专题05特殊四边形中的多结论、几何作图(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本

专题 05 特殊四边形中的多结论、几何作图（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)..........................................................................................................................16
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)......................................................................................................................23
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:20)......................................................................................................................30
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:20)..........................................................................................................................35
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)..................................................................................................................................42
【题型1 平行四边形为背景的多结论】
(cid:15)(cid:54)1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:68) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:77)(cid:76)
(cid:50) (cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:80) = (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷 =45°(cid:68) 𝐴=𝐶6𝐵2𝐷(cid:68) =2(cid:68)𝑂(cid:81)(cid:59)(cid:82)
𝑂 𝐸𝑂⊥𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐶𝐷 𝐹 𝐸𝐹 𝑂𝐹 ∠𝐶𝐵𝐷 1 𝐵𝐷 𝐶𝐸
(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:10)① (cid:23)(cid:83) (cid:84)② (cid:84)③ =1:2(cid:84)④ = (cid:85)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:9)(cid:90)
16
( ) 𝐸𝑂 ∠𝐵𝐸𝐷 𝐷𝐸⊥𝐵𝐸 𝐶𝐹:𝐷𝐹 𝑆△𝐶𝐸𝐹 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:85)①②③ B(cid:85)①②④ C(cid:85)①③④ D(cid:85)②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)B
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:94)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:102)(cid:112)
(cid:113)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:73)(cid:3)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)①(cid:118)(cid:119)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120) = (cid:68)(cid:81) (cid:90)(cid:72)(cid:110) (cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)
(cid:121)(cid:122)(cid:120) (cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:118)(cid:119)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:70)(cid:33)𝑂𝐵(cid:34)(cid:33)𝑂(cid:34)𝐷①(cid:121)𝐸(cid:24)𝑂(cid:105)(cid:126)(cid:84)②𝐵𝐷(cid:118)(cid:119) =45°
(cid:120) △(cid:90)𝐸𝐵(cid:102)𝐷(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:127)(cid:94)(cid:125)(cid:70)(cid:33)(cid:34)②(cid:121)(cid:24)(cid:105)(cid:126)(cid:84)③(cid:77)(cid:76) (cid:50) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:128)(cid:129)(cid:130)∠𝐶𝐵𝐷
△𝐵𝐸𝐷 𝐹 𝐹𝑁⊥𝐶𝐸 𝐸2 3
= =6(cid:68) = = =3 2(cid:68) = = ,(cid:131)(cid:132) (cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:125)(cid:129)(cid:130)
3
𝐷𝐸 𝐵𝐸 3 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝑂𝐸 𝐸𝐹 𝑂𝐹 10 △𝐸𝐹𝑁
= = (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:129)(cid:120) = + = (cid:68) = + =2 10(cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:120)(cid:133)
2 2
2 2 2 2
𝐸𝑁 𝐹𝑁 3 10 𝐶𝐹 𝐹𝑁 𝐶𝑁 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐶𝐸
= = (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:133) =1:3(cid:68)(cid:119)(cid:94)(cid:125)(cid:70)(cid:33)(cid:34)③(cid:121)(cid:24)(cid:105)(cid:126)(cid:68)④(cid:83)(cid:135)(cid:129)(cid:130) =1.5,
2
𝐷=𝐹24(cid:68)𝐶𝐷(cid:121)−(cid:122)𝐶𝐹(cid:125)(cid:70)(cid:33)(cid:34)④(cid:121)(cid:24)(cid:105)(cid:126)𝐶𝐹(cid:68):𝐷(cid:136)𝐹(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:130)(cid:91)(cid:92)(cid:85) 𝑆△𝐶𝐸𝐹 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10)①(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
= (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂𝐵 𝑂𝐷(cid:68)
∵𝐸𝑂(cid:90)⊥(cid:72)𝐵𝐷(cid:110) (cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)
∴𝐸𝑂= (cid:68)𝐵𝐷
∴𝐵𝐸 𝐷(cid:90)𝐸 (cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴△𝐸=𝐵𝐷 (cid:68)
∵𝑂𝐵(cid:23)(cid:83)𝑂𝐷 (cid:68)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴②𝐸𝑂 ∠𝐵=𝐸𝐷 = (cid:68)
∵∠𝐶𝐵=𝐷 45°,=𝐵𝐸45°(cid:68)𝐷𝐸
∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐵𝐷 =90°(cid:68)
∴∠𝐵𝐸𝐷 (cid:68)18(cid:141)0°②−∠(cid:37)𝐵(cid:86)𝐷𝐶(cid:84)−∠𝐶𝐵𝐷
∴③𝐷𝐸(cid:77)⊥(cid:76)𝐵𝐸(cid:50) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:67)(cid:48)(cid:10)
𝐹 𝐹𝑁⊥𝐶𝐸 𝐸
=90°(cid:68) = (cid:68)
∵∠𝐵𝐸𝐷 (cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:45)𝐵𝐸(cid:71)(cid:104)𝐷(cid:71)𝐸(cid:27)(cid:68)
∴(cid:142)△𝐵𝐸𝐷=6 2(cid:68)
∵𝐵𝐷 2 2
(cid:127)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:120)(cid:10) = = = ×6 2=6(cid:68)
2 2
(cid:68) 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐷
∵𝐸𝑂⊥𝐵𝐷 1
= = = =3 2(cid:68)
2
∴𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝑂𝐸 𝐵𝐷1 3 2
(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68) = = = (cid:68)
2 2
∴△𝑂𝐵𝐸=45°(cid:68) 𝐸𝐹 𝑂𝐹 𝑂𝐸
∴∠𝐵𝐸𝑂 (cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴△𝐸𝐹𝑁 2 2 3 2 3
(cid:127)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:120)(cid:10) = = = × = (cid:68)
2 2 2 2
=2(cid:68) 𝐸𝑁 𝐹𝑁 𝐸𝐹
∵𝐶𝐸 3 1
= = = (cid:68)
2 2
∴𝐶𝑁 𝐶𝐸−𝐸𝑁 2−
3 1 10
(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68) = + = + = (cid:68)
2 2 2 2 2
2 2
∴ △𝐶𝐹𝑁 𝐶𝐹 𝐹𝑁 𝐶𝑁
(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68) = + = 6 +2 =2 10(cid:68)
2 2 2 2
∵ △𝐶𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐶𝐸
10 3 10
= =2 10 = (cid:68)
2 2
∴𝐷𝐹 𝐶𝐷−𝐶𝐹 −
103 10
= : =1:3(cid:68)(cid:141)③(cid:143)(cid:144)(cid:84)
2 2
∴𝐶𝐹:𝐷𝐹 3
= = (cid:68)
2
④∵𝐶𝐸 21,𝐹𝑁 1 3 3
= = ×2× = (cid:68)
2 2 2 2
∴𝑆△𝐶𝐸 = 𝐹 =𝐶𝐸6⋅(cid:68)𝐹𝑁
∵𝐷𝐸= 𝐵𝐸 = =4(cid:68)
∴𝐵𝐶 𝐵𝐸=−𝐶𝐸 6−=24×6=24(cid:68)
∴𝑆1 ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶3⋅𝐷𝐸
= (cid:68)
16 2
∴ 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷 1
= (cid:68)(cid:141)④(cid:37)(cid:86)(cid:85)
12
(cid:136)∴(cid:137)𝑆△
(cid:138)
𝐶𝐸
(cid:139)
𝐹
(cid:10)(cid:138)
𝑆
(cid:145)
▱𝐴
(cid:37)
𝐵𝐶
(cid:86)
𝐷
(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:90)①②④(cid:85)
(cid:141)(cid:146)(cid:10)B(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)1-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:25)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:76) (cid:90)(cid:26) (cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:153)
= (cid:68) (cid:74) (cid:75)(cid:76)F(cid:68)P(cid:90) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:81)(cid:59)(cid:82)𝐴𝐵(cid:33)𝐶𝐷(cid:34)(cid:10) (cid:23)(cid:83) 𝐸(cid:84) 𝐶𝐷(cid:23)(cid:83) (cid:84)
𝐵③𝐶 𝐸=𝐶 𝐶(cid:84)𝐹④⊥𝐵𝐸 =𝐴𝐵 (cid:85)(cid:154)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)𝐸𝐵(cid:34)(cid:31)(cid:145) (cid:85)(cid:55)(cid:155)(cid:89)(cid:9)(cid:66) ①𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹 ②𝐶𝐹 ∠𝐷𝐶𝐵
𝐵𝐶 𝐹𝐵 𝑃𝐹 𝑃𝐶(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)①②③④
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:156)(cid:127)(cid:102)(cid:26)(cid:70)(cid:102)(cid:71)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:125)(cid:120)
= (cid:68)(cid:141)(cid:125)(cid:105)(cid:126)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)∠𝐶(cid:127)𝐸(cid:102)𝐵(cid:103)(cid:104)∠𝐹(cid:71)𝐵(cid:27)𝐸 (cid:104)(cid:72)(cid:157)(cid:152)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:105)(cid:126)∠②𝐶𝐸(cid:37)𝐵(cid:86)(cid:84)∠𝐶(cid:127)𝐵𝐸 (cid:23)(cid:83) (cid:158)
∠(cid:125)𝐹(cid:120)𝐵𝐸 ∠𝐶=𝐵𝐸 (cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:141)(cid:125)(cid:105)(cid:126)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)(cid:127)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)𝐶(cid:125)𝐹(cid:105)(cid:126)∠④𝐷𝐶(cid:37)𝐵(cid:86)(cid:85)𝐴𝐵(cid:159)∥(cid:21)𝐶𝐷
(cid:95)(cid:96)∠(cid:97)𝐵(cid:98)𝐶𝐹(cid:99)(cid:23)∠(cid:24)𝐵(cid:25)𝐹𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)𝐵(cid:102)𝐶 (cid:103)𝐵(cid:104)𝐹(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:162)(cid:137)(cid:112)(cid:113)(cid:90)
(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:68) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:68)
∴∠𝐶𝐸=𝐵 (cid:68)∠𝐹𝐵𝐸
∵𝐵𝐶 𝐸=𝐶 (cid:68)
∴∠𝐶𝐸𝐵 =∠𝐶𝐵𝐸(cid:68)
∴∠𝐹(cid:23)𝐵(cid:83)𝐸 ∠𝐶𝐵,𝐸
∴(cid:141)𝐵(cid:33)𝐸(cid:34)①∠(cid:37)𝐶𝐵(cid:86)𝐹(cid:84)
= (cid:68) (cid:68)
∵𝐵𝐶(cid:23)(cid:83)𝐸𝐶 𝐶(cid:68)𝐹⊥𝐵𝐸
(cid:141)∴𝐶(cid:33)𝐹(cid:34)②∠(cid:37)𝐷𝐶(cid:86)𝐵(cid:84)
(cid:23)(cid:83) (cid:68)
∵𝐶𝐹 ∠=𝐷𝐶𝐵 (cid:68)
∴∠𝐷𝐶𝐹 (cid:68)∠𝐵𝐶𝐹
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:68)
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐵𝐹𝐶(cid:68)
∴∠𝐵𝐶=𝐹 (cid:68)∠𝐵𝐹𝐶
(cid:141)∴(cid:33)𝐵𝐶(cid:34)③𝐵𝐹(cid:37)(cid:86)(cid:84)= (cid:68) (cid:68)
∵B𝐵E𝐶(cid:90)F𝐵C𝐹(cid:31)(cid:111)𝐵𝐸(cid:45)⊥(cid:23)𝐶𝐹(cid:83)(cid:72)(cid:68)P(cid:90) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)
∴ = (cid:68) 𝐸𝐵
(cid:141)∴(cid:33)𝑃𝐶(cid:34)④𝑃𝐹(cid:37)(cid:86)(cid:85)
(cid:141)(cid:91)(cid:92)(cid:28)(cid:10)①②③④
(cid:15)(cid:147)(cid:148)1-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:163)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:164)(cid:165)(cid:79)(cid:166)·(cid:167)(cid:110)(cid:161)(cid:168)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:76) (cid:90)(cid:26) (cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)
(cid:153) = (cid:68) (cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:90) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)𝐴𝐵(cid:10)𝐶①𝐷 (cid:23)(cid:83) (cid:84)②𝐸 (cid:23)𝐶(cid:83)𝐷 (cid:84)
③𝐵𝐶 =𝐸𝐶 (cid:84)𝐶④𝐹⊥𝐵𝐸= 𝐴𝐵(cid:85)(cid:154)(cid:65)𝐹(cid:37)(cid:86)𝑃 (cid:33)𝐸(cid:34)𝐵(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:90) (cid:85)(cid:55)(cid:169)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)𝐵(cid:31)𝐸(cid:89)(cid:9)(cid:170)∠𝐶(cid:155)𝐵(cid:137)𝐹 (cid:66) 𝐶𝐹 ∠𝐷𝐶𝐵
𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝑃𝐹 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)①②④
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:70)(cid:75)①(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:171)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:134)(cid:120)(cid:91)(cid:92)(cid:84)
(cid:70)(cid:75)②(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:111)(cid:45)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:173)(cid:71)(cid:158)(cid:102)(cid:75)180°(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:133)(cid:91)(cid:92)(cid:84)
(cid:70)(cid:75)③(cid:68)(cid:174)(cid:77)(cid:175)(cid:176)(cid:54)(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)(cid:33)(cid:34)(cid:143)(cid:144)(cid:84)
(cid:70)(cid:75)④(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:104)(cid:72)(cid:157)(cid:152)(cid:100)(cid:101)(cid:171)(cid:72)(cid:110)(cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:34)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:68) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐶𝐷∥𝐴𝐵= (cid:68)
∴∠𝐶𝐸=𝐵 (cid:68)∠𝐹𝐵𝐸
∵𝐵𝐶 𝐸=𝐶 (cid:68)
∴∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐶𝐵𝐸(cid:68)
(cid:134)∴∠𝐶𝐵(cid:23)𝐸(cid:83) ∠𝐹𝐵𝐸(cid:68)
(cid:138)𝐵(cid:162)𝐸①(cid:37)∠(cid:86)𝐶(cid:84)𝐵𝐹
(cid:177) (cid:51) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)G(cid:68)(cid:67)(cid:48)(cid:68)
𝐵𝐸 𝐶𝐹(cid:68)
∵𝐶𝐹⊥𝐵=𝐸 =90°(cid:68)
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐵𝐺𝐶(cid:68)
∴∠𝐵𝐹𝐶 (cid:68)∠𝐵𝐶𝐹
∵𝐶𝐷∥𝐴𝐵= (cid:68)
∴∠𝐵𝐹𝐶=∠𝐷𝐶𝐹(cid:68)
(cid:134)∴∠𝐵(cid:23)𝐶𝐹(cid:83) ∠𝐷𝐶𝐹(cid:68)
(cid:138)𝐶(cid:162)𝐹②(cid:37)∠(cid:86)𝐷(cid:84)𝐶𝐵
1
(cid:178) =140°(cid:68)(cid:81) = = = =70°(cid:68)
2
∠𝐴𝐵𝐶 (cid:68) ∠𝐹𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐶𝐸𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐶𝐵𝐸≠(cid:68)∠𝐵𝐶𝐸
∴𝐵𝐸≠𝐵=𝐶 (cid:68)
∵∠𝐵𝐹=𝐶 (cid:68)∠𝐵𝐶𝐹
∴𝐵𝐹 𝐵𝐶(cid:68)
(cid:138)∴(cid:162)𝐵𝐹③≠(cid:143)𝐵𝐸(cid:144)(cid:84)
= (cid:68) (cid:68)
∵𝐵𝐹= 𝐵𝐶(cid:68)𝐶𝐹⊥𝐵𝐸
∴𝐹𝐺= 𝐶𝐺(cid:68)
(cid:138)∴(cid:162)𝑃𝐹④(cid:37)𝑃𝐶(cid:86)(cid:84)
(cid:138)(cid:162)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:28)①②④(cid:85)
(cid:141)(cid:91)(cid:92)(cid:28)(cid:10)①②④(cid:85)
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)
(cid:106)(cid:180)(cid:68)(cid:175)(cid:176)(cid:54)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:171)(cid:38)(cid:181)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:73)(cid:3)(cid:100)(cid:101)(cid:171)(cid:38)(cid:181)(cid:90)(cid:116)(cid:91)(cid:159)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)1-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:182)(cid:183)(cid:183)(cid:184)·(cid:64)(cid:185)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69) (cid:65)(cid:68) (cid:172) (cid:83)(cid:135)(cid:28)(cid:26) (cid:172) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68) (cid:90)
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐷(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:68) (cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:85)(cid:145)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10)① = (cid:84)②(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)𝐴③𝐺(cid:25)∥𝐷(cid:26)𝐵(cid:27) 𝐶𝐵(cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:84)④ 𝐺 𝐺:𝐹 𝐴𝐷=⊥3𝐵:𝐷1(cid:85)(cid:154)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)𝐷(cid:88)𝐸 (cid:90)𝐵( 𝐹 ) 𝐷𝐸𝐵𝐹
四边形
𝐴𝐷𝐵𝐺 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐵𝐹𝐺
A(cid:85)1(cid:87) B(cid:85)2(cid:87) C(cid:85)3(cid:87) D(cid:85)4(cid:87)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)C
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:94)(cid:21)(cid:188)(cid:76)(cid:97)(cid:98)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)
(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:189)(cid:26)(cid:137)(cid:31)(cid:65)(cid:72)(cid:102)(cid:75)(cid:189)(cid:26)(cid:31)(cid:152)(cid:190)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:68)(cid:191)(cid:192)(cid:130) (cid:68)(cid:153) = (cid:68) = (cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120) (cid:68) (cid:68) =𝐵𝐸∥(cid:68)𝐷𝐹(cid:122) (cid:172)𝐵𝐸(cid:83)(cid:135)𝐷(cid:28)𝐹(cid:26)𝐷𝐸(cid:172) 𝐵𝐸(cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:81)
𝐷𝐺(cid:68) = (cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 𝐶𝐵∥(cid:90)𝐴(cid:23)𝐷(cid:24)𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)∥(cid:27)𝐶𝐷(cid:68)(cid:138)𝐴𝐵(cid:162) 𝐶𝐷= (cid:68)𝐸(cid:125)𝐹(cid:105)(cid:126)①(cid:37)(cid:86)𝐴𝐵(cid:84)(cid:127)𝐶𝐷 (cid:68)(cid:120)
𝐵𝐸∥𝐷𝐹 𝐵𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐸𝐵𝐹 1 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐷⊥𝐵𝐷
= =90°(cid:68)(cid:81) = = (cid:68)(cid:138)(cid:162)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:125)(cid:105)(cid:126)②(cid:37)(cid:86)(cid:84)(cid:127) (cid:68)(cid:74)
2
∠(cid:31)𝐶(cid:78)𝐵𝐷(cid:79)(cid:72)∠(cid:75)𝐴(cid:76)𝐷𝐵(cid:68)(cid:120) 𝐷𝐸(cid:68)(cid:81)𝐵(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:27)𝐴𝐵 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝐷(cid:27)𝐸𝐵(cid:68)𝐹(cid:122) =90°(cid:68)(cid:138)(cid:162)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴𝐺∥𝐷(cid:90)𝐵(cid:35)(cid:27)(cid:68)𝐶𝐵(cid:125)
(cid:105)(cid:126)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)𝐺(cid:177) 𝐵=𝐺∥𝐴𝐷= = (cid:68)𝐴𝐷𝐵=𝐺 (cid:68)(cid:81)
四边形
=∠𝐴𝐷(cid:68)𝐸 (cid:129)(cid:120) = (cid:68)(cid:81)𝐴𝐷𝐵𝐺 = =
1 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵1𝐺 𝑚 𝐵𝐷 𝑛 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑚𝑛 𝑆△𝐶𝐷𝐺 𝑚𝑛 𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝑆△𝐷𝐹𝐺
(cid:68)(cid:138)(cid:162) = = (cid:68)(cid:81) (cid:10) =4(cid:10)1 3(cid:10)1(cid:68)(cid:125)(cid:105)(cid:126)④(cid:143)(cid:144)(cid:68)(cid:75)(cid:90)(cid:120)(cid:133)(cid:193)(cid:21)
2 4 (cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:31)𝑚(cid:91)𝑛(cid:92)(cid:85) 𝑆△𝐵𝐹𝐺 𝑆△𝐵𝐹𝐶 𝑚𝑛 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐵𝐹𝐺 ≠
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10)(cid:186)(cid:187) (cid:68)
𝐷𝐺
(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∵ 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷 (cid:68) = (cid:68)
∴𝐶𝐵(cid:172)∥𝐴(cid:83)𝐷(cid:135)(cid:28)𝐴𝐵(cid:26)∥𝐶𝐷(cid:172) 𝐴𝐵(cid:31)(cid:65)𝐶(cid:76)𝐷(cid:68)
∵𝐸 𝐹 𝐴𝐵1 𝐶𝐷 1
(cid:68) = (cid:68) = (cid:68)
2 2
∴𝐵𝐸∥=𝐷𝐹 (cid:68)𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐶𝐷
∴𝐵(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:27)𝐷𝐹 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∴ 𝐷𝐸𝐵𝐹= (cid:68)
(cid:141)∴①𝐷𝐸(cid:37)(cid:86)𝐵𝐹(cid:84)
(cid:68)
∵𝐴𝐷⊥𝐵=𝐷 =90°(cid:68)
∴∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐴𝐷1𝐵
= = (cid:68)
2
∴𝐷(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:27)𝐵𝐸 (cid:90)𝐴𝐵(cid:36)(cid:27)(cid:68)
(cid:141)∴②(cid:37)(cid:86)𝐷(cid:84)𝐸𝐵𝐹
(cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)
∵𝐴𝐺∥𝐷𝐵(cid:68) 𝐶𝐵 𝐺
∴𝐵(cid:25)𝐺(cid:26)∥(cid:27)𝐴𝐷 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∴ =𝐴𝐷9𝐵0𝐺°(cid:68)
∵∠(cid:25)𝐴(cid:26)𝐷𝐸(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:68)
(cid:141)∴③(cid:37)(cid:86)𝐴(cid:84)𝐷𝐵𝐺
(cid:177) = = = (cid:68) = (cid:68)(cid:81) = = (cid:68)
四边形
𝐵𝐶 𝐴𝐷(cid:68) 𝐵𝐺= 𝑚 =𝐵𝐷 (cid:68)𝑛 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷 𝑚𝑛
∵𝐵𝐷⊥𝐶𝐺 1𝐶𝐺 2𝐵𝐶 1 2𝑚
= = × = (cid:68)
2 2
∴ 𝑆△𝐶𝐷𝐺 𝐶𝐺⋅𝐵𝐷 2𝑚𝑛 𝑚𝑛
1 1
= = (cid:68) = = (cid:68)
2 2
∵𝐶𝐹 𝐷𝐹 𝐶𝐷 1𝐵𝐺 𝐵𝐶 1 𝐶𝐺
= = = (cid:68)
2 2
∴𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝑆△𝐷𝐹𝐺 1𝑆△𝐶𝐷𝐺 1𝑚𝑛1 1
= = = × = (cid:68)
2 2 2 4
∴𝑆△𝐵𝐹𝐺 𝑆1△𝐵𝐹𝐶 𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝑚𝑛 𝑚𝑛
= (cid:68)
4 四边形
∴𝑆△𝐵𝐹𝐺 : 𝑆 𝐴 = 𝐵𝐶 4 𝐷 :1 3:1(cid:68)
四边形
∴(cid:141)𝑆④(cid:143)𝐴(cid:144)𝐵𝐶(cid:68)𝐷 𝑆△𝐵𝐹𝐺 ≠
(cid:141)(cid:146)(cid:10)C(cid:85)
【题型2 矩形为背景的多结论】
(cid:15)(cid:54)2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:194)(cid:183)(cid:195)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:28) (cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:77)(cid:76) (cid:31)(cid:45)(cid:72)(cid:83)(cid:135)(cid:51) (cid:68)
(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:85)(cid:80)𝐴𝐵𝐶𝐷 =6𝑂0 (cid:68)𝐴𝐶 = (cid:68)(cid:81)𝑂(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∘
① =𝐸 𝐹(cid:84)②(cid:25)𝐵(cid:26)𝐹(cid:27) 𝐴𝐶(cid:90)(cid:36)𝑀(cid:27)(cid:84)③ 𝐷𝐸(cid:111)(cid:45)𝐵(cid:23)𝑂(cid:83)(cid:72)∠(cid:110)𝐵𝑂𝐶(cid:84)④ =𝐹𝑂 𝐹(cid:85)𝐶(cid:154)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐹𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝑂𝐶 𝐵𝐸 3𝐴𝐸A(cid:85)1 B(cid:85)2 C(cid:85)3 D(cid:85)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)C
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:131) (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:133)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)(cid:127)(cid:137)(cid:197)(cid:31)(cid:196)(cid:102)(cid:31)
(cid:100)(cid:101)(cid:158)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:112)(cid:25)(cid:26)(cid:27)△𝐴𝑂(cid:90)𝐸≌(cid:23)△(cid:24)𝐶(cid:25)𝑂𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:133)(cid:152)(cid:198)(cid:199)(cid:26)(cid:73)(cid:102)(cid:134)(cid:125)(cid:112)②(cid:37)
(cid:86)(cid:84)(cid:128)(cid:131)(cid:132) (cid:68)𝐵(cid:118)𝐹(cid:119)𝐷𝐸(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:112) = (cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:133)③
(cid:37)(cid:86)(cid:84)(cid:118)(cid:119)(cid:35)△(cid:27)𝐹𝑂(cid:31)𝐵(cid:100)≌(cid:101)△(cid:158)𝐹𝐶(cid:102)𝐵(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:125)(cid:112) (cid:90)𝐵(cid:102)𝑂(cid:26)(cid:104)𝐵(cid:71)𝐶(cid:27)(cid:68)(cid:138)(cid:162)(cid:125)(cid:120) =30°(cid:68)(cid:118)(cid:119)30°(cid:138)
(cid:70)(cid:31)(cid:26)(cid:90)(cid:189)(cid:26)(cid:31)(cid:152)(cid:190)(cid:68)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:125)(cid:120) =△𝐵𝑂𝐶(cid:68)(cid:141)④(cid:143)(cid:144)(cid:84) ∠𝐹𝐵𝐶
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)𝐵(cid:68)𝐹 2𝐹𝐶 (cid:68) 𝐵𝐸 2𝐴𝐸
= (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷∥𝐴𝐵
∴(cid:77)∠𝐹(cid:76)𝐶𝐴(cid:31)(cid:45)∠𝐸(cid:72)𝐴(cid:83)𝐶 (cid:135)(cid:51) (cid:68) (cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:68)
∵ =𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐹
∴𝑂𝐴 𝑂=𝐶 (cid:68) = (cid:68) = (cid:68)
∵∠𝐹𝐶𝐴 ∠𝐸𝐴𝐶 (cid:68)𝑂𝐴 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐹
∴△𝐴=𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹
∴(cid:141)𝐴①𝐸 (cid:146)𝐶(cid:200)𝐹(cid:37)(cid:86)(cid:84)
(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:68) = (cid:68)
=𝐴𝐵𝐶, 𝐷 𝐶𝐷∥𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵
∵𝐴𝐸 𝐹𝐶(cid:68)
∴(cid:142)𝐷𝐹∥𝐸𝐵 (cid:68)
(cid:25)∵(cid:26)𝐶𝐷(cid:27)∥𝐴𝐵 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:69)∴ (cid:35)(cid:27) 𝐵𝐹𝐷𝐸(cid:65)(cid:68) = (cid:68)
(cid:142) 𝐴𝐵=𝐶𝐷60 (cid:68) 𝑂𝐶 𝑂𝐵
∘
∠𝐵𝑂𝐶(cid:90)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:84)
∴△𝐵𝑂𝐶=60°(cid:68)
∴∠𝑂𝐶𝐵=30°(cid:68)
∴∠𝐹𝐶=𝑂 (cid:68)
∵𝐹𝑂 𝐹𝐶= =30°(cid:68)
∴∠𝐹𝑂𝐶=∠90𝐹°𝐶(cid:68)𝑂
(cid:142)∴∠𝐹𝑂𝐶= (cid:68)
𝑂𝐸(cid:111)(cid:45)𝑂(cid:23)𝐹(cid:83)(cid:72)(cid:110) (cid:84)
∴𝐵𝑂= (cid:68) 𝐸𝐹
∴(cid:25)𝐵𝐸(cid:26)(cid:27)𝐵𝐹 (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
(cid:141)∴ ②(cid:146)(cid:200)𝐵𝐹(cid:37)𝐷(cid:86)𝐸(cid:84)
(cid:69)Rt (cid:158)Rt (cid:68)
=△𝐹𝑂(cid:68)𝐵 =△𝐹𝐶(cid:68)𝐵
∵𝐹𝑂t 𝐹𝐶 𝐹𝐵t 𝐹𝐵
∴𝑅 △=𝐹𝑂𝐵(cid:68)≌𝑅 △𝐹𝐶𝐵
∴(cid:142)𝑂𝐵 =𝐶𝐵 (cid:68)
𝑂𝐹(cid:111)(cid:45)𝐹(cid:23)𝐶(cid:83)(cid:72)(cid:110) (cid:84)
(cid:141)∴𝐵③𝐹 (cid:146)(cid:200)(cid:37)(cid:86)(cid:84) 𝑂𝐶
(cid:127)(cid:137)(cid:125)(cid:112) = =30°(cid:68)
(cid:69)Rt ∠𝑂(cid:65)𝐵𝐹(cid:68) ∠𝐶𝐵𝐹
=△𝐹𝐶(cid:68)𝐵
𝐵𝐹 =2𝐹𝐶(cid:68) = (cid:68)
∵𝐴𝐸 =𝐹𝐶 (cid:68)𝐵𝐸 𝐵𝐹
(cid:141)∴𝐵④𝐸 (cid:146)2(cid:200)𝐴(cid:143)𝐸 (cid:144)(cid:84)
(cid:141)(cid:146)(cid:200)(cid:28)(cid:10)C
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:111)(cid:45)
(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:76)(cid:68)(cid:116)(cid:201)(cid:94)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:90)(cid:160)(cid:161)(cid:31)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:87)(cid:112)(cid:113)(cid:76).
(cid:15)(cid:147)(cid:148)2-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:205)(cid:42)(cid:206)·(cid:167)(cid:110)(cid:161)(cid:168)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:68) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) O(cid:68)
=6(cid:68) =60°(cid:68)(cid:76) F (cid:69)(cid:72)(cid:110) (cid:137)(cid:207)(cid:76) A (cid:208)(cid:76) O (cid:202)(cid:209)(cid:68)𝐴𝐵(cid:186)𝐶(cid:187)𝐷 (cid:68)(cid:162) 𝐴 𝐶(cid:28)(cid:26)𝐵(cid:50)𝐷(cid:102)(cid:26) (cid:68)
𝐴(cid:76)𝐵 E (cid:158)(cid:76) ∠A𝐷 𝐴(cid:83)𝐶(cid:135)(cid:210)(cid:75) (cid:211)(cid:212)(cid:68)(cid:59)(cid:82)(cid:33)𝐴(cid:34)𝑂(cid:10)① = (cid:84)② 𝐷=𝐹 (cid:84)𝐷③𝐹 = △𝐷 𝐹(cid:84)𝐸④
(cid:76) E (cid:202)(cid:209)(cid:31)(cid:213)(cid:214)(cid:90)3 3𝐷(cid:84)𝐹(cid:154)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:28)∠(cid:55)𝐵𝐷(cid:215)𝐸(cid:215)(cid:66)∠𝐸𝐹𝐶 𝐸𝐷 𝐸𝐶 ∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹A(cid:85)①④ B(cid:85)①②③ C(cid:85)②③ D(cid:85)①②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)B
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)①(cid:118)(cid:119) =60°(cid:68) = = = (cid:68)(cid:120)(cid:130) (cid:28)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:156)(cid:127) (cid:28)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)
(cid:27)(cid:68)(cid:120) = ∠𝐷𝐴𝐶= =𝑂𝐷60°(cid:68)𝑂𝐴(cid:134)(cid:125)𝑂(cid:120)𝐶(cid:130)(cid:33)𝑂(cid:34)𝐵①(cid:37)(cid:86)△(cid:84)𝑂 𝐴②𝐷(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:216)(cid:203)△SA𝐷S𝐹(cid:131)𝐸(cid:132)
∠𝐸𝐷𝐹 ∠(cid:68)𝐸(cid:156)𝐹(cid:131)𝐷 (cid:132)∠𝐷𝐸𝐹 (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:130)(cid:33)(cid:34)②(cid:37)(cid:86)(cid:84) ③(cid:174)(cid:77)(cid:102)(cid:217)(cid:218)𝑂𝐸(cid:219)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:130)(cid:33)(cid:34)③(cid:37)(cid:86)(cid:84) ④
(cid:67)△(cid:48)𝐷𝐴(cid:68)𝐹(cid:78)≌(cid:79)△𝐷𝑂(cid:208)𝐸 (cid:68)(cid:220) △𝑂=𝐷𝐸≌(cid:68)△(cid:186)𝑂(cid:187)𝐶𝐸 (cid:68)(cid:174)(cid:77) (cid:68) =60°(cid:68)(cid:125)(cid:83)(cid:93)(cid:120)(cid:130)(cid:76)F(cid:69)(cid:72)
′ ′ ′
(cid:110) (cid:137)(cid:207)(cid:76)𝑂A𝐸(cid:208)𝐸(cid:76)O(cid:202)𝑂(cid:209)𝐸(cid:221)(cid:68)𝑂(cid:76)𝐷E(cid:207)(cid:76)𝐷O𝐸(cid:222)(cid:72)(cid:110) △𝐷(cid:202)𝐴(cid:209)𝐹≌(cid:133)△𝐷(cid:68)𝑂(cid:207)𝐸(cid:122)∠(cid:120)𝐷(cid:130)𝑂𝐸(cid:33)(cid:34)④(cid:37)(cid:86)(cid:85)
′ ′
(cid:15)𝐴(cid:140)𝑂(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10)① (cid:35)(cid:27) (cid:68) 𝑂𝐸 𝐸
= = ∵= (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂𝐷 𝑂=𝐴60°𝑂(cid:68)𝐶 𝑂𝐵
∵∠𝐷𝐴𝐶 (cid:28)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴△𝑂𝐴𝐷= = =60°(cid:68) = (cid:68)
∴∠𝐷𝑂𝐴 (cid:28)∠(cid:102)𝐷(cid:26)𝐴𝑂(cid:104)(cid:71)∠(cid:27)𝑂(cid:68)𝐷𝐴 𝐴𝐷 𝑂𝐷
∵△𝐷𝐹𝐸= = =60°(cid:68) = (cid:68)
∴∠𝐸𝐷𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐷𝐸𝐹+ 𝐷=𝐹60°𝐷(cid:68)𝐸
∵∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐹𝐷𝑂(cid:68)∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐹𝐷𝑂
∴∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐹+ =180°(cid:68)
∵∠𝐴𝐷𝐹+∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐷𝐴𝐹 =120°(cid:68)
∴∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐷+ 180°−=∠𝐷1𝐴8𝐹0°(cid:68)
∵∠𝐸𝐹𝐶+∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐷𝐹𝐸 =120°(cid:68)
∴∠𝐸𝐹𝐶 =∠𝐴𝐹𝐷(cid:68)180°−∠𝐷𝐹𝐸
∴∠𝐴𝐷𝐹 =∠𝐸𝐹𝐶(cid:68) (cid:141)(cid:33)(cid:34)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
②∴∠𝐵(cid:67)𝐷(cid:48)𝐸(cid:68)(cid:186)∠𝐸(cid:187)𝐹𝐶 (cid:68)
(cid:69) (cid:158) 𝑂𝐸 (cid:65)(cid:68)
△𝐷𝐴=𝐹 △𝐷𝑂𝐸
= (cid:68)
𝐴𝐷 =𝑂𝐷
∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝑂𝐷𝐸
𝐷𝐹 𝐷𝐸(SAS)(cid:68)
∴△𝐷𝐴𝐹=≌△𝐷𝑂𝐸=60°(cid:68)
∴∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹 =120°(cid:68)
∵∠𝐶𝑂𝐷= 180°−∠𝐴𝑂=𝐷60°(cid:68)
∴∠𝐶𝑂𝐸=120°−(cid:68)60°
(cid:69)∴∠𝐶𝑂𝐸 (cid:158)∠𝐷𝑂𝐸 (cid:65)(cid:68)
△𝑂𝐷=𝐸 △𝑂𝐶𝐸
= (cid:68)
𝑂𝐷= 𝑂𝐶
∠𝐷𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐸
𝑂𝐸 𝑂𝐸 (SAS)(cid:68)
∴△𝑂=𝐷𝐸≌(cid:68)△𝑂𝐶𝐸 = (cid:68) (cid:141)(cid:33)(cid:34)②(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴③𝐸𝐷 𝐸𝐶 =∠𝑂𝐶𝐸 (cid:68)∠𝑂𝐷𝐸
∵∠𝑂𝐷=𝐸 ∠𝐴(cid:68)𝐷𝐹(cid:134) = (cid:68) (cid:141)(cid:33)(cid:34)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴④∠𝐴(cid:67)𝐷(cid:48)𝐹(cid:68)(cid:78)∠𝑂(cid:79)𝐶𝐸 (cid:208) ∠(cid:68)𝐴𝐷(cid:220)𝐹 ∠=𝐸𝐶𝐹 (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)
′ ′ ′
𝑂𝐸 𝐸 𝑂𝐸 𝑂𝐷 𝐷𝐸
(cid:68) =60°(cid:68)
∵(cid:76)△F𝐷𝐴(cid:69)𝐹(cid:72)≌(cid:110)△𝐷𝑂(cid:137)𝐸(cid:207)∠(cid:76)𝐷𝑂A𝐸(cid:208)(cid:76)O(cid:202)(cid:209)(cid:221)(cid:68)(cid:76)E(cid:207)(cid:76)O(cid:222)(cid:72)(cid:110) (cid:202)(cid:209)(cid:133) (cid:68)
′ ′
∴(cid:35)(cid:27) (cid:68)𝐴𝑂 =6(cid:68) =60°(cid:68) 𝑂𝐸 𝐸
∵ 𝐴𝐵=𝐶𝐷30°(cid:68)𝐴𝐵 ∠𝐴𝐷𝐵
∴∠𝐴𝐵=𝐷 (cid:68)
∴𝐵𝐷=22𝐴3𝐷(cid:68)
∴𝐴𝐷 = = =2 3(cid:68)
′
∴(cid:76)𝑂𝐸E(cid:202)𝑂(cid:209)𝐷(cid:31)(cid:213)𝐴(cid:214)𝐷(cid:90)2 3(cid:68) (cid:141)(cid:33)(cid:34)④(cid:143)(cid:144)(cid:85)
∴(cid:141)(cid:146)(cid:10)B(cid:85)
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:27)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)
(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:76)(cid:31)(cid:202)(cid:209)(cid:223)(cid:224)(cid:68)(cid:225)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:226)(cid:88)(cid:31)(cid:227)(cid:203)(cid:102)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:73)(cid:3)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)2-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:228)·(cid:64)(cid:185)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27)(cid:231)(cid:232) (cid:65)(cid:68) =3(cid:68) =9(cid:68)(cid:76)E(cid:68)F(cid:83)
(cid:135)(cid:69)(cid:26) (cid:137)(cid:85)(cid:233)(cid:35)(cid:27)(cid:231)(cid:232)(cid:222)(cid:45)(cid:72) (cid:234)(cid:235)(cid:68)(cid:220)(cid:76)B(cid:236)(cid:69)(cid:26) (cid:137)(cid:68)𝐴𝐵(cid:237)𝐶(cid:28)𝐷(cid:76)M𝐴(cid:68)𝐷(cid:76)C(cid:236)𝐴(cid:69)𝐵(cid:76)N(cid:238)(cid:68)(cid:186)(cid:187)
(cid:74) (cid:75)𝐴(cid:76)𝐵,P𝐶𝐷(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:85)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10)①𝐸𝐹(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)𝐶②𝐷 (cid:76)M(cid:51)(cid:76)D(cid:188)(cid:157)(cid:221)(cid:68) = 10(cid:84)③ 𝑀𝐵
𝐸𝐹 9 𝐵𝐹 𝑀𝐹𝐵𝐸 𝐸𝐹 △𝑀𝑃𝐹
(cid:197)(cid:239)(cid:31)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:90) (cid:84)④ = (cid:65)(cid:68)(cid:138)(cid:145)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
4
𝐵𝑃 𝐵𝐶
A(cid:85)①②③ B(cid:85)①②④ C(cid:85)①③④ D(cid:85)②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)A
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:131)(cid:132) (cid:68) = (cid:68)(cid:125)(cid:105)(cid:126)①(cid:84)(cid:76)M(cid:51)(cid:76)D(cid:188)(cid:157)(cid:221)(cid:68)(cid:177) = (cid:68)(cid:81)
= = △(cid:68)𝑀(cid:69)𝐹𝑃R≌t △𝐵𝐸𝑃(cid:65)(cid:68)𝑀(cid:118)𝐹(cid:119)(cid:107)𝐵𝐸(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:125)(cid:120) =5(cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:162)(cid:171)𝐴(cid:36)𝐸(cid:27)(cid:31)𝑥 (cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) (cid:31)(cid:79)(cid:68)
𝐷(cid:125)𝐸(cid:105)(cid:126)𝐵②𝐸 (cid:84)(cid:118)9−(cid:119)𝑥(cid:21)(cid:243)(cid:125)△(cid:120)𝐴(cid:244)𝐷𝐸 (cid:245)(cid:77)(cid:76) (cid:221)(cid:68) (cid:240)(cid:246)(cid:68)(cid:94)𝐵𝐸(cid:221)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)𝐸(cid:37)𝐹(cid:38)(cid:27)(cid:68)
(cid:125)(cid:105)(cid:126)③(cid:84)(cid:42)(cid:181)(cid:105)(cid:126) 𝐸(cid:158)𝐹 𝐶(cid:196)(cid:102)(cid:68)𝐵𝐸(cid:141)(cid:42)(cid:181)(cid:105)(cid:126) (cid:51) 𝐶(cid:73)𝐵𝐸(cid:102)𝑀(cid:68)(cid:125)(cid:105)(cid:126)④(cid:85) 𝐶𝐵𝐸𝑀
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27)△𝐵𝐶𝐹(cid:90)(cid:35)△(cid:27)𝐵(cid:68)𝑃𝐹 𝐵𝑃 𝐵𝐶
(cid:68) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:68) = (cid:68)
∴(cid:145)∠(cid:234)𝐵𝑀(cid:235)𝐹(cid:31)(cid:100)∠(cid:101)𝐸𝐵(cid:120)𝑀(cid:10) ∠𝐸𝐹=𝑀 ∠𝐹𝐸=𝐵 (cid:68) = (cid:68)
(cid:68)𝑀𝐸 𝐵𝐸,𝑀𝐹 𝐵𝐹,𝐸𝐹⊥𝐵𝑀 𝐵𝑃 𝑀𝑃
∴△𝑀=𝐹𝑃≌(cid:68)△𝐵𝐸𝑃
∴(cid:25)𝑀𝐹(cid:26)(cid:27)𝐵𝐸 (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴(cid:76)M(cid:51)(cid:76)𝑀𝐹D𝐵(cid:188)𝐸(cid:157)(cid:221)(cid:68)(cid:67)(cid:48)(cid:10)
(cid:177) = (cid:68)(cid:81) = = (cid:68)
𝐴𝐸 𝑥 𝐷𝐸 𝐵𝐸 9−𝑥(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68) + = (cid:68)
2 2 2
3 +△𝐴𝐷=𝐸( 𝐴)𝐷(cid:68)(cid:116)𝐴(cid:120)𝐸(cid:10) 𝐷=𝐸4(cid:68)
2 2 2
∴ =𝑥5(cid:68) 9−𝑥 𝑥
∴𝐵𝐸
= + = 3 +9 =3 10(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)
2 2 2 2
∵𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑀𝐹𝐵𝐸
1 3 10
= = , = =90°(cid:68)
2 2
∴𝐵𝑃 𝐵𝐷 𝐸𝐹 2𝐸𝑃,∠𝐵𝑃𝐸
3 10 10
= = 5 = (cid:68)
2 2 2
2 2 2
∴𝐸𝑃 𝐵𝐸1−0𝐵𝑃 −
=2× = 10(cid:68)(cid:141)②(cid:37)(cid:86)(cid:84)
2
∴(cid:67)𝐸(cid:48)𝐹(cid:68)(cid:244) (cid:245)(cid:77)(cid:76) (cid:221)(cid:68) (cid:240)(cid:246)(cid:68)(cid:94)(cid:221)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:68)
𝐸𝐹 𝐶 𝐵𝐸 𝐶𝐵𝐸𝑀 𝐶𝐵𝐸𝑀
1 1 9
(cid:94)(cid:221) = = ×3×3= (cid:68)(cid:141)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
4 正方形 4 4
(cid:69) 𝑆△𝑀𝑃 (cid:158) 𝐹 𝑆 (cid:65) 𝐶 (cid:68) 𝐵𝐸𝑀 = = = (cid:68)
(cid:118)(cid:119)△(cid:21)𝐵𝐶(cid:243)𝐹(cid:247)(cid:248)△(cid:133)𝐵(cid:154)𝑃𝐹(cid:249)(cid:31)(cid:250)∠𝐶(cid:251)(cid:73)∠(cid:102)𝐵(cid:68)𝑃𝐹(cid:81)(cid:42)9(cid:181)0°(cid:105),𝐵(cid:126)𝐹 𝐵𝐹 (cid:158) (cid:196)(cid:102)(cid:68)(cid:141)(cid:42)(cid:181)(cid:105)(cid:126) (cid:51) (cid:73)(cid:102)(cid:68)(cid:138)(cid:162)④(cid:143)
(cid:144)(cid:84) △𝐵𝐶𝐹 △𝐵𝑃𝐹 𝐵𝑃 𝐵𝐶
(cid:141)(cid:146)(cid:10)A
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:234)(cid:235)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)
(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:162)(cid:137)(cid:112)(cid:113)(cid:76)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)2-3(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:76) (cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)
(cid:186)(cid:187) (cid:172) (cid:172) (cid:172) (cid:68)(cid:59)𝐴(cid:82)𝐵𝐶(cid:33)𝐷(cid:34)(cid:10)∠①𝐵𝐴𝐷= (cid:84)②𝐵𝐶 =𝐸135°(cid:84)𝐷𝐶③ (cid:84)④𝐹 (cid:80) 𝐺 =𝐸𝐹 (cid:68)(cid:81)
4 𝐶𝐺=𝐵2𝐺5 𝐵𝐷 (cid:84)𝐷(cid:37)𝐺(cid:86)(cid:31)(cid:90) (cid:55)(cid:252)𝐵(cid:155)𝐶(cid:89)(cid:9)𝐷(cid:66)𝐹(cid:85) ∠𝐷𝐺𝐹 𝐵𝐺⊥𝐷𝐺 3𝐴𝐷 4𝐴𝐵
𝑆△𝐵𝐷𝐺 𝑆△𝐷𝐺𝐹
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)
①③④(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:253)(cid:71)
(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:131)(cid:132) = (cid:68)(cid:120)(cid:133) = (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)①(cid:84)(cid:131)(cid:132) (SAS)(cid:68)(cid:120)(cid:133)
= (cid:68) =∠𝐹(cid:68)(cid:127)∠𝐹(cid:104)𝐴(cid:71)𝐷(cid:27)(cid:253)(cid:71)𝐴(cid:100)𝐷(cid:101)(cid:125)𝐷(cid:120)𝐹 < (cid:68)(cid:134)(cid:120)△𝐷𝐶𝐺≌=△𝐵𝐸𝐺<45°(cid:68)(cid:142)(cid:127)
∠𝐵𝐺𝐸=9∠0𝐷°𝐺(cid:68)𝐶(cid:125)(cid:120)𝐵𝐺 𝐷𝐺<135°(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)②(cid:84)(cid:127)∠𝐵𝐺𝐸 =∠𝐴𝐸𝐵(cid:125)(cid:120) ∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐵𝐺𝐸=90°(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)
∠③𝐶𝐺(cid:84)𝐹(cid:77)(cid:76) (cid:50) ∠𝐷𝐺(cid:75)𝐹 (cid:68)(cid:177) = = (cid:68) =∠𝐵𝐺(cid:68)𝐸 (cid:127)∠𝐷𝐺𝐶 (cid:158) ∠𝐶𝐺𝐴 (cid:90)(cid:102)∠𝐷(cid:103)𝐺𝐵(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:125)(cid:120)
𝐺 𝐺𝐻⊥1𝐶𝐷 𝐻 𝐴𝐷 5 2𝐷𝐹 4𝑥 𝐴𝐵 31𝑥 △𝐺𝐵𝐷 △𝐶𝐹𝐺 1 25
= = = (cid:68) = = (cid:68)(cid:120)(cid:133) = = (cid:68) = = (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)
2 2 2 2 4
2 2
④𝐻𝐺(cid:84)(cid:160)𝐶𝐻(cid:161)(cid:114)𝐹(cid:115)𝐻(cid:35)(cid:27)(cid:31)𝑥 (cid:100)𝐷(cid:101)𝐺(cid:68)(cid:131)𝐺𝐵(cid:132)(cid:104)(cid:71)(cid:27)𝑥 (cid:196)(cid:102)(cid:158)𝑆(cid:102) △𝐷 (cid:103) 𝐺𝐹 (cid:45)(cid:71)𝐷(cid:104)𝐹(cid:71)·𝐻(cid:27)𝐺(cid:90)(cid:116)𝑥(cid:21)(cid:31)𝑆△ (cid:3) 𝐷𝐺 (cid:117) 𝐵 (cid:85) 𝐷𝐺·𝐺𝐵 𝑥
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:68)
= (cid:68) ∵ = (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷 = = = =90°(cid:68) = (cid:68)
∴𝐴𝐵(cid:23)(cid:83)𝐶𝐷 𝐴𝐷(cid:68) 𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷
∵ 𝐴𝐸 ∠=𝐵𝐴𝐷 =45°(cid:68)
∴∠𝐵=𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸=45°(cid:68)
∴∠𝐹=90°−4(cid:68)5°
∴∠𝐹 =∠𝐹𝐴 (cid:68)𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹(cid:68)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴𝐵𝐶 𝐷=𝐹 =45°(cid:68)
∵∠𝐸𝐴=𝐵 ∠=𝐵𝐸𝐴(cid:68)
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐸 𝐶𝐷=45°(cid:68) =90°(cid:68)
∵∠𝐶𝐸𝐹 (cid:90)∠(cid:102)𝐴𝐸(cid:103)𝐵(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)∠𝐸(cid:68)𝐶𝐹
∴(cid:76)△𝐶(cid:28)𝐸𝐹 (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)
∵ 𝐺= 𝐸𝐹(cid:68) =45°(cid:68) (cid:68)
∴𝐶𝐺 𝐸=𝐺 ∠𝐹𝐶𝐺=135°(cid:68) 𝐶𝐺⊥𝐴𝐺
∴(cid:69)∠𝐵𝐸𝐺 (cid:158)∠𝐷𝐶𝐺 (cid:65)(cid:68)
△𝐷𝐶=𝐺 △𝐵𝐸𝐺
= (cid:68)
𝐵𝐸= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐸𝐺 ∠𝐷𝐶𝐺
𝐶𝐺 𝐸𝐺 (SAS)(cid:68)
∴△𝐷𝐶𝐺=≌△𝐵𝐸(cid:68)𝐺 = (cid:68)
∴∠𝐵𝐺𝐸<∠𝐷𝐺𝐶(cid:68)𝐵𝐺 𝐷𝐺
∵∠𝐵𝐺𝐸 =∠𝐴𝐸𝐵<45°(cid:68)
∴∠𝐷𝐺𝐶 ∠𝐵𝐺𝐸=90°(cid:68)
∵∠𝐶𝐺𝐹 <135°(cid:68)(cid:141)②(cid:143)(cid:144)(cid:84)
∴∠𝐷𝐺𝐹= (cid:68)
∵ ∠𝐵𝐺𝐸 +∠𝐷𝐺𝐶 = + (cid:68)
∴∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐷𝐺𝐴=9∠0𝐷°(cid:68)𝐺𝐶 ∠𝐷𝐺𝐴
∴∠𝐶𝐺𝐴 (cid:68)∠𝐷(cid:141)𝐺③𝐵 (cid:37)(cid:86)(cid:84)
(cid:77)∴𝐵(cid:76)𝐺⊥(cid:50)𝐷𝐺 (cid:75) (cid:68)
𝐺 𝐺𝐻⊥𝐶𝐷 𝐻
= (cid:68)
∵3𝐴𝐷=4𝐴𝐵(cid:68)
∴(cid:177)3𝐴𝐷= 4𝐴𝐵= (cid:68) = (cid:68)
𝐴𝐷 𝐷𝐹 4𝑥 𝐴𝐵 3𝑥
= = (cid:68) = + = (cid:68)
2 2
∴𝐶𝐹 =𝐶𝐸(cid:68)𝑥 𝐵𝐷=90°𝐴(cid:68)𝐵 𝐴𝐷 5𝑥
∵𝐵𝐺 𝐷(cid:90)𝐺 (cid:102)∠(cid:103)𝐷(cid:45)𝐺𝐵(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴(cid:142)△𝐺𝐵𝐷 (cid:254)(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∵△𝐶𝐹𝐺 1 5 2
= = = (cid:68) = = (cid:68)
2 2
∴𝐻𝐺 𝐶𝐻 𝐹𝐻 𝑥 𝐷𝐺 𝐺𝐵 𝑥
1 1 1 1 1 5 2 5 2 25
= = × × = (cid:68) = = × × = (cid:68)
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2
∴𝑆4 △𝐷𝐺𝐹 =𝐷2𝐹5·𝐻𝐺 (cid:68)(cid:141)4
④
𝑥 (cid:37)(cid:86)𝑥(cid:84)𝑥 𝑆△𝐷𝐺𝐵 𝐷𝐺·𝐺𝐵 𝑥 𝑥 𝑥
∴(cid:141)(cid:91)𝑆△(cid:92)𝐵𝐷(cid:28)𝐺(cid:10) 𝑆△𝐷𝐺𝐹(cid:85)
【题型3 菱 ① 形 ③ 为 ④ 背景的多结论】
(cid:15)(cid:54)3(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:27) (cid:65)(cid:68) = (cid:68)(cid:76)E(cid:172)F(cid:83)(cid:135)(cid:90) (cid:172) (cid:137)(cid:255)(cid:243)(cid:31)(cid:76)(cid:55)(cid:248)(cid:51)(cid:256)(cid:76)(cid:188)(cid:157)(cid:66)(cid:68)(cid:153)
= (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:51) 𝐴𝐵(cid:73)𝐶(cid:74)𝐷(cid:75)(cid:76)𝐴G𝐵(cid:68)(cid:186)𝐵(cid:187)𝐷 (cid:51) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)𝐴H𝐵(cid:85)(cid:257)𝐴𝐷(cid:130)(cid:67)(cid:59)(cid:258)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10)① (cid:84)
𝐴
②
𝐸 𝐷𝐹
(cid:31)(cid:18)(cid:241)
𝐵
(cid:28)
𝐹
(cid:106)(cid:242)
𝐷𝐸
(cid:84)③ (cid:23)(cid:83) (cid:84)
𝐶𝐺
④
𝐵𝐷
=
3
(cid:85)(cid:154)(cid:65)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:86)(cid:31)(cid:90)(cid:55)
△ 𝐴
(cid:66)
𝐸𝐷≌△𝐷𝐹𝐵
四边形 2
2
∠𝐵𝐺𝐸 𝐺𝐶 ∠𝐵𝐺𝐷 𝑆 𝐵𝐶𝐷𝐺 𝐶𝐺A(cid:85)①②③ B(cid:85)①②④ C(cid:85)①③④ D(cid:85)②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)A
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:128)(cid:131)(cid:132) (cid:90)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:216)(cid:203)“SAS”(cid:125)(cid:105)(cid:126)(cid:84)(cid:216)(cid:203)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:158)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:253)(cid:71)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:105)
(cid:126)②(cid:84)(cid:77)C(cid:50) △𝐴𝐵𝐷(cid:75)M(cid:68) (cid:74) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)N(cid:68)(cid:81) = =90°(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:173)(cid:71)(cid:158)360°
(cid:125)(cid:191)(cid:192)(cid:130) 𝐶=𝑀⊥𝐵=𝐺60°(cid:68)(cid:123)𝐶(cid:124)𝑁⊥(cid:131)𝐸𝐷 𝐸𝐷 (AAS)(cid:158)∠R𝐶t𝑁𝐺 ∠𝐶𝑀R𝐺t (HL)(cid:120)(cid:133)
∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 △𝐷𝐶𝑁≌△𝐵𝐶𝑀 △𝐶𝑁𝐺≌ △𝐶𝑀𝐺 1
= (cid:68)(cid:125)(cid:105)(cid:106)③(cid:84)(cid:216)(cid:203)(cid:259)30(cid:44)(cid:71)(cid:31)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:100)(cid:101)(cid:158)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:129)(cid:120) = (cid:68) =
2
2 2
∠𝐶𝐺𝑁 ∠𝐶𝐺𝑀 𝐺𝑁 𝐶𝐺 𝐶𝑁 𝐶𝐺 −𝐺𝑁
3
= (cid:68)(cid:216)(cid:203)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:120) = =2 (cid:68)(cid:216)(cid:203)(cid:104)
2 四边形 四边形
(cid:71)(cid:27)(cid:31)𝐶𝐺(cid:197)(cid:239)(cid:7)(cid:148)(cid:125)(cid:105)(cid:126)④(cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:125)(cid:120)(cid:91)𝑆△ (cid:92) 𝐷𝐶 (cid:85) 𝑁 𝑆△𝐵𝐶𝑀 𝑆 𝐵𝐶𝐷𝐺 𝑆 𝑀𝐶𝑁𝐺 𝑆△𝐶𝑁𝐺
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)
= = ∵ = 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷= (cid:68)(cid:142) = (cid:68)
∴𝐴𝐷 𝐴(cid:90)𝐵 (cid:102)𝐵(cid:26)𝐶(cid:104)(cid:71)𝐶(cid:27)𝐷(cid:68)∠𝐴 ∠𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷
∴△𝐴=𝐵𝐷 =60°(cid:68) = (cid:68)(cid:142) = (cid:68)
∴∠𝐴 ∠𝐴𝐷𝐵 (SAS𝐴)(cid:68)𝐷 (cid:141)①𝐵𝐷(cid:37)(cid:86)(cid:84)𝐴𝐸 𝐷𝐹
∴△𝐴𝐸𝐷=≌△𝐷𝐹(cid:68)𝐵
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹+ = + = =60°(cid:68)
(cid:134)∴∠𝐵𝐺𝐸 (cid:31)∠(cid:18)𝐵(cid:241)𝐷𝐺(cid:28)(cid:106)∠(cid:242)𝐷(cid:68)𝐵𝐹(cid:141)②∠𝐵(cid:37)𝐷(cid:86)𝐺(cid:84)∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐵
(cid:77)∠C𝐵(cid:50)𝐺𝐸 (cid:75)M(cid:68) (cid:74) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)N(cid:68)(cid:81) = =90°(cid:68)
𝐶𝑀⊥𝐵𝐺 𝐶𝑁⊥𝐸𝐷 𝐸𝐷 ∠𝐶𝑁𝐺 ∠𝐶𝑀𝐺
= =120°(cid:68)
∵∠𝐵𝐺𝑁 180°−∠𝐵𝐺𝐸= =60°(cid:68)(cid:142) = =60°(cid:68)
∴∠𝑀𝐶𝑁= 360°−9=0°−90°−120°(cid:68)(cid:142) = ∠𝐵(cid:68)𝐶𝐷 ∠𝐴
∴∠𝐷𝐶𝑁 ∠𝐵𝐶𝑀 (A6A0S°−)(cid:68)∠𝑀𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐶
∴△𝐷=𝐶𝑁≌(cid:68)△(cid:142)𝐵𝐶𝑀 = =90°(cid:68) = (cid:68)
∴𝐶R𝑁t 𝐶𝑀 Rt∠𝐶𝑁𝐺 (H∠L𝐶)𝑀(cid:68)𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺
∴ △𝐶𝑁=𝐺≌ △(cid:68)𝐶𝑀𝐺
∴(cid:134)∠𝐶𝐺(cid:23)𝑁(cid:83)∠𝐶𝐺𝑀(cid:68)(cid:141)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
𝐺𝐶 ∠1𝐵𝐺𝐷
= =60°(cid:68)(cid:81) = =30°(cid:68)
2
∴∠𝐶𝐺𝑁 ∠𝐵𝐷𝐺 ∠𝐺𝐶𝑁 90°−60°
1 3
= (cid:68) = = (cid:68)
2 2
2 2
∴𝐺𝑁 𝐶𝐺 𝐶𝑁 (AA𝐶S𝐺)(cid:68)−𝐺𝑁 𝐶𝐺
∵△𝐷𝐶𝑁=≌△𝐵𝐶𝑀(cid:68)
∴𝑆△𝐷𝐶𝑁 𝑆△ = 𝐵𝐶𝑀 =2 (cid:68)
四边形 四边形
∴𝑆 𝐵𝐶𝐷𝐺 𝑆 1 𝑀𝐶𝑁𝐺 𝑆△𝐶𝑁 1 𝐺 1 3 3
=2× =2× × × = (cid:68)(cid:141)④(cid:143)(cid:144)(cid:68)
四边形 2 2 2 2 4
2
∴(cid:141)𝑆(cid:146)(cid:10)A 𝐵 (cid:85) 𝐶𝐷𝐺 𝐺𝑁⋅𝐶𝑁 𝐶𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:253)(cid:71)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)
(cid:259)30(cid:44)(cid:71)(cid:31)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:173)(cid:71)(cid:158)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:68)(cid:260)(cid:261)(cid:157)(cid:262)(cid:31)(cid:263)(cid:264)(cid:72)(cid:265)(cid:266)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:90)(cid:116)(cid:91)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)3-1(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:197)(cid:45)(cid:71)(cid:267)(cid:268)(cid:269) (cid:65)(cid:68)(cid:36)(cid:27) (cid:31)(cid:26)(cid:79)(cid:28)4(cid:68) =60°(cid:85) (cid:76) (cid:90)(cid:26) (cid:137)(cid:152)(cid:209)(cid:76)(cid:68)
(cid:76) (cid:69) (cid:137)(cid:68)(cid:153) =60°(cid:85)(cid:145)(cid:59)(cid:82)(cid:33)𝑥𝑂(cid:34)𝑦(cid:10) 𝐴𝑂𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐷 𝑂𝐵
①𝐸(cid:76) 𝐵(cid:31)𝐶(cid:267)(cid:268)(cid:28)∠6𝐷,2𝐴𝐸3 (cid:84)
② 𝐶= (cid:84)
③(cid:25)𝑂𝐷(cid:26)(cid:27)𝐵𝐸 (cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:28)(cid:106)(cid:242)(cid:84)
④(cid:244) (cid:28) 𝐴𝐷(cid:31)𝐵𝐸(cid:65)(cid:76)(cid:221)(cid:68) (cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:158)(cid:270)(cid:79)(cid:240)(cid:241)(cid:85)
(cid:154)(cid:65)(cid:37)𝐷(cid:86)(cid:31)𝑂𝐵(cid:145) (cid:85)(cid:55)△(cid:169)𝐷(cid:271)𝐵(cid:272)𝐸(cid:28)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:170)(cid:155)(cid:137)(cid:66)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)①②③
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:77)(cid:76) (cid:50) (cid:68)(cid:111)(cid:273)(cid:28)(cid:76) (cid:68)(cid:127)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) = =4(cid:68) (cid:68)(cid:134)(cid:120)
𝐶 𝐶𝐹⊥𝑂𝐵 𝐹1 𝑂𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶∥𝑂𝐵
= =60°(cid:68)(cid:125)(cid:120) =30°(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:120) = =2(cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:125)(cid:120) = =2 3(cid:68)
2
2 2
∠𝐶𝐵 = 𝐹 ∠ + 𝐴𝐶𝐵 =6(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)∠(cid:126)𝐵 ① 𝐶𝐹(cid:84)(cid:131)(cid:132) 𝐵𝐹 𝐵(A𝐶SA)(cid:125)(cid:120) = 𝐶(cid:68)𝐹 (cid:125)(cid:120)𝐵𝐶 − = 𝐵𝐹 (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)
𝑂②𝐹(cid:84)(cid:127)𝑂𝐵(cid:196)(cid:102)𝐵(cid:104)𝐹(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120) = △(cid:68)𝐴𝐷(cid:125)𝐵(cid:120)≌△
四
𝐴
边
𝐸
形
𝐶 = 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸 = 𝑂𝐷 +𝐵𝐸 = (cid:68)
(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)③(cid:84)(cid:127)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)𝑆△(cid:100)𝐴𝐷(cid:101)𝐵 (cid:125)𝑆(cid:120)△𝐴𝐸𝐶 (cid:28)(cid:102)𝑆(cid:26)(cid:104)𝐴(cid:71)𝐷𝐵(cid:27)𝐸(cid:68)(cid:244)𝑆△𝐴(cid:28)𝐷𝐵 (cid:31)𝑆△(cid:65)𝐴𝐵(cid:76)𝐸 (cid:221)𝑆(cid:68)△(cid:125)𝐴𝐸𝐶(cid:120) 𝑆△𝐴𝐵𝐸 (cid:68)𝑆(cid:94)△𝐴(cid:221)𝐵𝐶
(cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:81) (cid:240)(cid:241)(cid:68) (cid:121)(cid:122)(cid:125)(cid:120) (cid:240)△(cid:18)𝐴(cid:68)𝐷(cid:127)𝐸 (cid:31)(cid:270)(cid:79) 𝐷 𝑂𝐵 𝐴𝐷⊥𝑂𝐵 𝐴𝐷
= + 𝑆△𝐴 + 𝐷𝐸 = + + 𝑆△𝐷 = 𝐵𝐸 + =△𝐷𝐵+𝐸 4(cid:68)(cid:125)(cid:120)(cid:94)(cid:221) (cid:31)(cid:270)(cid:79)(cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)④(cid:84)(cid:37)
(cid:86)(cid:50)𝐷𝐸(cid:130)(cid:263)𝐵(cid:264)𝐷(cid:72)(cid:90)𝐵(cid:116)𝐸 (cid:21)𝐷(cid:31)𝐸(cid:3)(cid:117)𝐵(cid:85)𝐷 𝑂𝐷 𝐷𝐸 𝑂𝐵 𝐷𝐸 △𝐷𝐵𝐸
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10)①(cid:77)(cid:76) (cid:50) (cid:68)(cid:111)(cid:273)(cid:28)(cid:76) (cid:68)(cid:81) =90°(cid:68)
(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:68)𝐶 𝐶𝐹⊥𝑂𝐵 𝐹 ∠𝐶𝐹𝐵
∵ = 𝐴𝑂=𝐵𝐶4(cid:68) (cid:68)
∴𝑂𝐵 𝐵=𝐶 =𝐴𝐶6∥0𝑂°𝐵(cid:68)
∴∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐴𝐶𝐵 =30°(cid:68)
∴∠𝐵𝐶𝐹1 90°−60°
= =2(cid:68)
2
∴𝐵𝐹 𝐵𝐶
= = 4 2 =2 3(cid:68) = + =4+2=6(cid:68)
2 2 2 2
∴(cid:76)𝐶𝐹 (cid:31)(cid:267)𝐵(cid:268)𝐶(cid:28)−𝐵 6 𝐹 ,2 3 (cid:68)(cid:141)− ①(cid:37)(cid:86)(cid:84) 𝑂𝐹 𝑂𝐵 𝐵𝐹
∴②(cid:186)𝐶(cid:187) (cid:68)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴𝐵 (cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:68)
∵ = 𝐴𝑂=𝐵𝐶 = (cid:68) = =60°(cid:68)
∴ 𝐵𝐶 𝐴𝐶(cid:158) 𝐴𝑂 𝑂(cid:90)𝐵(cid:102)(cid:26)∠𝐴(cid:104)𝑂(cid:71)𝐵(cid:27)(cid:68)∠𝐴𝐶𝐵
∴△=𝐴𝐵𝐶(cid:68)△𝐴𝑂𝐵=60°(cid:68)
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐶60∠°(cid:68)𝐵𝐴𝐶
∵∠𝐷𝐴𝐸 = (cid:68)
∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶=60°(cid:68)
∵∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 (ASA)(cid:68)
∴△𝐴=𝐷𝐵≌(cid:68)△𝐴𝐸𝐶
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸(cid:68)
∵𝑂𝐵 𝐵𝐶= (cid:68)
∴𝑂𝐵−𝐵𝐷 𝐵𝐶−𝐶𝐸(cid:134) = (cid:68)(cid:141)②(cid:37)(cid:86)(cid:84)
③𝑂𝐷 𝐵𝐸 (cid:68)
∵△𝐴=𝐷𝐵≌△(cid:68)𝐴𝐸𝐶
∴𝑆△𝐴𝐷𝐵 𝑆△𝐴𝐸𝐶 1
= + = + = = ×4×2 3=4 3(cid:68)(cid:141)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
四边形 2
④ ∴𝑆 𝐴𝐷𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐷 (cid:68) 𝐵 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐸𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐵𝐶
∵△=𝐴𝐷(cid:68)𝐵≌△𝐴𝐸𝐶
∴𝐴𝐷 𝐴=𝐸60°(cid:68)
∵∠𝐷𝐴𝐸 (cid:28)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴(cid:244)△(cid:28)𝐴𝐷𝐸(cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:221)(cid:68)
𝐷 =𝑂𝐵 (cid:68)
∵𝑂𝐴 𝐴𝐵(cid:68)(cid:94)(cid:221) (cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:81) (cid:240)(cid:241)(cid:68)
∴(cid:127)𝐴③𝐷⊥(cid:112)𝑂𝐵
四边形
𝐴𝐷(cid:106)(cid:242)(cid:68)(cid:125)(cid:120)𝑆△𝐴𝐷𝐸
(cid:240)(cid:18)(cid:68)
= 𝑆 (cid:68) 𝐴𝐷(cid:240)𝐵𝐸(cid:241)(cid:68) 𝑆△𝐷𝐵𝐸
∵𝐴𝐷(cid:240)(cid:241)𝐷(cid:68)𝐸 𝐴𝐷
∴𝐷𝐸 (cid:31)(cid:270)(cid:79)= + + = + + = + = +4(cid:68)
∵(cid:94)△(cid:221)𝐷𝐵𝐸 (cid:31)(cid:270)(cid:79)𝐷𝐸(cid:240)(cid:241)𝐵(cid:68)𝐷(cid:141)④𝐵𝐸(cid:248)(cid:37)𝐷(cid:86)𝐸(cid:84)𝐵𝐷 𝑂𝐷 𝐷𝐸 𝑂𝐵 𝐷𝐸
∴(cid:136)(cid:137)(cid:68)△(cid:37)𝐷(cid:86)𝐵(cid:31)𝐸(cid:145)①②③(cid:68)
(cid:141)(cid:91)(cid:92)(cid:28)(cid:10)①②③(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)3-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:163)(cid:57)(cid:58)(cid:137)·(cid:182)(cid:183)(cid:274)(cid:275)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:51) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:68) (cid:83)
(cid:135)(cid:90) (cid:68) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10)①(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)②𝐴𝐵𝐶𝐷 = (cid:84)𝐴③𝐶 𝐵𝐷 = 𝑂(cid:84)④𝐸 𝐹
菱形
= 𝑂𝐵 𝑂(cid:68)𝐷(cid:154)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:55) (cid:66) 𝐴𝐸𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐶𝐹 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐹𝐴𝑂 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐸𝐹⋅𝐴𝐶A(cid:85)1 B(cid:85)2 C(cid:85)3 D(cid:85)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)C
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:171)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:276)(cid:171)(cid:133)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:100)(cid:101)(cid:106)(cid:109)(cid:90)
(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:130) = (cid:68) = (cid:68) (cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)①(cid:84)
𝑂𝐴 1𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:33)(cid:157) = (cid:147)(cid:27)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)④(cid:84)
2
(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:130)𝐸𝐹 𝐵(cid:68)𝐷 (cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:130) = (cid:68) = (cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:216)
(cid:203)(cid:71)(cid:31)(cid:158)(cid:277)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)𝐴②𝐵(cid:84)∥𝐶𝐷 𝐴𝐸∥𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐶𝐴 ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐹𝐶𝐴
(cid:118)(cid:119)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:134)(cid:125)(cid:105)(cid:126)③(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:36)(cid:27)
= (cid:68) ∵ = (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂 𝐴(cid:68) 𝑂(cid:83)𝐶(cid:135)(cid:90)𝑂𝐵 (cid:68)𝑂𝐷 (cid:31)𝐴(cid:65)𝐶⊥(cid:76)𝐵(cid:68)𝐷
∵ 𝐸=𝐹 = 𝑂𝐵= 𝑂𝐷
∴𝐵𝐸 𝑂1𝐸 𝑂𝐹 𝐷𝐹
=
2
∴𝐸 𝐹
=
𝐵𝐷(cid:68)
=
∵(cid:25)𝑂(cid:26)𝐸(cid:27)𝑂𝐹 𝑂(cid:28)𝐴(cid:23)(cid:24)𝑂(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:27)
∴ 𝐴𝐸𝐶𝐹
∵(cid:25)𝐴(cid:26)𝐶⊥(cid:27)𝐸𝐹 (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴ 𝐴𝐸𝐶𝐹1
=
菱形 2
∵𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷
=
𝐴𝐶⋅𝐵𝐷(cid:68)(cid:141)④(cid:37)(cid:86)(cid:84)
菱形
∴(cid:25)𝑆(cid:26)(cid:27)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:90)𝐸𝐹(cid:36)⋅(cid:27)𝐴𝐶(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)
∵ 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐶𝐹
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷= 𝐴𝐸∥(cid:68)𝐶𝐹 =
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐹𝐶𝐴
∴(cid:134)∠𝐵𝐴𝐶−=∠𝐸𝐴𝐶 (cid:68)∠(cid:141)𝐷𝐶②𝐴−(cid:37)∠(cid:86)𝐹𝐶(cid:84)𝐴
∠(cid:69)𝐵R𝐴t𝐸 ∠𝐷𝐶(cid:65)𝐹(cid:68) (cid:28) (cid:31)(cid:65)(cid:72)
∵ △𝐴𝑂𝐷 (cid:68)𝐴(cid:141)𝐹③𝑂(cid:143)𝐷(cid:144)(cid:84)
(cid:141)∴(cid:146)∠𝐷(cid:10)𝐴𝐹C(cid:85)≠∠𝐹𝐴𝑂(cid:15)(cid:147)(cid:148)3-3(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:27) (cid:65)(cid:68) =60°(cid:68)(cid:76)P(cid:158)(cid:76)Q(cid:83)(cid:135)(cid:69)(cid:26) (cid:158) (cid:137)(cid:202)(cid:209)(cid:55)(cid:248)(cid:51)A(cid:172)C(cid:172)D
(cid:188)(cid:157)(cid:66)(cid:68)(cid:278)(cid:273) = (cid:68)(cid:186)𝐴(cid:187)𝐵𝐶𝐷(cid:172) ∠(cid:74)𝐴𝐵(cid:75)𝐶(cid:76)E(cid:68)(cid:69)(cid:202)(cid:209)(cid:77)(cid:214)(cid:65)(cid:68)(cid:81)(cid:59)(cid:82)(cid:25)𝐶(cid:87)𝐷(cid:33)𝐴(cid:34)𝐷(cid:37)(cid:86)(cid:31)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐷𝑃 𝐴𝑄 𝐴𝑃 𝐶𝑄
① = (cid:84)② (cid:31)(cid:44)(cid:88)(cid:248)(cid:147)(cid:84)③ + =180°(cid:84)
𝐴A𝑃(cid:85)①𝐶②𝑄 ∠𝐴𝐸𝐶B(cid:85)①③ ∠𝐴𝑃𝐷C(cid:85)∠②𝐶𝑄③𝐷 D(cid:85)①②③
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)D
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:162)(cid:137)(cid:112)(cid:113)(cid:76)
(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:131)(cid:132) (cid:125)(cid:120) = (cid:68) = (cid:68) = (cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:105)(cid:126)①(cid:84)(cid:121)(cid:122)(cid:125)(cid:120)
△+𝐴𝐶𝑃≌△=𝐶1𝐷8𝑄0°(cid:68)(cid:121)∠(cid:122)𝐴𝑃(cid:105)𝐶(cid:126)②∠𝐶(cid:84)𝑄𝐷(cid:118)(cid:119)∠𝑃𝐴𝐶 =∠1𝐷2𝐶0𝑄°(cid:68)𝐴(cid:121)𝑃(cid:122)(cid:105)𝐶(cid:126)𝑄③(cid:85)
∠(cid:15)𝐴(cid:140)𝑃𝐷(cid:116)(cid:20)∠(cid:116)𝐶(cid:10)𝑄𝐷 (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68) =60°(cid:68)∠𝑄𝐸𝑃= (cid:68)
= ∵=𝐴6𝐵0𝐶°𝐷(cid:68) ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷𝑃 𝐴𝑄
∴∠𝐴𝐶𝑃 (cid:90)∠(cid:102)𝐷(cid:26)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴△𝐴=𝐶𝐷 =
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷= 𝐴𝐶 (cid:68)(cid:134) =
∴𝐴𝐷−𝐴𝑄 𝐶𝐷−𝐷(𝑃SAS)(cid:68)𝐷𝑄 𝐶𝑃
∴△𝐴𝐶𝑃=≌△𝐶𝐷𝑄(cid:68) = (cid:68) = (cid:68)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴∠𝐴𝑃𝐶 +∠𝐶𝑄𝐷=∠1𝑃80𝐴°𝐶(cid:68) ∠𝐷𝐶𝑄 𝐴𝑃 𝐶𝑄
∵∠𝐴𝑃𝐷+∠𝐴𝑃𝐶 =180°(cid:68)(cid:141)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴∠𝐴𝑃=𝐷 ∠𝐶𝑄𝐷 + =180°(cid:68)
∵∠𝐷 6=0°1,∠20𝐴°𝑃(cid:68)𝐷 ∠𝐶𝑄𝐷
∴∠𝑄𝐸𝑃= =120°(cid:68)(cid:141)②(cid:37)(cid:86)(cid:85)
∴(cid:141)∠(cid:146)𝐴𝐸(cid:10)𝐶D(cid:85)∠𝑄𝐸𝑃【题型4 正方形为背景的多结论】
1
(cid:15)(cid:54)4(cid:20)(cid:55)2025·(cid:16)(cid:279)(cid:280)(cid:281)·(cid:282)(cid:283)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68) (cid:90) (cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:153) = (cid:85)(cid:257)
4
(cid:130)(cid:59)(cid:197)(cid:25)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐶𝐷 𝐶𝐹 𝐶𝐷
① (cid:23)(cid:83) (cid:84)
②𝐴𝐸 + ∠𝐵𝐴=𝐹 (cid:84)
2 2 2
③𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐴(cid:84)𝐹
④𝐴𝐵+𝐶𝐹 >𝐴𝐹(cid:85)
(cid:137)(cid:139)𝐴𝐵(cid:33)(cid:34)𝐵(cid:65)𝐸(cid:68)(cid:138)𝐴(cid:145)𝐹 (cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
A(cid:85)①②③ B(cid:85)②③④ C(cid:85)①④ D(cid:85)①②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)D
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:177) = = = = (cid:68)(cid:81) = = (cid:68) = = (cid:68)(cid:216)(cid:203)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)
(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)𝐴(cid:107)𝐵(cid:108)(cid:106)𝐵(cid:109)𝐶 (cid:31)𝐶(cid:284)𝐷(cid:106)(cid:109)𝐷(cid:68)𝐴(cid:37)(cid:38)4𝑥(cid:27)(cid:31)(cid:100)𝐵𝐸(cid:101)(cid:68)𝐸(cid:71)𝐶(cid:31)(cid:23)2𝑥(cid:83)(cid:72)𝐶𝐹(cid:31)(cid:105)𝑥(cid:106),𝐷(cid:116)𝐹(cid:91)(cid:134)3𝑥(cid:125)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:68)
= = ∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷 = = = =90°(cid:68)
∴(cid:177)𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =𝐷𝐴,∠=𝐴𝐵𝐶(cid:68)∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐷𝐴𝐵
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴 4𝑥 1
(cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68) (cid:90) (cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:153) = (cid:68)
4
∵𝐸 =𝐵𝐶 = (cid:68)𝐹 𝐶=𝐷 = (cid:68)𝐶𝐹 𝐶𝐷
∴𝐵𝐸 =𝐸𝐶 2+𝑥 𝐶𝐹=25𝑥,𝐷𝐹(cid:68) 3𝑥= + =20 (cid:68)
2 2 2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹=5 (cid:68)𝑥 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝑥
2 2 2 2
𝐸𝐹 +𝐸𝐶 =𝐶𝐹 (cid:68)(cid:141)𝑥②(cid:37)(cid:86)(cid:84)
2 2 2
∴𝐴𝐸 𝐸=𝐹90°(cid:68)𝐴𝐹
(cid:77)∴∠(cid:76)𝐴𝐸E𝐹(cid:50) (cid:75)(cid:76)G(cid:68)
𝐸𝐺⊥𝐴2𝐹5 5
(cid:81) = = = (cid:68)
𝐴𝐸·𝐸𝐹 𝑥· 𝑥
𝐸𝐺= 𝐴(cid:68)𝐹 5𝑥 2𝑥
∴𝐸𝐺 𝐸𝐵(cid:23)(cid:83) (cid:68) = = (cid:84)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴𝐴𝐸 =∠𝐵𝐴𝐹 =𝐸𝐺90°(cid:68)𝐸𝐵 𝐸𝐶
∵∠𝐸𝐺=𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹
=
𝐸𝐶 𝐸𝐺
𝐸R𝐹t 𝐸𝐹 Rt (HL)(cid:85)
∴ △=𝐺𝐹𝐸(cid:68)≌ △𝐶𝐹𝐸
∴𝐺𝐹 𝐶=𝐹 =90°(cid:68)
∵∠𝐴𝐵=𝐸 ∠𝐴𝐺𝐸
=
𝐸𝐵 𝐸𝐺
𝐸R𝐴t 𝐸𝐴 Rt (HL)(cid:85)
∴ △=𝐴𝐵𝐸(cid:68)≌ △𝐴𝐺𝐸
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐵+ = + (cid:84)(cid:141)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴𝐴𝐹+ 𝐴𝐺>𝐺𝐹 +𝐴𝐵=𝐶𝐹(cid:85)(cid:141)④(cid:37)(cid:86)(cid:68)
∵(cid:141)𝐴(cid:146)𝐵(cid:10)D𝐵(cid:85)𝐸 𝐴𝐺 𝐺𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:31)(cid:284)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:71)(cid:31)(cid:23)(cid:83)
(cid:72)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:171)(cid:154)(cid:284)(cid:106)(cid:109)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)4-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:288)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:289)(cid:112)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:68)(cid:76)M(cid:90)(cid:26) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:137)(cid:31)(cid:209)(cid:76)(cid:55)(cid:248)
(cid:51)(cid:76)A(cid:188)(cid:157)(cid:66)(cid:153) < (cid:68) (cid:127) (cid:23)(cid:290)(cid:120)(cid:133)(cid:68)(cid:80)(cid:77)(cid:76)E𝐴(cid:50)𝐵𝐶𝐷 (cid:68)H(cid:28)𝐵(cid:111)𝐴(cid:273)(cid:68)(cid:81)(cid:145)(cid:162)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:10)
①(cid:76)M(cid:210)(cid:291)(cid:147)(cid:292)𝐴(cid:68)𝑀(cid:220)(cid:120)𝐴𝐵 △𝐶=𝐵6𝐸0°(cid:221)△(cid:68)𝐷𝐴𝑀 = (cid:84) 𝐸𝐻⊥𝐴𝐶
②(cid:42)(cid:34)(cid:76)M(cid:202)(cid:209)(cid:133)(cid:293)(cid:238)(cid:68)∠𝐷(cid:170)𝐻(cid:145)𝐶 = 2 2𝐵(cid:84)𝐸 𝐷𝑀
③(cid:69)(cid:76)M(cid:31)(cid:202)(cid:209)(cid:77)(cid:214)(cid:65)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐷𝑀 (cid:125)𝐻(cid:294)𝑀(cid:295)(cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
④(cid:42)(cid:34)(cid:76)M(cid:202)(cid:209)(cid:133)(cid:293)(cid:238)(cid:68) (cid:152)𝐶𝐸(cid:106)𝑀(cid:18)𝐷(cid:75)135°(cid:85)
(cid:162)(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:86)(cid:31)(cid:145) (cid:55)(cid:169)(cid:138)∠𝐶(cid:145)𝐻(cid:37)𝑀(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:170)(cid:155)(cid:137)(cid:66)(cid:85)(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)①②④
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:131)(cid:132) =30°(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:130)①(cid:65)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:85)(cid:131)(cid:132) (cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
(cid:81)(cid:125)(cid:120)(cid:130)②(cid:65)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:85)(cid:296)(cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:25)∠(cid:26)𝐴𝐷(cid:27)𝑀 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:156)(cid:33)(cid:157) > △(cid:134)𝐷(cid:125)𝐻(cid:105)𝑀(cid:126)③(cid:85)(cid:128)(cid:131)(cid:132)
< =45°(cid:68)(cid:81) >135°𝐶(cid:68)𝐸𝑀(cid:134)𝐷(cid:125)(cid:105)(cid:126)(cid:85) 𝐷𝑀 𝐶𝐷
∠(cid:15)𝐴(cid:140)𝐻(cid:116)𝑀(cid:20)(cid:116)∠𝐵(cid:10)𝐴(cid:67)𝐶(cid:48)(cid:68)(cid:186)(cid:187) ∠𝐶(cid:68)𝐻𝑀 (cid:85)
𝐷𝐻 𝐻𝑀
(cid:127) (cid:23)(cid:290)(cid:120)(cid:133)(cid:68)
∵△𝐶=𝐵𝐸 (cid:68)△𝐷𝐴𝑀
∴𝐴𝑀= 𝐵𝐸(cid:68)
∴(cid:25)𝐴𝐵(cid:26)(cid:27)𝐸𝑀 (cid:90)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:68) (cid:68)
∵ = 𝐴𝐵𝐶=𝐷 (cid:68) 𝐸=𝐻9⊥0°𝐴(cid:68)𝐶 = =45°= (cid:68)
∴𝐴𝐵 =𝐸𝑀(cid:68) 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐻𝐸 ∠𝑀𝐸𝐻 ∠𝐷𝐴𝐻 ∠𝐸𝐴𝐻
∴𝐸𝐻 𝐴𝐻 (SAS)(cid:68)
∴△𝑀𝐸𝐻=≌△𝐷𝐴𝐻(cid:68) = (cid:68)
∴∠𝑀𝐻𝐸 =∠𝐷𝐻𝐴=𝑀9𝐻0°(cid:68)𝐷𝐻
∴(cid:81)∠𝑀𝐻𝐷 (cid:90)∠𝐴(cid:102)𝐻(cid:103)𝐸(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
△𝐷𝐻𝑀
= + = 2 (cid:68)(cid:141)②(cid:297)(cid:157)(cid:21)(cid:243)(cid:84)
2 2
∴(cid:244)𝐷𝑀 =𝐻𝑀60°(cid:221)𝐻(cid:68)𝐷 =𝐻𝑀 =15°(cid:68)
∠𝐷𝐻𝐶= ∠=𝐴3𝐷0𝐻°(cid:68)60°−45°
∴∠Rt𝐴𝐷𝑀 4(cid:65)5°(cid:68)−15° = (cid:68)
∴(cid:134) △𝐴=𝐷𝑀 (cid:68)(cid:141)𝐷𝑀①(cid:297)2(cid:157)𝐴(cid:21)𝑀(cid:243)(cid:84)
𝐷𝑀 2(cid:68)𝐵𝐸 (cid:68)
∵𝐶𝐷∥𝐸𝑀 𝐸𝐶∥𝐷𝑀(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∴ > 𝐶𝐸(cid:68)𝑀𝐷 = (cid:68)
∵𝐷𝑀>𝐴𝐷(cid:68)𝐴𝐷 𝐶𝐷
∴(cid:25)𝐷𝑀(cid:26)(cid:27)𝐶𝐷 (cid:248)(cid:125)(cid:294)(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:141)③(cid:248)(cid:297)(cid:157)(cid:21)(cid:243)(cid:68)
∴(cid:76)M(cid:90)𝐶(cid:26)𝐸𝑀𝐷(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:137)(cid:31)(cid:209)(cid:76)(cid:55)(cid:248)(cid:51)(cid:76)A(cid:188)(cid:157)(cid:66)(cid:68)(cid:153) < (cid:68)
∵ < 𝐵𝐴 =45°(cid:68) 𝐴𝑀 𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐻𝑀>1∠3𝐵5𝐴°𝐶(cid:68)(cid:141)④(cid:297)(cid:157)(cid:21)(cid:243)(cid:84)
∴(cid:127)∠(cid:137)𝐶𝐻(cid:125)𝑀(cid:120)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:28)①②③(cid:85)
(cid:141)(cid:91)(cid:92)(cid:28)(cid:10)①②④(cid:85)
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)
(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)30(cid:44)(cid:71)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:68)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:90)(cid:37)(cid:86)(cid:298)(cid:247)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:116)(cid:201)(cid:193)(cid:21)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)4-2(cid:20)(cid:55)2025·(cid:16)(cid:279)·(cid:283)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:127)(cid:25)(cid:87)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:302)(cid:295)(cid:31)“(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:48)”(cid:68)(cid:120)(cid:133)(cid:37)(cid:38)(cid:27)
(cid:158)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:74) (cid:75)(cid:76)M(cid:68)(cid:80) = (cid:68)(cid:257)(cid:130)(cid:59)(cid:197)(cid:25)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10)①M(cid:90) (cid:31)𝐴(cid:65)𝐵(cid:76)𝐶𝐷(cid:84)
② (cid:23)(cid:83)
𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:84)③
𝐵𝐸
=
5
(cid:85)
𝐴𝐷
(cid:137)(cid:139)(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:68)
∠
(cid:138)
𝐴𝑀
(cid:145)
𝐵
(cid:37)(cid:86)
2
(cid:33)
∠𝐵
(cid:34)
𝐴
(cid:31)
𝐹
(cid:89)(cid:9)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐴𝐷
2
𝐵𝐹 ∠𝐸𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝐴𝐵
A(cid:85)①② B(cid:85)①③ C(cid:85)②③ D(cid:85)①②③
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)D
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:127)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) = = (cid:68)(cid:81) = (cid:68)(cid:127)(cid:33)(cid:157)(cid:253)(cid:71)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120)
= (cid:68) = (cid:68)(cid:156)(cid:174)∠(cid:77)𝐵(cid:192)𝐴𝐹(cid:71)(cid:131)∠(cid:132)𝐴𝐷𝐸 ∠=𝐶𝐵𝐺 (cid:68)(cid:191)∠𝐴(cid:130)𝑀𝐵 =2∠𝐴𝐷(cid:68)𝐸(cid:134)(cid:125)(cid:131)(cid:132) = (cid:68)(cid:125)(cid:105)
∠(cid:126)𝐴①𝐷𝐸 (cid:37)(cid:86)∠𝑀(cid:84)𝐸(cid:127)𝐷 𝑀𝐷 (cid:125)𝑀(cid:120)𝐸 = = ∠𝑀𝐸𝐴 =∠𝐸𝐴𝐷 (cid:68)(cid:191)(cid:130)𝑀𝐸 𝑀=𝐴 (cid:68)(cid:125)(cid:105)𝑀(cid:126)𝐴②𝑀 (cid:37)𝐷(cid:86)(cid:84)(cid:118)
(cid:119)(cid:33)(cid:34)① (cid:68)(cid:216)(cid:203)𝐴𝐷(cid:107)∥𝐵(cid:108)𝐶(cid:106)(cid:109)(cid:68)∠𝐸(cid:125)𝐵𝐶(cid:105)(cid:126)∠③𝐴𝑀(cid:37)𝐵(cid:86)(cid:85)2∠𝐴𝐷𝐸 2∠𝐶𝐵𝐺 ∠𝐶𝐵𝐺 ∠𝐸𝐵𝐹
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:90)(cid:127)(cid:25)(cid:87)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:302)(cid:295)(cid:31)(cid:68)
= ∵ = 𝐴𝐵𝐶(cid:68)𝐷 = (cid:68)
∴ ∠𝐵𝐴𝐹 =∠𝐴𝐷𝐸 (cid:68)∠𝐶𝐵𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∵ ∠𝐴𝑀𝐵=2∠𝐵𝐴𝐹(cid:68)
∴ ∠𝐴𝑀𝐵 2∠𝐴𝐷𝐸= + (cid:68)
∵ ∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸(cid:68)∠𝑀𝐸𝐷
∴ ∠𝐴𝐷=𝐸 ∠(cid:68)𝑀𝐸𝐷
∴ 𝑀𝐷 𝑀+𝐸 =90°(cid:68) + =90°(cid:68)
∵ ∠𝑀𝐸𝐴=∠𝑀𝐸𝐷(cid:68) ∠𝐸𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸
∴ ∠𝑀𝐸=𝐴 ∠(cid:68)𝐸𝐴𝐷
∴ 𝑀𝐸 =𝑀𝐴(cid:68)
∴M𝑀(cid:90)𝐴 𝑀(cid:31)𝐷(cid:65)(cid:76)(cid:84)(cid:141)① (cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴ 𝐴𝐷(cid:68)
∵ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶= = = (cid:68)
∴ ∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝑀𝐵+ 2∠𝐴𝐷(cid:68)𝐸 2∠𝐶𝐵𝐺
∵ ∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐹(cid:68)∠𝐶𝐵𝐺
∴ ∠𝐶𝐵(cid:23)𝐺(cid:83) ∠𝐸𝐵𝐹(cid:84)(cid:141)②(cid:37)(cid:86)(cid:84)
(cid:177)∴ 𝐵𝐹= (cid:68)∠(cid:81)𝐸𝐵𝐶 = = (cid:68)
𝑀𝐴 𝑥 𝐴𝐵 𝐴𝐷 2𝑥
(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68) = + = 5 (cid:68)
2 2
△𝐴𝑀𝐵 𝐵𝑀 𝐴𝐵 𝑀𝐴 𝑥
5
= (cid:68)(cid:141)③(cid:37)(cid:86)(cid:84)
2
(cid:136)∴(cid:137)𝐵(cid:125)𝑀(cid:112)(cid:68)(cid:37)𝐴𝐵(cid:86)(cid:31)(cid:145)① ② ③(cid:68)
(cid:141)(cid:146)D(cid:85)
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:253)(cid:71)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)
(cid:102)(cid:68)(cid:294)(cid:307)(cid:136)(cid:157)(cid:227)(cid:203)(cid:137)(cid:139)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)4-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:164)(cid:165)(cid:79)(cid:166)·(cid:64)(cid:185)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:231)(cid:232) (cid:65)(cid:68)(cid:76)P(cid:90)(cid:26) (cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:186)(cid:33)
(cid:68)(cid:233)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:222) (cid:234)(cid:235)(cid:68)(cid:76)B(cid:236)(cid:69)(cid:76)E(cid:238)(cid:68)(cid:78)(cid:79) (cid:74) (cid:75)(cid:76)Q(cid:68)(cid:186)𝐴(cid:33)𝐵𝐶𝐷 (cid:68) (cid:85)(cid:257)(cid:130)(cid:162)𝐵(cid:59)𝐶(cid:33)(cid:34)(cid:10)①
𝐴𝑃 (cid:84)② 𝐴𝑃= + (cid:84)③ (cid:51) 𝑃𝐸(cid:31)(cid:197)𝐶(cid:239)𝐷(cid:73)(cid:102)(cid:84)④(cid:80) 𝐴𝑄= 𝐶𝐸(cid:68)(cid:81) = (cid:85)(cid:137)(cid:139)(cid:33)△(cid:34)𝐴𝐸𝑄
≌(cid:65)△(cid:68)(cid:37)𝐴𝐷(cid:86)𝑄(cid:33)(cid:34)(cid:31)𝑃𝑄(cid:89)(cid:9)𝐵(cid:145)𝑃 𝐷𝑄(cid:85) △𝑃𝐸𝐶 △𝑄𝐸𝐶 𝐵𝑃 𝐶𝑃 𝐶𝑄 2𝐷𝑄(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)①②④
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:127)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:65)(cid:31)(cid:154)(cid:65)(cid:152)(cid:45)(cid:71)(cid:26)(cid:158)(cid:189)(cid:26)(cid:73)(cid:102)(cid:125)(cid:131)(cid:132) (cid:68)(cid:127)(cid:94)(cid:105)(cid:126)①(cid:84)(cid:127)
(cid:308)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:156)(cid:127)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:309)(cid:234)(cid:125)(cid:120) = △(cid:68)𝐴(cid:127)𝐸𝑄≌△=𝐴𝐷𝑄+ (cid:125)(cid:105)(cid:126)②(cid:84)(cid:310)(cid:177)△𝐴𝐸𝑄≌(cid:51)
△𝐴𝐷𝑄(cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:73)(cid:102)(cid:68)(cid:81)𝐸𝑄(cid:125)(cid:120)𝐷𝑄 = (cid:68)(cid:127)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:196)(cid:102)(cid:125)𝐵𝑃(cid:120)(cid:33)𝑃(cid:34)𝐸(cid:51)(cid:289)𝑃(cid:112)𝑄(cid:311)(cid:312)𝑃(cid:125)𝐸(cid:105)𝐸(cid:126)𝑄③(cid:84)(cid:177)(cid:130)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:26)△(cid:79)𝑃(cid:28)𝐸𝐶a(cid:68)
(cid:51)△𝑄𝐸(cid:31)𝐶(cid:26)(cid:79)(cid:28)x(cid:68)(cid:118)(cid:119) 𝑃𝐸(cid:28)(cid:45)𝑄(cid:71)𝐸(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:127)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:82)(cid:148)(cid:125)(cid:120)a(cid:51)x(cid:31)(cid:3)(cid:269)(cid:68)(cid:127)(cid:94)(cid:125)(cid:105)(cid:126)④(cid:85)
(cid:15)𝐸(cid:140)𝑄(cid:116)(cid:20)(cid:116)(cid:10) (cid:90)△(cid:127)𝑃𝐶𝑄 (cid:309)(cid:234)(cid:120)(cid:133)(cid:68)
= (cid:68) ∵△=𝐴𝑃𝐸 =9△0°𝐴(cid:68)𝑃𝐵
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐸 ∠𝐵=90∠°(cid:68)𝐴𝐸𝑃
∴(cid:69)∠(cid:37)𝐴𝐸(cid:38)𝑄(cid:27) ∠𝐷 (cid:65)(cid:68) = (cid:68)
= 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∴(cid:81)𝐴(cid:69)𝐷Rt𝐴𝐸 (cid:158)Rt (cid:65)(cid:68)
=△𝐴𝐸𝑄 △𝐴𝐷𝑄
(cid:127) = (cid:68)
𝐴𝐷 𝐴𝐸
(cid:125)(cid:120)𝐴𝑄 𝐴𝑄 (cid:68)(cid:141)①(cid:37)(cid:86)(cid:84)
△𝐴𝐸𝑄≌△𝐴(cid:68)𝐷𝑄
∵△𝐴=𝐸𝑄≌(cid:68)△𝐴𝐷𝑄
(cid:142)∴𝐸𝑄 𝐷𝑄(cid:90)(cid:127) (cid:309)(cid:234)(cid:120)(cid:133)(cid:68)
∵△=𝐴𝑃𝐸(cid:68) △𝐴𝑃𝐵
∴𝐵𝑃 =𝑃𝐸+ = + (cid:68)(cid:141)②(cid:37)(cid:86)(cid:84)
∴(cid:77)𝑃(cid:76)𝑄 C(cid:50)𝑃𝐸 𝐸𝑄 (cid:74)𝐵𝑃 (cid:75)𝐷(cid:76)𝑄F(cid:68)(cid:67)(cid:48)(cid:68)
𝐶𝐹⊥𝑃𝑄 𝑃𝑄
(cid:81) (cid:51) (cid:31)(cid:313)(cid:28) (cid:68)
△𝑃𝐸𝐶 △1𝑄𝐸𝐶 𝐶𝐹 1
(cid:81)(cid:145) = × × (cid:68) = × × (cid:68)
2 2
(cid:310)(cid:177) 𝑆△𝑃𝐸𝐶 (cid:51) 𝐶𝐹 (cid:31)𝑃(cid:197)𝐸(cid:239) 𝑆 (cid:73) △𝑄 (cid:102) 𝐸𝐶 (cid:68) 𝐶𝐹 𝑄𝐸
△𝑃𝐸𝐶 △𝑄𝐸𝐶(cid:81)(cid:145) = (cid:68)
𝑃𝐸= 𝑄𝐸 =90°(cid:68)
∵(cid:69)∠𝐴𝐸𝑃 ∠(cid:158)𝐴𝐸𝑄 (cid:65)(cid:68)
∴ △𝐴𝐸𝑃= △𝐴𝐸𝑄
(cid:127) = (cid:68)
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐸𝑃 ∠𝐴𝐸𝑄
(cid:125)(cid:112) 𝑃𝐸 𝑄𝐸 (cid:68)
△𝐴=𝐸𝑃≌△(cid:68)𝐴𝐸𝑄
∴(cid:142)∠𝑃𝐴𝐸 ∠=𝑄𝐴𝐸 (cid:68) = (cid:68)
∵∠𝐵𝐴𝑃 ∠𝐸𝐴𝑃 ∠𝐷𝐴𝑄 ∠𝐸𝐴𝑄 1
= = = = (cid:68)
4
∴(cid:142)∠𝐵𝐴𝑃 ∠=𝐸9𝐴0𝑃°(cid:68) ∠𝐷𝐴𝑄 ∠𝐸𝐴𝑄 ∠𝐵𝐴𝐷
∵∠𝐵𝐴=𝐷 = = =22.5°(cid:68)
(cid:127)∴∠(cid:21)𝐵𝐴(cid:314)𝑃(cid:289)(cid:112)∠(cid:125)𝐸𝐴(cid:120)𝑃(cid:68) ∠𝐷(cid:248)𝐴(cid:90)𝑄 (cid:37)(cid:38)∠𝐸(cid:27)𝐴𝑄 (cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:68)
= =𝐴𝐸 = 𝐴𝐵=𝐶𝐷22.5°(cid:51)(cid:289)(cid:112)(cid:311)(cid:312)(cid:68)
∴∠𝐵𝐴𝑃 (cid:68)∠𝐸𝐴𝑃 ∠𝐷𝐴𝑄 ∠𝐸𝐴𝑄
∴𝑃𝐸≠𝑄(cid:51)𝐸 (cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:73)(cid:102)(cid:68)(cid:141)③(cid:143)(cid:144)(cid:84)
∴(cid:177)△(cid:37)𝑃(cid:38)𝐸(cid:27)𝐶 (cid:26)△(cid:79)𝑄(cid:28)𝐸a𝐶(cid:68) (cid:31)(cid:26)(cid:79)(cid:28)x(cid:68)
(cid:81)(cid:145) = = (cid:68)𝐸𝑄= = (cid:68)
𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝑎 𝐸𝑄 𝐷𝑄 𝑥
= (cid:68) = = (cid:68)
2
𝑎
∴𝐶𝑄 𝑎−𝑥 𝐵𝑃 𝐶𝑃
= (cid:68)
2
𝑎
∴𝑃𝐸
= + = + (cid:68)
2
𝑎
∴𝑃𝑄 𝑃𝐸 𝐸𝑄 𝑥
(cid:81)(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68) + = (cid:68)
2 2 2
△𝑃𝐶𝑄 𝑃𝐶 𝐶𝑄 𝑃𝑄
(cid:134) +( ) = + (cid:68)
2 2 2 2
𝑎 𝑎
2
𝑎−𝑥 𝑥
(cid:81)(cid:145) + + = + + (cid:68)
42 42
𝑎 2 2 𝑎 2
𝑎 −2𝑎𝑥 𝑥 𝑎𝑥 𝑥
(cid:116)(cid:120) = (cid:68)
3
𝑎
𝑥
= = = (cid:68)
3 3
𝑎 2𝑎
∴𝐶𝑄 𝑎−𝑥 𝑎−
= = (cid:68)
3
𝑎
∵𝐷𝑄 𝑥= (cid:68)(cid:141)④(cid:37)(cid:86)(cid:85)
∴(cid:141)𝐶(cid:91)𝑄(cid:92)(cid:28)2𝐷(cid:10)𝑄①②④(cid:85)
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:48)(cid:27)(cid:31)(cid:309)(cid:234)(cid:68)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:162)(cid:171)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:315)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:131)
(cid:132)(cid:196)(cid:102)(cid:31)(cid:38)(cid:181)(cid:162)(cid:171)(cid:26)(cid:71)(cid:26)(cid:31)(cid:131)(cid:132)(cid:38)(cid:181)(cid:84)(cid:127)(cid:310)(cid:177)(cid:191)(cid:192)(cid:33)(cid:34)(cid:51)(cid:289)(cid:112)(cid:311)(cid:312)(cid:90)(cid:116)(cid:201)(cid:159)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
【题型5 非网格无刻度直尺画图】
(cid:15)(cid:54)5(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:205)(cid:316)(cid:63)·(cid:64)(cid:185)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:76) (cid:69) (cid:137)(cid:68) = (cid:68)(cid:317)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)
(cid:45)(cid:46)(cid:318)(cid:59)(cid:82)(cid:96)(cid:129)(cid:47)(cid:48)(cid:85) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐸
(1)(cid:67)(cid:48)1(cid:68)(cid:47)(cid:130) (cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:84)
(2)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:47)(cid:130)∠𝐷𝐴𝐸(cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:84)
(3)(cid:67)(cid:48)3(cid:68)(cid:162) ∠(cid:28)𝐴(cid:26)𝐸𝐶(cid:47)(cid:130)(cid:152)(cid:87)(cid:36)(cid:27)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)𝐴(cid:116)𝐸(cid:93)
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(3)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:102)(cid:26)(cid:70)(cid:102)(cid:71)(cid:68)(cid:104)(cid:72)(cid:157)(cid:152)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)
(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:102)(cid:68)(cid:160)(cid:112)(cid:73)(cid:3)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:320)(cid:72) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
(cid:55)2(cid:66)(cid:186)(cid:187)𝐴𝐶(cid:68) (cid:74)(cid:75)O(cid:68)(cid:50)(cid:320)(cid:72) (cid:68)(cid:81)(cid:320)(cid:72) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
(cid:55)3(cid:66)(cid:186)(cid:187)𝐴𝐶(cid:68)𝐵𝐷(cid:74)(cid:75)O(cid:68)(cid:50)(cid:320)(cid:72)𝐸𝑂(cid:74) (cid:75)F𝐸(cid:68)𝑂(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)𝐴1𝐶(cid:66)(cid:116)𝐵𝐷(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)(cid:68)(cid:320)(cid:72)𝐸𝑂 (cid:134)𝐴(cid:28)𝐷(cid:138)(cid:129)(cid:84) 𝐶𝐹 𝐴𝐸𝐶𝐹
(cid:127)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) (cid:68) 𝐴𝐶
(cid:127)(cid:102)(cid:26)(cid:70)(cid:102)(cid:71)(cid:158)(cid:23)𝐴(cid:24)𝐷(cid:72)∥(cid:31)𝐵𝐶(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) = = (cid:68)
(cid:134) (cid:90) (cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:84) ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐸𝐶𝐴 ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸(cid:55)2(cid:66)(cid:116)(cid:84)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:74)(cid:75)O(cid:68)(cid:50)(cid:320)(cid:72) (cid:68)(cid:81)(cid:320)(cid:72) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
(cid:127)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) (cid:28) (cid:31)𝐴(cid:65)𝐶(cid:76)𝐵(cid:68)𝐷(cid:81)(cid:127)(cid:104)(cid:72)(cid:157)(cid:152)(cid:125)(cid:120)𝐸𝑂 (cid:23)(cid:83) 𝐸𝑂(cid:84)
𝑂 𝐴𝐶 𝐸𝑂 ∠𝐴𝐸𝐶
(cid:55)3(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:74)(cid:75)O(cid:68)(cid:50)(cid:320)(cid:72) (cid:74) (cid:75)F(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:127)(cid:55)2(cid:66)(cid:125)(cid:120) (cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83) 𝐴(cid:68)𝐶(cid:81)𝐵𝐷 = (cid:68) 𝐸𝑂 𝐴𝐷 𝐶𝐹 𝐴𝐸𝐶𝐹
(cid:125)(cid:131)(cid:132) 𝐸𝐹 (cid:68)𝐴(cid:120)𝐶(cid:133) 𝐴𝐹= 𝐶𝐹= = (cid:68)
(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27)△𝐴𝑂𝐹≌(cid:90)△(cid:36)𝐶(cid:27)𝑂(cid:85)𝐸 𝐴𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐹
𝐴𝐸𝐶𝐹
(cid:15)(cid:147)(cid:148)5-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:322)(cid:286)(cid:323)·(cid:64)(cid:185)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:76) (cid:28) (cid:26)(cid:137)(cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:324)(cid:317)(cid:203)(cid:42)
(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:135)(cid:318)(cid:59)(cid:82)(cid:96)(cid:129)(cid:47)(cid:48)(cid:85)(cid:55)(cid:325)(cid:326)(cid:50)(cid:48)(cid:327)(cid:224)(cid:66) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:68)(cid:47)(cid:130)(cid:152)(cid:87)(cid:162) (cid:28)(cid:328)(cid:76)(cid:31)(cid:35)(cid:27)(cid:68)(cid:220)(cid:120)(cid:329)(cid:31)(cid:79)(cid:330)(cid:248)(cid:73)(cid:102)(cid:68)(cid:153)(cid:197)(cid:239)(cid:102)(cid:75)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:197)(cid:239)(cid:31)(cid:152)(cid:190)(cid:84)
(2)(cid:69)(cid:48)2(cid:65)(cid:68)(cid:47)(cid:130)(cid:152)(cid:87)(cid:162)𝐸(cid:28)(cid:328)(cid:76)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:68)(cid:220)(cid:120)(cid:329)(cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:102)(cid:75)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:197)(cid:239)(cid:31)(cid:152)𝐴(cid:190)𝐵𝐶(cid:85)𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)(cid:116)(cid:93) 𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:70)(cid:331)(cid:100)(cid:68)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:10)
(cid:55)1(cid:66)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:120)(cid:133)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:65)(cid:332)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:158)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:65)(cid:332)(cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:84)
(cid:55)2(cid:66)(cid:186)(cid:187)𝐴𝐶,(cid:74)𝐵𝐷(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:75)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:186)(cid:187)(cid:76) (cid:51)𝐸(cid:333)(cid:76)(cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:68)(cid:74) (cid:51)(cid:76) (cid:68)(cid:70)𝐴𝐷(cid:331)(cid:100)(cid:120)𝐹(cid:133)(cid:76) (cid:28) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:186)(cid:187)
(cid:76) (cid:158)(cid:37)(cid:38)𝐵(cid:27)𝐹(cid:31)(cid:65)(cid:332)(cid:68)(cid:306)𝐴𝐶(cid:78)(cid:79)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)𝐷(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:37)(cid:38)(cid:27)𝐴𝐵 𝐺(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85) 𝐺 𝐴𝐵
𝐺 𝐶𝐷 𝐻 𝐹𝐻,𝐻𝐸 𝐸𝐻𝐹𝐺(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:10)(cid:35)(cid:27) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
𝐴𝐵𝐸𝐹
(cid:55)2(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
𝐸𝐺𝐹𝐻
(cid:15)(cid:147)(cid:148)5-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:205)(cid:334)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68) (cid:28)(cid:36)(cid:27) (cid:31)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:68)(cid:324)(cid:317)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:318)(cid:96)
(cid:129)(cid:335)(cid:295)(cid:162)(cid:59)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:248)(cid:336)(cid:47)(cid:181)(cid:68)(cid:325)(cid:326)(cid:47)(cid:48)(cid:327)(cid:224)(cid:66)(cid:85) 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:67)(cid:48)1(cid:68)(cid:77)(cid:76)B(cid:47) (cid:31)(cid:111)(cid:72)(cid:84)
(2)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)E(cid:28) (cid:26)𝐴(cid:137)𝐶(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:69) (cid:26)(cid:137)(cid:47)(cid:76)F(cid:68)(cid:220)(cid:120) = (cid:84)
(3)(cid:67)(cid:48)3(cid:68)E(cid:28)𝐴𝐵(cid:26)(cid:137)(cid:152)(cid:76)(cid:68)(cid:69)𝐶𝐷(cid:26)(cid:137)(cid:47)(cid:76)F(cid:68)(cid:220)(cid:120)𝐷𝐹= 𝐵𝐸(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)(cid:116)𝐴(cid:93)𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐵𝐸
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(3)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:50)(cid:48)—(cid:337)(cid:338)(cid:50)(cid:48)(cid:172)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:90)(cid:109)(cid:116)(cid:21)(cid:243)(cid:68)(cid:339)(cid:340)
(cid:202)(cid:203)(cid:138)(cid:11)(cid:112)(cid:113)(cid:116)(cid:201)(cid:193)(cid:21)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:33)(cid:157)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:50)(cid:45)(cid:72) (cid:134)(cid:125)(cid:84)
𝐵𝐷(cid:55)2(cid:66)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)O(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:74) (cid:75)(cid:76)F(cid:68)(cid:81)(cid:76)F(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
(cid:55)3(cid:66)(cid:186)(cid:187)𝐴𝐶(cid:68)𝐵𝐷(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)G(cid:68)(cid:186)(cid:187)𝐸𝑂(cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:74)𝐶𝐷(cid:75)(cid:76)F(cid:68)(cid:68)(cid:81)(cid:76)F(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)𝐶1𝐸(cid:66)(cid:67)𝐵𝐷(cid:48)1(cid:68)(cid:45)(cid:72) (cid:134)(cid:28)(cid:138)𝐴(cid:129)𝐺 (cid:85) 𝐵𝐶
𝐵𝐷
(cid:55)2(cid:66)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:81)(cid:76)F(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:55)3(cid:66)(cid:67)(cid:48)3(cid:68)(cid:81)(cid:76)F(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)5-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:163)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:322)(cid:150)(cid:166)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:289)(cid:112)(cid:37)(cid:230)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:324)(cid:317)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:135)
(cid:318)(cid:59)(cid:82)(cid:96)(cid:129)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:248)(cid:96)(cid:129)(cid:336)(cid:130)(cid:47)(cid:181)(cid:66)(cid:85) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:68)(cid:47)(cid:130)(cid:152)(cid:87)(cid:162) (cid:28)(cid:26)(cid:31)(cid:35)(cid:27)(cid:84)
𝐵𝐶 1
(2)(cid:69)(cid:48)2(cid:65)(cid:68)(cid:341)(cid:69) (cid:137)(cid:47)(cid:130)(cid:76) (cid:68)(cid:220) = (cid:85)
4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)(cid:116)(cid:93)𝐴𝐹 𝑀 𝐴𝑀 𝐴𝐹
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:50)(cid:48)-(cid:337)(cid:338)(cid:50)(cid:48)(cid:68)(cid:116)(cid:201)(cid:159)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:90)(cid:136)(cid:157)(cid:202)(cid:203)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:37)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:342)(cid:86)
(cid:47)(cid:48)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:289)(cid:112)(cid:250)(cid:251)(cid:125)(cid:112) (cid:90)(cid:343)(cid:70)(cid:331)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:216)(cid:203)(cid:343)(cid:70)(cid:331)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:112)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:120)(cid:133)(cid:31)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:134)(cid:28)(cid:162)
(cid:28)(cid:26)(cid:31)(cid:35)(cid:27)(cid:84) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐹,𝐶𝐸 𝐵𝐶
(cid:55)2(cid:66)(cid:186)(cid:187) (cid:74)(cid:75) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:74)(cid:75) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)𝐵1𝐹(cid:66),𝐴(cid:116)𝐷(cid:10)(cid:67)𝐻(cid:48)(cid:68)(cid:35)(cid:27)𝐵𝐷,𝐶𝐹(cid:134)(cid:28)𝐺(cid:138)(cid:129)(cid:85) 𝐺𝐻 𝐴𝐹 𝑀
𝐵𝐶𝐸𝐹
(cid:55)2(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:76) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
𝑀
(cid:109)(cid:127)(cid:67)(cid:59)(cid:10)(cid:118)(cid:119)(cid:21)(cid:243)(cid:125)(cid:120) = = = = = = (cid:68)
= = = =3∠0𝐵°(cid:68)𝐴𝐹 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 120°,𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐷
∴∠1=∠2 ∠3 ∠4=60°(cid:68)
∴(cid:118)∠(cid:119)5(cid:50)(cid:48)12(cid:158)0°(cid:37)−∠(cid:32)1(cid:26)−∠(cid:27)3(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:112) (cid:68)
= =90°(cid:68) = 𝐵𝐷=⊥𝐶𝐹,=𝐴𝐷⊥(cid:68)𝐵𝐹
∴∠𝐵𝐺=𝐹 ∠=𝐵𝐻𝐷(cid:68) 𝐵𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐻 𝐻𝐹
∴𝐵𝐺 𝐺𝐻(cid:90)(cid:102)𝐵(cid:26)𝐻(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)
∴△𝐵=𝐺𝐻 =60°(cid:68)
∴∠6 ∠=7 =90°(cid:68)
(cid:177)∴∠𝐻𝑀=𝐹 (cid:68)180°−∠2−∠7
𝐴𝐹 14𝑥
= = = =2 3 (cid:68)
2
2 2
∴𝐴𝐻 𝐴𝐹 2𝑥,𝐹𝐻 𝐴𝐹 −𝐴𝐻 𝑥
= 3 = = (cid:68)
2 2
∴𝑀𝐻= (cid:68)𝑥,𝑀𝐹 𝐻𝐹 −𝑀𝐻 3𝑥
∴𝐴𝑀 𝑥1
= (cid:85)
4
∴𝐴𝑀 𝐴𝐹
【题型6 网格无刻度直尺画图】
(cid:15)(cid:54)6(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:164)(cid:165)(cid:79)(cid:166)·(cid:64)(cid:185)(cid:66)(cid:48)①(cid:172)(cid:48)②(cid:172)(cid:48)③(cid:344)(cid:90)5×5(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:345)(cid:87)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)
(cid:26)(cid:79)(cid:344)(cid:28)1(cid:68)(cid:345)(cid:87)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:331)(cid:28)(cid:41)(cid:76)(cid:68)(cid:72)(cid:110) (cid:31)(cid:256)(cid:76)(cid:344)(cid:69)(cid:41)(cid:76)(cid:137)(cid:85)(cid:252)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:135)(cid:69)(cid:257)(cid:106)
(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:318)(cid:59)(cid:82)(cid:96)(cid:129)(cid:47)(cid:48)(cid:68)(cid:138)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:248)(cid:196)(cid:102)(cid:68)(cid:248)(cid:96)𝐴(cid:129)𝐵(cid:336)(cid:130)(cid:47)(cid:181)(cid:68)(cid:325)(cid:326)(cid:50)(cid:48)(cid:327)(cid:224)(cid:85)
(1)(cid:69)(cid:48)①(cid:65)(cid:47)(cid:197)(cid:239)(cid:28)4(cid:31) (cid:68)(cid:153)(cid:76)C(cid:172)D(cid:344)(cid:69)(cid:41)(cid:76)(cid:137)(cid:84)
(2)(cid:69)(cid:48)②(cid:65)(cid:47)(cid:197)(cid:239)(cid:28)4(cid:31)(cid:36)▱𝐴(cid:27)𝐵𝐶𝐷 (cid:68)(cid:153)(cid:76)E(cid:172)F(cid:344)(cid:69)(cid:41)(cid:76)(cid:137)(cid:84)
(3)(cid:69)(cid:48)③(cid:65)(cid:47)(cid:197)(cid:239)(cid:28)4(cid:31)(cid:35)(cid:27)𝐴𝐵𝐸𝐹 (cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)(cid:116)(cid:93) 𝐴𝐵𝑀𝑁
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(3)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:50)(cid:48)-(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:35)(cid:27)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:68)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:90)(cid:109)(cid:116)(cid:21)(cid:243)(cid:306)(cid:339)(cid:340)(cid:202)(cid:203)(cid:138)(cid:11)(cid:112)(cid:113)(cid:116)(cid:201)
(cid:193)(cid:21)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:47)(cid:152)(cid:87)(cid:346)(cid:26)(cid:90)2(cid:68)(cid:313)(cid:28)2(cid:31)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:134)(cid:125)(cid:68)
(cid:55)2(cid:66)(cid:47)(cid:152)(cid:87)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:83)(cid:135)(cid:28)4(cid:68)2(cid:31)(cid:36)(cid:27)(cid:134)(cid:125)(cid:84)
4
(cid:55)3(cid:66)(cid:162) = 5(cid:28)(cid:26)(cid:50)(cid:35)(cid:27)(cid:68)(cid:197)(cid:239)(cid:28)4(cid:68)(cid:81) = 5(cid:68)(cid:50)(cid:152)(cid:250)(cid:72)(cid:110)(cid:102)(cid:75) = 5(cid:68)(cid:122)(cid:153) (cid:68)(cid:216)(cid:203)(cid:23)(cid:24)
5
𝐴𝐵 𝐴𝑁 𝐴𝑃 𝐴𝑃⊥𝐴𝐵
(cid:72)(cid:83)(cid:72)(cid:110)(cid:295)(cid:347)(cid:54)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:265)(cid:266)(cid:73)(cid:348)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:220)(cid:73)(cid:348)(cid:347)(cid:28)1:4(cid:68)(cid:233) = 5(cid:83)(cid:295)1:4(cid:211)(cid:349)(cid:83)(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:116)(cid:91)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321) 𝐴𝑃(cid:55)2(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)
(cid:55)3(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)6-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:137)·(cid:285)(cid:16)(cid:350)(cid:351)·(cid:167)(cid:110)(cid:161)(cid:168)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:90)(cid:127)80(cid:87)(cid:26)(cid:79)(cid:28)1(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:198)(cid:295)(cid:31)10×8(cid:31)(cid:79)
(cid:38)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:85) (cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:170)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:137)(cid:68) =5(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
(1) (cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:28)__________(cid:68)(cid:76) (cid:133) (cid:31)(cid:352)(cid:353)(cid:28)__________(cid:84)
(2)(cid:317)△(cid:203)𝐴𝐵(cid:42)𝐶(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:50)(cid:48)(cid:55)(cid:325)(cid:326)(cid:47)(cid:48)𝐶(cid:77)𝐴(cid:214)𝐵(cid:31)(cid:327)(cid:224)(cid:66)
①(cid:50) (cid:31)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:85)
②(cid:69)(cid:26)∠𝐴𝐵𝐶(cid:137)(cid:86)(cid:106)(cid:152)(cid:76) (cid:68)(cid:220)(cid:120) =45°(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)𝐴𝐶(1)10(cid:68)4 𝑃 ∠𝐴𝐵𝑃
(2)①(cid:319)(cid:140)(cid:116)(cid:84)②(cid:319)(cid:140)(cid:116)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:41)(cid:76)(cid:50)(cid:48)(cid:172)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:116)(cid:21)(cid:3)(cid:117)(cid:90)(cid:216)(cid:203)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:158)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:116)(cid:21)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:33)(cid:157)(cid:48)(cid:27)(cid:125)(cid:112) =5(cid:68) (cid:26)(cid:137)(cid:31)(cid:313)(cid:28)4(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:197)(cid:239)(cid:7)(cid:148)(cid:134)(cid:125)(cid:354)(cid:120)(cid:91)(cid:92)(cid:84)(cid:177)(cid:76) (cid:133) (cid:31)(cid:352)(cid:353)(cid:28) (cid:68)
(cid:118)(cid:119)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:197)(cid:239)(cid:7)(cid:148)𝐵(cid:68)𝐶(cid:134)(cid:125)(cid:129)𝐵(cid:120)𝐶 (cid:31)(cid:242)(cid:84) 𝐶 𝐴𝐵 ℎ
(cid:55)2(cid:66)①(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:178)(cid:41)(cid:76) (cid:68)(cid:220)(cid:120)ℎ = (cid:68)(cid:153) (cid:68)(cid:355)(cid:112)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:33)(cid:157) = =5
(cid:125)(cid:112)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:68)𝐷(cid:50)(cid:320)(cid:72)𝐴𝐷(cid:68)(cid:118)𝐵(cid:119)𝐶“(cid:36)(cid:27)𝐴(cid:31)𝐷∥(cid:70)𝐵(cid:71)𝐶 (cid:72)(cid:356)(cid:73)(cid:111)(cid:45)(cid:23)𝐴(cid:83)𝐵𝐶(cid:153)𝐷(cid:23)(cid:83)(cid:345)(cid:152)(cid:198)(cid:70)(cid:71)”(cid:68)(cid:134)(cid:125)𝐴𝐵(cid:354)(cid:120)𝐵(cid:91)𝐶(cid:92)(cid:84)
②(cid:69)(cid:40)(cid:41)(cid:65)𝐴(cid:178)𝐵𝐶(cid:41)𝐷(cid:76) (cid:68)(cid:220)(cid:120) =𝐵𝐷 =5(cid:68)(cid:153) (cid:68)(cid:134) (cid:28)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:68)(cid:355)(cid:120) =45°(cid:68)
(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:354)𝐸(cid:120)(cid:91)(cid:92)𝐴(cid:85)𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵⊥𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:140)𝐴𝐶(cid:116)(cid:20)(cid:55)𝑃1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:118)(cid:119)(cid:21)(cid:243)(cid:68)(cid:125)(cid:112) =5(cid:68) =5(cid:68) (cid:26)(cid:137)(cid:31)(cid:313)(cid:28)4(cid:68)
1 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶
= ×5×4=10(cid:68)
2
𝑆(cid:177) △ (cid:76) 𝐴𝐵𝐶 (cid:133) (cid:31)(cid:352)(cid:353)(cid:28) (cid:68)
𝐶 𝐴𝐵 1 ℎ 1
(cid:81)(cid:145) = =10(cid:68)(cid:134) × =10(cid:68)
2 2
(cid:116)(cid:120)
𝑆△
=
𝐴𝐵
4
𝐶
(cid:68) 𝐴𝐵⋅ℎ 5ℎ
(cid:134)(cid:76)ℎ(cid:133) (cid:31)(cid:352)(cid:353)(cid:28)4(cid:85)
(cid:141)(cid:91)(cid:92)𝐶 (cid:28)𝐴(cid:10)𝐵10(cid:68)4(cid:84)
(cid:55)2(cid:66)①(cid:67)(cid:59)(cid:48)(cid:68)(cid:320)(cid:72) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
𝐵𝐷
②(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:76)P(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)6-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:285)(cid:16)(cid:350)(cid:351)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:90)(cid:127)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:198)(cid:295)(cid:31)8×6(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:345)(cid:87)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:357)
(cid:358)(cid:41)(cid:76)(cid:85) (cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:170)(cid:90)(cid:41)(cid:76)(cid:68)(cid:317)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:257)(cid:106)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:335)(cid:295)(cid:47)(cid:48)(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:68)(cid:128)(cid:69)(cid:320)(cid:72) (cid:137)(cid:47)(cid:76)D(cid:68)(cid:220) = (cid:68)(cid:156)(cid:69) (cid:137)(cid:47)(cid:76)E(cid:68)(cid:220) = (cid:84)
(2)(cid:69)(cid:48)2(cid:65)(cid:68)(cid:76)P(cid:69)(cid:72)(cid:110)𝐵𝐶 (cid:137)(cid:68)(cid:128)(cid:47)(cid:72)(cid:110)∠𝐷(cid:31)𝐴𝐶(cid:65)(cid:76)∠O𝐵(cid:68)𝐴(cid:156)𝐶(cid:233)(cid:72)(cid:110)𝐴𝐵(cid:222)(cid:320)(cid:72) (cid:38)(cid:359)𝐶(cid:23)𝐸 (cid:290)𝐵(cid:208)𝐶 (cid:68)(cid:220)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84) 𝐵𝐶 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝐴𝐵𝑁𝑀
(3)(cid:69)(cid:55)2(cid:66)(cid:31)(cid:360)(cid:361)(cid:137)(cid:68)(cid:128)(cid:47) (cid:68)(cid:156)(cid:69) (cid:137)(cid:47)(cid:76)Q(cid:68)(cid:220) = (cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:140)(cid:319)(cid:116)(cid:93) ▱𝐴𝐵𝑃𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝑄 𝐵𝑃
(2)(cid:140)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(3)(cid:140)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:41)(cid:76)(cid:50)(cid:48)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:35)(cid:27)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:73)(cid:3)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:69)(cid:320)(cid:72) (cid:137)(cid:362)(cid:178) = (cid:68)(cid:186)(cid:187)(cid:41)(cid:76) (cid:74) (cid:75)(cid:76)E(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
(cid:55)2(cid:66)(cid:177) (cid:74)𝐵(cid:40)𝐶(cid:41)(cid:72)(cid:75)𝐶(cid:76)𝐷O(cid:68)𝐶(cid:178)𝐵(cid:41)(cid:76) (cid:68)(cid:81)𝐷K𝑀(cid:28) 𝐴𝐵(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:355)(cid:131) 𝐶𝐸 (SAS)(cid:68)(cid:120)(cid:133)
= 𝐴𝑃 = (cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:45)(cid:71)𝐾(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)𝐴(cid:100)𝐶(cid:101)(cid:125)(cid:120) △=𝐴𝑂𝐾≌△(cid:68)(cid:355)𝐶𝑂(cid:120)𝐾 = (cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:191)(cid:130)
𝐴𝑂=𝐶𝑂,(cid:68)∠𝑂(cid:134)𝐴(cid:125)𝐾(cid:120)(cid:133)∠𝑂(cid:76)𝐶𝐾O(cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:84)(cid:127)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:129)(cid:130) ∠𝑂=𝐶𝑃5(cid:68)(cid:81)∠𝑂(cid:50)𝑃𝐶 = 𝑂𝑃=5(cid:134)𝑂𝐶(cid:125)(cid:84)
𝐴(cid:55)𝑂3(cid:66)(cid:186)𝑃𝑂(cid:187) (cid:306)(cid:78)(cid:79)(cid:74) (cid:78)(cid:79)𝐴𝑃(cid:72)(cid:75)(cid:76)G(cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 𝐴(cid:90)𝐵(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)𝐴𝑀(cid:186)(cid:187)𝐵𝑀(cid:74) (cid:75)(cid:76)H(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:306)(cid:78)
(cid:79)(cid:74) (cid:75)(cid:76)𝐵𝑂Q(cid:68)(cid:81) 𝐾=𝐴 (cid:85) 𝐴𝐵𝑃𝐺 𝐵𝑀 𝑃𝐺 𝐻𝑂
(cid:15)(cid:140)𝐴(cid:116)𝐵(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)𝐴(cid:67)𝑄(cid:48)(cid:68)𝐵(cid:76)𝑃 D(cid:158)(cid:76)E(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
= = (cid:68)
∵𝐵𝐶 𝐶=𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵=𝐷,9𝐴0𝐶°(cid:68)𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 (SAS)(cid:68)
∴△𝐴𝐶𝐵=≌△𝐴𝐶𝐷(cid:84)
∴(cid:127)∠(cid:40)𝐷𝐴(cid:41)𝐶(cid:72)(cid:31)∠(cid:100)𝐵𝐴(cid:101)𝐶(cid:120) (cid:68)(cid:134) (cid:68)
= =𝐷9𝑀0°⊥(cid:68)𝐴𝐵 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
∴∠(cid:76)𝐴𝐸(cid:90)𝐷 ∠(cid:31)𝐵(cid:65)𝐸𝐷(cid:76)(cid:68)
∵𝐶 1𝐵𝐷
= = (cid:84)
2
∴𝐶𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐶(cid:55)2(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:68)
𝐴𝐵𝑁𝑀
(cid:177) (cid:74)(cid:40)(cid:41)(cid:72)(cid:75)(cid:76)O(cid:68)
(cid:127)(cid:40)𝐴𝑃(cid:41)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120) (cid:76)(cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:81) = (cid:68) (cid:68)
= =𝐾90°(cid:68)𝐴𝐶 𝐴𝐾 𝐶𝐾 𝑂𝐾⊥𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐾=𝑂 ∠(cid:68)𝐶𝐾𝑂
∵𝑂𝐾 𝑂𝐾 (SAS)(cid:68)
∴△𝐴=𝑂𝐾≌△𝐶𝑂𝐾= (cid:68)
∴𝐴𝑂 𝐶+𝑂,∠𝑂𝐴𝐾= ∠𝑂𝐶𝐾+ =90°(cid:68)
∵∠𝑂𝐴𝐾=∠𝑂𝑃𝐶(cid:68) ∠𝑂𝐶𝐾 ∠𝑂𝐶𝑃
∴∠𝑂𝐶=𝑃 ∠(cid:68)𝑂𝑃𝐶
∴𝑂𝑃 =𝑂𝐶(cid:68)(cid:134)(cid:76)O(cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:84)
∴𝐴𝑂 =𝑃𝑂 = =𝐴𝑃5(cid:68)
∵(cid:25)𝐴𝑀(cid:26)(cid:27)𝐵𝑁,𝐴𝑀(cid:90)(cid:23)𝐵𝑁(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∴ 𝐴𝐵𝑁𝑀
= + =5(cid:68)
2 2
∵𝐴𝐵= 𝐴(cid:68)𝐶 𝐵𝐶
∴(cid:25)𝐴𝐵(cid:26)(cid:27)𝐵𝑁 (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
∴(cid:55)3(cid:66)(cid:116)(cid:10)𝐴𝐵(cid:67)𝑁(cid:48)𝑀(cid:68)(cid:76)G(cid:158)Q(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85)
(cid:127)(cid:55)2(cid:66)(cid:112) (cid:76)(cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)
(cid:68)𝑂 =𝐴𝑃 (cid:68) 𝐴𝐵𝑁𝑀
∴𝐴𝐺∥𝐵𝑃= 𝐴𝑂 (cid:68)𝑃𝑂
∴∠𝐴𝐺𝑂=∠𝑃𝐵𝑂(cid:68)
∵∠𝐴𝑂𝐺 ∠𝐵𝑂𝑃(AAS)(cid:68)
∴△𝐴=𝑂𝐺≌(cid:68)△𝑃𝑂𝐵
∴(cid:25)𝐴𝐺(cid:26)(cid:27)𝐵𝑃 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:84)
∴ 𝐴(cid:68)𝐵𝑃𝐺
∴𝐴𝐵∥𝑃𝐺= (cid:68)
∴(cid:25)∠𝐴(cid:26)𝐵𝐻(cid:27) ∠𝐵𝐻(cid:90)𝑃(cid:36)(cid:27)(cid:68)
∵ =𝐴𝐵𝑁𝑀 (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐻= ∠𝑃𝐵𝐻(cid:68)
∴∠𝑃𝐵=𝐻 (cid:68)∠𝐵𝐻𝑃
∴𝑃𝐻 𝐵𝑃(cid:68)
∵𝐴𝐵∥𝑃𝐺= (cid:68)
∴∠𝑂𝐴=𝑄 ∠𝑂𝑃𝐻 =
∵𝐴𝑂 𝑃𝑂,∠𝐴𝑂𝑄 (A∠S𝑃A𝑂)(cid:68)𝐻
∴△𝐴=𝑂𝑄≌(cid:68)△𝑃𝑂𝐻
∴𝐴A𝑄Q=𝑃B𝐻P(cid:85)
(cid:15)∴ (cid:147)(cid:148)6-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:285)(cid:16)(cid:350)(cid:351)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:90)(cid:127)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:198)(cid:295)(cid:31)8×8(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:345)(cid:87)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:357)
(cid:41)(cid:76)(cid:85)(cid:79)(cid:38)(cid:27) (cid:31)(cid:328)(cid:76)(cid:158)(cid:76) (cid:344)(cid:90)(cid:41)(cid:76)(cid:68) (cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:317)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:257)(cid:106)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:335)(cid:295)(cid:47)(cid:48)(cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:128)(cid:47)(cid:76) (cid:68)(cid:186) (cid:68)(cid:220)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:156)(cid:47) (cid:68)(cid:220) (cid:55)(cid:96)(cid:129)(cid:76)
(cid:31)(cid:70)(cid:227)(cid:76) (cid:69)(cid:45)(cid:72)𝐻 (cid:137)(cid:66)𝐷(cid:84)𝐻 𝐸𝐷𝐻𝐹 △𝐴𝑀𝑁 △𝐴𝑀𝑁≌△𝐷𝐶𝐻 𝐶
(2)(cid:69)(cid:48)2𝑀(cid:65)(cid:68)(cid:128)(cid:47)𝐴(cid:76)𝐷 (cid:3)(cid:75)(cid:45)(cid:72) (cid:31)(cid:70)(cid:331)(cid:76) (cid:68)(cid:156)(cid:69) (cid:137)(cid:47)(cid:76) (cid:68)(cid:220) (cid:68)(cid:111)(cid:273)(cid:28) (cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)(cid:116)(cid:93) 𝐴 𝐸𝐹 𝑃 𝐵𝐶 𝑄 𝑄𝐺⊥𝐸𝐹 𝐺(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:65)(cid:210)
(cid:72)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:160)(cid:112)(cid:73)(cid:3)(cid:112)(cid:113)(cid:162)(cid:171)(cid:41)(cid:76)(cid:50)(cid:48)(cid:31)(cid:38)(cid:181)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:67)(cid:116)(cid:93)(cid:48)(cid:68)(cid:178)(cid:41)(cid:76)H(cid:68)M(cid:68)N(cid:68)(cid:81)(cid:41)(cid:76)H(cid:158) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
(cid:55)2(cid:66)(cid:178)(cid:41)(cid:76)S(cid:172)T(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:74)(cid:75)(cid:76)P(cid:84)(cid:178)(cid:41)(cid:76)△𝐴(cid:172)𝑀𝑁(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:74)(cid:41)(cid:72)(cid:75)J(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:74) (cid:75)Q(cid:68)(cid:81)P(cid:172)Q
(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:85) 𝐴𝑆 𝐷𝑇 𝐿 𝐾 𝐿𝐾 𝐽𝐺 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)(cid:68)(cid:41)(cid:76)H(cid:158) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)
△𝐴𝑀𝑁
(cid:55)2(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)(cid:68)(cid:178)(cid:41)(cid:76)S(cid:172)T(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:74)(cid:75)(cid:76)P(cid:84)(cid:178)(cid:41)(cid:76) (cid:172) (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:74)(cid:41)(cid:72)(cid:75)J(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:74)
(cid:75)Q(cid:68)(cid:81)P(cid:172)Q(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84) 𝐴𝑆 𝐷𝑇 𝐿 𝐾 𝐿𝐾 𝐽𝐺 𝐵𝐶
(cid:125)(cid:131)(cid:132) (cid:68) (cid:68)(cid:125)(cid:363)(cid:253) (cid:65)(cid:76)W(cid:68)(cid:127)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:65)(cid:210)(cid:72)(cid:106)(cid:109)(cid:125)(cid:120) (cid:68)(cid:81)E(cid:172)W(cid:172)F(cid:104)(cid:76)(cid:364)(cid:72)(cid:68)
(cid:81)(cid:76)P𝐸(cid:134)𝐹(cid:28)∥(cid:138)𝐷𝑇(cid:129)(cid:84)𝐴𝑆⊥𝐸𝐹 𝐴𝑃 𝐸𝑊∥𝐷𝑇
(cid:125)(cid:131)(cid:132) = (cid:68) (cid:68) =90°(cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:68)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:133) (cid:85)
𝐹𝐺 𝐿𝐾 𝐹𝐺∥𝐿𝐾 ∠𝐽𝐾𝐹 𝐽𝐾𝐹𝐺 𝐽𝐺⊥𝐸𝐹【题型7 尺规作图与计算】
(cid:15)(cid:54)7(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:365)(cid:366)(cid:365)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:50)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72) (cid:68)(cid:83)(cid:135)(cid:74) (cid:172) (cid:75)(cid:76) (cid:172) (cid:68)(cid:111)(cid:273)(cid:28)(cid:76) (cid:55)(cid:96)(cid:129)(cid:203)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:68)(cid:325)(cid:326)
(cid:50)(cid:48)(cid:327)(cid:224)(cid:68)(cid:248)(cid:96)(cid:129)(cid:336)(cid:50)𝐵𝐷(cid:181)(cid:66) 𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑀 𝑁 𝑂
(2)(cid:69)(cid:55)1(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:158) (cid:68)(cid:129)(cid:131)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
(3)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:76) (cid:69)(cid:35)(cid:27)𝐵𝑀 𝐷𝑁(cid:31)(cid:26) (cid:137)(cid:68)(cid:153) 𝐷=𝑀𝐵𝑁(cid:68)(cid:78)(cid:79) (cid:133)(cid:76) (cid:68)(cid:220) = (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:85)(cid:80) =5(cid:68)
=2(cid:68)(cid:81)(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:27) 𝐴𝐵(cid:31)𝐶𝐷(cid:197)(cid:239)(cid:28)𝐵(cid:32)𝐶 (cid:367)(cid:368) 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐹 𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐷
𝐵(cid:15)𝐸(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:48)(cid:319)(cid:116)(cid:93)𝐴𝐷𝐸𝐹
(2)(cid:131)(cid:132)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(3)20
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:172)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:172)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:172)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:68)
(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
1
(cid:55)1(cid:66)(cid:83)(cid:135)(cid:162)(cid:76) (cid:28)(cid:369)(cid:332)(cid:68)(cid:162)(cid:18)(cid:75) (cid:31)(cid:79)(cid:28)(cid:190)(cid:370)(cid:47)(cid:371)(cid:68)(cid:25)(cid:371)(cid:74)(cid:75)(cid:211)(cid:76)(cid:68)(cid:77)(cid:211)(cid:76)(cid:50)(cid:45)(cid:72)(cid:125)(cid:120)(cid:72)(cid:110) (cid:31)(cid:111)(cid:45)
2
(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:127)(cid:94)(cid:134)𝐵(cid:125),𝐷(cid:120)(cid:84) 𝐵𝐷 𝐵𝐷
(cid:55)2(cid:66)(cid:128)(cid:118)(cid:119)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:172)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:120)
(cid:68) = = (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:102)(cid:103)(cid:104)∠(cid:71)𝐵(cid:27)𝑁𝑀(cid:31)(cid:100)(cid:101)∠𝐷(cid:125)𝑀(cid:120)𝑁 = (cid:68)(cid:207)(cid:122)(cid:125)(cid:120) = (cid:68)
𝑀(cid:123)𝑁(cid:124)⊥(cid:118)𝐵(cid:119)𝐷(cid:102)(cid:103)𝐵𝑀(cid:104)(cid:71)𝐷(cid:27)𝑀(cid:31),𝐵(cid:105)𝑁(cid:106)(cid:125)𝐷𝑁(cid:120) = (cid:68)(cid:240)(cid:124)(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)∠(cid:106)𝐵𝑀(cid:134)𝑁(cid:125)(cid:120)∠(cid:131)𝐷(cid:84)𝑀𝑁 ∠𝐵𝑁𝑀 ∠𝐵𝑀𝑁
(cid:55)3(cid:66)(cid:128)(cid:131)(cid:130)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)𝐵(cid:25)𝑀(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:68)𝑁(cid:156)(cid:129)(cid:130) = = (cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:216)(cid:203)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:197)(cid:239)(cid:7)(cid:148)
(cid:52)(cid:53)(cid:134)(cid:125)(cid:120)(cid:85) 𝐴𝐷𝐸𝐹 𝐸𝐹 5,𝐴𝐵 4,𝐴𝐵⊥𝐵𝐶
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:127)(cid:21)(cid:243)(cid:68)(cid:50)(cid:48)(cid:67)(cid:59)(cid:10)
(cid:85)(cid:55)2(cid:66)(cid:131)(cid:132)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:158) (cid:68)
(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:68) 𝐵𝑀 𝐷𝑁
∵ 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:68)
∴∠𝐵𝑁(cid:111)𝑀(cid:45)(cid:23)∠(cid:83)𝐷𝑀𝑁(cid:68)
∵𝑀𝑁 (cid:68) 𝐵𝐷= = (cid:68)
∴𝑀𝑁⊥𝐵=𝐷 𝐵𝑀 (cid:55)𝐷(cid:102)𝑀(cid:103),𝐵(cid:104)𝑁(cid:71)(cid:27)𝐷𝑁(cid:31)(cid:104)(cid:72)(cid:157)(cid:152)(cid:66)(cid:68)
∴∠𝐵𝑀𝑁=∠𝐷𝑀𝑁(cid:68)
∴∠𝐵𝑁=𝑀 (cid:68)∠𝐵𝑀𝑁
∴𝐵𝑀 =𝐵𝑁 = = (cid:68)
∴(cid:25)𝐷𝑀(cid:26)(cid:27)𝐵𝑀 𝐵(cid:90)𝑁(cid:36)(cid:27)𝐷(cid:85)𝑁
∴(cid:55)3(cid:66)(cid:116)(cid:10)𝐷𝑀(cid:25)𝐵𝑁(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:68) =5(cid:68)
= ∵= 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:68) (cid:68)𝐴𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶(cid:68) 5,𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶
∵𝐵𝐹+ 𝐶𝐸= + (cid:68)(cid:134) = =5(cid:68)
∴𝐵𝐹 =𝐵𝐸(cid:68)𝐶𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐶
∴(cid:25)𝐴𝐷(cid:26)(cid:27)𝐸𝐹 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∴ = 𝐴𝐷(cid:68)𝐸𝐹
∴𝐴𝐹 =𝐷𝐸(cid:68)
∵𝐷𝐸= 𝐴𝐷=5(cid:68)
∴𝐴𝐹=5𝐴(cid:68)𝐷 =2(cid:68)
∵𝐸𝐹 = 𝐵𝐸 =3(cid:68)
∴𝐵𝐹 𝐸𝐹−𝐵𝐸
(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68) = =4(cid:68)
2 2
(cid:23)(cid:24)△(cid:25)𝐴(cid:26)𝐵𝐹(cid:27) 𝐴𝐵(cid:31)(cid:197)(cid:239)𝐴𝐹(cid:28)−𝐵𝐹 =5×4=20(cid:85)
∴(cid:15)(cid:147)(cid:148)7-1(cid:20)𝐴(cid:55)𝐷2𝐸0𝐹25·(cid:372)(cid:373)·(cid:65)(cid:97)𝐸𝐹(cid:374)⋅𝐴(cid:21)𝐵(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:68) (cid:90)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐵𝐷(1)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:10)(cid:324)(cid:203)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:158)(cid:369)(cid:49)(cid:68)(cid:50)(cid:72)(cid:110) (cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:111)(cid:273)(cid:28)(cid:76)O(cid:68)(cid:51)(cid:26) (cid:68) (cid:83)(cid:135)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
E(cid:68)F(cid:55)(cid:96)(cid:129)(cid:10)(cid:248)(cid:336)(cid:50)(cid:181)(cid:68)(cid:325)(cid:326)(cid:50)(cid:48)(cid:327)(cid:224)(cid:68)(cid:306)(cid:233)(cid:50)𝐵(cid:48)𝐷(cid:327)(cid:224)(cid:203)(cid:375)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:380)(cid:375)(cid:66)(cid:84) 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(2)(cid:69)(cid:55)1(cid:66)(cid:31)(cid:250)(cid:251)(cid:59)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68) (cid:68)(cid:129)(cid:131)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)(cid:319)(cid:116)(cid:93) 𝐵𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐹𝐷𝐸
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)
(cid:15)(cid:83)(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:68)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:171)(cid:154)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:68)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:68)
(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:105)(cid:106)(cid:102)(cid:102)(cid:68)(cid:160)(cid:112)(cid:73)(cid:3)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:83)(cid:135)(cid:162)B(cid:172)D(cid:28)(cid:369)(cid:332)(cid:68)(cid:162)(cid:18)(cid:75) (cid:79)(cid:31)(cid:152)(cid:190)(cid:47)(cid:371)(cid:68)(cid:282)(cid:381)(cid:74)(cid:75)M(cid:172)N(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:83)(cid:135)(cid:51)(cid:51)(cid:26) (cid:68) (cid:83)(cid:135)(cid:74)
(cid:75)(cid:76)E(cid:68)F(cid:68)(cid:81)(cid:76)E(cid:158)(cid:76)F(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)𝐵(cid:84)𝐷 𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:55)2(cid:66)(cid:127)(cid:72)(cid:110)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:31)(cid:106)(cid:180)(cid:382)(cid:120)(cid:133) = (cid:68) = =90°(cid:68) = (cid:68)(cid:156)(cid:127)(cid:102)(cid:26)(cid:70)(cid:102)(cid:71)(cid:158)(cid:23)(cid:24)
(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:191)(cid:130) = (cid:68)(cid:81)(cid:125)𝐵(cid:131)𝐸(cid:132) 𝐷𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸 ∠(𝐵A𝑂SA𝐹)(cid:68)(cid:120)(cid:133) 𝑂𝐵= 𝑂𝐷(cid:68)(cid:119)(cid:94)(cid:125)(cid:131)(cid:132)(cid:33)(cid:34)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)∠(cid:10)𝐸𝐵(cid:67)𝑂(cid:48)(cid:138)∠(cid:321)𝐹𝐵(cid:68)𝑂(cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:84)△𝐸𝐵𝑂≌△𝐹𝐵𝑂 𝑂𝐸 𝑂𝐹
(cid:55)2(cid:66)(cid:131)(cid:132)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:138)(cid:321)(cid:68)
(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83) (cid:68)
∵𝐸𝐹 = (cid:68) 𝐵𝐷 = =90°(cid:68) = (cid:68)
∴𝐵𝐸 𝐷=𝐸 ∠𝐵𝑂(cid:68)𝐸 ∠𝐵𝑂𝐹 𝑂𝐵 𝑂𝐷
∴∠𝐸𝐵𝐷 (cid:68)∠𝐸𝐷𝐵
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:68)
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷(cid:68)
∴(cid:142)∠𝐸𝐵𝑂= ∠𝐹(cid:68)𝐵𝑂
∵𝑂𝐵 𝑂𝐵(ASA)(cid:68)
∴△𝐸=𝐵𝑂≌(cid:68)△𝐹𝐵𝑂
∴(cid:25)𝑂𝐸(cid:26)(cid:27)𝑂𝐹 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:142)∴ =𝐵𝐸𝐷(cid:68)𝐹
(cid:25)∵(cid:26)𝐵𝐸(cid:27)B𝐷ED𝐸F(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:85)
∴(cid:15)(cid:147)(cid:148)7-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:205)(cid:42)(cid:206)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)1(cid:68)(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:25)(cid:250)(cid:26)(cid:137)(cid:83)(cid:135)(cid:178) (cid:68) (cid:68) (cid:68) (cid:25)(cid:76)(cid:68)(cid:383)(cid:384)
(cid:186)(cid:187) (cid:172) (cid:172) (cid:172) (cid:138)(cid:120)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:173)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:85) 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐻 𝐻𝐸 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:35)(cid:27) (cid:68) =9(cid:68)(cid:76) (cid:69)(cid:72)(cid:110) (cid:137)(cid:153) =3(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27) (cid:31)(cid:173)(cid:187)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:129) (cid:31)(cid:79)(cid:44)(cid:84) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐸𝐵 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵𝐶𝐷
(2)𝐺(cid:67)𝐶(cid:48)3(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:76) (cid:69)(cid:72)(cid:110) (cid:137)(cid:68)(cid:324)(cid:271)(cid:69)(cid:48)(cid:65)(cid:47)(cid:130)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:173)(cid:187)(cid:36)(cid:27) (cid:68)(cid:76)
(cid:69)(cid:26) (cid:137)(cid:84)(cid:55)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:325)𝐷(cid:326)(cid:327)(cid:224)𝐸(cid:66) 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐹
(3)(cid:69)𝐵(cid:137)𝐶(cid:152)(cid:193)(cid:31)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:68)(cid:80)(cid:289)(cid:112) =4(cid:68) =45°(cid:68) = 2(cid:68)(cid:324)(cid:129)(cid:130)(cid:244) (cid:240)(cid:246)(cid:221)(cid:68) (cid:31)(cid:79)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)(1)6(cid:84) 𝐴𝐸 ∠𝐵 𝐸𝐵 𝐵𝐹 𝐵𝐶
(2)(cid:319)(cid:116)(cid:93)(cid:84)
(3) (cid:31)(cid:79)(cid:28)1+ 15(cid:85)
(cid:15)(cid:83)𝐵𝐶(cid:93)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:133) = =90°(cid:68) (cid:68) = =9(cid:68)(cid:129)(cid:120)
= (cid:68)(cid:118)𝐻(cid:119)𝐹(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:133)∠𝐷= ∠𝐵(cid:68) 𝐴(cid:68)𝐷(cid:129)∥𝐵(cid:120)𝐶 𝐴𝐵 =𝐶𝐷 (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:196)(cid:102)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)
∠(cid:100)𝐷(cid:101)𝐻(cid:120)𝐹 (cid:133)∠(cid:33)𝐻(cid:34)𝐹𝐵(cid:84) 𝐺𝐻 𝐸𝐹 𝐺𝐻∥𝐸𝐹 ∠𝐺𝐻𝐹 ∠𝐻𝐹𝐸
(cid:55)2(cid:66)(cid:127)(cid:55)1(cid:66)(cid:112)(cid:10) (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:21)(cid:243)(cid:50)(cid:130)(cid:48)(cid:27)(cid:134)(cid:125)(cid:84)
(cid:55)3(cid:66)(cid:244) (cid:51) (cid:188)(cid:157)(cid:68)△(cid:81)𝐷𝐻(cid:51)𝐺≌(cid:188)△(cid:157)𝐵𝐹(cid:221)𝐸(cid:68)(cid:94)(cid:221) (cid:31)(cid:79)(cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:77) (cid:50) (cid:75) (cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)
𝐹 𝐶 𝐴 𝐻 𝐵𝐹 𝐸 𝐸𝑃⊥𝐵𝐶 𝑃
(cid:133) = =1(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:133) = =4(cid:68)(cid:118)(cid:119)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:120)(cid:133) = 4 1 = 15(cid:68)(cid:75)(cid:90)(cid:120)(cid:133)(cid:33)
2 2
(cid:34)𝐵(cid:85)𝑃 𝐸𝑃 𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝑃𝐹 −
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)
𝐻𝐹(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷90°(cid:68) (cid:68) = =9(cid:68)
∴∠𝐷 ∠=𝐵 (cid:68)𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∴(cid:25)∠𝐷(cid:26)𝐻(cid:27)𝐹 ∠𝐻𝐹(cid:90)𝐵(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
∵ = 𝐸𝐹(cid:68)𝐺𝐻 (cid:68)
∴𝐺𝐻 𝐸=𝐹 𝐺𝐻∥(cid:68)𝐸𝐹
∴∠𝐺𝐻𝐹 ∠𝐻𝐹𝐸= (cid:68)
∴(cid:134)∠𝐷𝐻𝐹−=∠𝐺𝐻𝐹 (cid:68)∠𝐵𝐹𝐻−∠𝐻𝐹𝐸
∠𝐷𝐻𝐺 ∠𝐵𝐹𝐸(AAS)(cid:68)
∴△𝐷=𝐻𝐺≌=△3𝐵(cid:68)𝐹𝐸
∴𝐷𝐺= 𝐵𝐸 = =6(cid:84)
(cid:55)∴𝐶2𝐺(cid:66)(cid:116)𝐶(cid:10)𝐷−(cid:67)𝐷(cid:48)𝐺(cid:68)(cid:127)9−(cid:55)31(cid:66)(cid:112)(cid:10) (cid:68)
= (cid:68) △𝐷𝐻𝐺≌△𝐵𝐹𝐸
(cid:50)∴𝐷(cid:181)𝐺(cid:10)(cid:50)𝐵𝐸 = (cid:68)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:156)(cid:50) (cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:74) (cid:172) (cid:75) (cid:172) (cid:68)(cid:120)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:134)(cid:28)(cid:138)(cid:129)(cid:50)(cid:31)(cid:173)(cid:187)
(cid:36)(cid:27) 𝐷(cid:84)𝐺 𝐵𝐸 𝐸𝐺 𝐸𝐺 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐻 𝐹 𝐸𝐹𝐺𝐻
𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:55)3(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:244) (cid:51) (cid:188)(cid:157)(cid:68)(cid:81) (cid:51) (cid:188)(cid:157)(cid:221)(cid:68)(cid:94)(cid:221) (cid:31)(cid:79)(cid:240)(cid:241)(cid:68)(cid:77) (cid:50) (cid:75) (cid:68)
𝐹 𝐶 𝐴 𝐻 𝐵𝐹 𝐸 𝐸𝑃⊥𝐵𝐶 𝑃
(cid:69)Rt (cid:65)(cid:68)
△𝐵𝐸𝑃=45°(cid:68) = 2(cid:68)
∵∠𝐵= =𝐵1(cid:68)𝐸
∴(cid:25)𝐵𝑃(cid:26)(cid:27)𝐸𝑃 (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)
∵ = 𝐸𝐹=𝐺𝐻4(cid:68)
∴𝐴𝐸 𝐸𝐶
= 4 1 = 15(cid:68)
2 2
∴𝑃𝐹 = = − + =1+ 15(cid:68)
∴(cid:134)𝐵(cid:244)𝐹BF𝐵(cid:31)𝐶(cid:79)(cid:240)𝐵(cid:246)𝑃(cid:221)𝐶(cid:68)𝐹BC(cid:31)(cid:79)(cid:28)1+ 15(cid:85)
(cid:15)(cid:76)(cid:179)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:372)(cid:106)(cid:180)——(cid:25)(cid:26)(cid:27)ABCD(cid:31)(cid:173)(cid:187)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:360)(cid:159)(cid:50)(cid:48)——(cid:72)(cid:110)(cid:31)(cid:111)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:71)(cid:27)
(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:111)(cid:72)(cid:110)(cid:240)(cid:246)(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:172)(cid:36)(cid:27)(cid:158)(cid:35)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:112)(cid:113)(cid:76)(cid:31)(cid:227)(cid:203)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)7-3(cid:20)(cid:55)2025·(cid:194)(cid:183)(cid:194)(cid:63)·(cid:282)(cid:283)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:68) = (cid:68) (cid:75)(cid:76) (cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐷𝐶 𝐷
(1)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:10)(cid:50) (cid:31)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:55)(cid:248)(cid:336)(cid:50)(cid:181)(cid:68)(cid:325)(cid:326)(cid:50)(cid:48)(cid:327)(cid:224)(cid:66)
(2)(cid:186)(cid:187) (cid:68)(cid:25)(cid:26)∠(cid:27)𝐴𝐵𝐶 (cid:31)(cid:27)(cid:385)(cid:68)(cid:306)(cid:131)𝐶(cid:132)𝐷(cid:271)(cid:31)(cid:33)𝐸 (cid:34)(cid:84)𝐴𝐶 𝑂
(3)(cid:186)(cid:187)𝐴𝐸(cid:68)(cid:80) =𝐴𝐵𝐶𝐸=3(cid:68)(cid:129) (cid:79)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:20)𝑂𝐷(1)(cid:319)(cid:116)𝐴(cid:93)𝐵 (cid:84)𝐵𝐸 𝑂𝐷
(2) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:319)(cid:116)(cid:93)(cid:84)
𝐴𝐵𝐶𝐸3
(3) = 3(cid:85)
2
(cid:15)(cid:83)𝑂𝐷(cid:93)(cid:20)(cid:159)(cid:21)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:360)(cid:159)(cid:50)(cid:48)—(cid:50)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:158)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:68)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:27)
(cid:31)(cid:105)(cid:106)(cid:38)(cid:181)(cid:90)(cid:116)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:85)
(cid:55)1(cid:66)(cid:216)(cid:203)(cid:360)(cid:159)(cid:50)(cid:48)(cid:50)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:134)(cid:125)(cid:84)
(cid:55)2(cid:66)(cid:127) (cid:23)(cid:83) (cid:68)(cid:81) = (cid:68)(cid:156)(cid:118)(cid:119)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:120)(cid:130) = (cid:68)(cid:141)(cid:145) = (cid:68)(cid:123)(cid:124)
(cid:216)(cid:203)(cid:36)(cid:27)𝐵(cid:31)𝐸(cid:105)(cid:106)∠(cid:38)𝐴(cid:181)𝐵𝐶(cid:131)(cid:132)(cid:134)∠(cid:125)𝐴𝐵(cid:84)𝐸 ∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸
(cid:55)3(cid:66)(cid:118)(cid:119)(cid:36)(cid:27)(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:158)(cid:107)(cid:108)(cid:106)(cid:109)(cid:129)(cid:130) (cid:79)(cid:68)(cid:156)(cid:216)(cid:203)(cid:45)(cid:71)(cid:104)(cid:71)(cid:27)(cid:189)(cid:26)(cid:137)(cid:31)(cid:65)(cid:72)(cid:102)(cid:75)(cid:189)(cid:26)(cid:31)(cid:152)(cid:190)(cid:116)(cid:21)(cid:134)(cid:125)(cid:85)
(cid:15)(cid:140)(cid:116)(cid:20)(cid:55)1(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:67)(cid:48)(cid:68) 𝐴𝑂(cid:55)2(cid:66)(cid:116)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:68)(cid:109)(cid:127)(cid:67)(cid:59)(cid:68)
(cid:67)(cid:48)(cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐸
(cid:23)(cid:83) (cid:68)
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐸 (cid:68)∠𝐸𝐵𝐶
∵𝐴𝐵∥𝐷=𝐶 (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶(cid:68)
∴∠𝐸𝐵=𝐶 (cid:68)∠𝐵𝐸𝐶
∴𝐵𝐶 =𝐶𝐸(cid:68)
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶(cid:68)
∴(cid:25)𝐴𝐵(cid:26)(cid:27)𝐶𝐸 (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:84)
∴(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴𝐵𝐶𝐸(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
∴(cid:55)3(cid:66)(cid:116)(cid:10)𝐴𝐵(cid:67)𝐶𝐸(cid:48)(cid:68)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:90) (cid:36)(cid:27)(cid:68)
∵ 1 𝐴𝐵𝐶3𝐸 1
= = (cid:68) = (cid:68) =90°(cid:68)
2 2 2
∴𝑂𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝑂 𝐴𝐶 ∠𝐴𝑂𝐵
3 3
= = 3 = 3(cid:68)
2 2 2
2 2 2
∴𝐴𝑂 𝐴𝐵 −𝑂𝐵 −(cid:68)
∵𝐴 O 𝐷 D ⊥ = 𝐷1𝐶 AC=AO= 3 3(cid:85)
2 2
∴