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试卷编号: 10461
北京一零一中 2023-2024 学年度第二学期高三数学三模
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
2. 已知复数 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 ，
故选：D
3. 下列函数中，满足对任意的 ， 都有 的是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.
【详解】对于A：若 ，则 ， ，
，成立；
对于B：若 ，由 ，得 ，
取 ，得 不成立；
对于C：若 ，由 ，得 ，
取 ，得 不成立；
对于D：若 ，由 ，得 ，
取 ，得 不成立.
故选：A
4. 若等差数列 满足 ， ，则其前n项和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知求出 和 的值，得到 ，即可求出最小值.
【
详解】由题意可得， ，又 ，所以 .
所以， 的前n项和 ，
当 时， 有最小值 .故选：A.
5. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；
【详解】A：若 ， ，则 或相交，故A错误；
B：若 ， ，由线面平行和垂直的性质可得 ，故B正确；
C：若 ， ，则 或 ，故C错误；
D：若 ， ，则 相交或 或 ，故D错误；
故选：B.
6. 若 ABC为钝角三角形，且 ， ，则边c的长度可以为（ ）
△
A. 2.5 B. 3 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论 为最长边和 为最长边两种情况，
即可得出结论.
【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，
因此有两种情况：
若 为最长边，由 ，
可得 ，又 ，
所以 ，可得C正确；
若 为最长边，由 ，可得 ，又 ，
所以 ，此时没有选项符合.
故选：C
7. 已知点 在边长为2的正八边形 的边上，点 在边 上，则 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以 为原点，建立平面直角坐标系，表示出点 的坐标，计算 即可.
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，由于正八边形的每个外角都为 ；
则 ，
所以 .
故选：C
8. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 左、右焦点分别为 ，
的
为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由长度关系可得 ，知 ，在 中，利用 可构
造齐次方程求得双曲线离心率.
【详解】
设 ，
为等边三角形， ， ，又 ，， ， ，
， ，
，解得： （舍）或 ，
双曲线 的离心率为 .
故选：C.
9. 已知 ，其中 ， 则“存在 使 ”是“ ”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
可得 ，由 ， ，得到 的对称轴 ，
计算 代入即可，反之同理．
【详解】因为 ，且 ， ，所以 ，
因为存在 使 ，所以
因为 ， ，所以函数 的对称轴
计算下列数据： ， ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
反之也成立，若 ，则 ，
所以“存在 使 ”是“ ”的充要条件．
故选：C．
【点睛】本题利用 ， ，找到 是解决问题的关键．
10. 平面内相距 的A，B两点各放置一个传感器，物体 在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别
实时记录下 两点与 的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线 所示.已知曲线 经过
点 ， ， ，曲线 经过点 ，且 若 的运动轨迹
与线段 相交，则 的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及 分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系，设点，作出相应的辅助线，分析可知 ，结合 分析求解
即可.【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设动点 的轨迹与 轴重合，
其在 时刻对应的点分别为 ， 的速度为 ，
因为 ，可得 ，
由题意可知： 均与 轴垂直，且 ，
作 垂足为 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ；
又因为 轴，
所以 的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值为： ；
又 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点 的轨迹与 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长
度，进而分析求解.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中， 的系数为______．
【答案】【解析】
【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，故 的系数为 .
故答案为：
12. 已知角 ， 的终边关于原点O对称，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角 ， 的终边关于原点O对称得 ，即可得到 的值.
【详解】 角 ， 的终边关于原点O对称，
，
.
故答案为： .
13. 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出
的值，求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，当 时， 有极小值．写出符合上述要求的一组
a，b的值为a= _______ ，b=_______ ．
【答案】 ①. 4（不唯一） ②. 5（不唯一）
【解析】
【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.
【详解】当 时， 无极小值，故 ，
，
由 可得 或 ，
当 时，由 时， 有极小值可知 ，即 ，
当 时，由 时， 有极小值可知 ，即 .
所以 的一组取值可取 ，
故答案为：4；5（答案不唯一，满足 或 即可）.
15. 已知函数 其中 表示不超过x的最大整数.例如：
给出以下四个结论：
①
②集合 的元素个数为 ;③存在 ，对任意的 ，有 ;
④ 对任意 都成立，则实数 的取值范围是
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①④
【解析】
【分析】利用给定定义直接判断①，卡出 ，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分
离参数，得到 ，再结合给定定义求解 ，最后得到参数范围即可.
【详解】对于①，由 知， ，故
①正确，
对于②，由周期性可知， 的周期为 ，故讨论 即可，
易得当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，故该集合元素个数为6，故②错误，
对于③，显然在 时， 的值域不关于 对称，
故 不关于 对称，即 ，故③错误，
对于④，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
而 对任意 都成立，故 恒成立，
令 ，即 ，而显然 ，
可得 恒成立，即 ，故④正确.
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函
数最值，最后得到所要求的参数范围即可．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在 中，
（1）求证 为等腰三角形；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求b的值.
条件①： ； 条件②： 的面积为 ；条件③： 边上的高为3.【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，根据余弦定理及已知可得 ，所以 ，可得结果；
（2）若选择条件①，可得 ，可得 ，与已知矛盾；若选择条件②，根据
平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.
【小问1详解】
在 中， ，设 ，
根据余弦定理 ，得 ，
整理，得 ，
因为 ，解得 ， 所以 ，
所以 为等腰三角形.
【小问2详解】
若选择条件①：若 ，由（1）可知 ，及 ，
所以 ，
所以 不存在.
若选择条件②：在 中, 由 ,
由（1） ，所以 ，
解得 ，即 .
若选择条件③： 在 中，由 边上的高为3， 得 ，
由 ，解得 .
17. 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点.
（1）求证： 四点共面；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，利用平行关系可得 四点共面，
四点共面，再根据过不共线的的三点 的平面具有唯一性，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出 的方向向量和平面 的法向量，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
如图， 取 的中点 ，连接 ，因为 分别是棱 的中点，
所以 ， ，所以 ， 四点共面，
又 ， ，所以 ， 四点共面，
又因为过不共线的的三点 的平面具有唯一性，
则平面 与平面 重合，故 四点共面.
【小问2详解】
以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的的边长为 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得平面 的一个法向量 ，
所以 ，
所以 与平面 所成角 正弦值为 .
的
18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等
技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳
跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示.
跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz
基础分 9.5 9.7 11.0 11.5
表1
选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2
为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.
4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98
4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07
4F 13.69 5.50 14.02 12.92
4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87
表2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
（1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
（2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中
成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳
跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.
【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为
（3）4T,4S, 4F
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得X的所有可能取值为0,1,2,3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，
再由期望的计算公式即可得到结果.
（3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果.
【小问1详解】
根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动
作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为
【小问2详解】
同（1），从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为
，
X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为：所以
【小问3详解】
由表格可知，4T动作成功的概率为 ，失败的概率为 ，
4S动作成功的概率为 ，失败的概率为 ，
4F动作成功的概率为 ，失败的概率为 ，
4Lz动作成功的概率为 ，失败的概率为 ，
由 可知，选4T,4S, 4F.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，其长轴的两个端点分别为 ， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 为椭圆上除 ， 外的任意一点，直线 交直线 于点 ，点 为坐标原点：过点 且
与直线 垂直的直线记为 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，问：是否存在点 使得
与 的面积相等?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率与 值，求出 ，再根据 求出 后即可得椭圆的方程；（2） ， 且 ，根据已知条件将 点坐标以及 用 表示，求得 ，
由此可将 与 的面积用 表示，构成方程即可求解 ，即可解答.
【小问1详解】
由题意， ，又 ，所以 ，
则 ，所以椭圆C的方程为 .
【小问2详解】
设 ， 且 ，则 ，
又因为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，
联立直线 和直线 的方程 ，
消去 得 ，即 ，
整理有： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得点 的横坐标 ，
， ，
要使得 与 的面积相等，应有 ，
整理有 ，即 ，
解得 ， ，因为 ， （舍去），所以 ，
由 可得点P的坐标为 .20. 已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行.
（i）求a的值；
（ii）证明：函数 在区间 内有唯一极值点；
（2）当 时，证明：对任意 ， .
【答案】（1）（i） ；（ii）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）（i）求出 ，由直线平行的充要条件得到切线的斜率，根据导数的几何意义求出a的
值，即可得到答案；
（ii）求出 ，令 ，利用导数研究 的单调性，从而得到 的取值情况，由此得
到 的单调性，结合极值的定义进行分析，即可证明；
（2）利用（1）中的单调性，分 ， 两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，确定函
数 的取值情况，由此证明结论.
【详解】（1）（i）解：因为函数 ，
所以 ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 平行，
所以切线的斜率为1，
则 ，即 ，解得 ，
检验：当 时， ，因此切线方程为 ，符合题意，
故 .（ii）证明：由（i）可知， ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增，即 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，即 单调递减，
又 ， ， ，
故存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值 ，
故函数 在区间 内有唯一极值点.
（2）证明：由（1）可知，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因为 ，则 ，且 ，
①若 ，即 时，则 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，
故 ，符合题意；
②若 ，即 时， ，因为 ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值 ，
即 且 ，符合题意.
综上所述，当 时，对任意 ， .
21. 设 ，若非空集合 同时满足以下4个条件，则称 是“ 无和划分”：
① ；
② ；
③ ，且 中的最小元素大于 中的最小元素；
④ ，必有 .
（1）若 ，判断 是否是“ 无和划分”，并说明理由.
（2）已知 是“ 无和划分”（ ）.
①证明：对于任意 ，都有 ；
②若存在 ，使得 ，记 ，证明： 中的所有奇数都属于 .
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】【分析】（1）取 ，则 ，即可得到结论；
（2）①假设存在 ，使得 ，记 的最小值为 ，得到 ，设B中最小的元
素为 ，求得 不同属于 ，列出方程组，即可得到结论；
②由①知 ，设 中最小的元素为 , 得出 矛盾， 求得
，进而得到 ， ，得到对于任意奇数 都有 ，进而得
到结论.
【小问1详解】
解：不是.
理由如下：取 ，则 ，说明 不是“ 无和划分”.
【小问2详解】
解：①假设存在 ，使得 ,
记 的最小值为 ，则 ；
设B中最小的元素为 ，则 ，所以 ，
所以 ，（否则与 矛盾），
(否则与 矛盾)，所以 ，
因为 ，所以 不同属于 ，
所以 这与 矛盾，所以假设不成立.
②因为 是“ 无和划分”, 且存在 , 使得 记i 的最小值为 ，
所以 ，
由①知 ，因为 , 所以 ，所以 ，
设 中最小的元素为 , 若 ，则 ，所以 ，
所以 (否则与 矛盾)，
所以 (否则 与 矛盾)，
所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ，
这与 矛盾， 所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 (否则与 矛盾)，所以 ，
若 ，则与 和 矛盾，
所以 所以 , (否则与 矛盾)，
(否则与 矛盾)，所以 ，
以此类推，对于任意奇数 都有 ，
所以 为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾),
所以 均为奇数.
因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ，
所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ，
以此类推，对于任意大于 ，小于或等于 的奇数都属于集合 ，
综上所述， 中的所有奇数都属于集合 .
【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读
理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：
3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分
法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.
4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，
更加直观的求解.
