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一元二次方程应用题常考类型精选精练 2
（销售图表通道增长率其他问题）
【类型一 销售问题】
1．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措
施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代
数式表示）；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】(1)6，1692
(2)2𝑥，(50−𝑥)
(3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量
增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快
减少库存即可确定x的值．
【详解】（1）销售量增加：2×3=6件，
当天盈利：(50−3)×(30+2×3)=1692（元）．
故答案为：6；1692．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2𝑥件，每件商品，盈利(50−𝑥)元．
故答案为2𝑥，(50−𝑥)；
（3）根据题意，得：(50−𝑥)×(30+2𝑥)=2000，
整理，得：𝑥2−35𝑥+250=0，
解得：𝑥 =10，𝑥 =25，
1 2
∵商城要尽快减少库存，
∴𝑥 =25．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点睛】考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找
出数量关系列出一元二次方程（或算式）．
2．杭州亚运会于2023年9月23日开幕，某商店以2元/张的价格批发了一批具有纪念意义的书签进行销
售．经调查发现，若每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根
据规定，纪念品售价不能超过批发价的3倍．
(1)当每张书签定价为5元时，商店每天能卖出__________件；
(2)如果商店要实现每天675元的销售利润，该如何定价？
【答案】(1)300
(2)定价为3.5元
【分析】（1）用500减去因为价钱上涨而减少的销售量即可得到答案；
（2）设定价为x元，根据利润=单价利润×数量列出方程求解即可．
5−3
【详解】（1）解：商店每天能卖出500− ×10= 300件,
0.1
故答案为：300；
（2）设定价为x元，
∵2×3=6，
∴由题可知：𝑥 ≤6．
∴(𝑥−2)[500−10(𝑥−3)÷0.1]=675．
∴𝑥2−10𝑥+ 91 =0．
4
7 13
解得𝑥 = 或𝑥 = ．
2 2
7
∵𝑥 ≤6，∴𝑥 = ．
2
∴定价应该为3.5元．
答：定价为3.5元．
【点睛】本题主要考查了有理数混合计算的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出对应的式子和
方程是解题的关键．
3．鸿星尔克专卖店销售一批衬衫，会计做账时发现如果每件衬衫盈利40元，平均每天可售出20件，老板
为了用扩大销售量来增加盈利、该商场决定采取适当降价措施，发现如果每件衬衫每降价1元，该商场平
均每天可多售出2件衬衫．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)若某天该衬衫每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)如果该商场平均每天盈利1200元且要求尽可能减少库存，那么该衬衫每件应降价多少元？
【答案】(1)962元
(2)每件衬衫降价20元时，商场平均每天可以盈利1200元，且减少库存更多．
【分析】（1）根据题意列出算式即可求解；
（2）设每件衬衫应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：(20+2×3)×(40−3)=962元．
（2）若商场平均每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x元，
依题意得： (20+2𝑥)(40−𝑥) =1200，
整理得：𝑥2−30𝑥+200=0，
解得：𝑥 =10，𝑥 =20．
1 2
∵要求尽可能减少库存，
∴𝑥 =10不符合题意，舍去，取𝑥 =20，
答：每件衬衫降价20元时，商场平均每天可以盈利1200元，且减少库存更多．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
4．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月
该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加
5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】(1)25%
(2)当商品降价5元时，商场获利4250元
【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为𝑥，利用五月的销量=三月的销售量×(1+平均增长率)2，
即可得出关于𝑥的一元二次方程，解出x即可求解．
（2）设商品降价𝑚元，则每件获利(40−𝑚−25)元，月销量为(400+5𝑚)件，利用商场月销售利润=每件
销售利润×月销售量，即可得出关于𝑚的一元二次方程，解出𝑚即可求解．
【详解】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为𝑥，
依题意得：256(1+𝑥)2 =400，
解得：𝑥 =0.25=25%，𝑥 = −2.25(不符合题意，舍去)，
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司答：四、五这两个月的月平均增长率为25%．
（2）解：设商品降价𝑚元，则每件获利(40−𝑚−25)元，月销量为(400+5𝑚)件，
依题意得：(40−𝑚−25)(400+5𝑚)=4250，
整理得𝑚2+65𝑚−350=0
解得：𝑚 =5,𝑚 =−70（舍去），
1 2
答：当商品降价5元时，商场获利4250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．
5．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了
降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可
多售出2件．
(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】(1)平均每天销售数量为32件
(2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元
【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件”，
列出平均每天销售的数量即可，
（2）设每件商品降价𝑥元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天
可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于𝑥的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于
25元的答案即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
若降价6元，则多售出12件，
平均每天销售数量为：12+20=32（件)，
答：平均每天销售数量为32件；
（2）解：设每件商品降价𝑥元，
根据题意得：(40−𝑥)(20+2𝑥) =1200，解得：𝑥 =10，𝑥 =20，
1 2
40−10=30>25，（符合题意），
40−20=20<25，（舍去），
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6．中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、团圆节等，是中国民间传统节日．中秋节这天人们都要吃
月饼以示“团圆”．商家购甲，乙两种月饼礼盒，已知每盒乙月饼礼盒进价比甲月饼礼盒进价多40元，用8000
元购进甲月饼礼盒和用10000元购进乙月饼礼盒的数量相同．
(1)求甲、乙月饼礼盒的进价各为多少元？
(2)甲月饼礼盒每盒售价为210元，每天可卖出30盒；乙月饼礼盒每盒售价为260元，每天可卖出15盒．在
销售过程中为了增大甲月饼礼盒的销量，商家决定对甲月饼礼盒进行降价销售，在现有售价的基础上，每
降价1元，可多售出2盒．为更大程度让利顾客，每盒甲月饼礼盒售价多少元时，商家日盈利可达到3000
元？
【答案】(1)甲月饼礼盒的进价为160元，乙月饼礼盒的进价为200元
(2)190元
【分析】（1）设甲月饼礼盒的进价为x元，则乙月饼礼盒的进价为(𝑥+40)元，根据“用8000元购进甲月饼
礼盒和用10000元购进乙月饼礼盒的数量相同”列出方程求解即可；
（2）设每盒甲月饼礼盒降价 m 元，根据“甲月饼礼盒每降价 1元，可多售出 2盒”求出甲月饼礼盒销售量，
利用“商家日盈利可达到3000元”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲月饼礼盒的进价为x元，则乙月饼礼盒的进价为(𝑥+40)元，
8000 10000
则有： = ，
𝑥 𝑥+40
解得：𝑥 =160，
经检验：𝑥 =160是原分式方程的根，且符合题意．
∴𝑥+40=200，
答：甲月饼礼盒的进价为160元，乙月饼礼盒的进价为200元；
（2）设每盒甲月饼礼盒降价m元，则它的销售量是(30+2𝑚)盒，每盒甲月饼礼盒售价(210−𝑚)元，
则有：(210−𝑚−160)(30+2𝑚)+(260−200)×15=3000，
解得：𝑚 =15,𝑚 =20，
1 2
又∵要更大程度让利顾客，
∴取𝑚 =20，
∴210−𝑚= 190(元)
答：每盒甲月饼礼盒售价190元．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，审清题意找出等量关系并列出方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．“唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻峨眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新
的卡通形象示人．某文创产品店销售唐妞团扇，团扇的成本为8元/把．据市场分析，销售单价定为10元/
把时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每
天的销售量就减少20把．针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实
惠，那么销售单价应定为多少元/把？
【答案】销售单价应定为12元/把
【分析】由利润=每件利润×销售数量建立方程求出其解即可．
【详解】解：设销售单价应定为𝑥元，所以每把团扇盈利(𝑥−8)元，
由题意可得：(𝑥−8)[200−20(𝑥−10)]=640，
解得：𝑥 =12，𝑥 =16，
1 2
因为要让顾客得到实惠，所以取𝑥 =12，
∴销售单价应定为12元/把．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利
润的公式列出方程．
8．某水果批发商销售阳山水蜜桃，每箱成本是50元，经过调查发现：销售单价是60元时，平均每天的销
量是80箱，当销售单价每提高5元，平均每天就少售出10箱，但销售单价不得超过90元.
(1)若销售单价为65元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售阳山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃属于易坏食品，批发商想要尽快销售水蜜桃，那么每箱水
蜜桃的售价应为多少元？
【答案】(1)1050
(2)70
【分析】（1）利用总利润=每箱的销售利润×日销售量，即可求解；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝑦−60
（2）设每箱水蜜桃的售价为y元，则每箱的销售利润为(𝑦−50)元，平均每天的销量是(80−10× )箱，
5
利用总利润=每箱的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可得出y的值，再结合
要尽快销售水蜜桃，即可得出每箱水蜜桃的售价为70元．
65−60
【详解】（1）(65−50)×(80−10× )
5
5
=(65−50)×(80−10× )
5
=(65−50)×(80−10)
=15×70
=1050（元）
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每箱水蜜桃的售价为y元，则每箱的销售利润为(𝑦−50)元，
𝑦−60
平均每天的销量是(80−10× )箱，
5
𝑦−60
依题意得：(𝑦−50)(80−10× )= 1200
5
整理得：𝑦2−150𝑦+5600=0，
解得：𝑦 =70，𝑦 =80，
1 2
又∵要尽快销售水蜜桃，
∴𝑦 =70．
答：每箱水蜜桃的售价应为70元．
【点睛】本题考查一元二次方程在生活中的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
9．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备
成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，
年销售量为500台．假定该设备的年销售量𝑦（单位：台）和销售单价𝑥（单位：万元）成一次函数关系．
(1)求年销售量𝑦与销售单价𝑥的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润．则该设备的
销售单价应是多少万元？
【答案】(1)𝑦 =−10𝑥+900
(2)50万元
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设年销售量𝑦与销售单价𝑥的函数关系式𝑦 =𝑘𝑥+𝑏(𝑘 ≠0)，根据点的坐标，利用待定系数法
即可求解；
（2）设此设备的销售单价为𝑚万元/台，则每台设备的利润为(𝑚−30)万元，销售数量为(−10𝑚+900)台，
根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于𝑚的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设年销售量𝑦与销售单价𝑥的函数关系式𝑦 =𝑘𝑥+𝑏(𝑘 ≠0)，
将(35,550)，(40,500)代入解析式，得：
{
35𝑘+𝑏 =550
，解得：{
𝑘 =−10
，
40𝑘+𝑏 =500 𝑏 =900
∴年销售量𝑦与销售单价𝑥的函数关系式为𝑦 =−10𝑥+900；
（2）设此设备的销售单价为𝑚万元/台，则每台设备的利润为(𝑚−30)万元，销售数量为(−10𝑚+900)台，
根据题意得：(𝑚−30)(−10𝑚+900) =8000，
整理得：𝑚2−120𝑚+3500 =0，
解得：𝑚 =50， 𝑚 =70，
1 2
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴𝑥 =50，
则该设备的销售单价应是50万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点
的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
10．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该
商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，
该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)25%
(2)5元
【分析】（1）设平均增长率为𝑥，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案；
（2）设降价𝑦元，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：设平均增长率为𝑥，
由题意得：256×(1+𝑥)2 =400，
解得：𝑥 =0.25或𝑥 =−2.25（舍）；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价𝑦元，
由题意得：(40−𝑦−25)(400+5𝑦)=4250，
整理得：𝑦2+65𝑦−350 =0，
解得：𝑦 =5或𝑦 =−70（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
【类型二 图表信息】
11．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从
乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是
指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是𝑥，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次
累计票房增长的百分率） 2，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结÷单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是𝑥，
依题意得：10(1+𝑥)2 =12.1，
解得：𝑥 =0.1=10%，𝑥 =−2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：[1000000000×(1+10%)−1000000000]÷40
=[1100000000−1000000000]÷40
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司=100000000÷40
=2500000（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或1000000000×10%÷40=100000000÷40 =2500000（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
12．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过𝑥度，那么这个月这户居民只交10元
𝑥
电费；如果超过𝑥度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度 元交费．
100
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了𝑥度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含𝑥的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的𝑥度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
1
【答案】(1) x（90－x）元
100
(2)50度
𝑥
【分析】（1）根据题意可得用电 90 度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度 元交电费，即
100
可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电 45度只交电费10元，可得x≥45，
即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
𝑥
∵超过部分按每度 元交电费，
100
1
∴超过部分应交的电费为 x（90－x）元．
100
1
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得： x（80－x）＝25－10．
100
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
13．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1）91.2 ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若𝑎 > 18 ，可得𝑎2 = 620 <182 ，从而得到𝑎 <18 ，再由“用水量每月不超过 a 吨时，每吨按 0.3a
3
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
0.3×122+0.4×12×(22−12) =91.2 元；
（2）若𝑎 > 18 ，有：0.3𝑎2 =62 ，解得：𝑎2 = 620 <182 ，即𝑎 <18 ，不合题意，舍去，
3
∴𝑎 <18 ，
根据题意得：0.3𝑎2+0.4𝑎(18−𝑎) =62 ，
解得：𝑎 =10,𝑎 =62 （舍去），
1 2
答：规定用水量a的值为10吨．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水
公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如
果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3．
【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可；
（2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案．
【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；
（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
综上，规定用水量为3吨．
则规定用水量a的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
15．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a
a
吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收 元的附加费用．据统计，某
100
户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150
吨时，应交水费多少元？
1.6𝑥(0≤𝑥 ≤100)
【答案】（1）a＝100；（2）𝑦={ ，当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
2.6𝑥−100(𝑥 >100)
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用
水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收 a 元的附加费用；然后列出关于 a 的方程求得 a 值，最后结
100
合8月份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的 a 值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将 x=150 吨代入合适的解
析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(140−a) a =264−224=40(元)，
100
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）100＝2.6x﹣100．
100
1.6x(0≤x≤100)
即y={
2.6x−100(x>100)
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立
分段函数关系式是解答本题的关键．
16．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定
参加这次旅游的人数吗？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】参加旅游的人数40人.
【分析】首先设有𝑥人参加这次旅游，判定𝑥 >30，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.
【详解】设有𝑥人参加这次旅游
∵30×800 =24000 <28000
∴参加人数𝑥 >30
𝑥−30
依题意得：𝑥(800− ×10) =28000
1
解得：𝑥 =40，𝑥 =70
1 2
𝑥−30
当𝑥 =40时，800− ×10=700 >500，符合题意.
1
1
𝑥−30
当𝑥 =70时，800 = ×10 =400<500，不符合题意
2 1
答：参加旅游的人数40人.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程.
17．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱
𝑎
的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度 元交费．
100
(1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元?
(2)下表是9、10月份的用电和交费情况：
月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元)
9 80 25
10 45 10
根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？
(3)求8月份该户居民应交电费多少元?
𝑎
【答案】(1)超过部分应交(90−𝑎)· (元)；(2) 𝑎 =50kw·h；(3) 8月份该户居民交电费30元．
100
【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问.
𝑎
【详解】解：(1)超过部分应交(90−𝑎)· (元)；
100
(2)由9月份交电费25元，该户9月份用电量已超过规定的𝑎kw·h，所以9月份超过部分应交电费(80−𝑎)·
𝑎 =25−10，即𝑎2−80𝑎+1500 =0，解得𝑎 =30，𝑎 =50，由 10 月份的交电费10元看，该户 10 月
100 1 2
份的用电量45kw·h没有超过𝑎kw·h，所以𝑎 > 45．所以𝑎 =50kw·h．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50
(3)当𝑎 =50kw·h时，超过部分应交(90−50)· =20元，所以8月份该户居民交电费30元．
100
【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键.
18．某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交
𝐴
10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部,分还要按每千瓦·时 元
100
交费．
（1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示);
（2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗? 试试看．
𝐴(90−𝐴)
【答案】（1） ；（2）50
100
A A
【详解】分析：（1）由于超过部分要按每千瓦时 元收费，所以超过部分电费（90−A）• ，化简即可；
100 100
A
（2）依题意，得：（80−A）• ＝15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由
100
此可以舍去不符合题意的结果．
A
详解：（1）(90−A)× ；
100
A
（2）由表中数据可知(80−A)× ＋10＝25，
100
得 A2−80A＋1500＝0，
解得 A1＝30，A2＝50，
又∵用电45千瓦•时，付费总额10元，
∴A＞45，
∴A＝50
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，然后列出方程是解题的关键．
19．某旅行社一则旅游消息如下：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司旅游人数 收费标准
不超过10人 人均收费2400元
超过10人 每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司20人．
【分析】（1）设甲公司员工有 x 人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超
过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工𝑥人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收
费减少60元，列出方程，求出𝑥的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有𝑥人，
12000÷2400+24000÷2400，
=10+5，
=15（人）．
故答案为：15
（2）设乙公司𝑥人，
[2400−60(𝑥−10)]𝑥 =36000，
𝑥 =20，𝑥 =30，
1 2
若𝑥 =30，每人费用：2400−60×20=1200 <1500，不符舍去，
若𝑥 =20，每人费用：2400−60×10=1800 >1500，符合，
答：乙公司20人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
20．某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若
按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价
每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪
念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）填表（结果需化简）
时间 第一周 第二周 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．
【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：
800-第一周的销售量-第二周的销售量；
（2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可．
【详解】解：（1）填表（结果需化简）
时间 第一周 第二周 清仓时
单价（元） 80 80-x 40
销售量（件） 200 200+10x 400-10x
故答案为：80-x，200+10x，400-10x；
（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，
x2-20x+100=0，
解得：x1=x2=10，
当x=10时，80-x=70．
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的
关键．
【类型三 增长率问题】
21．某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加．2020年购书费用为5000元，2022年购书费用
为7200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率．
【答案】20%
【分析】设年平均增长率为𝑥，2022年购书费用=2020年购书费用×(1+𝑥)2，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设年平均增长率为𝑥，由题意，得：5000(1+𝑥)2 =7200，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得：𝑥 =0.2=20%,𝑥 =−2.2（舍去）；
1 2
答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
22．某快递公司今年8月份与10月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件
数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递的快递件数的月增长率；
(2)如果每个快递员平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递员，请通过计算说明按此快递
件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年11月份的投递任务．
【答案】(1)月平均增长率为10%
(2)不能完成今年11月份的投递任务
【分析】（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据“8月份快递件数×(1+增长率) 2 =10
月份快递件数”列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）分别计算出11月份的快递件数和16名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案．
【详解】（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
可得：10(1+𝑥)2 =12.1，
解得：𝑥 =0.1=10%，𝑥 =−2.1（舍），
1 2
答：月平均增长率为10%；
（2）11月份的快递件数为12.1×(1+10%)=13.31（万件），
而0.8×16=12.8<13.31，
不能完成今年11月份的投递任务．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出
方程．
23．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放
了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的
基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
(2)从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增
加1.6次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【答案】(1)全天包车数的月平均增长率为60%
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)当租金降价70元时，公司将获利8800元
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为 x，则四月份的全天包车数为25(1+𝑥)；五月份的全天包车
数为25(1+𝑥)2，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；
（2）每辆全天包车的租金×全天包车数量=8800列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：25(1+𝑥)2 =64，
解得：𝑥 =0.6=60%，𝑥 =−2.6（不合题意舍去），
1 2
答：全天包车数的月平均增长率为60%；
（2）解：设租金降价a元，则：(120−𝑎)(64+1.6𝑎)=8800，
化简得：𝑎2−80𝑎+700=0，
解得：𝑎 =10，𝑎 =70．
1 2
为了尽可能让利顾客，𝑎 =70．
2
答：当租金降价70元时，公司将获利8800元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题
的关键．
24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分
率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适
当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽
快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)20%
(2)5
【分析】（1）设每次下降的百分率为𝑎，(1−𝑎)2为两次降价的百分率，50 降至 32 是方程的平衡条件，列
出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为𝑎，
根据题意得：50(1−𝑎)2 =32，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得：𝑎 =180%（舍）或𝑎 =20%，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）解：设每千克应涨价𝑥元，
由题意，得：(10+𝑥)(500−20𝑥) =6000，
整理，得：𝑥2−15𝑥+50=0，
解得：𝑥 =5,𝑥 =10，
1 2
∵商场要尽快减少库存，
∴𝑥 =5符合题意，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即
可．
25．一种药品，原价一盒100元，经过两次涨价，价格为一盒121元，且每次涨价的百分率相同.
(1)求每次涨价的百分率．
(2)若第三次涨价的百分率相同，求第三次涨价后药品的价格
【答案】(1)每次涨价的百分率为10％
(2)第三次涨价后药品的价格为133.1元
【分析】（1）设每次涨价的百分率为𝑥，依题意，100×(1+𝑥)2 =121，即可作答；
（2）由（1）知每次涨价的百分率为10％，第三次涨价后药品的价格为121×(1+10％)，即可作答．
【详解】（1）解：设每次涨价的百分率为𝑥，依题意得：
100(1+𝑥)2 =121
那么(1+𝑥)2 =1.21
解得𝑥 =0.1=10％，𝑥 =−2.1<0（不合题意，舍去），
1 2
所以每次涨价的百分率为10％；
（2）解：由（1）知每次涨价的百分率为10％，
故第三次涨价后药品的价格：121×(1+10％) =121×1.1=133.1（元），
所以第三次涨价后药品的价格为133.1元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，涉及增长率问题，认真理解并正确列式是解题的关键，难
度较小．
26．某水果经销商销售一种新上市的水果，进货价为5元/千克，售价为10元/千克，月销售量为1000千克．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)经销商降价促销，经过两次降价后售价定为8.1元/千克，请问平均每次降价的百分率是多少？
(2)为增加销售量，经销商决定本月降价促销，经过市场调查，每降价0.1元，能多销售50千克，请问降价
少元才能使本月总利润达到6000元？
【答案】(1)10%
(2)降价1元或2元能使本月总利润达到6000元
【分析】（1）设平均每次降价的百分率是𝑥，则第一次降价后的价格为10(1−𝑥)元，第二次降价后的价格为
10(1−𝑥)2，根据两次降价后的价格是8.1元建立方程，求出其解即可；
（2）设降价𝑦元能使本月总利润达到6000元，多销售的数量为50×10𝑦𝑘𝑔，根据条件建立方程求出其解即
可．
【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率是𝑥，由题意，得：10(1−𝑥)2 =8.1，
解得：𝑥 =1.9（舍去），𝑥 =0.1，
1 2
答：每次降价的百分率为10%．
（2）设降价𝑦元能使本月总利润达到6000元，由题意，得：(10−𝑦−5)(50×10𝑦+1000)=6000，
解得：𝑦 =1，𝑦 =2，
1 2
答：降价1元或2元能使本月总利润达到6000元．
【点睛】本题考查了运用降低率问题解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题是
找到等量关系建立方程是关键．
27．为了美化环境，2021年潮州市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，且从2021
年到2023年每年绿化投资额的年平均增长率都相同．
(1)求每年绿化投资额的年平均增长率；
(2)按照这个年平均增长率，预计2024年绿化投资额将达到多少万元?
【答案】(1)25%
(2)56.25万元
【分析】（1）设每年绿化投资额的年平均增长率为𝑥，根据题意即可建立一元二次方程求解；
（2）2024年绿化投资额=2023年绿化投资额×（1+年平均增长率）．
【详解】（1）解：设每年绿化投资额的年平均增长率为𝑥，
则：20(1+𝑥)2 =45
解得：𝑥 =0.5=50%,𝑥 =−2.5（舍去）
1 2
∴每年绿化投资额的年平均增长率为25%
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：预计2024年绿化投资额为：45(1+25%) =56.25万元
【点睛】本题考查一元二次方程与增长率问题．根据等量关系列出方程是关键．
28．某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元．
(1)求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率；
(2)假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多
少元？
【答案】(1)该村人均收入的年平均增长率为10%
(2)2021年人均收入是26620元
【分析】（1）设2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为𝑥，根据某村2018年的人均收入为20000元，
2020年的人均收入为24200元，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2021年该村的人均收入=2018年该村的人均收入×(1+年平均增长率)，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该村人均收入的年平均增长率为𝑥，
则：20000(1+𝑥)2 =24200，
解得：𝑥 =0.1=10%，𝑥 =−2.1（不合题意，舍去），
1 2
答：该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×(1+10%) =26620（元），
答：2021年人均收入是26620元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题关键．
29．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2021的20t增加到2023年的28.8t．
(1)求这种无籽西瓜平均每年增产的百分率；
(2)若平均每年增产率不变，2025年该西瓜地的无籽西瓜产量能突破40t吗？
【答案】(1)这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是20%
(2)2025年该西瓜地的无籽西瓜能突破40t
【分析】（1）设平均每年增产率是𝑥，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）根据（1）中求出的增产率计算出2025年的产量，然后可得答案．
【详解】（1）解：设平均每年增产率是𝑥，
根据题意得：20(1+𝑥)2 =28.8，
解得：𝑥 =0.2=20%，𝑥 =−2.2（不符合题意，舍去），
1 2
答：这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是20%；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）28.8×(1+20%)2 =41.472> 40，
答：2025年该西瓜地的无籽西瓜能突破40t．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系，正确列出方程是解题的关键．
30．“燕赵味河北农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售
48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求
每件应降价多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率为10%
(2)每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元
【分析】（1）设每次降价的百分率为𝑥，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列
一元二次方程，求解即可；
（2）设每件应降价y元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为𝑥，
依题意，得：40(1−𝑥)2 =32.4，
解方程，得𝑥 =0.1=10%，𝑥 =1.9（不符合题意舍去），
1 2
答：每次降价的百分率为10%；
（2）解：设每件应降价𝑦元，
𝑦
依题意，得：(40−30−𝑦)(48+4× )=504，
0.5
整理，得：𝑦2−4𝑦+3=0，
解方程，得：𝑦 =1，𝑦 =3，
1 2
要尽快减少库存，所以取𝑦 =3，
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
【类型四 通道问题】
31．如图，某学校计划在长为20m，宽为10m的矩形地面上修建相同宽度的通道（图中阴影部分），余下部
分作为劳动实践基地，要使劳动实践基地的面积为171m2，求通道的宽．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】1米
【分析】设通道的宽为x米，根据劳动实践基地的面积为171m2列出方程，解之即可．
【详解】解：设通道的宽为x米，
由题意可得：(20−𝑥)(10−𝑥) =171，
解得：𝑥 =1，𝑥 =29（舍），
1 2
∴通道的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确表示劳动实践基地的面积．
32．如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与
纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为570m2，则道路应修多宽？
【答案】1m
【分析】设道路应修𝑥m宽，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设道路应修𝑥m宽，根据题意得：(32−2𝑥)(20−𝑥) =570，
整理得：𝑥2−36𝑥+35=0，
解得：𝑥 =1,𝑥 =35（不合题意，舍去），
1 2
答：道路应修1m宽．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
33．在刚刚过去的第三十九个教师节，我校有四位教师在首届“校长奖——风华杯”评选中脱颖而出，学校为
突出榜样教师的示范引领作用，在校园里通过展板展示四位教师的先进事迹，现有一块长25dm，宽8dm的
矩形展板，如图所示，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度
相同的空白区域．如果所有矩形展示区域的面积之和为120dm2，空白区域的宽度应是多少dm？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】空白区域的宽度应是1dm．
【分析】设空白区域的宽度为𝑥dm，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设空白区域的宽度为𝑥dm，根据题意可得：25×8−5𝑥×8−2𝑥×(25−5𝑥) =120
解得𝑥 =8（舍去）或𝑥 =1
1 2
即空白区域的宽度应是1dm．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出一元二次
方程．
34．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车
棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
(1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．若设垂直于墙的边为x米，请求出x
的值．
(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建两条纵向和一条横向的等宽小路，使得停放自行
车区域的面积为54平方米，那么小路的宽度应设计成多少米？
【答案】(1)10
(2)小路的宽为1米
【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为(26−2𝑥+2)米，再根据其面积为80列出方
程求解并检验即可解答；
（2）设小路的宽为a米，利用停放自行车区域的面积为54平米列出方程求解即可解答．
【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为(26−2𝑥+2)米，
由题意可得：𝑥(28−2𝑥) =80．解得𝑥 =4或𝑥 =10，
当𝑥 =4时，28−2𝑥 =20＞12（舍去）．
当𝑥 =10时，28−2𝑥 =8＜12，符合题意．
答：x的值为10．
（2）解：当𝑥 =10时，车篷平行与墙的一面为8米
设车篷的宽为a米，由题意可得：(8−2𝑎)(10−𝑎)= 54，
解得：𝑎 =13＞10（舍去），𝑎 =1．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司答：小路的宽为1米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，结合题意和图形、找到等量关系出方程是解答本题的关键．
35．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要
使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
【答案】2m
【分析】设道路的宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，则所有草坪面积之和就变为了
(32−𝑥)(20−𝑥)m2，进而即可列出方程，即可求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，
设道路的宽为x米，
根据题意得：(32−𝑥)(20−𝑥) =540，
整理得𝑥2−52𝑥+100=0，
解得𝑥 =2或𝑥 =50，
因为50>32，则𝑥 =50不符合题意，舍去，
所以道路的宽为2m．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移
把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
36．如图，某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿
地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的
宽度．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】1m
【分析】设人行道的宽度为𝑥米，根据矩形绿地的面积之和为60米 2，列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设人行道的宽度为𝑥米，根据题意得：(18−3𝑥)(6−2𝑥)=60，
化简整理得，(𝑥−1)(𝑥−8)=0．
解得𝑥 =1，𝑥 =8（不合题意，舍去）．
1 2
答：人行通道的宽度是1m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60平方米得出方程是解题
关键．
37．某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下
2
图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4:3，如果要使冰场的面积是原空地面积的 ，
3
并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的左、中、右通道的宽度是多
少m？
【答案】预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
2
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4𝑥米、3𝑥米，根据冰场的面积是原空地面积的 列出方程，解方程后再
3
求通道的宽度即可．
2
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得：2×4𝑥×3𝑥 = ×27×12，
3
解得，𝑥 =3，𝑥 =−3（舍去），
1 2
12−3×3
则上、下通道的宽度为 =1.5（米），
2
27−2×4×3
左、中、右通道的宽度 =1（米），
3
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．在宽为100m，长为160m的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，
要使耕地面积为13500m2，道路的宽为多少米？
【答案】道路的宽为10m
【分析】设道路的宽度为𝑥m，根据题意可知耕地可拼成一个矩形，耕地面积为13500m2，列出方程，解方
程即可．
【详解】设道路的宽为𝑥m，
根据题意得：(160−𝑥)(100−𝑥)=13500，
解得：𝑥 =10或𝑥 =250（不合题意，舍去），
答：道路的宽为10m．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形中耕地面积列出方程是解题的关键．
39．某公园要在一个足够大的草地上规划出一个矩形草坪𝐴𝐵𝐶𝐷，矩形草坪𝐴𝐵𝐶𝐷的长𝐴𝐷为𝑎米，宽𝐴𝐵为𝑏米，
并计划在草坪𝐴𝐵𝐶𝐷上种植两条宽均为𝑥米的两条互相垂直的花带（阴影部分），且两条花带与矩形的边分别
平行，余下的四块矩形草坪改为种植景观树．
(1)已知𝑎 =26，𝑏 =15，且种植景观树的总面积为312平方米，每条花带的宽为多少米？
(2)若𝑎:𝑏 = 2:1，每条花带的宽均为2米，且种植景观树的总面积为312平方米，求𝑎，𝑏的值．
【答案】(1)2米
(2)𝑎 =28，𝑏 =14
【分析】（1）将四块矩形场地拼成一个长方形，表示出长和宽，根据面积为312平方米，列一元二次方程，
解方程即可；
（2）由题意，四块矩形场地可拼合成一个长为(2𝑏−2)米，宽为(𝑏−2)米的矩形，根据面积为312平方米，
列一元二次方程，解方程即可；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）解：依题意得：(26−𝑥)(15−𝑥)=312，
整理得：𝑥2−41𝑥+78=0，
解得：𝑥 =2，𝑥 =39（不合题意，舍去）．
1 2
∴每条花带的宽均为2米．
（2）解：∵𝑎:𝑏 =2:1，
∴𝑎 =2𝑏，
又∵花带的宽度2米，
∴四块矩形场地可合成长为(2𝑏−2)米，宽为(𝑏−2)米的矩形．
依题意得：(2𝑏−2)(𝑏−2)=312，
整理得：𝑏2−3𝑏−154=0，
解得：𝑏 =14，𝑏 =−11（不合题意，舍去），
1 2
∴𝑎 =2𝑏 =28．
∴𝑎 =28，𝑏 =14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
40．今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善.某小区规划在如图宽为20m，
长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2，
求道路的宽.
【答案】道路的宽是2米
【分析】设道路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为
了(32−𝑥)(20−𝑥)米2，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】解：设道路的宽x米，
则(32−𝑥)(20−𝑥) =540，
解得：𝑥 =2，𝑥 =50（舍去），
答：道路的宽是2米．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移
把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型五 其他问题】
41．毕业晚会上同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有
多少位同学？
【答案】10
【分析】设这个小组一共有学生𝑥人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设这个小组一共有学生𝑥人，
根据题意得：𝑥(𝑥−1)=90，
整理得：𝑥2−𝑥−90 =0，即(𝑥−10)(𝑥+9)=0，
解得：𝑥 =10或𝑥 =−9（舍去），
故这个小组一共有学生10人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
42．今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节．晚上，读初三的孙子小明问
老黄：“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦？”爷爷：“我来考考你：我们每个人都与其他人握了一次手，一
共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗？”
【答案】有16人参加聚会
【分析】设有𝑥人参加聚会，根据题意，列方程求解即可．
1
【详解】解：设有𝑥人参加聚会，由题意可得： 𝑥(𝑥−1)=120，
2
化简可得：𝑥2−𝑥−240 =0
(𝑥−16)(𝑥+15) =0
𝑥 =16,𝑥 =−15（舍）
1 2
答：有16人参加聚会．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出方程．
43．月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每
个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．求每个支干长出多少小分支？
【答案】每个支干长出8个小分支．
【分析】根据等量关系：主干1+支干数目+小分支数目=73，把相关数值代入即可．
【详解】解：设每个支干长出𝑥个小分支，
根据题意得：1+𝑥+𝑥2 =73
解得：𝑥 =8，𝑥 =−9(舍去)．
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司答：每个支干长出8个小分支．
【点睛】此题考查了列一元二次方程，得到主干、支干、小分支的总数的等量关系是解决本题的关键．
44．长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会
吸引大量游客前往观看．今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平
均每天每小时接待人数多50%，两个游客接待中心平均每天每小时接待游客500人．
(1)求7月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
(2)因为8月份雨天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比7月少16𝑚人，西坡
游客接待中心平均每天每小时接待的人数比7月少18%人，在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名
游客，求m的值．
【答案】(1)7月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客300人，西坡游客接待中心平均每天每小时接
待游客200人
(2)3
【分析】（1）设 7 月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客 x 人，西坡游客接待中心平均每天每小
时接待游客 y 人，根据两个接待中心每小时一共接待 500 人，且北坡游客接待中心平均每天每小时接待人
数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%，列出方程组求解即可；
（2）分别用含m的式子表示出两个接待中心每小时接待的人数，再根据人数和为1248列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设 7 月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客 x 人，西坡游客接待中心平均每天
每小时接待游客y人，
𝑥 =(1+50%)𝑦 𝑥 =300
根据题意得：{ ，解得：{ ．
𝑥+𝑦 =500 𝑦 =200
答：7月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客300人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客
200人；
（2）解：根据题意得：(300−16𝑚)𝑚+200×(1−18%)𝑚=1248，
整理得：𝑚2−29𝑚+78=8，
解得：𝑚 =3，𝑚 =26，
1 2
当𝑚 =3时，300−16𝑚 =300−16×3=252>0，符合题意；
当𝑚 =26时，300−16𝑚 =300−16×26=−116<0，舍去．
答：m的值为3．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量
关系列出对应的方程和方程组是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司45．春节是中国人最具节日气氛的日子，春节旅游作为一种时尚的生活方式，被越来越多的人接受．春节
期间，甲、乙两支队伍计划自驾去某地旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往同一目的地汇合．甲
队走𝐴路线，全程1200千米，乙队走𝐵路线，全程1500千米．由于𝐵路线高速公路较多，乙队平均每天行
驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队可以比甲队提前1天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，甲队最开始计划有10个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有a个人加入
队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．乙队每人每天的平均花费始
终为200元．最终甲、乙两队旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共花费28500元，
求𝑎的值．
【答案】(1)甲队计划6天到达目的地，乙队计划5天到达目的地；
(2)𝑎的值为5．
【分析】（1）设乙队计划𝑥天到达目的地，则甲队计划(𝑥+1)天到达目的地，利用速度=路程÷时间，结合
乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于𝑥的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目
的地的时间，再将其代入(𝑥+1)中，即可求出甲队计划到达目的地的时间；
（2）根据两队共需花费28500元，可得出关于𝑎的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【详解】（1）设乙队计划𝑥天到达目的地，则甲队计划(𝑥+1)天到达目的地，
1500 1200
根据题意得： =1.5× ，
𝑥 𝑥+1
解得：𝑥 =5，
经检验，𝑥 =5是所列方程的解，
∴𝑥+1=5+1=6．
答：甲队计划6天到达目的地，乙队计划5天到达目的地；
（2）根据题意得：(300−30𝑎)×6×(10+𝑎)+200×5×(10+𝑎)=28500，
整理得：9𝑎2−50𝑎+25=0，
5
解得：𝑎 =5，𝑎 = （不符合题意，舍去）．
1 2 9
答：𝑎的值为5．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．为响应“美丽广西，清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西，清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计
算出需要绿化的面积为500m2，绿化140m2后，为了更快地完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来
的1.2倍，结果一共用22天完成了该项工作．
(1)该项绿化工作原计划每天完成多少平方米？
(2)在绿化工作中有一块面积为160m2的长方形场地，长方形的长比宽的2倍少4m，则这块长方形场地的长
和宽各是多少米？
【答案】(1)该项绿化工作原计划每天完成20m2
(2)这块长方形场地的长为16m，宽为10m
【分析】（1）设该项绿化工作原计划每天完成𝑥m2，则提高工作量后每天完成1.2𝑥m2，根据题意列出分式方
程，即可求解；
（2）设长方形场地的宽为𝑦m，则长为(2𝑦−4)m，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）设该项绿化工作原计划每天完成𝑥m2，则提高工作量后每天完成1.2𝑥m2，依题意，得：
140 500−140
+ =22，
𝑥 1.2𝑥
解得𝑥 =20，
经检验，𝑥 =20是原方程的解且符合题意，
答：该项绿化工作原计划每天完成20m2．
（2）设长方形场地的宽为𝑦m，则长为(2𝑦−4)m，依题意，得：𝑦(2𝑦−4)=160，
解之，得𝑦 =10或𝑦 =−8（不合题意，舍去）
即：2𝑦−4=16（米），
答：这块长方形场地的长为16m，宽为10m．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，正确列出分式方程、
一元二次方程，是解答本题的关键．
47．课本再现
（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应
该邀请多少支球队参加比赛？
模型变式
（2）2022年11月8日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有
球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】（1）6；
（2）11．
【分析】（1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可；
（2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可；
【详解】（1）设应该邀请𝑥支球队参加比赛，
1
依题意得： 𝑥(𝑥−1)=15，
2
解得：𝑥 =6，𝑥 =−5(不符合题意，舍去)，
1 2
答：应该邀请6支球队参加比赛．
（2）有𝑦支球队参加比赛，
1
依题意得： 𝑦(𝑦−1) =110，
2
解得：𝑦 =11，𝑦 =−10(不符合题意，舍去)，
1 2
答：有11支球队参加比赛．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
48．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年
到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克．
(1)若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
(2)2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022
年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求
2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
【答案】(1)20%
(2)20
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设2020年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，第2021年脐橙平均亩产量为2000(1+𝑥)
千克，第2022年脐橙平均亩产量为2000(1+𝑥)2千克，据此列出方程求解即可；
（2）设增加脐橙种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，
根据题意，得：2000(1+𝑥)2 =2880，
解得：𝑥 =0.2=20%，𝑥 =−2.2（不合题意，舍去）
1 2
答：脐橙平均亩产量的年增长率为20%；
（2）解：设增加脐橙种植面积a亩．
根据题意，得：(100+𝑎)(1200−10𝑎) =1200×100．
解得：𝑎 =0（不合题意，舍去），𝑎 =20．
1 2
答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．
49．重庆被称为“基建狂魔”城市，今年2月份，重庆轨道交通引来“运营里程超500千米的新突破”，另外重
庆其他轨道工程也正处在建设中．
(1)原计划今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32
千米，高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，则今年第一季度隧道施工最多是多少千米？
(2)一季度的施工里程刚好按原计划完成且隧道施工里程达到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架施
工、隧道施工每千米成本分别是1亿元、2亿元、4亿元．在第二季度施工中，预计总里程会减少10𝑎千米，
隧道施工里程会增加𝑎千米，高架施工会减少2𝑎千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本与第一季度
相同，高架桥施工每千米成本会增加0.5𝑎亿元，若第二季度总成本与第一季度相同，求𝑎的值．
【答案】(1)3千米
3
(2)𝑎 =
2
【分析】（1）设原计划今年一季度，隧道施工最多是 x 千米，则高架施工(56−32−𝑥)千米，根据高架施
工长度至少是隧道施工长度的 7 倍，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结
论；
（2）先求得第二季度高架施工长度为(21−2𝑎)千米，第二季度隧道施工长度为(3+𝑎)千米，第二季度普
通道路施工长度为56−10𝑎−(21−2𝑎)−(3+𝑎) =(32−9𝑎)千米，再根据第二季度总成本与第一季度相
同，列出方程，求解即可．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）解：设原计划今年一季度，隧道施工是 x 千米，则高架施工(56−32−𝑥)千米，根据题意，
得：56−32−𝑥 ≥ 7𝑥
解得：𝑥 ≤3，
∴今年第一季度隧道施工最多是3千米；
（2）解：第一季度高架施工长度为56−32−3=21(千米)，
则第二季度高架施工长度为(21−2𝑎)千米，第二季度隧道施工长度为(3+𝑎)千米，第二季度普通道路施工
长度为56−10𝑎−(21−2𝑎)−(3+𝑎) =(32−9𝑎)千米，
根据题意，得：32×1+21×2+3×4=(32−9𝑎)×1+(21−2𝑎)×(2+0.5𝑎)+(3+𝑎)×4
化简整理，得：𝑎2− 3 𝑎 =0
2
3
解得：𝑎 = ，𝑎 =0(不符合题意，舍去)
1 2 2
3
∴𝑎 = ．
2
【点睛】本题考查一元一次不等式与一元二次方程的应用，理解题意，列出一元一次不等式与一元二次方
程是解题的关键．
50．兔年到来之际，小明为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A贴花的售价是每
张3元，B贴花的售价是每张6元，共花费1800元．
(1)求计划购买多少张B贴花；
1 𝑚
(2)为了节省费用，小明妈妈最终在网上购买，A贴花每张售价减少了 ，B贴花每张售价也便宜了 元．现在
3 5
15
在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了 𝑚张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了(400+2𝑚)元，
2
求m的值．
【答案】(1)计划购买100张B贴花；
(2)8．
【分析】（1）设计划购买𝑥张B贴花，则购买(500−𝑥)张A贴花，根据题意列方程求解，即可得到答案；
1 15
（2）由题意得，网上购买A贴花每张售价为3×(1− )=2元，数量为(400− 𝑚)张，B贴花每张售价为
3 2
𝑚 15
(6− )元，数量为(100+ 𝑚)张，总费用为[1800−(400+2𝑚)] =(1400−2𝑚)元，列方程求解即可得
5 2
出m的值．
【详解】（1）解：设计划购买𝑥张B贴花，则购买(500−𝑥)张A贴花，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由题意得：3(500−𝑥)+6𝑥 =1800，
解得：𝑥 =100，
答：计划购买100张B贴花；
1 15
（2）解：由题意得：网上购买，A贴花每张售价为3×(1− ) =2元，数量为(400− 𝑚)张，B贴花每张
3 2
𝑚 15
售价为(6− )元，数量为(100+ 𝑚)张，总费用为[1800−(400+2𝑚)] =(1400−2𝑚)元，
5 2
15 𝑚 15
即2(400− 𝑚)+(6− )(100+ 𝑚)=1400−2𝑚，
2 5 2
整理得：𝑚2−8𝑚 =0，
解得：𝑚 =8，𝑚 =0（舍），
1 2
∴𝑚的值为8．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，准确理解题意找到正确的等量关系是解题关键．
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