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试卷编号: 10461
北京一零一中 2023-2024 学年度第二学期高三数学三模
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 的值为（ ）
.
A B. 2 C. D.
3. 下列函数中，满足对任意的 ， 都有 的是（ ）
.
A B. C. D.
4. 若等差数列 满足 ， ，则其前n项和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6. 若 ABC为钝角三角形，且 ， ，则边c的长度可以为（ ）
△
A. 2.5 B. 3 C. 4 D.
7. 已知点 在边长为2的正八边形 的边上，点 在边 上，则 的取值范围
是（ ）A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（
）
A. B. C. D.
9. 已知 ，其中 ， 则“存在 使 ”是“ ”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 平面内相距 的A，B两点各放置一个传感器，物体 在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别
实时记录下 两点与 的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线 所示.已知曲线 经过
点 ， ， ，曲线 经过点 ，且 若 的运动轨迹
与线段 相交，则 的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及 分别为（ ）A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中， 的系数为______．
12. 已知角 ， 的终边关于原点O对称，则 ______．
13. 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
14. 已知函数 ，当 时， 有极小值．写出符合上述要求的一组
a，b的值为a= _______ ，b=_______ ．
15. 已知函数 其中 表示不超过x的最大整数.例如：
给出以下四个结论：
①
②集合 的元素个数为 ;
③存在 ，对任意的 ，有 ;
④ 对任意 都成立，则实数 的取值范围是
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在 中，（1）求证 为等腰三角形；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求b的值.
条件①： ； 条件②： 的面积为 ；条件③： 边上的高为3.
17. 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点.
（1）求证： 四点共面；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等
技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳
跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示.
跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz
.
基础分 9.5 9.7 11 0 11.5
表1
选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2
为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.
.
4T 12.04 11 22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98
4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07
4F 13.69 5.50 14.02 12.92
4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87
表2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.（1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
（2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中
成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳
跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，其长轴的两个端点分别为 ， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 为椭圆上除 ， 外的任意一点，直线 交直线 于点 ，点 为坐标原点：过点 且
与直线 垂直的直线记为 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，问：是否存在点 使得
与 的面积相等?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行.
（i）求a的值；
（ii）证明：函数 在区间 内有唯一极值点；
（2）当 时，证明：对任意 ， .
21. 设 ，若非空集合 同时满足以下4个条件，则称 是“ 无和划分”：
① ；
② ；
的
③ ，且 中 最小元素大于 中的最小元素；
④ ，必有 .（1）若 ，判断 是否是“ 无和划分”，并说明理由.
（2）已知 是“ 无和划分”（ ）.
①证明：对于任意 ，都有 ；
②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于.
