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2022 北京海淀高三二模
数 学
2022．05
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
3. 已知双曲线 的渐近线经过点 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
.
4 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 若 是奇函数，则（ ）
A. B.C. D.
6. 已知 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上.若 ，则（
）
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等差数列 D. 是等比数列
7. 已知向量 ， .若 ，则 可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数 的定义域为 ，则“ 是 上的增函数”是“任意 ， 无零点”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移 与时间 （单位： ）的关系符合函
数 .从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了 张照片.已知连
拍的间隔为 ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第 张、第 张、第 张照片与第 张
照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ）
A. 、 B. 、 C. 、 、 D. 、 、
10. 在正方体 中， 为棱 上的动点， 为线段 的中点.给出下列四个① ；
②直线 与平面 所成角不变；
③点 到直线 的距离不变；
的
④点 到 四点 距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ②③ B. ③④
C. ①③④ D. ①②④
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知 均为实数.若 ，则 _________．
12. 不等式 的解集为_________．
13. 已知圆 ，则圆 的半径为_________；若直线 被圆 截得的弦长为1，则
_________．
14. 已知 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，则函数 的最大值
为_________；若 的值域为 ，则a的最小值为_________．
15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列 ， 分别表示两组信息的传
输链上每个节点处的信息强度，数列模型： ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足 ，则在该模型中，关于两组信息，
给出如下结论：
① ；
② ；
③ ，使得当 时，总有
④ ，使得当 时，总有 ．
其中，所有正确结论的序号是_________
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，已知四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 底面
， ，点 是 的中点.
（1）求证： 面 ；
（2）求 到平面 的距离.
17. 在 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使 存在.求 的面积条件①： ； 条件②：
18. PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某
年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动
进行监测和预测
（1）现从制造业的10个观测组中任取一组，
（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；
（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设 表示抽取的观测组中经济向好
的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求 的分布列与数学期望；
的
（2）用 表示第 月非制造业所对应 PMI值， 表示非制造业12个月PMI值的平
均数，请直接写出 取得最大值所对应的月份．
19. 椭圆 的左顶点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知经过点 的直线 交椭圆 于 两点， 是直线 上一点.若四边形 为平
行四边形，求直线 的方程.20. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
21. 已知有限数列 共M项 ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形
两两均不全等.将数列 的各项和记为 ．
的
（1）若 ，直接写出 值；
（2）若 ，求 的最大值；
的
（3）若 ，求 最小值
