旋转 得到 的延长线交 于H点．（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知 ，求 的长．
2．（2021·四川德阳·中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至
△ABE 的位置，此时E、B、E 三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE 的中点，连接MN、NB ．
1 1 1 1 1 1
（1）求证：四边形MEB N是平行四边形；
1
（2）延长EE 交AD于点F，若EB＝EF， ，判断△AEF与△CB E是否全等，并说明理由．
1 1 1 1 1
3．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，四边形 是正方形，点 为对角线 的中点．
（1）问题解决：如图①，连接 ，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，则 与 的数量关系是
_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②， 是将图①中的 绕点 按顺时针方向旋转 得到的三角形，连接
，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ．判断 的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③， 是将图①中的 绕点 按逆时针方向旋转 得到的三角形，连接
，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ．若正方形 的边长为1，求 的面积．
4．（2017·山东德州·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落
在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
5．（2022·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
6．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形 中， ，点P在边 上，且不与点B、C重合，直线 与 的延长线交于点E．
(1)当点P是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线 于点F．
①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；
②连接 ，求 周长的最小值；
③如图2， 交 于点H，点G是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关系，
并说明理由．
