文档文本内容
专题 05 特殊四边形中的多结论、几何作图（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:20)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:20)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:20)....................................................................................................................................9
【题型1 平行四边形为背景的多结论】
(cid:15)(cid:54)1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:68) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:77)(cid:76)
(cid:50) (cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:80) = (cid:68)𝐴𝐵𝐶𝐷 =45°(cid:68) 𝐴=𝐶6𝐵2𝐷(cid:68) =2(cid:68)𝑂(cid:81)(cid:59)(cid:82)
𝑂 𝐸𝑂⊥𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐶𝐷 𝐹 𝐸𝐹 𝑂𝐹 ∠𝐶𝐵𝐷 1 𝐵𝐷 𝐶𝐸
(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:10)① (cid:23)(cid:83) (cid:84)② (cid:84)③ =1:2(cid:84)④ = (cid:85)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:9)(cid:90)
16
( ) 𝐸𝑂 ∠𝐵𝐸𝐷 𝐷𝐸⊥𝐵𝐸 𝐶𝐹:𝐷𝐹 𝑆△𝐶𝐸𝐹 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:85)①②③ B(cid:85)①②④ C(cid:85)①③④ D(cid:85)②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)1-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:25)(cid:93)(cid:94)(cid:95)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:76) (cid:90)(cid:26) (cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:98)
= (cid:68) (cid:74) (cid:75)(cid:76)F(cid:68)P(cid:90) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:81)(cid:59)(cid:82)𝐴𝐵(cid:33)𝐶𝐷(cid:34)(cid:10) (cid:23)(cid:83) 𝐸(cid:84) 𝐶𝐷(cid:23)(cid:83) (cid:84)
𝐵③𝐶 𝐸=𝐶 𝐶(cid:84)𝐹④⊥𝐵𝐸 =𝐴𝐵 (cid:85)(cid:99)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)𝐸𝐵(cid:34)(cid:31)(cid:100) (cid:85)(cid:55)(cid:101)(cid:89)(cid:9)(cid:66) ①𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹 ②𝐶𝐹 ∠𝐷𝐶𝐵
𝐵𝐶 𝐹𝐵 𝑃𝐹 𝑃𝐶(cid:15)(cid:91)(cid:92)1-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:102)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:103)(cid:104)(cid:79)(cid:105)·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:76) (cid:90)(cid:26) (cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)
(cid:98) = (cid:68) (cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:90) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)𝐴𝐵(cid:10)𝐶①𝐷 (cid:23)(cid:83) (cid:84)②𝐸 (cid:23)𝐶(cid:83)𝐷 (cid:84)
③𝐵𝐶 =𝐸𝐶 (cid:84)𝐶④𝐹⊥𝐵𝐸= 𝐴𝐵(cid:85)(cid:99)(cid:65)𝐹(cid:37)(cid:86)𝑃 (cid:33)𝐸(cid:34)𝐵(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:90) (cid:85)(cid:55)(cid:110)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)𝐵(cid:31)𝐸(cid:89)(cid:9)(cid:111)∠𝐶(cid:101)𝐵(cid:96)𝐹 (cid:66) 𝐶𝐹 ∠𝐷𝐶𝐵
𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝑃𝐹 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:91)(cid:92)1-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:112)(cid:113)(cid:113)(cid:114)·(cid:64)(cid:115)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69) (cid:65)(cid:68) (cid:116) (cid:83)(cid:117)(cid:28)(cid:26) (cid:116) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68) (cid:90)
(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:68) (cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:68) ▱𝐴𝐵(cid:85)𝐶(cid:100)𝐷(cid:59)(cid:82)𝐸(cid:33)(cid:34)𝐹(cid:10)① =𝐴𝐵 (cid:84)𝐶𝐷②(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵𝐷
(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)𝐴③𝐺(cid:25)∥𝐷(cid:26)𝐵(cid:27) 𝐶𝐵(cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:84)④ 𝐺 𝐺:𝐹 𝐴𝐷=⊥3𝐵:𝐷1(cid:85)(cid:99)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)𝐷(cid:88)𝐸 (cid:90)𝐵( 𝐹 ) 𝐷𝐸𝐵𝐹
四边形
𝐴𝐷𝐵𝐺 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐵𝐹𝐺
A(cid:85)1(cid:87) B(cid:85)2(cid:87) C(cid:85)3(cid:87) D(cid:85)4(cid:87)
【题型2 矩形为背景的多结论】
(cid:15)(cid:54)2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:120)(cid:113)(cid:121)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:28) (cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:77)(cid:76) (cid:31)(cid:45)(cid:72)(cid:83)(cid:117)(cid:51) (cid:68)
(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:68) (cid:85)(cid:80)𝐴𝐵𝐶𝐷 =6𝑂0 (cid:68)𝐴𝐶 = (cid:68)(cid:81)𝑂(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∘
① =𝐸 𝐹(cid:84)②(cid:25)𝐵(cid:26)𝐹(cid:27) 𝐴𝐶(cid:90)(cid:36)𝑀(cid:27)(cid:84)③ 𝐷𝐸(cid:122)(cid:45)𝐵(cid:23)𝑂(cid:83)(cid:72)∠(cid:107)𝐵𝑂𝐶(cid:84)④ =𝐹𝑂 𝐹(cid:85)𝐶(cid:99)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐹𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝑂𝐶 𝐵𝐸 3𝐴𝐸
A(cid:85)1 B(cid:85)2 C(cid:85)3 D(cid:85)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)2-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:123)(cid:42)(cid:124)·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:68) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) O(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷=6(cid:68) =60°(cid:68)(cid:76) F (cid:69)(cid:72)(cid:107) (cid:96)(cid:125)(cid:76) A (cid:126)(cid:76) O (cid:127)(cid:128)(cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:68)(cid:129) (cid:28)(cid:26)(cid:50)(cid:130)(cid:26) (cid:68)
𝐴(cid:76)𝐵 E (cid:131)(cid:76) ∠A𝐷 𝐴(cid:83)𝐶(cid:117)(cid:132)(cid:75) (cid:133)(cid:134)(cid:68)(cid:59)(cid:82)(cid:33)𝐴(cid:34)𝑂(cid:10)① = (cid:84)② 𝐷=𝐹 (cid:84)𝐷③𝐹 = △𝐷 𝐹(cid:84)𝐸④
(cid:76) E (cid:127)(cid:128)(cid:31)(cid:135)(cid:136)(cid:90)3 3𝐷(cid:84)𝐹(cid:99)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:28)∠(cid:55)𝐵𝐷(cid:137)𝐸(cid:137)(cid:66)∠𝐸𝐹𝐶 𝐸𝐷 𝐸𝐶 ∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹
A(cid:85)①④ B(cid:85)①②③ C(cid:85)②③ D(cid:85)①②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)2-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:138)·(cid:64)(cid:115)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27)(cid:141)(cid:142) (cid:65)(cid:68) =3(cid:68) =9(cid:68)(cid:76)E(cid:68)F(cid:83)
(cid:117)(cid:69)(cid:26) (cid:96)(cid:85)(cid:143)(cid:35)(cid:27)(cid:141)(cid:142)(cid:144)(cid:45)(cid:72) (cid:145)(cid:146)(cid:68)(cid:147)(cid:76)B(cid:148)(cid:69)(cid:26) (cid:96)(cid:68)𝐴𝐵(cid:149)𝐶(cid:28)𝐷(cid:76)M𝐴(cid:68)𝐷(cid:76)C(cid:148)𝐴(cid:69)𝐵(cid:76)N(cid:150)(cid:68)(cid:118)(cid:119)
(cid:74) (cid:75)𝐴(cid:76)𝐵,P𝐶𝐷(cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:85)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10)①𝐸𝐹(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)𝐶②𝐷 (cid:76)M(cid:51)(cid:76)D(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:68) = 10(cid:84)③ 𝑀𝐵
(cid:154)
𝐸
(cid:155)
𝐹
(cid:31)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:90)
9
(cid:84)
𝐵
④
𝐹
= (cid:65)(cid:68)(cid:159)(cid:100)(cid:37)(cid:86)(cid:33)
𝑀𝐹
(cid:34)
𝐵
(cid:31)
𝐸
(cid:89)(cid:9)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐸𝐹 △𝑀𝑃𝐹
4
𝐵𝑃 𝐵𝐶
A(cid:85)①②③ B(cid:85)①②④ C(cid:85)①③④ D(cid:85)②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)2-3(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:74) (cid:31)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:76) (cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)
(cid:118)(cid:119) (cid:116) (cid:116) (cid:116) (cid:68)(cid:59)𝐴(cid:82)𝐵𝐶(cid:33)𝐷(cid:34)(cid:10)∠①𝐵𝐴𝐷= (cid:84)②𝐵𝐶 =𝐸135°(cid:84)𝐷𝐶③ (cid:84)④𝐹 (cid:80) 𝐺 =𝐸𝐹 (cid:68)(cid:81)
4 𝐶𝐺=𝐵2𝐺5 𝐵𝐷 (cid:84)𝐷(cid:37)𝐺(cid:86)(cid:31)(cid:90) (cid:55)(cid:160)𝐵(cid:101)𝐶(cid:89)(cid:9)𝐷(cid:66)𝐹(cid:85) ∠𝐷𝐺𝐹 𝐵𝐺⊥𝐷𝐺 3𝐴𝐷 4𝐴𝐵
𝑆△𝐵𝐷𝐺 𝑆△𝐷𝐺𝐹
【题型3 菱形为背景的多结论】
(cid:15)(cid:54)3(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:27) (cid:65)(cid:68) = (cid:68)(cid:76)E(cid:116)F(cid:83)(cid:117)(cid:90) (cid:116) (cid:96)(cid:161)(cid:162)(cid:31)(cid:76)(cid:55)(cid:163)(cid:51)(cid:164)(cid:76)(cid:151)(cid:152)(cid:66)(cid:68)(cid:98)
= (cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:51) 𝐴𝐵(cid:73)𝐶(cid:74)𝐷(cid:75)(cid:76)𝐴G𝐵(cid:68)(cid:118)𝐵(cid:119)𝐷 (cid:51) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)𝐴H𝐵(cid:85)(cid:165)𝐴𝐷(cid:166)(cid:67)(cid:59)(cid:167)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10)① (cid:84)
𝐴
②
𝐸 𝐷𝐹
(cid:31)(cid:18)(cid:157)
𝐵
(cid:28)
𝐹
(cid:168)(cid:158)
𝐷𝐸
(cid:84)③ (cid:23)(cid:83) (cid:84)
𝐶𝐺
④
𝐵𝐷
=
3
(cid:85)(cid:99)(cid:65)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:86)(cid:31)(cid:90)(cid:55)
△ 𝐴
(cid:66)
𝐸𝐷≌△𝐷𝐹𝐵
四边形 2
2
∠𝐵𝐺𝐸 𝐺𝐶 ∠𝐵𝐺𝐷 𝑆 𝐵𝐶𝐷𝐺 𝐶𝐺A(cid:85)①②③ B(cid:85)①②④ C(cid:85)①③④ D(cid:85)②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)3-1(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:154)(cid:45)(cid:71)(cid:169)(cid:170)(cid:171) (cid:65)(cid:68)(cid:36)(cid:27) (cid:31)(cid:26)(cid:79)(cid:28)4(cid:68) =60°(cid:85) (cid:76) (cid:90)(cid:26) (cid:96)(cid:97)(cid:128)(cid:76)(cid:68)
(cid:76) (cid:69) (cid:96)(cid:68)(cid:98) =60°(cid:85)(cid:100)(cid:59)(cid:82)(cid:33)𝑥𝑂(cid:34)𝑦(cid:10) 𝐴𝑂𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐷 𝑂𝐵
①𝐸(cid:76) 𝐵(cid:31)𝐶(cid:169)(cid:170)(cid:28)∠6𝐷,2𝐴𝐸3 (cid:84)
② 𝐶= (cid:84)
③(cid:25)𝑂𝐷(cid:26)(cid:27)𝐵𝐸 (cid:31)(cid:154)(cid:155)(cid:28)(cid:168)(cid:158)(cid:84)
④(cid:172) (cid:28) 𝐴𝐷(cid:31)𝐵𝐸(cid:65)(cid:76)(cid:153)(cid:68) (cid:31)(cid:154)(cid:155)(cid:131)(cid:173)(cid:79)(cid:156)(cid:157)(cid:85)
(cid:99)(cid:65)(cid:37)𝐷(cid:86)(cid:31)𝑂𝐵(cid:100) (cid:85)(cid:55)△(cid:110)𝐷(cid:174)𝐵(cid:175)𝐸(cid:28)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:111)(cid:101)(cid:96)(cid:66)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)3-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:102)(cid:57)(cid:58)(cid:96)·(cid:112)(cid:113)(cid:176)(cid:177)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:51) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:68) (cid:68) (cid:83)
(cid:117)(cid:90) (cid:68) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:59)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:10)①(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)②𝐴𝐵𝐶𝐷 = (cid:84)𝐴③𝐶 𝐵𝐷 = 𝑂(cid:84)④𝐸 𝐹
菱形
= 𝑂𝐵 𝑂(cid:68)𝐷(cid:99)(cid:65)(cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:55) (cid:66) 𝐴𝐸𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐶𝐹 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐹𝐴𝑂 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐸𝐹⋅𝐴𝐶
A(cid:85)1 B(cid:85)2 C(cid:85)3 D(cid:85)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)3-3(cid:20)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:27) (cid:65)(cid:68) =60°(cid:68)(cid:76)P(cid:131)(cid:76)Q(cid:83)(cid:117)(cid:69)(cid:26) (cid:131) (cid:96)(cid:127)(cid:128)(cid:55)(cid:163)(cid:51)A(cid:116)C(cid:116)D
(cid:151)(cid:152)(cid:66)(cid:68)(cid:178)(cid:179) = (cid:68)(cid:118)𝐴(cid:119)𝐵𝐶𝐷(cid:116) ∠(cid:74)𝐴𝐵(cid:75)𝐶(cid:76)E(cid:68)(cid:69)(cid:127)(cid:128)(cid:77)(cid:136)(cid:65)(cid:68)(cid:81)(cid:59)(cid:82)(cid:25)𝐶(cid:87)𝐷(cid:33)𝐴(cid:34)𝐷(cid:37)(cid:86)(cid:31)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐷𝑃 𝐴𝑄 𝐴𝑃 𝐶𝑄① = (cid:84)② (cid:31)(cid:44)(cid:88)(cid:163)(cid:91)(cid:84)③ + =180°(cid:84)
𝐴A𝑃(cid:85)①𝐶②𝑄 ∠𝐴𝐸𝐶B(cid:85)①③ ∠𝐴𝑃𝐷C(cid:85)∠②𝐶𝑄③𝐷 D(cid:85)①②③
【题型4 正方形为背景的多结论】
1
(cid:15)(cid:54)4(cid:20)(cid:55)2025·(cid:16)(cid:180)(cid:181)(cid:182)·(cid:183)(cid:184)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:90) (cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68) (cid:90) (cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:98) = (cid:85)(cid:165)
4
(cid:166)(cid:59)(cid:154)(cid:25)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐶𝐷 𝐶𝐹 𝐶𝐷
① (cid:23)(cid:83) (cid:84)
②𝐴𝐸 + ∠𝐵𝐴=𝐹 (cid:84)
2 2 2
③𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐴(cid:84)𝐹
④𝐴𝐵+𝐶𝐹 >𝐴𝐹(cid:85)
(cid:96)(cid:185)𝐴𝐵(cid:33)(cid:34)𝐵(cid:65)𝐸(cid:68)(cid:159)𝐴(cid:100)𝐹 (cid:37)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
A(cid:85)①②③ B(cid:85)②③④ C(cid:85)①④ D(cid:85)①②③④
(cid:15)(cid:91)(cid:92)4-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:190)(cid:191)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:68)(cid:76)M(cid:90)(cid:26) (cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:96)(cid:31)(cid:128)(cid:76)(cid:55)(cid:163)
(cid:51)(cid:76)A(cid:151)(cid:152)(cid:66)(cid:98) < (cid:68) (cid:192) (cid:23)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:68)(cid:80)(cid:77)(cid:76)E𝐴(cid:50)𝐵𝐶𝐷 (cid:68)H(cid:28)𝐵(cid:122)𝐴(cid:179)(cid:68)(cid:81)(cid:100)(cid:129)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:10)
①(cid:76)M(cid:132)(cid:196)(cid:91)(cid:197)𝐴(cid:68)𝑀(cid:147)(cid:194)𝐴𝐵 △𝐶=𝐵6𝐸0°(cid:153)△(cid:68)𝐷𝐴𝑀 = (cid:84) 𝐸𝐻⊥𝐴𝐶
②(cid:42)(cid:34)(cid:76)M(cid:127)(cid:128)(cid:195)(cid:198)(cid:150)(cid:68)∠𝐷(cid:111)𝐻(cid:100)𝐶 = 2 2𝐵(cid:84)𝐸 𝐷𝑀
③(cid:69)(cid:76)M(cid:31)(cid:127)(cid:128)(cid:77)(cid:136)(cid:65)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐷𝑀 (cid:199)𝐻(cid:200)𝑀(cid:201)(cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
④(cid:42)(cid:34)(cid:76)M(cid:127)(cid:128)(cid:195)(cid:198)(cid:150)(cid:68) (cid:97)𝐶𝐸(cid:168)𝑀(cid:18)𝐷(cid:75)135°(cid:85)
(cid:129)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:86)(cid:31)(cid:100) (cid:55)(cid:110)(cid:159)∠𝐶(cid:100)𝐻(cid:37)𝑀(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:89)(cid:9)(cid:111)(cid:101)(cid:96)(cid:66)(cid:85)(cid:15)(cid:91)(cid:92)4-2(cid:20)(cid:55)2025·(cid:16)(cid:180)·(cid:184)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:192)(cid:25)(cid:87)(cid:205)(cid:130)(cid:31)(cid:45)(cid:71)(cid:206)(cid:71)(cid:27)(cid:207)(cid:201)(cid:31)“(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:48)”(cid:68)(cid:194)(cid:195)(cid:37)(cid:38)(cid:27)
(cid:131)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:211)(cid:78)(cid:79)(cid:74) (cid:75)(cid:76)M(cid:68)(cid:80) = (cid:68)(cid:165)(cid:166)(cid:59)(cid:154)(cid:25)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10)①M(cid:90) (cid:31)𝐴(cid:65)𝐵(cid:76)𝐶𝐷(cid:84)
② (cid:23)(cid:83)
𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:84)③
𝐵𝐸
=
5
(cid:85)
𝐴𝐷
(cid:96)(cid:185)(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:68)
∠
(cid:159)
𝐴𝑀
(cid:100)
𝐵
(cid:37)(cid:86)
2
(cid:33)
∠𝐵
(cid:34)
𝐴
(cid:31)
𝐹
(cid:89)(cid:9)(cid:90)(cid:55) (cid:66)
𝐴𝐷
2
𝐵𝐹 ∠𝐸𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝐴𝐵
A(cid:85)①② B(cid:85)①③ C(cid:85)②③ D(cid:85)①②③
(cid:15)(cid:91)(cid:92)4-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:103)(cid:104)(cid:79)(cid:105)·(cid:64)(cid:115)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:141)(cid:142) (cid:65)(cid:68)(cid:76)P(cid:90)(cid:26) (cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:118)(cid:33)
(cid:68)(cid:143)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:144) (cid:145)(cid:146)(cid:68)(cid:76)B(cid:148)(cid:69)(cid:76)E(cid:150)(cid:68)(cid:78)(cid:79) (cid:74) (cid:75)(cid:76)Q(cid:68)(cid:118)𝐴(cid:33)𝐵𝐶𝐷 (cid:68) (cid:85)(cid:165)(cid:166)(cid:129)𝐵(cid:59)𝐶(cid:33)(cid:34)(cid:10)①
𝐴𝑃 (cid:84)② 𝐴𝑃= + (cid:84)③ (cid:51) 𝑃𝐸(cid:31)(cid:154)𝐶(cid:155)𝐷(cid:73)(cid:130)(cid:84)④(cid:80) 𝐴𝑄= 𝐶𝐸(cid:68)(cid:81) = (cid:85)(cid:96)(cid:185)(cid:33)△(cid:34)𝐴𝐸𝑄
≌(cid:65)△(cid:68)(cid:37)𝐴𝐷(cid:86)𝑄(cid:33)(cid:34)(cid:31)𝑃𝑄(cid:89)(cid:9)𝐵(cid:100)𝑃 𝐷𝑄(cid:85) △𝑃𝐸𝐶 △𝑄𝐸𝐶 𝐵𝑃 𝐶𝑃 𝐶𝑄 2𝐷𝑄
【题型5 非网格无刻度直尺画图】
(cid:15)(cid:54)5(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:123)(cid:212)(cid:63)·(cid:64)(cid:115)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:35)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:76) (cid:69) (cid:96)(cid:68) = (cid:68)(cid:213)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)
(cid:45)(cid:46)(cid:215)(cid:59)(cid:82)(cid:216)(cid:217)(cid:47)(cid:48)(cid:85) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐸
(1)(cid:67)(cid:48)1(cid:68)(cid:47)(cid:166) (cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:84)
∠𝐷𝐴𝐸(2)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:47)(cid:166) (cid:31)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:84)
(3)(cid:67)(cid:48)3(cid:68)(cid:129) ∠(cid:28)𝐴(cid:26)𝐸𝐶(cid:47)(cid:166)(cid:97)(cid:87)(cid:36)(cid:27)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)5-1(cid:20)(cid:55)𝐴𝐸24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:218)(cid:187)(cid:219)·(cid:64)(cid:115)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:76) (cid:28) (cid:26)(cid:96)(cid:31)(cid:65)(cid:76)(cid:68)(cid:220)(cid:213)(cid:214)(cid:42)
(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:117)(cid:215)(cid:59)(cid:82)(cid:216)(cid:217)(cid:47)(cid:48)(cid:85)(cid:55)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:48)(cid:223)(cid:224)(cid:66) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:68)(cid:47)(cid:166)(cid:97)(cid:87)(cid:129) (cid:28)(cid:225)(cid:76)(cid:31)(cid:35)(cid:27)(cid:68)(cid:147)(cid:194)(cid:226)(cid:31)(cid:79)(cid:227)(cid:163)(cid:73)(cid:130)(cid:68)(cid:98)(cid:154)(cid:155)(cid:130)(cid:75)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:97)(cid:228)(cid:84)
(2)(cid:69)(cid:48)2(cid:65)(cid:68)(cid:47)(cid:166)(cid:97)(cid:87)(cid:129)𝐸(cid:28)(cid:225)(cid:76)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:68)(cid:147)(cid:194)(cid:226)(cid:31)(cid:154)(cid:155)(cid:130)(cid:75)(cid:37)(cid:38)(cid:27) (cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:97)𝐴(cid:228)𝐵𝐶(cid:85)𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)5-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)𝐸(cid:58)(cid:59)·(cid:61)(cid:123)(cid:229)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68) (cid:28)(cid:36)(cid:27) (cid:31)𝐴𝐵(cid:70)𝐶(cid:71)𝐷(cid:72)(cid:68)(cid:220)(cid:213)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:215)(cid:216)
(cid:217)(cid:230)(cid:201)(cid:129)(cid:59)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:163)(cid:231)(cid:47)(cid:232)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:47)(cid:48)(cid:223)(cid:224)(cid:66)(cid:85) 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:67)(cid:48)1(cid:68)(cid:77)(cid:76)B(cid:47) (cid:31)(cid:122)(cid:72)(cid:84)
(2)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)E(cid:28) (cid:26)𝐴(cid:96)𝐶(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:69) (cid:26)(cid:96)(cid:47)(cid:76)F(cid:68)(cid:147)(cid:194) = (cid:84)
(3)(cid:67)(cid:48)3(cid:68)E(cid:28)𝐴𝐵(cid:26)(cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:68)(cid:69)𝐶𝐷(cid:26)(cid:96)(cid:47)(cid:76)F(cid:68)(cid:147)(cid:194)𝐷𝐹= 𝐵𝐸(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)5-3(cid:20)(cid:55)2𝐴4𝐵-25(cid:102)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:61)𝐵(cid:218)𝐶(cid:94)(cid:105)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)𝐵(cid:190)𝐹(cid:191)(cid:37)𝐵𝐸(cid:140)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:220)(cid:213)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:117)
(cid:215)(cid:59)(cid:82)(cid:216)(cid:217)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:163)(cid:216)(cid:217)(cid:231)(cid:166)(cid:47)(cid:232)(cid:66)(cid:85) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:68)(cid:47)(cid:166)(cid:97)(cid:87)(cid:129) (cid:28)(cid:26)(cid:31)(cid:35)(cid:27)(cid:84)
𝐵𝐶1
(2)(cid:69)(cid:48)2(cid:65)(cid:68)(cid:233)(cid:69) (cid:96)(cid:47)(cid:166)(cid:76) (cid:68)(cid:147) = (cid:85)
4
𝐴𝐹 𝑀 𝐴𝑀 𝐴𝐹
【题型6 网格无刻度直尺画图】
(cid:15)(cid:54)6(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:103)(cid:104)(cid:79)(cid:105)·(cid:64)(cid:115)(cid:66)(cid:48)①(cid:116)(cid:48)②(cid:116)(cid:48)③(cid:234)(cid:90)5×5(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:235)(cid:87)(cid:157)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)
(cid:26)(cid:79)(cid:234)(cid:28)1(cid:68)(cid:235)(cid:87)(cid:157)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:236)(cid:28)(cid:41)(cid:76)(cid:68)(cid:72)(cid:107) (cid:31)(cid:164)(cid:76)(cid:234)(cid:69)(cid:41)(cid:76)(cid:96)(cid:85)(cid:160)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:68)(cid:83)(cid:117)(cid:69)(cid:165)(cid:168)
(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:215)(cid:59)(cid:82)(cid:216)(cid:217)(cid:47)(cid:48)(cid:68)(cid:159)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:163)(cid:205)(cid:130)(cid:68)(cid:163)(cid:216)𝐴(cid:217)𝐵(cid:231)(cid:166)(cid:47)(cid:232)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:48)(cid:223)(cid:224)(cid:85)
(1)(cid:69)(cid:48)①(cid:65)(cid:47)(cid:154)(cid:155)(cid:28)4(cid:31) (cid:68)(cid:98)(cid:76)C(cid:116)D(cid:234)(cid:69)(cid:41)(cid:76)(cid:96)(cid:84)
(2)(cid:69)(cid:48)②(cid:65)(cid:47)(cid:154)(cid:155)(cid:28)4(cid:31)(cid:36)▱𝐴(cid:27)𝐵𝐶𝐷 (cid:68)(cid:98)(cid:76)E(cid:116)F(cid:234)(cid:69)(cid:41)(cid:76)(cid:96)(cid:84)
(3)(cid:69)(cid:48)③(cid:65)(cid:47)(cid:154)(cid:155)(cid:28)4(cid:31)(cid:35)(cid:27)𝐴𝐵𝐸𝐹 (cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)6-1(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:96)·(cid:186)𝐴𝐵(cid:16)𝑀(cid:237)𝑁(cid:238)·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:90)(cid:192)80(cid:87)(cid:26)(cid:79)(cid:28)1(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:239)(cid:201)(cid:31)10×8(cid:31)(cid:79)
(cid:38)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:85) (cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:111)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:96)(cid:68) =5(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
(1) (cid:31)(cid:154)(cid:155)(cid:28)__________(cid:68)(cid:76) (cid:195) (cid:31)(cid:240)(cid:241)(cid:28)__________(cid:84)
(2)(cid:213)△(cid:214)𝐴𝐵(cid:42)𝐶(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:50)(cid:48)(cid:55)(cid:221)(cid:222)(cid:47)(cid:48)𝐶(cid:77)𝐴(cid:136)𝐵(cid:31)(cid:223)(cid:224)(cid:66)
①(cid:50) (cid:31)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:85)
②(cid:69)(cid:26)∠𝐴𝐵𝐶(cid:96)(cid:86)(cid:168)(cid:97)(cid:76) (cid:68)(cid:147)(cid:194) =45°(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)6𝐴-𝐶2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)𝑃(cid:57)(cid:58)(cid:59)·∠(cid:186)𝐴(cid:16)𝐵𝑃(cid:237)(cid:238)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:90)(cid:192)(cid:157)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:239)(cid:201)(cid:31)8×6(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:235)(cid:87)(cid:157)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:242)
(cid:243)(cid:41)(cid:76)(cid:85) (cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:111)(cid:90)(cid:41)(cid:76)(cid:68)(cid:213)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:165)(cid:168)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:230)(cid:201)(cid:47)(cid:48)(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:68)(cid:244)(cid:69)(cid:245)(cid:72) (cid:96)(cid:47)(cid:76)D(cid:68)(cid:147) = (cid:68)(cid:246)(cid:69) (cid:96)(cid:47)(cid:76)E(cid:68)(cid:147) = (cid:84)
(2)(cid:69)(cid:48)2(cid:65)(cid:68)(cid:76)P(cid:69)(cid:72)(cid:107)𝐵𝐶 (cid:96)(cid:68)(cid:244)(cid:47)(cid:72)(cid:107)∠𝐷(cid:31)𝐴𝐶(cid:65)(cid:76)∠O𝐵(cid:68)𝐴(cid:246)𝐶(cid:143)(cid:72)(cid:107)𝐴𝐵(cid:144)(cid:245)(cid:72) (cid:38)(cid:247)𝐶(cid:23)𝐸 (cid:193)𝐵(cid:126)𝐶 (cid:68)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84) 𝐵𝐶 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝐴𝐵𝑁𝑀
(3)(cid:69)(cid:55)2(cid:66)(cid:31)(cid:248)(cid:249)(cid:96)(cid:68)(cid:244)(cid:47) (cid:68)(cid:246)(cid:69) (cid:96)(cid:47)(cid:76)Q(cid:68)(cid:147) = (cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)6-3(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)▱(cid:59)𝐴·𝐵(cid:186)𝑃(cid:16)𝐺(cid:237)(cid:238)·(cid:64)𝐴(cid:65)𝐵(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:90)(cid:192)(cid:157)𝐴(cid:37)𝑄(cid:38)(cid:27)𝐵(cid:239)𝑃 (cid:201)(cid:31)8×8(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:235)(cid:87)(cid:157)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:242)
(cid:41)(cid:76)(cid:85)(cid:79)(cid:38)(cid:27) (cid:31)(cid:225)(cid:76)(cid:131)(cid:76) (cid:234)(cid:90)(cid:41)(cid:76)(cid:68) (cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:213)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:165)(cid:168)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:230)(cid:201)(cid:47)(cid:48)(cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:244)(cid:47)(cid:76) (cid:68)(cid:118) (cid:68)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:246)(cid:47) (cid:68)(cid:147) (cid:55)(cid:216)(cid:217)(cid:76)
(cid:31)(cid:70)(cid:250)(cid:76) (cid:69)(cid:45)(cid:72)𝐻 (cid:96)(cid:66)𝐷(cid:84)𝐻 𝐸𝐷𝐻𝐹 △𝐴𝑀𝑁 △𝐴𝑀𝑁≌△𝐷𝐶𝐻 𝐶
(2)(cid:69)(cid:48)2𝑀(cid:65)(cid:68)(cid:244)(cid:47)𝐴(cid:76)𝐷 (cid:3)(cid:75)(cid:45)(cid:72) (cid:31)(cid:70)(cid:236)(cid:76) (cid:68)(cid:246)(cid:69) (cid:96)(cid:47)(cid:76) (cid:68)(cid:147) (cid:68)(cid:122)(cid:179)(cid:28) (cid:85)
【题型7 尺规作图与 𝐴 计算】 𝐸𝐹 𝑃 𝐵𝐶 𝑄 𝑄𝐺⊥𝐸𝐹 𝐺
(cid:15)(cid:54)7(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:251)(cid:252)(cid:251)(cid:63)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27)(cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:69)(cid:48)1(cid:65)(cid:50)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:31)(cid:122)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72) (cid:68)(cid:83)(cid:117)(cid:74) (cid:116) (cid:75)(cid:76) (cid:116) (cid:68)(cid:122)(cid:179)(cid:28)(cid:76) (cid:55)(cid:216)(cid:217)(cid:214)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:68)(cid:221)(cid:222)
𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑀 𝑁 𝑂(cid:50)(cid:48)(cid:223)(cid:224)(cid:68)(cid:163)(cid:216)(cid:217)(cid:231)(cid:50)(cid:232)(cid:66)
(2)(cid:69)(cid:55)1(cid:66)(cid:65)(cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:131) (cid:68)(cid:217)(cid:253)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:36)(cid:27)(cid:84)
(3)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:76) (cid:69)(cid:35)(cid:27)𝐵𝑀 𝐷𝑁(cid:31)(cid:26) (cid:96)(cid:68)(cid:98) 𝐷=𝑀𝐵𝑁(cid:68)(cid:78)(cid:79) (cid:195)(cid:76) (cid:68)(cid:147) = (cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:85)(cid:80) =5(cid:68)
=2(cid:68)(cid:81)(cid:25)𝐸(cid:26)(cid:27) 𝐴𝐵(cid:31)𝐶𝐷(cid:154)(cid:155)(cid:28)𝐵(cid:32)𝐶 (cid:254)(cid:255) 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐹 𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐷
𝐵(cid:15)𝐸(cid:91)(cid:92)7-1(cid:20)(cid:55)2025𝐴·𝐷(cid:256)𝐸(cid:257)𝐹·(cid:65)(cid:258)(cid:259)(cid:21)(cid:66)(cid:67)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68) (cid:68) (cid:90)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐵𝐷
(1)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:10)(cid:220)(cid:214)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:131)(cid:260)(cid:49)(cid:68)(cid:50)(cid:72)(cid:107) (cid:31)(cid:122)(cid:45)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:122)(cid:179)(cid:28)(cid:76)O(cid:68)(cid:51)(cid:26) (cid:68) (cid:83)(cid:117)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
E(cid:68)F(cid:55)(cid:216)(cid:217)(cid:10)(cid:163)(cid:231)(cid:50)(cid:232)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:48)(cid:223)(cid:224)(cid:68)(cid:211)(cid:143)(cid:50)𝐵(cid:48)𝐷(cid:223)(cid:224)(cid:214)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:261)(cid:66)(cid:84) 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(2)(cid:69)(cid:55)1(cid:66)(cid:31)(cid:267)(cid:268)(cid:59)(cid:68)(cid:118)(cid:119) (cid:68) (cid:68)(cid:217)(cid:253)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:36)(cid:27)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)7-2(cid:20)(cid:55)24-25(cid:56)(cid:57)(cid:58)𝐵(cid:59)𝐸·(cid:61)𝐷(cid:123)𝐹(cid:42)(cid:124)·(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:48)𝐵1𝐹(cid:68)𝐷𝐸(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:25)(cid:267)(cid:26)(cid:96)(cid:83)(cid:117)(cid:269) (cid:68) (cid:68) (cid:68) (cid:25)(cid:76)(cid:68)(cid:270)(cid:271)
(cid:118)(cid:119) (cid:116) (cid:116) (cid:116) (cid:159)(cid:194)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:272)(cid:119)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:85) 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐻 𝐻𝐸 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:67)(cid:48)2(cid:68)(cid:35)(cid:27) (cid:68) =9(cid:68)(cid:76) (cid:69)(cid:72)(cid:107) (cid:96)(cid:98) =3(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:90)(cid:35)(cid:27) (cid:31)(cid:272)(cid:119)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:217) (cid:31)(cid:79)(cid:44)(cid:84) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐸𝐵 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵𝐶𝐷
(2)𝐺(cid:67)𝐶(cid:48)3(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:68)(cid:76) (cid:69)(cid:72)(cid:107) (cid:96)(cid:68)(cid:220)(cid:174)(cid:69)(cid:48)(cid:65)(cid:47)(cid:166)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:272)(cid:119)(cid:36)(cid:27) (cid:68)(cid:76)
(cid:69)(cid:26) (cid:96)(cid:84)(cid:55)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:221)𝐷(cid:222)(cid:223)(cid:224)𝐸(cid:66) 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐹
(3)(cid:69)𝐵(cid:96)𝐶(cid:97)(cid:273)(cid:31)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:68)(cid:80)(cid:190)(cid:191) =4(cid:68) =45°(cid:68) = 2(cid:68)(cid:220)(cid:217)(cid:166)(cid:172) (cid:156)(cid:274)(cid:153)(cid:68) (cid:31)(cid:79)(cid:85)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)7-3(cid:20)(cid:55)2025·(cid:120)(cid:113)(cid:120)(cid:63)·𝐴(cid:183)𝐸(cid:184)(cid:66)(cid:67)(cid:48)∠𝐵(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐸𝐵 (cid:65)(cid:68) (cid:68) 𝐵𝐹= (cid:68) 𝐵𝐶 (cid:75)(cid:76) (cid:85)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐷𝐶 𝐷
(1)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:48)(cid:10)(cid:50) (cid:31)(cid:71)(cid:23)(cid:83)(cid:72)(cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:68)(cid:74) (cid:75)(cid:76) (cid:55)(cid:163)(cid:231)(cid:50)(cid:232)(cid:68)(cid:221)(cid:222)(cid:50)(cid:48)(cid:223)(cid:224)(cid:66)
(2)(cid:118)(cid:119) (cid:68)(cid:25)(cid:26)∠(cid:27)𝐴𝐵𝐶 (cid:31)(cid:27)(cid:275)(cid:68)(cid:211)(cid:253)𝐶(cid:276)𝐷(cid:174)(cid:31)(cid:33)𝐸 (cid:34)(cid:84)𝐴𝐶 𝑂
𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐸(3)(cid:118)(cid:119) (cid:68)(cid:80) = =3(cid:68)(cid:217) (cid:79)(cid:85)
𝑂𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝑂𝐷
