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通州区 2024 年高三年级模拟考试
数学试卷
2024年4月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ，再求 即可.
【详解】由题意知， ，则 .
故选：B.
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.
【详解】由题意可得 ，
所以 ，
故选：A.
3. 在 的展开式中，常数项为（ ）A. 60 B. 120 C. 180 D. 240
【答案】D
【解析】
【分析】写出通项，令 的次数为零，求出 ，再计算常数项即可.
【详解】展开式的通项为 ，
令 ，
所以 ，
所以常数项为240.
故选：D.
4. 下列函数中，是奇函数且在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可
得C错误.
【详解】A：因为 ，所以 不是奇函数，故A错误；
B：因为 的定义域为 ，
又 ，所以 是奇函数，
又 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，故B正确；
C：由正切函数的定义域可得函数 在 上不连续，
所以 在区间 上不单调，故C错误；D：因为 ，所以 不是奇函数，故D错误；
故选：B.
5. 在梯形ABCD中， ， ， ，则 （ ）
A. B. 8 C. 12 D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可.
【详解】
如图，取 的中点 ，则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，所以 为正三角形，
过 作 于 ，
则 ，
所以 .
故选：C.
6. 在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】接根据三角函数的定义可求出 ，再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可
得出答案.
【详解】由三角函数的定义可得 ，
所以 .
故选：B.
7. 已知圆心为C的圆 与双曲线E： （ ）交于A，B两点，且
，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意画出图形，得到 ，代入双曲线方程，再求出渐近线方程即可.
【详解】由题意可得 的圆心 ，半径 ，
显然 适合 和 ，
即 为圆 与双曲线E： 的一个交点，
且为双曲线的左顶点，则 轴；因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍），所以 ，
代入双曲线方程可得 ，
双曲线E的渐近线方程为 ，
故选：A.
8. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为
（ ，且 ），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是 ， ， ，则 ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得出 ，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判
断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断
③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得 ，则 .对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为 （平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为 （平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为 （平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第 至 个月的增长率为 ，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是
，③错；
对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是 ， ， ，
则 ， ， ，所以 ，④错.
故选：B.
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将 代入 ，可得
，进而得到必要性成立，从而得到结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 得： ， ，
，，即 ，充分性成立；
由 得： ， ，即 ，
，
即 ，必要性成立；
“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
10. 已知函数 ， ，若关于x的方程 恰有
3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知 和 共有3个不同的实数根，由 的图象知， 只有一个
解为 ，从而 与 有两个不同的交点，作出 与 图象，即可得出答案.
【详解】因为函数 ，
其图象如下图，则
因为 ， ，令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为关于x的方程 恰有3个不同的实数根，
即 和 共有3个不同的实数根，
由 的图象知， 只有一个解为 ，
所以 有两个不同的解，且根中不含 ，
即 与 有两个不同的交点，
与 的图象如下图所示：
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是将题意转化为 和 共有3个不同的实数根，由
的图象知， 只有一个解为 ，从而 与 有两个不同的交点，作出
与 图象，即可得出答案.
第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知函数 的定义域为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得 ,解得
故定义域为 .
故答案为：
12. 已知点 为抛物线 上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为
____________．
【答案】3
【解析】
【分析】只需把点 代入方程 ，就可解得 ，即可知焦点坐标 ，再利用
两点间距离公式就可以算出答案.
【详解】由题意得： ，解得 ，
所以抛物线 ，即焦点 坐标是 ，
即 ，
故答案为：3.
13. 已知数列 为等比数列， ， ，则 ____________；数列 的前4项和为
____________．
【答案】 ①. 81 ②. 48
【解析】
【分析】求出数列 的公比，进而求出通项即可求得 ；再利用分组求和法计算得解.【详解】等比数列 中，由 ，得数列 的公比 ，通项 ，
所以 ；
数列 的前4项和为 .
故答案为：81；48
14. 已知的数 （ ），若 的最小正周期为 ， 的图象向左平移 个
单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则
____________；若 在区间 上有3个零点，则 的一个取值为____________．
【答案】 ①. 或 ②. 6（答案不唯一）
【解析】
【分析】由 的最小正周期为 ，可求出 ，再根据三角函数的平移和伸缩变化可
求出 ；根据 ，求出 ，结合题意可得 ，
解不等式即可得出答案.
【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 ，解得： ，
所以 ， 的图象向左平移 个单位长度后，
可得： ，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，所以 ；
因为 ， ，
在区间 上有3个零点，
所以 ，解得： ，
则 的一个取值可以为6.
故答案为： 或 ；6（答案不唯一）.
15. 如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几
何体，点G是圆弧 的中点，点H是圆弧 上的动点， ，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面 平面CEG；
②存在点H，使得 平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为 ．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】将图形补全为一个正方体 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】由题意可将图形补全为一个正方体 ，如图所示：
以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ， ，
设点 ，其中 ，
对于①， ， ，设 平面 ，
则 ，即 ，
取x=1，则 ，可得 ，
设 平面 ， ， ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，可得 ，
若平面 平面CEG，则 ，解得： ，
所以存在 使得平面 平面CEG，故①错误；
对于②， ，若 平面CEG，则 ，即 ，
即 ，故 ，故存在点H，使得 平面CEG，故②正确；
对于③， ，
所以点H到平面CEG的距离为 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
，所以 ，
所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ，故③正确；
对于④， ， ，则直线 与平面CEG的所成角为 ，
所以，
，整理可得 ，
因为函数 在 时的图象是连续的，
且 ， ，
所以，存在 ，使得 ，所以，存在点 ，使得直线 与平面CEG 所成角的余弦值为 ，④正确.
的
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即
可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度 ，从而不必作出线面角，则线面
角 满足 （l为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线 的方向向量， 为平面的法向量，则线面角
的正弦值为 .
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，几何体ABCDE中， ，四边形ABDE是矩形， ，点F为CE的中点，
， ．
（1）求证： 平面ADF；
（2）求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结BE交AD于G，连结FG，由图形结合已知得到FG是 的中位线，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明 平面ABC，然后建系如图坐标系，分别求出平面ADF的法向量和平面BCD的一个法向
量，代入空间二面角公式求解即可.
【小问1详解】
连结BE交AD于G，连结FG．
因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点．
因为点F为CE的中点，所以FG是 的中位线．
所以 ，又 平面ADF， 平面ADF，
所以 平面ADF．
【小问2详解】
因为四边形ABDE是矩形，所以 ．
因为 ， ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC，
因为 ，所以 平面ABC．
所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
所以 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ．
设平面ADF的法向量为 ，所以 ， ．所以 ，令 ，得 ， ，所以 ．
因为 平面ABC，所以 ．
因为 ， ， 平面BCD，
所以 平面BCD，
所以 为平面BCD的一个法向量．
而 ．
所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为 ．
17. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ， 为 边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个
作为已知，求 的面积．
条件①； ；
条件②： ．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出 ，即可得解；（2）若选条件①：得到 为 中点，利用余弦定理求出 ，即可得到 为直角三角形，从而求出
的面积；若选条件②：利用余弦定理求出 ，即可得到 为直角三角形，从而得到
，再由余弦定理求出 ，最后由面积公式计算可得．
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
【小问2详解】
若选条件①： ，
所以 为 中点，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以由余弦定理 ，
可得 ，即 ，解得 或 （舍去）．则 ，即 ，所以 为直角三角形，
所以 ．
所以 ．
所以 的面积为 ．
若选条件②： ．
所以 ，
因为 ， ， ，
所以由余弦定理 ，
可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
则 ，即 ，所以 为直角三角形，
所以 ．
所以 ，在 中由余弦定理 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
18. 随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机
构统计了 年 岁到 岁来体检的人数及年龄在 ， ， ， 的体检
人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现： 岁到 岁（不含 岁）体检人
群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图．
年龄 频
组别
（岁） 率
第一
组
第二
组
第三
组
第四
组注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等 余种常见健康问题．
（1）根据上表，求从 年该体检机构 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，此人年龄不低于 岁
的频率；
（2）用频率估计概率，从 年该地区 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，其中不低于 岁的人
数记为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）根据图的统计结果，有人认为“该体检机构 年 岁到 岁（不含 岁）体检人群健康问题
个数平均值一定大于 个，且小于 个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望
（3）不正确，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据直接求解即可；
（2）由题意可知 ，根据二项分布概率公式可求得 每个取值对应的概率，从而得到分布列；
根据二项分布期望公式可得 ；
（3）根据平均数的估计方法，通过反例可说明论断错误.
【小问1详解】
由表格数据知：从 年该体检机构 岁到 岁体检人群中抽取 人，此人年龄不低于 岁的频率为： .
【
小问2详解】
用频率估计概率，从 年该地区 岁到 岁体检人群中随机抽取 人，此人年龄不低于 岁的概率
为 ，则 ；
所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
【小问3详解】
这种说法不正确，理由如下：
假设在体检人群年龄 岁到 岁（不含 岁）中， 、 、 、 体检人群
所占频率分别为 、 、 、 ，
则 岁 到 岁 （ 不 含 岁 ） 体 检 人 群 健 康 问 题 平 均 值 为
个，与该说法结论不同，
该说法是不正确的．19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，若对于任意 ，不等式 成立，求a的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把 代入原函数求出 ，最后由点斜式写出
直线方程即可；
（2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；
（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到 ， ， ，解不等
式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.
【小问1详解】
因为 ，所以 ．
所以 ．
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问2详解】因为 ，定义域为 ，
所以 ．
因为 ，令 ，即 ，
解得 ， ，所以 ．
当x变化时， ， 的变化情况如下表所示．
x 2
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
【小问3详解】
在（2）的条件下， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
因为对于任意 ，不等式 成立，
所以 ， ， ．
所以 ，得 ， ，得 ；
，得 ．因为 ，
所以 ．
所以a的取值范围是 ．
20. 已知椭圆 ： （ ）的长轴长为4，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于 两点（不与左右顶点重合），点 在 轴正半轴
上，直线 交 轴于点P，直线 交 轴于点 ，问是否存在 ，使得 为定值？若存在，求出
的值及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，当 时， 有定值 ．
【解析】
【分析】（1）根据长轴长为 ，离心率为 ，可得 ，得到标准方程．
（2）根据斜率存在，设直线的方程 ，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出
， ，表达出直线TM和直线TN，进而求出 为定值；斜率不存在，不
妨设 ， ，求出 为定值.
【小问1详解】
因为椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，所以 ， ．
所以 ， ．所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
【小问2详解】
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ．
联立方程组 ，
消去 ，化简得 ．
则 ，即 ,
设 ， ，
所以 ， ．
所以直线TM的方程为 ，直线 的方程为 ．
所以 ， ．
所以 ， ，所以
．
所以当 时， 为定值，
即 （负值舍）时， 有定值 ．
当 时，若直线l斜率不存在，
不妨设 ， ，
所以 ， ．
所以 ．
综上，当 时， 有定值 ．
【点睛】方法点睛：根据直线与圆锥曲线的位置关系求解存在性的定值问题，分类讨论，求解计算，计算
量偏大.
21. 从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项（ ），若数列 ， ， ，
是递增数列或递减数列（规定 时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称 ， ， ， 为
数列 的长度为m的单调子列.已知有穷数列A： ， ， ， （ ），任意两项均不相同，现以A的每一项 为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有 项，则 ， ， ， 构成一个新
数列B.
（1）当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
（2）若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
（3）若数列A共有 （ ）项，求证：A必存在一个长度为 的单调子列.
【答案】（1）（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）理解数列新定义，从而得解；
（2）对等差数列进行分类：即递减等差数列和递增等差数列，然后根据新定义推导新数列的元素及通项，
就可得以证明；
（3）利用反证法，结合数列的新定义即可得解.
【小问1详解】
（ⅰ）根据题意：选 ，则有1，3，5，7，共有 项；
选 ，则有3，5，7，共有 项；
选 ，则有5，7，共有 项；
选 ，则有7，共有 项；
所以数列B为：4，3，2，1；
（ⅱ）同理数列B为：2，3，2，1，1.
【小问2详解】
设数列A的公差为d，因为 ，
当 时，数列A为单调递减数列，
所以 ，
所以B为等差数列.当 时，数列A为单调递增数列，
以数列A的任意项 为首项选取长度最大的递增的单调子列为 ， ， ， ， .
所以 （ ，2，3， ，n）.
所以B 为等差数列，
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列.
【小问3详解】
若 ， ， ， 中有一个 ，
那么数列A存在一个长为 的递增子列.
所以A存在一个长度为 的单调子列.
若数列A不存在长度超过t的递增子列，即 ， ，2，3， ， .
所以在 ， ， ， 中，至少有 个数是相等的.
取其中 项，不妨设为 ，其中 .
下面证明当 ，且 时， ，
假设 ，将 加到以 为首项长度为b的递增子列前面，
构成了以 为首项长度为 的递增子列，
的
与 为首项 最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立.
所以 ，
由此可知 ，.
所以 ， ， ， ，构成了一个长为 的递减子列.
综上，A必存在一个长度为 的单调子列.【点睛】思路点睛：本题主要考查“新定义”数列，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、
新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，用反证法来请明
新结论，这样有助于对新定义的透彻理解.
