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2020年武汉市初中毕业生学业考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
下列各题中有且只有一个正确答案.
1.实数-2的相反数是 ( )
A.2 B.-2
1 1
C. D.-
2 2
2.式子√x-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥0 B.x≤2
C.x≥-2 D.x≥2
3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球,将每个口袋中的小球分别标号为1,2,3.从这两个口袋中分别摸出一个小球,则下列事件为随机事件的是 ( )
A.两个小球的标号之和等于1
B.两个小球的标号之和等于6
C.两个小球的标号之和大于1
D.两个小球的标号之和大于6
4.现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是 ( )
5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是 ( )
6.某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛,恰好选中甲、乙两位选手的概率是 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 6 8
k
7.若点A(a-1,y),B(a+1,y)在反比例函数y= (k<0)的图象上,且y>y,则a的取值范围是 ( )
1 2 1 2
x
A.a<-1 B.-1<a<1
C.a>1 D.a<-1或a>1
8.一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4 min内只进水不出水,从第4 min到第24 min内既进水又出水,从第24 min开始只出水不进水,容器内水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图
中a的值是 ( )
A.32 B.34 C.36 D.38
9.如图,在半径为3的☉O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是 ( )
AC
⏜5
A. √3B.3√3 C.3√2 D.4√2
2
10.下列图中所有小正方形都是全等的.图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片,图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片.
把“L”形纸片放置在图(2)中,使它恰好盖住其中的4个小正方形,共有如图(3)中的4种不同放置方法.图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片,将“L”形纸片放置在图(4)中,使它恰好盖住其中的4个小正方形,共有n种不同放置方法,
则n的值是 ( )
A.160 B.128 C.80 D.48
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算√(-3)2的结果是 .
12.热爱劳动,劳动最美!某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间(单位:h)分别为:4,3,3,5,5,6.这组数据的中位数是 .
2 m-3n
13.计算 - 的结果是 .
m+n m2-n2
14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是▱ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 .
15.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:
①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x=2,x=-4;
1 2
②若点C(-5,y),D(π,y)在该抛物线上,则y<y;
1 2 1 2
③对于任意实数t,总有at2+tb≤a-b;
④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.
其中正确的结论是 (填写序号).
16.如图,折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边的点M处,EF为折痕,AB=1,AD=2.设AM的长为t,用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 .
三、解答题(共8小题,共72分)
下列各题需写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.(本小题满分8分)
计算:[a3·a5+(3a4)2]÷a2.18.(本小题满分8分)
如图,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,且EM∥FN.求证:AB∥CD.
19.(本小题满分8分)
为改善民生,提高城市活力,某市有序推行“地摊经济”政策.某社区志愿者随机抽取该社区部分居民,按四个类别:A表示“非常支持”,B表示“支持”,C表示“不关心”,D表示“不支持”,调查他们对该政策态度的情况,将结果绘制成如下两幅
不完整的统计图.
根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取了 名居民进行调查统计,扇形统计图中,D类所对应的扇形圆心角的大小是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该社区共有2 000名居民,估计该社区表示“支持”的B类居民有多少人.
20.(本小题满分8分)
在8×5的网格中建立如图所示的平面直角坐标系,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图,并回答问题:
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°,画出对应线段CD;
(2)在线段AB上画点E,使∠BCE=45°(保留画图过程的痕迹);
(3)连接AC,画点E关于直线AC的对称点F,并简要说明画法.21.(本小题满分8分)
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠BAE;
(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.
22.(本小题满分10分)
某公司分别在A,B两城生产同一种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx,当x=10时,y=400;当x=20时,y=1 000.B城生产产品的每件成本为70万元.
(1)求a,b的值;
(2)当A,B两城生产这批产品的总成本的和最少时,求A,B两城各生产多少件;
(3)从A城把该产品运往C,D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C,D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,直接写出A,B两城总费用的和的最小值(用含有m的式子表
示).23.(本小题满分10分)
问题背景 如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.
AD DF
尝试应用 如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F.点D在BC边上, =√3,求 的值.
BD CF
拓展创新 如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2√3,直接写出AD的长.
图(1)
图(2)
图(3)
24.(本小题满分12分)
将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C ,再将抛物线C 向左平移2个单位长度得到抛物线C .
1 1 2
(1)直接写出抛物线C ,C 的解析式;
1 2
(2)如图1,点A在抛物线C (对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;
1
4
(3)如图2,直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C 交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=- x与抛物线C 交于G,H两点,N为线段GH的中点.求证:直线MN经过一个定点.
2 2
k27
2020年武汉市初中毕业生学业考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B C A C B C D A
1.A -2的相反数是-(-2)=2,故选A.
2.D 由x-2≥0解得x≥2,故选D.
3.B ∵两个小球的标号之和可取2,3,4,5,6,∴选项A是不可能事件,选项B是随机事件,选项C是必然事件,选项D是不可能事件.
4.C 只有C能找到对称轴,是轴对称图形.故选C.
5.A 从左边看,得到的图形是A中图形.
1
6.C 从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人,有甲、乙,甲、丙,甲、丁,乙、丙,乙、丁,丙、丁,共6种等可能的情况,则恰好选中甲、乙的概率为 .
6
{a-1<0,
7.B ∵k<0,∴反比例函数的图象在第二、四象限,当x<0时,y>0且y随x增大而增大,当x>0时, y<0且y随x增大而增大,∵y>y,x=a-1<a+1=x,∴点A在第二象限,点B在第四象限,即 解得-1<a<1,故选B.
1 2 1 2 a+1>0,
20
8.C 由题图可知每分钟的进水量为 =5 L,
4
设每分钟的出水量为n L,
15
则(5-n)(16-4)=35-20=15,解得n= ,
4
∴第24 min时,y=35+(24-16)×( 15)=45,45÷15=12,
5-
4 4
∴a=24+12=36.
9.D 连接OD交AC于F点,连接CB,
∵AB为直径,∴AC⊥BC,
∵D为 的中点,
AC
⏜
∴OD⊥AC,∴OD∥BC,
∵O、E分别为AB、BD的中点,
1
∴OF= BC,DF=BC,
2
1
∴OF= OD=1,∴BC=2,
3
在Rt△ACB中,AC= = =4 ,故选D.
√AB2-BC2 √62-22 √2
10.A 把4个小正方形组成的“L”形纸片放到3×2方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有4种放置方法,放到4×2方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有2×4种放置方法,放到5×2方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方
形有3×4种放置方法,放到6×2方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有(6-2)×4种放置方法,而将6×2方格纸片放到6×6方格纸片上,使它恰好盖住其中的12个小正方形有5+5=10种放置方法,故把4个小正方形组成的“L”形纸片放到6×6
方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有(6-2)×4×10=160种放置方法,故选A.
二、填空题
11. 答案 3
解析 = =3.
√(-3)2 √9
12. 答案 4.54+5
解析 按从小到大的顺序排列如下:3,3,4,5,5,6,则中位数是 =4.5.
2
1
13. 答案
m-n
2(m-n)-(m-3n) m+n 1
解析 原式= = = .
m2-n2 m2-n2 m-n
14. 答案 26°
解析 ∵∠D=102°,四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB =180°-∠D=78°,AD=BC,∠DAC=∠ACB,
∵AD=BE,∴BC=BE,∴∠CEB=∠ACB,
∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA,
1 1
∴∠EAB= ∠DAC,∴∠EAB= ∠DAB=26°.
2 3
15. 答案 ①③
解析 ∵点A、B是抛物线与x轴的交点,
∴ax2+bx+c=0的根为x=2,x=-4,故①对;
1 2
2-4
由A、B两点可知抛物线的对称轴方程是x= =-1,
2
则(-5,y)关于抛物线的对称轴的对称点为(3,y),
1 1
∵a<0,∴抛物线开口向下,
∴当x>-1时,y随x增大而减小,
∵π>3,∴y<y,故②错;
2 1
当x=-1时,y取得最大值a-b+c,
∴对于任意实数t,at2+bt+c≤a-b+c,
即at2+bt≤a-b,故③对;
对于a的每一个确定值,若ax2+bx+c=p的根为整数,
等价于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=p交点的横坐标为整数,
而这样的直线有无数条,即p值有无数个,故④错.
1 1
16. 答案 t2- t+1
4 4
解析 如图,设MN与BC的交点为P,AE=x,
由折叠性质可得CF=FN,CD=MN=1,∠EMN=90°,DE=EM=2-x,
再由矩形ABCD可得∠AME=∠MPB,
∵AM=t,∴MB=1-t,
在Rt△AEM中,AE2+AM2=EM2,
4-t2
即x2+t2=(2-x)2,解得x= ,
4
则DE=2-x=4+t2,sin∠AME= x =4-t2,tan∠AME=x=4-t2,
4 2-x 4+t2 t 4t
在Rt△MPB中,MP= MB = MB =(1-t)(4+t2),
sin∠MPB sin∠AME 4-t2
∴NP=1-MP=t3-2t2+4t,
4-t2
∵∠FPN=∠MPB,∠MPB=∠AME,
t2-2t+4
∴FN=NPtan∠AME= ,
4t2-2t+4
∴CF= ,
4
∴四边形CDEF的面积为CF+DE×CD=1(t2-2t+4 4+t2 )=1t2-1t+1.
+
2 2 4 4 4 4
三、解答题
17. 解析 原式=(a8+9a8)÷a2
=10a8÷a2
=10a6.
18. 证明 ∵EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,∴∠BEF=2∠MEF,∠CFE=2∠NFE.∵EM∥FN,∴∠MEF=∠NFE.
∴∠BEF=∠CFE,∴AB∥CD.
19. 解析 (1)60;18°.
(2)补图如图:
36
(3)2 000× =1 200(人).
60
∴该社区表示“支持”的B类居民大约有1 200人.
20. 解析 (1)画图如图:
(2)画图如图:
画法1画法2
(3)画图如图:
画法1
画法2
画法3
画法1:连接点(5,0)与点(0,5)交OA于点F,则点F即为所求(注:y=-x+5上任一格点与点C的连线与OA的交点都是F).
画法2:取点H(1,4),连接HC交OA于点F(注:AH∶OC=AE∶EB=2∶5).
画法3:连接OE交AC于点H,连接BH并延长交OA于点F.
21. 解析 (1)证明:如图1,连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.
∵AE⊥DE,∴∠AED+∠EDO=180°,∴AE∥OD,
∴∠EAD=∠ODA,∴∠EAD=∠OAD,∴AD平分∠EAB.
(2)解法一:如图1,连接BD.
图1
设CD=a,BC=b.
∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠BDC=∠E=90°.
∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.
又∵CD=DE,∴△CDB≌△DEA,∴AD=BC=b.
∵∠CDB=∠CBA=90°,∠C=∠C,
∴△CDB∽△CBA,
∴CB2=CD·CA,即b2=a(a+b).∴(a) 2+a-1=0,∴a=-1+√5或-1-5(舍去负值).
b b b 2 2
a √5-1
∴sin∠BAC=sin∠CBD= = .
b 2
解法二:如图1,设CD=DE=a,AD=b.
∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠CDB=∠CBA=∠E=90°.
∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.
∴△CDB∽△CBA∽△DEA.
∴BC2=CD·CA=a2+ab.
AD AC
由△CBA∽△DEA,得 = ,
ED CB
∴(AD) 2 =(AC) 2,即(b) 2 =a+b.
ED CB a a
b 1+√5 1-√5
解得 = 或 (舍去负值).
a 2 2
a √5-1
∴sin∠BAC=sin∠EAD= = .
b 2
(注:如图2,过点D作DF⊥AB于点F,连接BD,则DF=DE=DC.可以由△ADF∽△ACB,△CDB∽△CBA或△CDB≌△DEA,其中,两个组合列方程求解.)
图2
{ 400=100a+10b, {a=1,
22. 解析 (1)依题意,得 ∴
1 000=400a+20b. b=30.
(2)A,B两城生产这批产品的总成本的和为
x2+30x+70(100-x)=x2-40x+7 000=(x-20)2+6 600.
∴当x=20时,A,B两城生产这批产品的总成本的和最少.
100-x=80.
答:A城生产20件,B城生产80件.
(3)当m>2时,最小值为10m+110;
当m=2时,最小值为130;
当m<2时,最小值为20m+90.
23. 解析 问题背景 证明:∵△ABC∽△ADE,
AB AC AB AD
∴ = ,∠BAC=∠DAE,∴ = ,∠BAD=∠CAE.
AD AE AC AE
∴△ABD∽△ACE.
尝试应用 连接CE,设BD=t,则AD=√3BD=√3t.
依题意,得△ADE∽△ABC.
由(1)得△ACE∽△ABD,
CE AC √3 √3 √3
∴∠ACE=∠B=30°, = = ,∴CE= BD= t,
BD AB 3 3 3
AD
∴ =3.
CE
∵∠ADE=∠ACE=30°,∠AFD=∠EFC,DF AD
∴△ADF∽△ECF,∴ = =3.
CF CE
拓展创新 √5.
AB AC BC
详解:如图,在AD的右侧作∠DAE=∠BAC,AE交BD延长线于E点,连接CE,∵∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠BAD=∠CBD=30°,∴∠ADE=∠ABC,又∵∠DAE=∠BAC,∴△BAC∽△DAE,∴ = = ,
AD AE DE
又∵∠DAE=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE,
BD AB AD 4 2√3
∴ = = = = ,
CE AC AE 2√3 3
设CD=x,在直角三角形BCD中,由于∠CBD=30°,
3
∴BD=√3x,BC=2x,∴CE= x.
2
∴DE=√ (3 x ) 2 -x2 =√5x.
2 2
AB BC
∵ = ,
AD DE
2x
4 4
∴ =√5x = ,∴AD=√5.
AD √5
2
24. 解析 (1)抛物线C :y=(x-2)2-6,抛物线C :y=x2-6.
1 2
(2)如图1,设点A(m,n),
则n=m2-4m-2.
当点A在x轴上方时,
过点A作AP⊥x轴,过点B作BQ⊥AP,垂足分别为P,Q.
∵△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,
∴△ABQ≌△OAP.
∴BQ=AP=n,AQ=OP=m,∴m=n+2.
联立{ m=n+2,
n=m2-4m-2,
{m=5, {m=0,
解得 或 (不合题意,舍去).∴A(5,3).
n=3 n=-2
如图1,当点A在x轴下方时,同理求得A(4,-2).
综上,点A的坐标是(5,3)或(4,-2).图1
图2
(3)证明:由{ y=kx, 消去y,得x2-kx-6=0,∴x +x =k.
E F
y=x2-6
∵M为线段EF的中点,
∴将EM沿EF方向平移与MF重合,
1 k
∴x -x =x -x ,∴x = (x +x )= .
M E F M M E F
2 2
∴点M的坐标是(k k2 ).
,
2 2
同理得点N的坐标是(
-
2
,
8 ).
k k2
{ k2 k
= a+b,
设MN的解析式为y=ax+b,则 2 2
8 2
=- a+b,
k2 k
{
k2-4
解得 a= ,∴MN的解析式为y=k2-4x+2.
k
k
b=2.
∴当x=0,k为任意不等于0的实数时,总有y=2,即直线MN过定点(0,2).
