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通州区 2025 年高三年级模拟考试
数学试卷
2025年4月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知全集为R，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集及交集运算即可求解.
【详解】由 ，可得 或 ，
所以 ，
故选：B
2. 已知复数 ，则共轭复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.
详解：由题意可得： ，
则其共轭复数 .
本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 在 的展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. 32 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】通项公式 ，
令 ，得 ，
所以x的系数为 ，
故选：A
4. 已知等差数列 满足： ，且 ，则 （ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.
【详解】设公差为 ，
由 ， ，
得 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
5. 已知点F为抛物线 的焦点，过点F且倾斜角为 的直线与抛物线交于A、B两点，则 等于（ ）
A. 16 B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求
得 ．
【详解】由题意可得，抛物线的焦点 ，
由直线的斜角为 ，可知直线AB的斜率为 ，
∴直线AB的方程为 ，
设 ，
联立方程 ，可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可知， .
.
故选：C
6. 若点 关于直线 的对称点在圆 上，则k、b的一组取值为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据点 在圆上可知直线经过圆心即可求解.
【详解】由于 在圆 上，圆心为 ，要使 关于直线 的对称点在圆 上，
则直线 必经过圆心 ，故 ，结合选项可知：只有D符合，
故选：D
7. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先判断充分性，即判断当 时， 是否成立；再判断必要性，即判断当
时， 是否成立．
【详解】设函数 ，其定义域为 ．
对 求导，根据求导公式 ， 可得 ．
因为 ，所以 ，则 ．
这表明函数 在 上单调递增．
当 时， ，即 ，移项可得
．
所以由 能推出 ，充分性成立．
当 时，即 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以 时， ．
这说明当 时，不一定有 ，必要性不成立．因为充分性成立，必要性不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
8. 已知函数 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数 在 上的单调性，再根据函数的单调性和奇
偶性即可得解.
【详解】因为 ，
所以函数 为偶函数，
，
令 ，则 ，
所以函数 ，
即当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 .
故选：A.
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶
点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体 ，O为正四面体的中心，如图2所示，则角 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由几何体的结构特征求出碳氢键的键长，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图：
设正四面体的棱长为 ，正三角形 中， ，
正四面体的高 ，
设 ,则 中，
,
即 ,
解得 即则 中，
故选：B
10. 已知平面向量 ， ，若 满足 ，设 与 夹角为 ，则 （
）
A. 有最大值为 B. 有最大值为
C. 有最小值为 D. 有最小值为
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 根 据 , 可 得 ， 即 可 根 据 坐 标 运 算 以 及 夹 角 公 式 得
，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解.
【详解】设 ，
由 得 ，故 ,因此 ，
故 ，
由于
，则，
则 ，
令 ，
故 在 上单调递增，由于 ，
故当 在 上恒成立， 在 上恒成立，
故 在 单调递减，在 单调递增，
故当 时， 取到极小值也是最小值，因此
因此 ，
故由于 恒成立，故 ，
故选：C
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线 的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线方程即可求解.
【详解】双曲线 的焦点在x轴上， ，所以渐近线方程为 ，
故答案为：
12. 在 中，已知 ， ， .则 _______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据正弦定理求解 ，即可根据余弦的二倍角公式求解.
【详解】由正弦定理可得 ，故 ，
故 ,
故答案为： .
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量 （ 为碳14的初始质量）.当
该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质
量与原有质量的比值为 ，则t=_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式 ，分别代入不同的时间 或质量比值来
求解相应的结果.【详解】已知公式 ，当 时，将其代入公式可得：
，所以 .
已知 ，即 ，两边同时除以 可得 .
因为 ，所以 .
根据指数的性质，可得 ，解得 .
故答案为： ； .
14. 设 ，函数 ，若 为单调函数，则a的一个取值为_______；若
有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】 ①. 1（答案不唯一）， ②.
【解析】
【分析】判断函数在每段上的单调性，根据 的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；
分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案.
【详解】因为 ，则 时， ， 在 上单调递增，
此时
时， ， 在 上单调递增，此时 ，
故要使得 为单调函数即单调递增函数，则需满足 ，
结合 ，则 ，
故a的一个取值可为1；时， ，令 ，
则 ，解得 或 ；
时， ，令 ，
则 ，解得 ，
当 时， 在 时有一解 ，在 时，有一解 ，不符合题意；
当 时， 在 时有两解 和 ，在 时，有一解 ，符合题意；
故实数a的取值范围是 ，
故答案为：1（答案不唯一），
15. 已知点 是曲线 上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；② ， ；
③点P到坐标原点距离的最大值为 ；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】选项A，用 ， 代替 验证①；取 ，即可求解方程的根判断②，
根据题中条件，得出 的范围，即可判断③正确；根据题意，可分析 ， 时的情况，
确定第一象限部分图象应在 ， 与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于 1，根据对称
性，即可判定④.
【详解】将 代入 ，整理得 ，所以曲线 关于原
点对称，同理将 代入方程整理后其方程不变，故曲线关于 轴对称，故①正确；
取 ，则 ，故 ，
故 （增根已舍去），因此②错误，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为 ；故③正确；
令 ， 可得 ，
令 ，
因为 ，
所以函数有两个零点，
又因为 ， ，
所以两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线 上当 时 ，
同理当 时 ，
即第一象限部分图象应在 ， 与坐标轴围成的正方形外部，
所以第一象限内的面积应大于1；
由图象的对称性可得，曲线 所围成的区域的面积应大于4，故④正确.
故答案为：①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设函数（1）若 ，求 的值.
（2）已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使函数 存在，求 ， 的值.
条件①： 在区间 上单调递减；
条件②： ；
条件③： 为函数 图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分，
【答案】（1）
（2）选择条件①或③， .
【解析】
【分析】（1）利用 得 ，再结合 的范围即可；
（2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求 ，再根据最值即可求解 ；若选
择②，因 不 在值域范围内，故不存在解析式.
【小问1详解】
由题意可知 ，即 ，
因 ，则 .
【小问2详解】条件①： 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
则 在 处取最小值，在 处取最大值，
则 ， ，
则 ， ，
因 ，则 ，
则 ；
条件②：因 ，则 不可能成立，故无解析式；
条件③：因 ，则 在 处取最大值，
又 为函数 图象的一条对称轴，且在 上单调递增，
则 在 处取最小值，
则 ， ，
则 ， ，
因 ，则 ，
则 .综上可知，若选择条件①或③，则 ；
若选择条件②，则不存在解析式.
17. 如图1，将边长为2的正六边形 沿 翻折，使平面 与平面 垂直，如图2.
点M在线段 上， 平面 .
（1）证明：M为线段 中点；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质可得 ，即可结合正边形的性质求证，
（2）根据面面垂直的性质可得 的补角即为二面角 的平面角，即可利用三角形的边
角关系求解.
【小问1详解】
由于 平面 ， 平面 ，平面 平面 ,
故 ,又 ,故四边形 为平行四边形，
故 ,由于 ，故 ,故M为线段 中点，
【小问2详解】过 作 于 ,过 作 于 ，连接 ,
为
由于平面 与平面 垂直,且交线 , 平面 ，
故 平面 ，
平面 ，故 ,
又 ， 平面 ，
故 平面
平面 ，故 ,
故 的补角即为二面角 的平面角，
由于 故 为 的中点，则 ，
由于 为等边三角形， 为 的中点，故 ,
在直角 中，
故二面角 的余弦值为
18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评
分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望 .
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的
人数，试比较这种情况下数学期望 与（ⅰ）中 的大小关系，（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析； （ⅱ）
【解析】
【分析】（1）运用古典概型概率公式计算；
（2）（ⅰ）中求 的分布列就是确定 的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布
列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出 ，与 比较即可.
【小问1详解】
已知事件 为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有 部影片满足该条件，
而影片总数为 部.
根据古典概型概率公式，所以 .
【小问2详解】
（ⅰ）依题意， 的可能取值为 ， ， ， ， .因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专
业观众评分都低于85分的影片的概率为 ，共抽取 次，所以 服从参数 ， 的二项分布，即 .
根据二项分布概率公式 可得：
，
， ，
，
，
列出 的分布列：
.
（ⅱ）确定 服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名
观众任意2名观众不能选看相同影片，所以 服从超几何分布，其中 ， ， .
求 ：根据超几何分布的数学期望公式 ，可得 .
比较大小：因为 ， ，所以 .19. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段 中点为M，射线 交椭圆E
于点N，交直线 于点Q.求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率和 即可结合 的关系求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据中点坐标可得 ，进而可得 以及
，即可结合向量的数量积以及两点距离公式化简求解.
【小问1详解】
根据题意可知 ，解得 ，
故椭圆方程为
【小问2详解】
设直线 ，联立 与 的方程可得
，设 ，则 ,
故 ，故 ，
，
故直线 的方程为 ，
联立 与椭圆方程可得 ，解得 ,
在直线 中，令 ，则 ，故 ,
故
，
故
20. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）曲线 在点 处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为 ，求 的最大值；
（3）若 有两个根 ， ，写出a的范围并证明 .
【答案】（1）增区间 ，减区间
（2）
（3） ，证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，判断导数正负得解；
（2）利用导数的几何意义求出曲线在 处的切线方程，得到 的表达式，利用导数求最大值；
（3）由 的单调性判断极值，值域，得到 的取值范围，且 ， ，要证 ，即证
，又 ，即证 在 上恒成立，转化为
在 上恒成立，构造函数 ， ，利用导数证明
恒成立即可.
【小问1详解】
由 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以 的单调增区间为 ，减区间为 .
【小问2详解】曲线在 处的切线斜率 ，又 ，
所以其切线方程为 ，
令 ，得 ，则 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 .
【小问3详解】
由（1）， 的单调增区间为 ，减区间为 ，且 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 时， ， 时， ，
若 有两个根 ，则 ，且 ， ，
要证 ，即证 ，又 在 上单调递减，
即证 ，又 ，
即证 在 上恒成立，
又 ，即证 ，两边取对数，原命题即证 在 上恒成立，
令 ， ，
，
故 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上恒成立，故 得证.
21. 已知数列 （N是大于3的整数）为有穷数列，定义 为“卷积核”数列
满足：
（1）若数列 ，卷积核 ，求数列B.
（2）设 ，已知 且 ， ，若
.求证：数列B中最大的项为 ，（ 表示a，b中的最大值）.
（3）已知 且 不全为0，卷积核 ，是否存在数列A，使得
数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，理由解析
【解析】
【分析】（1）要算 ，从 开始往后选三项与 进行点积即可，
（2）方法一：由 可知数列的首尾项相同，成对称结构，且 ，从 一直递增到中间项，再对称地递减，要证明数列 中最大的项就从中间项 开始点积，即可求证，方法二：利用
作差法即可证明.
（3）方法一：当 为偶数时，存在数列 : 符合题意，当 为奇数时，利用反证法求
证得 为常数列，产生矛盾得解.方法二：利用反证法即可证明.
【小问1详解】
,
,
所以数列
【小问2详解】
方法一：依题意有
当 时，
由
又 则 ，
即当 时， ，
当 时，记 ，
由
即当 时， ，综上可得：数列B中最大的项为 .
方法二：由已知可得 .
当 时， ，
因为 >0,
所以
当 时， ，
因为 <0,
所以
因为
所以
因为
所以
所以
所以当 时， ,
所以数列 中最大的项为 或 或 .
因为
所以因为
所以
所以 .
（ 与 无法比较大小，假设 ，当 时数列B的最大值为 ，
当 时，数列B的最大值为 ；当 时，数列B的最大值为 .）
综上，数列 中最大的项为 或 .
【小问3详解】
方法一：当 为偶数时，取数列 的通项 ，
此时对 ,有 ，
故当 为偶数时，存在数列 ，使得数列 的各项为0，
当 为奇数时，设 且 ，
下面用反证法证明不存在数列 ，使得数列 的各项为0，
假设存在数列 ，使得数列 的各项为0.为了更好地描述，我们记 中不存在的 ，
则对任意的 ，有 ，
上式相减可得 ，即数列 中 的奇偶项分别为等差数列，
设 ，
且有 ,进而
又由 知 ，
故 ，
整理可得 进而代入 可得 ，
故 ，
则 ，
取 ，有 ，即 ，
故 ，
因为 ，故 ，
由 知 ,故 只能为 的常数列，不符合题意，假设不成立，
综上，当 为偶数时，存在数列 : 符合题意.
方法二：①当N为偶数时，存在数列A使得数列B的任意一项均为0，
此时可令
②当N为奇数时，不存在数列A使得数列B的任意一项均为0，证明如下：
假设存在数列A使得数列B的任意一项均为0
因为
所以 ， ， ，… , ，
.所以 ， ，
， ， .
所以 ,
所以 ,
所以
所以
因为
所以 .
与 不全为0矛盾.
所以假设不成立.
