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2020年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符
合要求的的选项选出来．
1. 2020的相反数是（ ）
1 1
A.− B. C.−2020 D.2020
2020 2020
2. 单项式−3ab的系数是（ ）
A.3 B.−3 C.3a D.−3a
3. “扶贫”是新时期党和国家的重点工作之一，为落实习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，某省预计三年内
脱贫1020000人，数字1020000用科学记数法可表示为（ ）
A.1.02×106 B.1.02×105 C.10.2×105 D.102×104
4. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A.调查全国初中学生视力情况
B.了解某班同学“三级跳远”的成绩情况
C.调查某品牌汽车的抗撞击情况
D.调查2019年央视“主持人大赛”节目的收视率
5. 将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A.y＝2x+3 B.y＝2x−3 C.y＝2(x+3) D.y＝2(x−3)
6. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
x3+x3 x6 x2 ⋅x3 x5 (x+3) 2 x2+9 ❑√5−❑√3=❑√2
7. 已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1:2，则菱形的面积为（ ）
A.8❑√3 B.8 C.4❑√3 D.2❑√3
8. 不等式组{ x+1≥2 的解集在数轴上表示为（ ）
3(x−5)<−9
A. B. C. D.
9. 如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A.主视图 B.左视图
C.俯视图 D.主视图和俯视图
思想自由 奋进不懈 1 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长10. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6❑√3，AE＝9，则阴影部分的面积为
（ ）
9 9
A.6π− ❑√3 B.12π−9❑√3 C.3π− ❑√3 D.9❑√3
2 4
11. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A.59 B.65 C.70 D.71
12. 如图，二次函数 ＝ 图象的对称轴为直线 ＝ ，下列结论：
y ax2+bx+c(a≠0) x −1
①abc<0；②3a<−c；③若m为任意实数，则有a−bm≤am2+b； ④若图象经过点(−3,−2)，方程ax2+bx+c+2
＝0的两根为x ，x (|x |<|x |)，则2x −x ＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
1 2 1 2 1 2
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果．
13.分解因式：mn+4n＝________．
14. 如图，有一个含有30∘角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65∘，则∠1的度数是________．
15.《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每
三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x
人，则可列方程组为________．
16.如图，在平面直角坐标系中， ▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线
k
y= (k<0,x<0)与 ▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F(−12,5)，把△BOC沿着BC所在
x
思想自由 奋进不懈 2 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG// y轴，则△BOC的面积是________．
三、解答题：本大题共6小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
2
17. （1）计算：√3−8+( ) −1−❑√3×cos30∘；
3
x−3 3
（2）解方程： +1= ．
x−2 2−x
18.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形
花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变
量x的取值范围．
19. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博
乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情
况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x<80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是________；众数是
________；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；
（3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是________；
思想自由 奋进不懈 3 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长（4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同
时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
20. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90∘，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线
于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≅△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
21.阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90∘，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的
a b a b
定义：sinA= ，sinB= ，可得 = =c＝2R，
c c sinA sinB
a b c
即： = = =2R，（规定sin90∘＝1）．
sinA sinB sinC
探究活动：
a
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： ________
sinA
c
（用>、＝或<连接），并说明理由．
sinC
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60∘，∠B＝45∘，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15∘，又沿古塔的方
向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45∘，求古塔CD的高度（结果
❑√6−❑√2
保留小数点后一位）．(❑√3≈1.732,sin15∘= )
4
22. 如图，函数y＝−x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)两点，m，n分别是方程x2−2x−3＝0的两个实数
根，且m<n．
(Ⅰ)求m，n的值以及函数的解析式；
(Ⅱ)设抛物线y＝−x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：
△BCD∽△OBA；
思想自由 奋进不懈 4 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长(Ⅲ)对于(Ⅰ)中所求的函数y＝−x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p−q＝3，求t的值．
思想自由 奋进不懈 5 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长参考答案与试题解析
2020年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符
合要求的的选项选出来．
1.【答案】C
【考点】相反数
【解析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】2020的相反数是：−2020．
2.【答案】B
【考点】单项式
【解析】根据单项式系数的定义即可求解．
【解答】单项式−3ab的系数是−3．
3.【答案】A
【考点】科学记数法--表示较大的数
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n
是负数．
【解答】1020000＝1.02×106．
4.【答案】B
【考点】全面调查与抽样调查
【解析】根据全面调查和抽样调查的适用条件即可求解．
【解答】对于调查方式，适宜于全面调查的常见存在形式有：范围小或准确性要求高的调查，
A．调查全国初中学生视力情况没必要用全面调查，只需抽样调查即可，
B．了解某班同学“三级跳远”的成绩情况，因调查范围小且需要具体到某个人，适宜全面调查，
C．调查某品牌汽车的抗撞击情况，此调查兼破坏性，显然不能适宜全面调查，
D．调查2019年央视“主持人大赛”节目的收视率，因调查受众广范围大，故不适宜全面调查，
5.【答案】A
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【解答】∵ 将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，
∴ 所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．
6.【答案】B
思想自由 奋进不懈 6 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长【考点】二次根式的加减混合运算 同底数幂的乘法 完全平方公式 合并同类项
【解析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法
法则，底数不变，指数相加；完全平方公式： ＝ ；以及二次根式的减法运算法则逐项分析即可．
(a±b) 2 a2±2ab+b2
【解答】 、 ＝ 计算正确，故选项 符合题意（1） 、 ＝ ，故选项 不符合题意（2） 、二
B x2 ⋅x3 x5 B C (x+3) 2 x2+6x+9 C D
次根式❑√5与❑√3不是同类二次根式故不能合并，故选项D不符合题意．
故选：B ．
7.【答案】D
【考点】菱形的性质
【解析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．
【解答】如图，∵ 两邻角度数之比为1:2，两邻角和为180∘，
∴ ∠ABC＝60∘，∠BAD＝120∘，
∵ 菱形的周长为8，
∴ 边长AB＝2，
∴ 菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60∘＝2❑√3，
1 1
∴ 菱形的面积= AC⋅BD= ×2×2❑√3=2❑√3．
2 2
8.【答案】D
【考点】解一元一次不等式组 在数轴上表示不等式的解集
【解析】首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴
上表示即可．
【解答】不等式组{ x+1≥2 ，
3(x−5)<−9
由①得：x≥1，
由②得：x<2，
∴ 不等式组的解集为1≤x<2．
数轴上表示如图：
，
9.【答案】B
【考点】简单组合体的三视图 轴对称图形
【解析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
思想自由 奋进不懈 7 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长【解答】由如图所示的几何体可知：该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是 ，其
中左视图是轴对称图形．
10.【答案】A
【考点】扇形面积的计算 垂径定理 勾股定理
1
【解析】根据垂径定理得出CE＝DE= CD=3❑√3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD＝
2
60∘，进而结合扇形面积求出答案．
【解答】 ∵ AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，
1
∴ CE＝DE= CD=3❑√3．
2
设⊙O的半径为r，
在直角 中， ＝ ，即 ，
△OED OD2 OE2+DE2 r2=(9−r) 2+(3❑√3) 2
解得，r＝6，
∴ OE＝3，
OE 3 1
∴ cos∠BOD= = = ，
OD 6 2
∴ ∠EOD＝60∘，
1 1 9
∴ S = π×36=6π，S = ×3×3❑√3= ❑√3，
BOD 6 Rt△OED 2 2
9
∴ S=6π− ❑√3，
2
11.【答案】C
【考点】规律型：图形的变化类 规律型：点的坐标 规律型：数字的变化类
【解析】观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+2+3个；第3个图形共有三角形
5+2+3+4个；第4个图形共有三角形5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有三角形5+2+3+4+...+n+(n+1)个；
由此代入n＝10求得答案即可．
【解答】根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数
5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴ 当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝
1
4+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)=4+ ×11×(11+1)=70．
2
12.【答案】C
【考点】二次函数图象上点的坐标特征 抛物线与x轴的交点 根与系数的关系 二次函数图象与系数的关系
【解析】由图象可知a<0，c>0，由对称轴得b＝2a<0，则abc>0，故①错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝
3a+c<0，得②正确；由x＝−1时，y有最大值，得a−b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y＝
ax2+bx+c与直线y＝−2的一个交点为(−3,−2)，另一个交点为(1,−2)，即x ＝1，x ＝−3，进而得出④正确，即
1 2
可得出结论．
思想自由 奋进不懈 8 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长b
【解答】由图象可知：a<0，c>0，− =−1，
2a
∴ b＝2a<0，
∴ abc>0，故①abc<0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c<0，
∴ 3a<−c，故②3a<−c正确；
∵ x＝−1时，y有最大值，
∴ a−b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a−b≥am2+bm，即a−bm≥am2+b，故③错误；
∵ 二次函数 ＝ 图象经过点 ，方程 ＝ 的两根为 ， ，
y ax2+bx+c(a≠0) (−3,−2) ax2+bx+c+2 0 x x (|x |<|x |)
1 2 1 2
∴ 二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝−2的一个交点为(−3,−2)，
∵ 抛物线的对称轴为直线x＝−1，
∴ 二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝−2的另一个交点为(1,−2)，
即x ＝1，x ＝−3，
1 2
∴ 2x −x ＝2−(−3)＝5，故④正确．
1 2
所以正确的是②④；
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果．
13.【答案】n(m+4)
【考点】因式分解-提公因式法
【解析】直接提取公因式n分解因式即可求解．
【解答】mn+4n＝n(m+4)．
14.【答案】25∘
【考点】平行线的性质
【解析】延长EF交BC于点G，根据平行线的性质可得∠2＝∠3＝65∘，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】如图，延长EF交BC于点G，
∵ 直尺，
∴ AD//BC，
∴ ∠2＝∠3＝65∘，
又∵ 30∘角的直角三角板，
∴ ∠1＝90∘−65∘＝25∘．
15.【答案】{3(x−2)= y
2x+9= y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
思想自由 奋进不懈 9 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长【解析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关
于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】依题意，得：{3(x−2)= y．
2x+9= y
50
16.【答案】
3
【考点】反比例函数系数k的几何意义 坐标与图形变化-对称 反比例函数的性质
平行四边形的性质 反比例函数图象上点的坐标特征
60
【解析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y=− ，由平行四边形的性质可得OB＝10，BE＝6，由勾股
x
定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解．
k
【解答】∵ 双曲线y= (k<0,x<0)经过点F(−12,5)，
x
∴ k＝−60，
60
∴ 双曲线解析式为y=− ．
x
∵ ▱ABCD的顶点A的纵坐标为10，
60
∴ BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y=− 上，
x
∴ 点E的横坐标为−6，即BE＝6．
∵ △BOC和△BGC关于BC对称，
∴ BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵ EG// y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，
∴ ．
EG=❑√102−62=8
延长EG交x轴于点H，
∵ EG// y轴，
∴ ∠GHC是直角，
在Rt△GHC中，设GC＝m，则有CH＝OH−OC＝BE−GC＝6−m，GH＝EH−EG＝10−8＝2，
则有 ＝ ，
m2 22+(6−m) 2
10
∴ m= ，
3
10
∴ GC= =OC，
3
1 10 50
∴ S = × ×10= ，
△BOC 2 3 3
思想自由 奋进不懈 1 0 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长三、解答题：本大题共6小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
3 ❑√3 3 3
17.【答案】 原式=−2+ −❑√3× =−2+ − =−2．
2 2 2 2
x−3 3
+1= ，
x−2 2−x
两边同乘以(x−2)得，x−3+(x−2)＝−3，
解得，x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的解．
【考点】特殊角的三角函数值 实数的运算 负整数指数幂 解分式方程
【解析】（1）原式利用立方根的定义，负整数指数幂的意义以及特殊角的三角形函数进行计算即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
3 ❑√3 3 3
【解答】原式=−2+ −❑√3× =−2+ − =−2．
2 2 2 2
x−3 3
+1= ，
x−2 2−x
两边同乘以(x−2)得，x−3+(x−2)＝−3，
解得，x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的解．
18.【答案】证明：∵ 矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ ME＝BE，AM＝GH．
∵ 四块矩形花圃的面积相等，即S ＝2S ，
矩 形AMDND矩 形MEFN
∴ AM＝2ME，
∴ AE＝3BE；
∵ 篱笆总长为100m，
∴ 2AB+GH+3BC＝100，
1
即2AB+ AB+3BC=100，
2
6
∴ AB=40− BC．
5
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
6 6
则y=BC⋅AB=x(40− x)=− x2+40x，
5 5
6
∵ AB=40− BC，
5
40 2
∴ BE= − x>0，
3 5
100
解得x< ，
3
6 100
∴ y=− x2+40x(0<x< )．
5 3
【考点】二次函数的应用
思想自由 奋进不懈 1 1 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长【解析】（1）矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，则ME＝BE，AM＝GH，而四块矩形花圃的面积相等，即
S ＝2S ，即可证明；
矩 形AMDND矩 形MEFN
6 6
（2）设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则y=BC⋅AB=x(40− x)=− x2+40x，即可求解．
5 5
19.【答案】 75,76
9
观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x<90范围内选取A课程的有9人，所占比为 ，
30
9 1
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x<90范围内，选取A课程的总人数为100× =30（人）；
30 4
因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
2
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是 ．
9
【考点】中位数 用样本估计总体 列表法与树状图法 概率公式 频数（率）分布直方图 众数
【解析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）利用样本估计总体的方法即可估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x<90的总人数；
（3）直接利用概率公式计算；
（4）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】在72，73，74，75，76，76，79这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为75，众数为76；
故答案为：75，76；
9
观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x<90范围内选取A课程的有9人，所占比为 ，
30
9
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x<90范围内，选取A课程的总人数为100× =30（人）；
30
1
因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程D的概率为 ；
4
1
故答案为： ；
4
因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
2
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是 ．
9
思想自由 奋进不懈 1 2 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长20.【答案】证明：∵ Rt△ABC中，∠C＝90∘，DF⊥CB，
∴ ∠C＝∠DFB＝90∘．
∵ 四边形ABDE是正方形，
∴ BD＝AB，∠DBA＝90∘，
∵ ∠DBF+∠ABC＝90∘，∠CAB+∠ABC＝90∘，
∴ ∠DBF＝∠CAB，
∴ △ABC≅△BDF(AAS)；
∵ △ABC≅△BDF，
∴ DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴ FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵ BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴ AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP ⊥AC，交BE于点N ，垂足为P ，
1 1 1
所以，AN+PN的最小值等于DP ＝FC＝14．
1
【考点】 正方形的性质 全等三角形的性质与判定 轴对称——最短路线问题
【解析】（1）根据正方形的性质得出BD＝AB，∠DBA＝90∘，进而得出∠DBF＝∠CAB，因为∠C＝∠DFB＝
90∘．根据AAS即可证得结论；
（2）根据正方形的性质AN＝DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，作
DP ⊥AC，交BE于点N ，垂足为P ，则AN+PN的最小值等于DP ＝FC＝14．
1 1 1 1
【解答】证明：∵ Rt△ABC中，∠C＝90∘，DF⊥CB，
∴ ∠C＝∠DFB＝90∘．
∵ 四边形ABDE是正方形，
∴ BD＝AB，∠DBA＝90∘，
∵ ∠DBF+∠ABC＝90∘，∠CAB+∠ABC＝90∘，
∴ ∠DBF＝∠CAB，
∴ △ABC≅△BDF(AAS)；
∵ △ABC≅△BDF，
∴ DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴ FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵ BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴ AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP ⊥AC，交BE于点N ，垂足为P ，
1 1 1
思想自由 奋进不懈 1 3 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长所以，AN+PN的最小值等于DP ＝FC＝14．
1
b
21.【答案】 ＝ ＝
sinB
【考点】 圆的综合题
a b c
【解析】探究活动：由锐角三角函数可得 = = =2R，可求解；
sinA sinB sinC
初步应用：将数值代入解析式可求解；
AB BC
综合应用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30∘，利用（1）的结论可得 = ，即可求解．
sin∠ACB sinA
a b c
【解答】探究活动： = = ，
sinA sinB sinC
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴ ∠A＝∠D，∠DBC＝90∘，
a
∴ sinA＝sinD，sinD= ，
2R
a a
= =2R
∴ sinA a ，
2R
b c
同理可证： =2R， =2R，
sinB sinC
a b c
∴ = = =2R；
sinA sinB sinC
22.【答案】在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y ＝4；当x＝3时，y ＝0；
最大值 最小值
①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝−t2+2t+3，最大值p＝
，
−(t+1) 2+2(t+1)+3
令 ＝ ＝ ，即 ＝ ，解得 ＝ ．
p−q −(t+1) 2+2(t+1)+3−(−t2+2t+3) 3 −2t+1 3 t −1
思想自由 奋进不懈 1 4 坚持利他主义时代精神 时刻关注孩子的成长②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时 ＝ ，令 ＝ ＝ ，即 ＝ 解得： ＝ （舍）， ＝ ；
p 4 p−q 4−(−t2+2t+3) 3 t2−2t−2 0 t 1+❑√3 t 1−❑√3
1 2
或者 ＝ ＝ ，即 （不合题意，舍去）；
p−q 4−[−(t+1) 2+2(t+1)+3] 3 t=±❑√3
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝−t2+2t+3，最小值q＝
，
−(t+1) 2+2(t+1)+3
令 ＝ ＝ ，解得 ＝ ．
p−q −t2+2t+3−[−(t+1) 2+2(t+1)+3] 3 t 2
综上，t＝−1或t＝1−❑√3或t＝2．
【考点】二次函数综合题
【解析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
(II)根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定
理的逆定理可得∠DBC＝90∘，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；
(III)(1)确定抛物线的对称轴是x＝1，根据增减性可知：x＝1时，y有最大值，当x＝3时，y有最小值；
（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当t+1＝1时；③当函数y在t≤x≤t+1
内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t＝1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减
性可解答．
【解答】在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y ＝4；当x＝3时，y ＝0；
最大值 最小值
①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝−t2+2t+3，最大值p＝
，
−(t+1) 2+2(t+1)+3
令 ＝ ＝ ，即 ＝ ，解得 ＝ ．
p−q −(t+1) 2+2(t+1)+3−(−t2+2t+3) 3 −2t+1 3 t −1
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时 ＝ ，令 ＝ ＝ ，即 ＝ 解得： ＝ （舍）， ＝ ；
p 4 p−q 4−(−t2+2t+3) 3 t2−2t−2 0 t 1+❑√3 t 1−❑√3
1 2
或者 ＝ ＝ ，即 （不合题意，舍去）；
p−q 4−[−(t+1) 2+2(t+1)+3] 3 t=±❑√3
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝−t2+2t+3，最小值q＝
，
−(t+1) 2+2(t+1)+3
令 ＝ ＝ ，解得 ＝ ．
p−q −t2+2t+3−[−(t+1) 2+2(t+1)+3] 3 t 2
综上，t＝−1或t＝1−❑√3或t＝2．
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