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海淀区 2023—2024 学年第二学期期末练习
高三数学
2024.05
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 .若 ，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 0 C. D. -2
2. 在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A. B.
C. D.
3. 函数 是（ ）
A. 偶函数，且没有极值点 B. 偶函数，且有一个极值点
C. 奇函数，且没有极值点 D. 奇函数，且有一个极值点
4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，则线段 的中点的纵坐标为（
）
A. B. C. 3 D. 4
5. 在 中， ，则 的长为（ ）A. 6或 B. 6 C. D. 3
6. 设 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在 中， ，点 满足 ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
8. 设 是公比为 的无穷等比数列， 为其前 项和， .则“ ”是“ 存在最小值”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 设函数 的定义域为 ，对于函数 图象上一点 ，若集合
只有1个元素，则称函数 具有性质 .下列函数中具有性
质 的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设数列 的各项均为非零的整数，其前 项和为 .若 为正偶数，均有 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. 22 C. 26 D. 31
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若 ，则 __________.
12. 已知双曲线 ，则 的离心率为__________；以 的一个焦点为圆心，且与双曲线 的
渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）
13. 已知函数 .
（i）若 ，则函数 的最小正周期为__________.
（ii）若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 __________.
14. 二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由 个黑白
方块构成的 二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成 个
不重复的二维码，为确保一个 二维码在1分钟内被破译的概率不高于 ，则 的最小值为
__________.
15. 如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 平面 为垂足.给出下列
四个结论：① ；
②线段 的长随线段 的长增大而增大；
③存在点 ，使得 ；
④存在点 ，使得 平面 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使函数 存在且唯一确定.
（1）求 的值；
（2）若不等式 在区间 内有解，求 的取值范围.
条件①： ；
条件②： 的图象可由 的图象平移得到；
条件③： 在区间 内无极值点，且 .
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
的
17. 在三棱锥 中， 为 中点.
为
（1）如图1，若 棱 上一点，且 ，求证：平面 平面 ；
（2）如图2，若 为 延长线上一点，且 平面 ，直线 与平面 所成角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别
性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如
下表（单位：张）：
识别结果
男 女 无法识别
真实性别
男 90 20 10
女 10 60 10
的
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片 识别都是独立的.
（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现
识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设 表示测试的次数，估计 的分布列和数学期望 ；
的
（3）为处理无法识别 照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为
.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为 ）中随机抽取一张，分别用方案一､方
案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为 .试比较 的大小.（结论不要
求证明）
19. 已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点.以 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 .
（1）求栯圆 的方程；
（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆 交于不同的两点 ，与直线 交于点
.点 在 轴上， 为坐标平面内的一点，四边形 是菱形.求证：直线 过定点.
20. 已知函数 .
（1）若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求证：函数 恰有一个零点；
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.
21. 设正整数 ， ， ，这里 . 若
，且 ，则称 具有性质 .
（1）当 时，若 具有性质 ，且 ， ， ，令 ，写出 的所有可
能值；
（2）若 具有性质 ：
①求证： ；
②求 的值.
