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2022 北京海淀高三二模
数 学
2022．05
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由补集的概念求解即可.
【详解】由题意知： .
故选：D.
2. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】直接由二项展开式求含 的项即可求解.
【详解】由题意知：含 的项为 ，故 的系数为 .
故选：C.
3. 已知双曲线 的渐近线经过点 ，则双曲线的离心率为（ ）.
A B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出渐近线的方程，由点 得 ，又 即可求解.
【详解】易知双曲线 的渐近线方程为 ，由渐近线经过点 ，可得 ，
故离心率为 .
故选：D.
4. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】对于A，令 ，显然 ，错误；
对于B， ，
又 不能同时成立，故 ，正确；
对于C，取 ，则 ，错误；
对于D，取 ，则 ，错误.
故选：B.5. 若 是奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 为奇函数可得 ，代入相应解析式解方程即可.
【详解】易知定义域为 ，由 为奇函数可得 ，即 ，解得
.
故选：C.
6. 已知 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上.若 ，则（
）
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等差数列 D. 是等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，准线为 ，
点 在抛物线上，由抛物线的定义可知，
点 到焦点 的距离，即为点 到准线的距离，故 ，同理
；所以 ，解得 .
故数列 是等差数列.
故选：A.
7. 已知向量 ， .若 ，则 可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知 ， 以及 ，可确定 ，进而确定 夹角，依次判断选
项即可得解.
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ 或 ，
对选项A，若 ， ，
解得 ，此时不成立；
对选项B，若 ， ，
解得 ，此时不成立；
对选项C，若 ， ，
解得 ，此时成立；对选项D，若 ， ，且
，此时不成立.
故选：C
8. 设函数 的定义域为 ，则“ 是 上的增函数”是“任意 ， 无零点”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 是 上的增函数得 ，即 无零点，满足充分性；
反之若对任意 ， ，满足 无零点，但不满足 是 上的增
函数，不满足必要性，即可判断.
【详解】若 是 上的增函数，则对任意 ，显然 ，故 ，即
无零点，满足充分性；
反之，若对任意 ， ，即 ，满足 无零点，
但 是 上的减函数，不满足必要性，
故“ 是 上的增函数”是“任意 ， 无零点”的充分而不必要条件.
故选：A.
9. 从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移 与时间 （单位： ）的关系符合函
数 .从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了 张照片.已知连
拍的间隔为 ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第 张、第 张、第 张照片与第 张
照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ）A. 、 B. 、 C. 、 、 D. 、 、
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为 ，求出 的值，然后结合已知条件求出 的值，
令 可求得 的表达式，结合 可求得结果.
【详解】因为仅有第 张、第 张、第 张照片与第 张照片是完全一样的，
则弹簧振子运动时的最小正周期为 ，则 ，
所以， ，
由题意可得 ，
所以， ，即 ，
所以， ，则 ，则 ，
令 可得 ，所以， ，
令 ，则 ，由 可得 ，
因为 ，则 ，当 时， ，对应第 张照片，
当 时， ，对应第 张照片，
当 时， ，对应第 张照片.
故选：D.
10. 在正方体 中， 为棱 上的动点， 为线段 的中点.给出下列四个
① ；
②直线 与平面 所成角不变；
③点 到直线 的距离不变；
④点 到 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ②③ B. ③④
C. ①③④ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的变化情况并找出 的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线 与平面
所成的角，就可判定②是否正确.
【详解】如下图，当 在棱 上运动时， 始终在平面 中，由 ，可得 ，所以 ，故①正确，
此时点 的轨迹为线段 ，如下图可知， ， 过正方形 中心 且
，故③④正确，
如下图，延长 与 的延长线交于 ，连接 ，则 即为直线 与平面 所成角，
当点 在 上运动时， 不变而 在变，所以 不是定值，
故②错误.
故选：C.
【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断；
(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；
(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知 均为实数.若 ，则 _________．
【答案】0
【解析】
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】 ，故 ， .
故答案为：0.12. 不等式 的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由 ，可得 ，故解集为 .
故答案为： .
13. 已知圆 ，则圆 的半径为_________；若直线 被圆 截得的弦长为1，则
_________．
【答案】 ①. 1； ②.
【解析】
【分析】第一空：将一般方程化为标准方程即可求解；第二空：先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公
式即可解出 的值.
【详解】第一空：将 化为标准式得 ，故半径为1；
第二空：圆心 到直线 的距离为 ，由弦长为1可得 ，解得
.
故答案为：1； .
14. 已知 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，则函数 的最大值
为_________；若 的值域为 ，则a的最小值为_________．
【答案】 ①. ； ②.【解析】
【分析】第一空：先由辅助角公式写出 ，再结合平移变换写出 ，即可求得最
大值；第二空：由值域为 得 恒成立，结合诱导公式可得
，结合 求出a的最小值即可.
【详解】第一空：由 可得 ，易得 的最
大值为 ；
第二空：若 的值域为 ，则 恒成立，
即 ，又 ，故
，
解得 ，又 ，故当 时，a的最小值为 .
故答案为： ； .
15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列 ， 分别表示两组信息的传
输链上每个节点处的信息强度，数列模型： ，描述了这两组信
息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足 ，则在该模型中，关于两组信息，
给出如下结论：① ；
② ；
③ ，使得当 时，总有
④ ，使得当 时，总有 ．
其中，所有正确结论的序号是_________
【答案】①②③
【解析】
【分析】由 得 即可判断①正确；由
， 即可判断②正确；由 ，当 时，
，即可判断③正确；由 ，当 时， ，即可判断④
错误.
【详解】因为 ，两式作差得 ，故
为常数列，
即 ，故 ，①正确；
因为 ，又 ， 为正实数数列，故 ，故
，②正确；
由上知， ，因为 为常数， 为单增数列，故当 时，，
又 ，故 ，使得当 时，总有 ，③正确；
，又 ，故 ，因
为 为常数，
为单增数列，故当 时， ， ，故④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，已知四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 底面
， ，点 是 的中点.
（1）求证： 面 ；
（2）求 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】【分析】（1）直接由 证得 面 即可；
（2）将 到平面 的距离转化为点 到平面 的距离，求出 和 ，由等体积法即可求
得 到平面 的距离.
【小问1详解】
由底面 是菱形，可得 ，又 面 ， 面 ，故 面 ；
【小问2详解】
由（1）知 面 ，故 到平面 的距离即点 到平面 的距离，设为 ，连接 ，
取 中点 ，连接 ，
易得 且 ，则 底面 ，又 ，则 ，故
，
又 ，故 ，
又 ，故 ，，
又因为 ，即 ，解得 ，即 到平面 的距离
为 .
17. 在 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使 存在.求 的面积
条件①： ； 条件②：
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；
（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得 ， 不存在；若选②：先判断 ，再由
求出 ，由 及余弦定理求得 ，再计算面积即可.
【小问1详解】
由正弦定理得： ，又 ，故 ，又 ，故， ；
【小问2详解】
若选①：由正弦定理得： ，又 ，故 ，此时 不
存在；
若选②：由 ，又 ，则 ， ，由余弦定理得
，
即 ，解得 或 （舍去），故 的面积为 .
18. PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某
年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动
进行监测和预测
（1）现从制造业的10个观测组中任取一组，
（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；
的
（ii）若当月 PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设 表示抽取的观测组中经济向
好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求 的分布列与数学期望；（2）用 表示第 月非制造业所对应的PMI值， 表示非制造业12个月PMI值的平均数，
请直接写出 取得最大值所对应的月份．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ii）分布列见解析, ；
（2） 月份.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）根据已知条件写出基本事件的个数，再利用古典概型的计算公式即可求解；
（ii）根据已知条件写出随机变量 的取值求出对应的概率，进而得出分布列，根据分布列及数学期望的
公式即可求解；
（2）根据已知条件求出 ，结合某年12个月的非制造业PMI值趋势图即可求解.
【小问1详解】
（ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有
，共有10个，
设“组内三个PMI值至少有一个低于50．0”为事件 ，则事件 包含的结果有
共4个，
由古典概型的计算公式，得
的
（ii） 可能取值为 ，
， ， .
的分布列为所以随机变量 的数学期望 .
【小问2详解】
月份，理由如下
由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得
根据某年12
个月的非制造业PMI值趋势图，可知
当 时， 取得最大值为 .
19. 椭圆 的左顶点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知经过点 的直线 交椭圆 于 两点， 是直线 上一点.若四边形 为平
行四边形，求直线 的方程.
【答案】（1） ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；
（2）设 ，由 表示出直线 的斜率，进而写出直线 的方程，联立椭圆求出弦长 ，
由 求出 ，即可求得直线 的方程.
【小问1详解】由题意知： ，则 ，故椭圆 的方程为 ；
【小问2详解】
设 ，又 ，故 ，又直线 经过点 ，故 的方程
为 ，
联立椭圆方程 可得 ，显然 ，
，
则 ，
又 ，由 ，可得 ，
解得 或 ，故直线 的方程为 或 .
20. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） 的单增区间为 ，单减区间为 ；
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算 ，求导计算 ，写出切线方程即可；
（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；
（3）先根据必要性得到 ，再证明当 时， ，结
合（2）中单调性证得 ，即满足充分性，即可求解.
【小问1详解】
，当 时， ， ， ，，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
易得定义域为 ，当 时， ，令 ，
或 ，
当 或 时， 单调递减；当 或 时， 单调递
增；
故 的单增区间为 ，单减区间为 ；
【小问3详解】
“ ，即 ”是“当 时， 恒成立”的必要条件.
当 ， 时， ，令 ，
由（2）知， 在 单调递减，在 单调递增，故 ，
即 ，所以 的取值范围是 .
21. 已知有限数列 共M项 ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形
两两均不全等.将数列 的各项和记为 ．
（1）若 ，直接写出 的值；（2）若 ，求 的最大值；
（3）若 ，求 的最小值
【答案】（1） ；
（2）8； （3）50
【解析】
【分析】（1）直接列举出数列 ，即可求得 ；
（2）先构造数列使 ，再说明不同的等腰三角形只有6个，故 ，即可求得 的最大值；
（3）先构造数列使 ，再设T为数列的每一组连续三项的和的和，得 ，
列举出不同的等腰三角形，使 和 最小，进而得到 ，即可求解.
【小问1详解】
边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，
不合题意；
若前三项为1，2，2，该数列只有4项，该数列只能为1，2，2，2；若前三项为2，2，2，该数列只有4项，
该数列只能为2，2，2，1；
综上： ；
【小问2详解】
①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时 .
②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，
与 矛盾，舍去.
③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：
1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.
又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2
项，所以 .
④由①②③，M的最大值为8.
【小问3详解】①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时 .
②设T为数列的每一组连续三项的和的和，则
，即 .
③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：
其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三
项，
故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个.
④由③，要使 最小，则使 和 最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，
在没画横线的连续三项中取合最小的12组，同时令 ，
则 ，
，又由②， ，
所以 .
⑤由①④，S的最小值为50.
【点睛】本题关键点在于设T为数列的每一组连续三项的和的和，得 ，将
最小，转化为 和 最小，列举出不同的等腰三角形，使 和 最小，
进而得到 ，再构造数列使 即可求解.
