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河北省冀州中学2025-2026 学年高一上学期第三次月考（12 月）数学
试题
考试时间：120 分钟 试题分数：150 分
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合
后由交集定义即可得.
【详解】
，
又
，故
.
故选：D
2. 若
，则
的化简结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式的运算法则直接化简即可.
【详解】
，
，
.
故选：C.
3. 函数
且
的图象可能是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】分
、
两种情况讨论，结合函数的单调性与
、
的特征，利用排除法判断
即可.
【详解】当
时，
在
上单调递减，
，
，
故A 正确C 错误；
当
时，
在
上单调递增，
，
，故B，
D 均错误.
故选：A
4. 若
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数单调性和中间值比较大小
【详解】
，
，
，故
，
所以
故选：D.
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间
上是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
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【解析】
【分析】根据对钩函数的单调性、幂函数的单调性，结合奇函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：对于函数
来说，当
时，函数值都是
，因此该函数在区间
上不是
增函数，不符合题意；
B：因为函数
在区间
上都是增函数，
所以函数
在区间
上是增函数，
令
，因为
，
所以该函数是奇函数，符合题意；
C：对于函数
来说，当
时，函数值都是，显然不是奇函数，不符合题意；
D：对于函数
来说，定义域为
，显然不关于原点对称，因此该函数不是奇
函数，不符合题意，
故选：B
6. 若直线
与函数
（
，且
）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】分
和
，两种情况讨论，画出函数
的图象，结合图象，得出关于
不等
式，即可求解.
【详解】由题意知，直线
与函数
的图象有两个公共点，
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当
时，
的图象如图（1）所示，可得
，解得
；
当
时，
的图象如图（2）所示，可得
，解得
，
因为
，此时不存在实数
，
综上可得，实数a 的取值范围为
．
故选：C.
7. 定义在
上的奇函数
满足：当
时，
，则不等式
的解集
是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得
，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，故
即
，
故
，
当
时，
为增函数，令
可得
，
结合函数为奇函数，可作出
的图象，
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由
可得
或
，由图象可得
或
，
故
或
，即解集为
.
故选：B
8. 已知函数
，
.若
，
，使得
成立，则实
数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据基本不等式以及函数的单调性，求出
，
.由已知可推得，只需满足
，代入即可得出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设
在
上的最小值为
，
在
上的最小值为
.
因为
，当且仅当
，且
，即
时等号成立，
所以，
.
在
上单调递增，所以
.
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由
，
，使得
成立，
可得
，即
，所以
.
故选：C.
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 设
，
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对数
运算求解.
【详解】对A，
，A 正确；
对B，
，B 正确；
对C，
，C 正确；
对D，
，D 错误；
故选:ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数
的值域为
B. 若
，
，则
，
C. 函数
的图象恒过定点
D. 已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
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【答案】ABD
【解析】
【分析】A：先求出定义域，结合函数单调性直接求出值域；B：修改量词否定结论，即可得到结果；C：
由
得到定点的横坐标，再根据解析式计算出定点的纵坐标，则结果可知；D：根据条件求解出
的范围，则
的定义域可知.
【详解】对于A：
的定义域为
，且
在
上单调递增，
所以
的最小值
，所以值域为
，故A 正确；
对于B：修改量词否定结论可得：
，
，故B 正确；
对于C：令
，解得
，且
，所以
的图象过定点
，故错误；
对于D：因为
的定义域为
，所以
中
，所以
，
所以
的定义域为
，故D 正确；
故选：ABD.
11. 若函数
是定义域为
的偶函数，
是定义域为
的奇函数，且
（其中e 为
常数，
）.函数
在
上的最小值为
，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
是增函数
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇偶性构造方程组求函数解析式，根据指数函数的单调性及
解析式判断单调性，应用
换元法
，将题设函数化为
，利用二次函数的性质
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及区间最小值求参数，进而判断各项的正误.
【详解】对于A，由
，
是偶函数，
是奇函数，
可得
，解得
，
，故A 错误；
对于B，由
在R 上单调递增，
在R 上单调递增，所以
在R 上单
调递增，故B 正确；
对于CD，因为
，
，
令
，当且仅当
时取等号，则
，
令
，
的图象开口向上且对称轴为
，
，
当
时，
在
上单调递增，所以
，得
符合题意；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
，不合题意；
综上，
，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分）.
12. 已知函数
，
，则此函数的值域为__________
【答案】
【解析】
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【分析】令
，由
单调性求解.
【详解】令
，因为
，所以
，
因为函数
在
单调递减，且
时，
；
时，
，
所以函数的值域为
，
故答案为：
.
13. 若幂函数
是偶函数，
________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用幂函数定义得
，再结合条件，利用奇偶函数的定义，即可求解.
【详解】由题知
，解得
或
，
当
时，
，定义域为
，
，
此时
奇函数，不合题意，
当
时，
，定义域为
，又
，
为偶函数，所以
符合题意，
故答案为：.
14. 若“
，
”为假命题，则
的取值范围为______.
【答案】
【解析】
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【分析】先求出原命题为真命题的时候
的范围，再取其补集即可.
【详解】假设若“
，
”为真命题，则
，
令
，不等式即为
，当
时，
，
由对勾函数单调性可知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故其最大值在端点处取得，比较
与
，
可知
，则
，
所以若“
，
”为假命题，则
的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
的定义域为
，集合
.
（1）当
时，求
；
（2）
是
的充分条件，求a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数定义域求得集合
，代入
求得集合
，由集合的交集运算得结果；
（2）由题意可知
，讨论集合
若为空集以及集合
不为空集两种情况，建立不等式组，求得a 的
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取值范围.
【小问1 详解】
由题意可得
有意义，则
且
，
解得
，即
，
当
时，
，故
；
【小问2 详解】
由题意可知
，
则①
时，
，解得
.
②
时，
，解得
，
，
综上，a 的取值范围为
.
16. 求下列各式的值：
（1）已知
，求
的值；
（2）
；
（3）若
，
，用
，
表示
.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）两边平方得
，再两边平方得
，代入求解即可；
（2）利用对数的性质及运算法则求解即可；
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（3）根据
，得
，再根据对数的性质及运算法则求解即可.
【小问1 详解】
因为
，所以两边同时平方得：
，
所以
，两边再平方得：
，
故
，所以
.
【小问2 详解】
原式
；
【小问3 详解】
由题意得，
，即
，
所以
.
17. 已知函数
（
，且
，
）.
（1）若
的图象过点
和
，求
在
上的值域；
（2）若
在区间
上的最大值比最小值大
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
或
.
【解析】
【分析】（1）由
，
，求得
，进而可求解；
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（2）由
和
讨论单调性求得最值，即可求解.
【小问1 详解】
由题可知
，
，
解得
，
，所以
.
因为
，所以
，所以
在
上的值域为
.
【小问2 详解】
当
时，
在区间
上单调递减，
所以
，
，
因此
，解得
或
（舍去）.
当
时，
在区间
上单调递增，
所以
，
，
因此
，解得
或
（舍去）.
所以
或
.
18. 设函数
（1）若
为奇函数，求不等式
的解集；
（2）若
为偶函数，证明：
在
单调递增；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，结合指数函数的单调性进行求解即可；
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（2）根据偶函数的定义，结合单调性的定义和指数函数的单调性进行证明即可.
【小问1 详解】
因为
为奇函数，
所以
，
要想该等式对于
恒成立，只需
，
即
，
，或
，
由
，显然
不成立，
所以不等式
的解集为
；
【小问2 详解】
因为
为偶函数，
所以
，
要想该等式对于
恒成立，只需
，
即
，
设
是
上任意两个实数，且
，则有
，
于是有
，
因为
，
所以
，
，
由
，
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，即
于是
，
所以
在
单调递增.
19. 如图，
是边长为2 的正三角形，记
位于直线
左侧的图形的面积为
.
（1）试求函数
的解析式；
（2）有同学发现，函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数
的图象关于点
成中心对称
图形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在求
的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论.
（2）结合新定义利用奇函数的性质证明即可.
【小问1 详解】
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当
时，
如图，设直线
与
分别交于
、
两点，则
，
又
，所以
，
所以
，
当
时也符合；
（2）当
时，
如图，设直线
与
分别交于
、
两点，则
，
又
，
，
所以
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综上所述
.
【小问2 详解】
由题意只需证明
为奇函数即可，
在
中
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
令
，
所以对任意
，
，
即函数
的图象关于点
成中心对称图形.
20. 已知函数
的定义域为
，对任意
，都有
，且当
时，
.
（1）求证：
是奇函数；
（2）若
，
对任意的
，
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
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【解析】
【分析】（1）令
代入方程得
，令
代入方程得
即可证；
（2）由定义法先证函数
在
单调递增，恒成立等价于
，由单调性及奇偶
性得
，故恒成立等价于
，
恒成立，等价于
恒成
立.
【小问1 详解】
证明：令
得
，
得
，故
是奇函数；
【小问2 详解】
设任意
且
，
，
，且当
时，
，故
，
故函数
在
单调递增，由函数
为奇函数，故函数
在
单调递增.
对任意的
，
恒成立，即
，
由函数单调性得
，故
对任意
恒成立.
设
，
，要使
恒成立，则
，
故
或
，所以实数的取值范围为
.
