文档文本内容
潞河中学 2023-2024 高三第三次模拟试卷
数学
2024.5
本试卷共2页，150分.考试时长120分钟．考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题
答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1. 已知 为整数集， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：A.
2. 记等差数列 的前n项和为 .若a =7， ，则 （ ）
5
A. 49 B. 63 C. 70 D. 126
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到 ，再运用等差数列的前n项和公式计算即得.
【详解】因{a )是等差数列，故 ，于是
n
故选：B
3. 若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】A
【解析】
【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得.
【详解】 ， .
故选：A．
4. 若 ，则 （ ）
A. 80 B. C. 40 D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项展开式即可得到答案.
【详解】由题意， .
故选：C.
5. 已知 ， ，则“ ”是“a+b>2”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.
【详解】不妨设 ，此时满足 ，
但不满足a+b>2，充分性不成立，
a+b>2两边平方得 ，由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，解得 ，必要性成立，
故“ ”是“a+b>2”的必要不充分条件.
故选：B6. 已知函数 在区间 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果.
【详解】当 时， ，所以 ，由图可知A错误；
由偶函数定义 ，得 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错
误；
当 时， ，由图可知D错误；
由奇函数定义可知函数 为奇函数，当 时 ，
当 时， ，选项C均符合图像特征，故C正确；
故选：C.
7. 已知 ， ， 在 上的投影向量为 ，则向量 与 夹角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据投影向量公式可求向量 与 夹角余弦值.
【详解】 在 上的投影向量为 ，故 ，
而 ，故 ，故 ，
故 即 ，
故选：A.
8. 已知等轴双曲线的渐近线与抛物线 的准线交于 两点，抛物线焦点为 ，
的面积为4，则的 长度为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，联立方程组，求得 的坐标，结合题意，列出方程求得
，进而求得 长度，得到答案.
【详解】由题意，等轴双曲线的渐近线方程为 ，抛物线 的准线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，可得 ，同理可得 ，
因为 的面积为4，可得 ，解得 ，
则 .
故选：D.9. 已知函数 （ ， ）的图象在y轴上的截距为 ， 是该函数的最小
正零点，则（ ）
A.
B. 恒成立
C. 在 上单调递减
D. 将 的图象向右平移 个单位，得到的图象关于y轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由函数图象在y轴上的截距为 ，可求出 ，对于B，由 是该函数的最小正零点，求
出 ，从而可求得函数关系式，进而可求出 进行判断，对于C，由 ，求出
的范围，结合余弦函数的性质分析判断，对于D，根据三角函数图象变换规律求出解析式再判断其奇偶性.
【详解】对于A，函数 （ ， ）的图象在y轴上的截距为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，故A错误；对于B，因为 是该函数的最小正零点，
所以 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ，
所以
（其中 ），故B错误；
对于C，当 时， ，故C正确；
对于D，将 的图象向右平移 个单位，得到 ，
是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误．
故选：C．
10. 在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上动点，则
的最小值为（ ）
A. 34 B. 40 C. 44 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.
【详解】设P(x,y)，则
，
即 等价于点 到点 的距离的平方的两倍加八，又 ，
即 .
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知随机变量 ， ，且 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求出 ，即可得到 ，再由二项分布的期望公式计算可得.
【详解】因为 且 ，所以 ，则 ，
又 且 ，所以 ，解得 .
故答案为：
12. 已知 ， ， ，则三者大小关系为________（按从小到大顺序）
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出 的范围，即可求解.【详解】因为 ，
，且 ，
，
故 ，
故答案为： .
13. 已知过点 的直线（不过原点）与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，
则 的值为______.
【答案】18
【解析】
【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知过点 的直线（不过原点）在 轴、 轴上的截距相等，
设该直线方程为 ，将 代入得 ，即直线方程为 ，
由于该直线与 相切，圆心为 ，半径为 ，
故 ，
故答案为：18
14. 已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出 在 上单调递增，在 上单调递减，然后作出
与 在 上的图象，求出 在 上的值域，再结合图象可求得结果.
【详解】当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，为 ，
作出 与 在 上的图象如图所示：
当 ， 时， ，此时 ，
此时 ，
因为 的值域为 ，则 时， 必有解，即 ，解得 ，由图知
,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解
题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
15. 若数列{b }、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 ，则称
n数列{b }为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列结论中正确的是________．
n
①存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
②存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
③存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
④存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①取 分析判断，对于②④取 分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性
质分析判断.
【详解】对于①：例如 ，则 为等差数列，可得 ，则 ，
所以 ， ，
故 、 均为严格增数列，
取 ，则 ，即 恒成立，
所以 是 的“ 数列”，故①正确；
对于②，例如 ，则 为等比数列，可得 ，则 ，
所以 ， ，
故 、 均为严格增数列，
取 ，则 ，即 恒成立 ，
所以 是 的“ 数列”，故②正确；对于③，假设存在等差数列 ，使得 是 的“ 数列”，
设等差数列 的公差为 ，
因为 为严格增数列，则 ，
又因为 为严格增数列，所以 ，即当 时， 恒成立，
取 ，满足 ，可知必存在 ，使得 成立，
又因为 为严格增数列，
所以对任意正整数 ，则有 ，即 ，
对任意正整数 ，则有 ，即 ，
故当 时，不存在正整数 ，使得 ，故③不成立；
对于④，例如 ，则 为等比数列，且 、 均为严格增数列，可得
，
所以 ， ，
故 、 均为严格增数列，
取 ，则 ，即 恒成立，
所以 是 的“ 数列”，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 .
（1）求角 的大小；（2）设 ， ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理求解；
（2）运用两角差公式求解.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，可得 ，
即 ， ，又 ，可得 ；
【小问2详解】
在 中，由余弦定理得： ，
由 ，以及 ，可得 ，
因为 ，所以A是锐角，所以 ，
因此 ， ，
所以， ，
综上， ， .17. 如图，在三棱锥 中， ， ，∠CAB=60°， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的平面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）先由解三角形知识证得 ，进一步由 ，结合线面垂直、面面垂直的判
定定理即可得证；
（2）解法一：一方面，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接
，可以证明 是二面角 的平面角，另一方面可以通过解三角形知识即可得解；解法
二：建立适当的空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进一步由法向量夹角的余弦坐标公式，结
合平方关系以及商数关系即可运算求解.
【小问1详解】
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，所以 ，
又 ， ， 面 ， 面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
解法一：过点 作 交 于点 ，
因为平面 平面 ，平面ACP∩平面 ， 面 ，
所以 平面 ，因为 面 ，所以 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ，则 ，
所以 是二面角 的平面角.
由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以三角形 是正三角形，
所以 ， .
在直角三角形 中， ，
所以 .
所以，二面角 的平面角的正切值是2.
解法二：
以 为原点， ， 所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，则A(2,0,0)， ，设 ，其中 ，
由 ， 得 ，
所以 ， ，即 ，
所以 ， .
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，即 ，
取 ，则 ， ，所以 .
又平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ， ，
的
所以，二面角 平面角的正切值为2.
18. 某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规
定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A
的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的
个数，具体数据如下表：
10
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日
日元件A个
9 15 12 18 12 18 9 9 24 12
数
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
日期
日 日 日 日 日 日 日 日 日 日
元件A个
12 24 15 15 15 12 15 15 15 24
数
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b ，且b-a=6，求 最大值；
的
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 个数的数学期望不
超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）分布列见解析， ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)至少增加2人.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．
（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．
的
（Ⅲ）利用前两问 结果，判断至少增加2人．
【详解】(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；
, , ,
, ，
X的分布列为：
X 9 12 15 18 24P
故X的数学期望 ；
(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,
a,b的值可能为： ,或 ,或 .
经计算 , , ，
所以P(a≤X≤b)的最大值为 .
(Ⅲ)至少增加2人.
【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（其中 ）
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，求出不等式 、 的解集即可计算判断作答.
（2）求出函数 在区间 上的最大值即可作答.
【详解】（1）函数 定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当 或x>2时， ，当 时， ，即 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
所以 的递增区间为 ， ，递减区间为 ，极大值为 ，极小值为 .
（2）由（1）知 ，由 时，得 ，因 ，
当 时，当 时， ，即函数 在 上单调递减，则 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，
当 时，当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在
上递增，
于是得 在 上的最大值为 或 ，而 ， ，
，即 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，
所以当 时，关于 的不等式 在区间 上无解.
20. 已知椭圆 的上、下顶点为 、 ，左焦点为 ，定点 ，
．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 作斜率为 （ ）的直线 交椭圆 于另一点 ，直线 与 轴交于点 （ 在 ，
之间），直线 与 轴交于点 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）依题意可得 为 、 的中点，即可求出 、 ，再求出 ，即可得到椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，求出 ，x ，从而表示出 的方程，即
M
可得到 ，再求出 ，最后由三角形的面积得到 ，从而得到关于 的方程，
解得即可.
【小问1详解】
由题意， ，则 为 、 的中点，
所以 ， ，
， ，即 ，
，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，与椭圆 的方程联立， ，整理得 ，
，
所以 ，
直线 与 相交于点 ，令 ，
所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
令 ， ，
由 ，
又 ，
，
，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，解得 或 ，
所以 的值为 或 .
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出 ，从而得到 .
21. 约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（ ）除得的商正好是整数而没有余数，
我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为 ， ， ， ，（ ）．
⋯
（1）当 时，是否存在 ， ，…， 构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，
若不存在请说明理由；
（2）当 时，若 ， ， 构成等比数列，求正整数a．
⋯
的
（3）当 时，若 ， ，…， 是a 所有正约数的一个排列，那么 ， ， ， ，
⋯
是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
【答案】（1）存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知16的所有正因数符合题意；（ 2 ） 由 题 意 可 得 ， ， ， ， 根 据 等 比 数 列 的 定 义 可 得
，分析得 ，则 ， ，… 为 ， ，⋯，
，即可求得结果；
（3）假设 ， ， ，⋯， 是另一个正整数b的所有正约数的一个排列，设
， ，可推出b是奇数， ，进而可推出b为
偶数，从而可知假设错误.
【小问1详解】
存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数．
【小问2详解】
由题意得 ， ， ， ，
，依题意可知
，化简可得
因此可知 是完全平方数，
由于 是整数a的最小非1因子，所以
所以 ， ，… 为 ， ，⋯，
因此
【小问3详解】假设 ， ， ，⋯， 是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
， ，
易知 （ ），而1∈B，故
又知 ，所以b是奇数．
是
所以 为奇数，又 ，故 偶数
其中A中最大的两个元素为a， ，显然B中每个元素都不超过 ，
特别地，
设 ， ，其中 （因为a有k（ ）个正约数， ）
于是B中存在两个元素 ， ，它们都大于 ，进而都大于 且都是b的约数．
这表明b可以被2整除，与b为奇数矛盾．
因此假设不成立．
【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列，考查约数的概念，第（2）解题的关键是在得到
可得 是完全平方数，进而得 ，考查推理能力和计算能力，属于难题.
